25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số có đáp án (Phần 1)

Câu 1:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:

A. a > 0

B. a = 0

C. a < 0

D. $a \neq 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Từ BBT ta thấy $\lim_{x \to \pm \infty} y = - \infty$ nên a < 0

Câu 2:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a > 0)$ có ba cực trị. Nếu $y_{C D} < 0$ thì:

A. $y_{C T} = 0$

B. $y_{C T} < 0$

C. $y_{C T} > 0$

D. $y_{C T} = y_{C D}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dễ thấy hàm số bậc bốn trùng phương có cực đại, cực tiểu thì $y_{C T} < y_{C D}$ nên $y_{C D} < 0 \Rightarrow y_{C T} < 0$

Câu 3:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a < 0)$ có ba cực trị. Nếu $y_{C T} > 0$ thì:

A. $y_{C D} = 0$

B. $y_{C D} < 0$

C. $y_{C D} > 0$

D. $y_{C T} = y_{C D}$

Xem đáp án

Đáp án C

Dễ thấy hàm số bậc bốn trùng phương có cực đại, cực tiểu thì $y_{C T} < y_{C D}$ nên $y_{C T} > 0 \Rightarrow y_{C D} > 0$

Câu 4:

Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0)$ có 1 cực trị nếu và chỉ nếu:

A. $a b \geq 0$

B. ab < 0

C. b > 0

D. b < 0

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 4 a x^{3} + 2 b x = 2 x (2 a x^{2} + b)$

Hàm số có 1 cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 1 nghiệm duy nhất hay y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} a b > 0 \\ b \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow a b \geq 0$

Câu 5:

Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0)$ có 3 cực trị nếu và chỉ nếu:

A. $a b \geq 0$

B. $a b < 0$

C. $b > 0$

D. $b < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 4 a x^{3} + 2 b x = 2 x (2 a x^{2} + b)$

Hàm số có 1 cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2 a x^{2} + b = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow a b < 0$

Câu 6:

Chọn kết luận đúng: Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương:

A. Luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm

B. Luôn cắt trục tung tại 1 điểm cực trị của nó

C. Nhận trục hoành làm trục đối xứng

D. Nhận điểm O (0; 0) làm tâm đối xứn

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số bậc 4 trùng phương luôn cắt trục tung tại điểm (0; c) chính là cực trị của đồ thị hàm số.

Ngoài ra, đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương cũng có thể không cắt Ox nên A sai.

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng chứ không phải trục hoành nên C sai.

Đồ thị không có tâm đối xứng nên D sai

Câu 7:

Chọn kết luận đúng: Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương

A. Luôn có điểm chung với trục hoành

B. Có một điểm cực trị nằm trên trục tung

C. Không có trục đối xứng

D. Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số bậc 4 trùng phương luôn cắt trục tung tại điểm (0; c) chính là cực trị của đồ thị hàm số.

Ngoài ra, đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương cũng có thể không cắt Ox nên A sai.

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng nên C sai.

Đồ thị không có tâm đối xứng nên D sai

Câu 8:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a > 0)$ có ba cực trị. Nếu $y_{C D} < 0$ thì đồ thị hàm số:

A. Cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

B. Cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

C. Nằm hoàn toàn phía trên trục hoành

D. Nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị và hệ số a > 0 có dạng:

Quan sát đồ thị ta thấy nếu $y_{C D} < 0$ thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Câu 9:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0)$ có 1 cực trị. Khi đó, nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì:

A. $a > 0, b \geq 0, c > 0$

B. $a > 0. b \leq 0, c > 0$

C. $a \leq 0, b \geq 0$

D. $a < 0, b \leq 0, c < 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số chỉ có 1 cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm $\Leftrightarrow a b \geq 0$ , khi đó đồ thị có dạng:

Trong hai trường hợp trên ta thấy nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì chỉ xảy ra trường hợp a < 0, do đó $b \leq 0$ và điểm cực tiểu (0; c) cũng phải nằm phía dưới trục hoành hay c < 0

Câu 10:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có a < 0, b > 0. Chọn kết luận sai:

A. Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu

B. Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nếu $y_{C D} < 0$

C. Đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm phân biệt nếu c > 0

D. Đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt nếu c > 0

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có a < 0, b > 0 nên có 3 cực trị và đồ thị có dạng như sau:

Quan sát đồ thị ta có:

- Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu nên A đúng.

- Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nếu $y_{C D} < 0$ nên B đúng.

- Đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm phân biệt nếu c > 0 nên C đúng, D sai

Câu 11:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có a < 0, b = 0, c > 0. Chọn kết luận sai:

A. Đồ thị hàm số có 2 giao điểm với trục hoành

B. Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành

C. Đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực đại nằm phía trên trục hoành

D. Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có a < 0, b = 0, c > 0 nên có 1 cực trị và chính là điểm cực đại.

Đồ thị có dạng như:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên A đúng, B sai.

- Đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực đại và nó nằm ở phía trên của trục hoành nên C đúng.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; c) và c > 0 nên nó không đi qua gốc tọa độ

Câu 12:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có a > 0, b < 0. Đồ thị hàm số có 4 điểm chung với trục hoành nếu:

A. $y_{C D} > 0$

B. $y_{C T} < 0$

C. $y_{C D} . y_{C T} < 0$

D. $y_{C D} . y_{C T} > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có a > 0, b < 0 nên có 3 cực trị và đồ thị của nó dạng:

Quan sát đồ thị ta thấy:

- Nếu $y_{C D} > 0, y_{C T} > 0$ thì đồ thị hàm số không cắt Ox nên điều kiện $y_{C D} > 0$ là chưa đủ.

Do đó A sai.

- Nếu $y_{C D} < 0, y_{C T} < 0$ thì đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm phân biệt nên điều kiện $y_{C T} < 0$ là chưa đủ.

Do đó A sai.

- Nếu $y_{C D} . y_{C T} < 0 \Rightarrow y_{C T} < 0 < y_{C D}$ nên đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt.

Do đó C đúng

- Nếu $y_{C D} . y_{C T} > 0 \Rightarrow y_{C D} > y_{C T} > 0$ hoặc $0 > y_{C D} > y_{C T}$ nên đồ thị hàm số không thể cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.

Câu 13:

Đồ thị hàm số bậc ba luôn:

A. Cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

B. Cắt trục tung tại 1 điểm duy nhất

C. Cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

D. Cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục tung tại 1 điểm duy nhất (0; d) nên B đúng

Đồ thị hàm số bậc ba có thể cắt trục hoành tại 1, 2 hoặc 3 điểm nên các đáp án A, C, D đều chưa chính xác

Câu 14:

Chọn kết luận đúng:

A. Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì nó không có điểm cực trị

B. Đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm trái phái trục hoành thì cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

C. Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

D. Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị thì đồ thị có thể cắt trục hoành tại 1, 2 hoặc 3 điểm nên C, D sai.

Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì nó có thể có 2 điểm cực trị hoặc không có điểm cực trị nào

Câu 15:

Chọn kết luận đúng:

A. Hàm số bậc ba không có cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

B. Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

C. Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

D. Hàm số bậc ba không có cực trị thì đồ thị hàm số không cắt trục hoành

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số bậc ba không có cực trị thì nó đơn điệu tăng hoặc giảm trên R nên đồ thị luôn cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất nên A đúng, D sai.

Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị có thể cắt trục hoành tại 1, 2, hoặc 3 điểm nên B, C sai.

Câu 16:

Nếu điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba nằm ở trục hoành thì:

A. Điểm cực tiểu cũng nằm ở trục hoành

B. Điểm cực tiểu nằm phái trên trục hoành

C. Điểm cực tiểu nằm bên trái trục tung

D. Điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số bậc ba luôn có: $y_{C D} > y_{C T}$ nên nếu $y_{C D} = 0 \Rightarrow y_{C T} < 0$

Do đó điểm cực tiểu nằm phía dưới trục hoành

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ có hai cực trị thỏa mãn $y_{C D} . y_{C T} < 0$ . Khi đó:

A. Đồ thị hàm số có 3 điểm chung với Ox

B. Đồ thị hàm số có 2 điểm chung với Ox

C. Đồ thị hàm số có 1 điểm chung với Ox

D. Đồ thị hàm số không có điểm chung với Ox

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số có 2 cực trị thì có bảng biến thiên ở các dạng sau:

Quan sát BBT ta thấy:

Nếu $y_{C D} . y_{C T} < 0$ thì $y_{C T} < 0 < y_{C D}$ nên đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.

