20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P3)

Câu 1:

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= 2x³+ 3( m-3) x²+ 11- 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C( 0; -1) thẳng hàng

A. -2

B. -3

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có đạo hàm y’ = 6x²+ 6( m - 3) x

Hàm số có 2 cực trị khi 3 - m ≠ 0 hay m ≠ 3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A( 0; 11 - 3m) và B( 3 - m; m³- 9m²+ 24m -16) ; $\vec{A B} = (3 - m, {(3 - m)}^{3}) .$

Phương trình đt AB: ( 3 - m) ²x+ y -11 + 3m=0

Để 3 điểm A; B; C thẳng hàng khi và chỉ khi C thuộc đường thẳng AB.

Hay : -1 - 11 = 3m = 0 hay m = 4 (tm)

Chọn D.

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x³-3mx+ 2 cắt đường tròn tâm I (1; 1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A và B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

$A . m = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$B . m = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} .$

$C . m = 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$D . m = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} .$

Xem đáp án

Đạo hàm y’ = 3x² – 3m

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m> 0

Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$M (\sqrt{m}; - 2 m \sqrt{m} + 2) N (- \sqrt{m}; 2 m \sqrt{m} + 2) \Rightarrow \vec{M N} = (- 2 \sqrt{m}; 4 m \sqrt{m})$

Phương trình đường thẳng MN: 2mx+ y-2=0

Ta có :

$S_{∆ I A B} = \frac{1}{2} I A . I B . \sin \hat{A I B} = \frac{1}{2} \sin \hat{A I B} \leq \frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi

Chọn B.

Câu 3:

Cho hàm số y= f( x) . Hàm số y= f’ (x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y= f( x²) có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

A. 5

B . 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Ta có g( x) = f( x²) nên g’ (x) = 2x. f’( x²)

Vậy hàm số đã cho có 3 khoảng nghịch biến.

Chọn B.

Câu 4:

Cho hàm số y= f( x) ( x-1) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) : |x - 1| = m có số nghiệm lớn nhất

A. ( -0, 6; 0]

B. (-0,6; 0)

C. (0; 0,06)

D. ( 0; 0,6)

Xem đáp án

TH1: Với x- 1≥0 hay x≥ 1

khi đó f(x) |x - 1| = m <=> m = f(x).(x - 1) (1)

Dựa vào đồ thị ( C) trên khoảng [1; +∞] để (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi -0,6< m≤0

TH2: Với x< 1 khi đó f(x)|x-1| = m <=> -m = f(x).(x-1) (2)

Dựa vào đồ thị (C) trên khoảng $(- \infty; - 1)$ để (1) có 3 nghiệm

Khi và chỉ khi 0≤ -m <0,7 hay – 0,7< m ≤0

Kết hợp 2 TH, ta thấy -0,6<m< 0 thì phương trình có tối đa 5 nghiệm ( m= 0 loại vì phương trình có 4 nghiệm).

Chọn B.

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=2x³-3( m+1) x²+ 6mx có hai điểm cực trị A; B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y= x+ 2.

A. 0; 3

B. 2; 4

C. 0; 2

D. 1; 3

Xem đáp án

+ Ta có đạo hàm y’ = 6x²- 6( m + 1)x + 6m

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m ≠ 1

Tọa độ 2 điểm cực trị là A( 1 ; 3m -1) và B ( m ; -m³+ 3m²)

+ Hệ số góc đường thẳng AB là: k = -(m - 1)²

+ Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y= x + 2 khi và chỉ khi k = -1

Hay – (m - 1) ²= -1( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1) (tm)

Chọn C.

Câu 6:

Cho hàm số y= f( x) =ax⁴+ bx³+ cx²+ dx+ e và hàm số y= f’( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết f( b) < 0 , hỏi đồ thị hàm số y= f(x) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Vì f( b) < 0 nên rõ ràng có nhiều nhất 2 giao điểm.

Chọn B.

Câu 7:

Tìm m để hàm số $f (x) = - x^{3} - m x + \frac{3}{28 x^{7}}$ nghịch biến $(0; + \infty)$

A. $m \leq - \frac{15}{4}$

B. $- \frac{15}{4} \leq m \leq 0$

C. $m \geq \frac{- 15}{4}$

$D . - \frac{15}{4} < m \leq 0$

Xem đáp án

$f (x) = - x^{3} - m x + \frac{3}{28 x^{7}}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = - 3 x^{2} - m - \frac{3}{4 x^{8}}; \forall x > 0$

Hàm số nghịch biến trên

$(0; + \infty) \Leftrightarrow f^{'} (x) \leq 0 \Leftrightarrow - m \leq 3 (x^{2} + \frac{1}{4 x^{8}}); \forall x > 0$ (*)

Lại có

Chọn C.

Câu 8:

Cho hàm số y= x³- 6x²+ 3( m+ 2) x-m-6. Hỏi có mấy giá trị nguyên của m để hàm số có 2 cực trị cùng dấu.

A. 4

B. 5

C. 6

D. 3

Xem đáp án

+ Ta có đạo hàm y’ = 3x²- 12x+ 3( m+ 2)

Phương trình y’ = 0 khi 3x²- 12x+ 3( m+ 2) = 0

+ Hàm số có 2 điểm cực trị x₁; x₂ ⇔ Δ’ > 0 ⇔ m < 2

+ Chia y cho y’ ta được :y= 1/3.y’( x-2) + (m-2) (2x+ 1)

Tọa độ 2 điểm cực trị tương ứng : A( x₁; ( m-2) ( 2x₁+ 1) ) và B( x₂; ( m-2) ( 2x₂+ 1) )

+ ta có ; y₁.y₂= ( m-2) ²( 4x₁x₂+ 2( x₁+ x₂) + 1)

Với nên: y₁y₂= ( m-2) ²( 4m+ 17)

Hai cực trị cùng dấu khi và chỉ khi y₁.y₂> 0 hay ( m-2) ²( 4m+ 17) > 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m > - \frac{17}{4} \\ m \neq 2 \end{cases}$

Kết hợp điều kiện ta được : -17/4< m< 2; mà m nguyên nên m= -4; -3; ...0; 1

Có tất cả 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Câu 9:

Cho hàm số y= 2x³- 9x²+ 12x+m. Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B đồng thời A, B cùng với gốc tọa độ O không thẳng hàng. Khi chu vi tam giác OAB nhỏ nhất thì m bằng bao nhiêu?

A. -11/3.

B. -13/ 3

C. -14/ 3

D. 8/3

Xem đáp án

+ Đạo hàm y’ = 6x² – 18x+ 12

+ Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1; 5+m) và B( 2; 4+ m)

O ; A và B không thẳng hàng nên – 4-m≠ 2 hay m≠ - 6

Chu vi của tam giác OAB là:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng .

Vậy chu vi tam giác OAB nhỏ nhất bằng (√10 + √2) khi m= -14/ 3.

Chọn C.

Câu 10:

Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1 - \sqrt{x^{2} + 3 x}}{x^{2} + (m + 1) x - m - 2}$ có đúng hai đường tiệm cận?

A. $\{\begin{cases} m \leq - 2 \\ m \neq - 3 \end{cases}$

B.

C. mọi m

D.

Xem đáp án

$y = \frac{x + 1 - \sqrt{x^{2} + 3 x}}{x^{2} + (m + 1) x - m - 2} = \frac{{(x + 1)}^{2} - (x^{2} + 3 x)}{(x + 1 + \sqrt{x^{2} + 3 x}) (x - 1) (x + m + 2)} = - \frac{1}{(x + 1 + \sqrt{x^{2} + 3 x}) (x + m + 2)}$

+ Vì bậc tử số < bậc mẫu số nên luôn có một tiệm cận ngang y= 0

+ Vì phương trình $x + 1 + \sqrt{x^{2} + 3 x} = 0$ vô nghiệm nên chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng nữa đó là đường thẳng x= -m-2.