Câu 18:

Cho đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) có hai điểm cực trị thỏa mãn $y_{C T} > 0$ . Khi đó, đồ thị hàm số có mấy điểm chung với trục Ox?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Hai dạng đồ thị hàm số bậc ba mà có hai cực trị là:

Do $y_{C T} > 0 \Rightarrow y_{C D} > y_{C T} > 0$ hay hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm phái trên trục hoành.

Từ đó đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm chung duy nhất với Ox.

Câu 19:

Chọn kết luận đúng:

A. Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

B. Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại điểm uốn của nó

C. Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì hàm số có 2 điểm cực trị

D. Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì nó không có cực trị

Xem đáp án

Đáp án C

Đáp án A: Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nếu $y_{C D} . y_{C T} < 0$ hoặc chỉ cắt Ox tại 1 điểm nếu $y_{C D} . y_{C T} > 0$ nên A sai.

Đáp án B: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm nhưng chưa chắc nó là điểm uốn nên B sai.

Đáp án C: Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì hàm số có 2 điểm cực trị là đúng.

Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì nó không có cực trị hoặc có cực trị nhưng hai giá trị cực trị cùng dấu nên D sai

Câu 20:

Chọn kết luận đúng:

A. Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba luôn nằm trên trục tung

B. Đồ thị hàm số bậc ba nhận Oy làm trục đối xứng

C. Mọi điểm thuộc đồ thị hàm số bậc ba khi lấy đối xứng qua điểm uốn ta đều được một điểm thuộc đồ thị

D. Đồ thị hàm số bậc ba có thể có ba điểm chung với trục tung

Xem đáp án

Đáp án C

Đáp án A: Đồ thị hàm số bậc ba luôn có điểm uốn chung nhưng chưa chắc thuộc trục tung nên A sai.

Đáp án B: Đồ thị hàm số bậc ba không có trục đối xứng nên B sai.

Đáp án C: điểm uốn chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba nên với mỗi điểm thuộc đồ thị hàm số, lấy đối xứng qua điểm đó ta đều được một điểm thuộc đồ thị nên C đúng.

Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba luôn chỉ có 1 điểm chung với trục tung nên D sai.

Câu 21:

Hàm số nào sau đây có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?

A. Hàm số đa thức bậc ba

B. Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương

C. Hàm số bậc hai

D. Hàm số bậc nhất

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị có dạng như hình bên là của hàm đa thức bậc ba

Câu 22:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{3} + x + 2$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

C. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x + 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Nhận xét: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba có hệ số a > 0 nên loại đáp án A, C.

Xét 2 đáp án B và D

Thay x = 0, y = 2 thì cả 2 đáp án B, D đều thỏa mãn.

Thay x = 2, y = - 2 chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Câu 23:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

A. $y = x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$

B. $y = (x + 1) {(x - 2)}^{2}$

C. $y = (x - 1) {(x - 2)}^{2}$

D. $y = x^{3} + 3 x^{2} - x - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 4) nên loại A, D

Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm (-1; 0) và tiếp xúc Ox tại (2; 0) nên phương trình có hoành độ giao điểm y = 0 có 1 nghiệm đơn x = - 1 và 1 nghiệm kép $x_{2, 3} = 2$

Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Câu 24:

Cho $f (x) = {(x - 1)}^{3} - 3 x + 3$ . Đồ thị hình bên là của hàm số có công thức:

A. $y = - f (x + 1) - 1$

B. $y = - f (x + 1) + 1$

C. $y = - f (x - 1) - 1$

D. $y = - f (x - 1) + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Đáp án A: $y = - f (x + 1) - 1 = - x^{3} - 3 (x + 1) + 3 - 1 = - x^{3} - 3 x - 1$ . Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; - 1) \Rightarrow$ loại.

Đáp án B: $y = - f (x + 1) + 1 = - x^{3} - 3 (x + 1) + 3 + 1 = - x^{3} + 3 x + 1$ . Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; 1) \Rightarrow$ đáp án B có thể đúng.

Đáp án C: $y = - {(x - 2)}^{3} - 3 (x - 1) - 1 = - x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 10 = 0$ . Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; 10) \Rightarrow$ Loại.

Đáp án D: $y = - {(x - 2)}^{3} - 3 (x - 1) + 1 = - x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 12 = 0$ . Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; 12) \Rightarrow$ Loại.

Câu 25:

Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?

A. Hàm số đa thức bậc ba

B. Hàm số đa thức bậc hai

C. Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương

D. Cả B và C đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Dạng đồ thị đã cho có thể là của hàm số bậc hai hoặc hàm bậc bốn trùng phương