Vậy với mọi x; đồ thị hàm số đã cho luôn có hai tiệm cận.

Chọn C.

Câu 11:

Cho hàm số y= x⁴-2mx²+ m-1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm .

A. m=0

B. m=1

C. m= 1;2

D. m= 0;1

Xem đáp án

+ Đạo hàm y’ = 4x³- 4mx

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m≠0.

+ Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

+ Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên BC và OA vuông góc với nhau.

Do đó O là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi OB vuông góc AC hay

Với

Kết hợp với điều kiện m ≠ 0 thì m = 1 là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Câu 12:

Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} (x - 9) {(x - 4)}^{2} .$ Xét hàm số y= g( x) =f( x²) Trong các phát biểu sau; tìm số phát biểu đúng

I. Hàm số y = g( x) đồng biến trên( 3; +∞)

II. Hàm số y= g(x) nghịch biến trên( -∞; -3)

III. Hàm số y= g( x) có 5 điểm cực trị

IV. $\underset{x \in R}{m i n} g (x) = f (9)$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có

Bảng biến thiên của hàm số y= g( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 3: + ∞) hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -3) .

Hàm số có 3 cực trị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= ±3

Vậy có 3 khẳng định đúng là khẳng định I, II, IV

Chọn C.

Câu 13:

Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số y= x⁸+ (m-2) x⁵- ( m²- 4) x⁴+ 1 đạt cực tiểu tại x= 0

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

+ Ta có:

Ta xét các trường hợp sau

+ Nếu m²- 4= 0 hay m= ± 2

Khi m = 2 thì y’ = 8x⁷ nên x=0 là điểm cực tiểu.

Khi m = -2 thì y’ = x⁴( 8x⁴- 20 ) khi đó x= 0 không là điểm cực tiểu.

+ Nếu m ≠ ± 2 .Khi đó ta có

Số cực trị của hàm y = x⁸+ (m-2) x⁵- ( m²- 4) x⁴+ 1 bằng số cực trị của hàm g’( x)

+) Nếu x = 0 là điểm cực tiểu thì g’’ (0) > 0.

Khi đó: -4( m²- 4) > 0 hay -2 < m < 2

Mà m nguyên nên m= -1; 0; 1

Kết hợp cả 2 trường hợp có 4 giá trị nguyên của m và tổng của chúng là:

2 + ( -1) + 0 + 1 = 2

Chọn D.

Câu 14:

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |e^{2 x} - 4 e^{x} + m|$ trên [ 0; ln4] bằng 6 .

A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đặt t= e^x, với x ∈ [0 ; ln4] => t ∈ [1 ;4].

Khi đó f(x) = |t² – 4t + m| = |g(t)|.

Có g’ (t) = 2t-4 và g’ (t) =0 khi t= 2.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy

Chọn D.

Câu 15:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ có đồ thị (C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) . Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A; B thuộc (C) , đoạn thẳng AB có độ dài bằng

A. $\sqrt{6} .$

B. $2 \sqrt{3} .$

C. 2.

D. $2 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

+ Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x= -2 và tiệm cận ngang là y= 1.

Giao điểm hai đường tiệm cận là I ( -2; 1) .

Ta có:

$A (a; 1 - \frac{3}{a + 2}) \in (C), B (b; 1 - \frac{3}{b + 2}) \in (C) . \vec{I A} = (a + 2; - \frac{3}{a + 2}), \vec{I B} = (b + 2; - \frac{3}{b + 2}) .$

Đặt a₁== a+ 2 ; b₁= b+ 2( a₁≠ 0 ; b₁≠0 ; a₁ ≠ b₁

Tam giác ABI đều khi và chỉ khi

Ta có (1)

+ Trường hợp a₁= b₁ loại

+ Trường hợp a₁= - b₁ ; a₁b₁ = -3 (loại vì không thỏa (2) .

+ Trường hợp a₁ b₁ =3 thay vào ( 2) ta được

$\frac{3 + \frac{9}{3}}{{a_{1}}^{2} + \frac{9}{{a_{1}}^{2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {a_{1}}^{2} + \frac{9}{{a_{1}}^{2}} = 12 .$

Vậy AB=IA= $\sqrt{{a_{1}}^{2} + \frac{9}{{a_{1}}^{2}}} = 2 \sqrt{3} .$

Chọn B.

Câu 16:

Tính tổng các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y= $- x^{4} + 2 m x^{2} - 4 m + 1$ có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 hình thoi.

A. Không tồn tại m.

B. 2

C. 1/4

D. 9/4

Xem đáp án

+ Đạo hàm y’ = -4 x³+ 4mx= -4x( x²- m)

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi m> 0

+ Tọa độ ba điểm cực trị là: A( 0; 1-4m) ; $B (- \sqrt{m}; m^{2} - 4 m + 1); C (\sqrt{m}; m^{2} - 4 m + 1)$

Tứ giác OBAC đã có OB= OC; AB= AC.

Vậy tứ giác OBAC là hình thoi khi và chỉ khi :

$O A = A C h a y \Leftrightarrow m + {(m^{2} - 4 m + 1)}^{2} = m + m^{4} \Leftrightarrow {(m^{2} - 4 m + 1)}^{2} = m^{4}$

Tổng các giá trị của m thỏa mãn đầu bài là 9/4.

Chọn D.

Câu 17:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - 3 m^{2} - 1$ có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

+ Đạo hàm y’ = -3x²+ 6x+ 3( m²-1) = -3( x²- 2x-m²+1).

Đặt g( x) = x²- 2x-m²+1 là tam thức bậc hai có $∆' = m^{2}$ .

+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow ∆' > 0 \Leftrightarrow m \neq 0$ . (1)

+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m³) và B( 1+m ; -2+ 2m³).

Ta có:

$\vec{O A} (1 - m; - 2 - 2 m^{3}) \Rightarrow O A^{2} = {(1 - m)}^{2} + 4 {(1 + m^{3})}^{2} . \vec{O B} (1 + m; - 2 + 2 m^{3}) \Rightarrow O B^{2} = {(1 + m)}^{2} + 4 {(1 - m^{3})}^{2} .$

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B hay OA²= OB²

${(1 - m)}^{2} + 4 {(1 + m^{3})}^{2} = {(1 + m)}^{2} + 4 {(1 - m^{3})}^{2} \Leftrightarrow - 4 m + 16 m^{3} = 0$

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ $m = \pm \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 18:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - x^{2} + (m^{2} + 1) x - 4 m - 7|$ trên đoạn [ 0; 2] không vượt quá 15 ?

A. 4

B . 6

C. 5

D. 8

Xem đáp án

+ Xét hàm số f( x) = x³- x²+ ( m²+ 1) x- 4m- 7 trên đoạn [ 0; 2]

Ta có f’ (x) = 3x²- 2x+ m²+ 1= 3( x-1/3) ²+ m²+ 2/3> 0 .

+ Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên

$[0; 2] \Rightarrow \{\begin{cases} \underset{[0; 2]}{m i n} f (x) = f (0) = - 4 m - 7 \\ \underset{[0; 2]}{m a x} f (x) = f (2) = 2 m^{2} - 4 m - 1 \end{cases}$

+ Khi đó

$\underset{[0; 2]}{m a x} y = \underset{[0; 2]}{m a x} |f (x)| = m a x \{|- 4 m - 7|; |2 m^{2} - 4 m - 1|\} \leq 15 \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} |- 4 m - 7| \leq 15 \\ |2 m^{2} - 4 m - 1| \leq 15 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - \frac{11}{2} \leq m \leq 2 \\ 2 m^{2} - 4 m - 16 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - \frac{11}{2} \leq m \leq 2 \\ - 2 \leq m \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2 \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{\pm 2; \pm 1; 0\}$

Vậy có 5 giá trị thoả mãn.

Chọn C.

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{4} - \frac{14}{3} x^{2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt M( x₁; y₁) và N( x₂; y₂) (M; N khác A) sao cho y₂- y₁= 8( x₂- x₁).

A. 0

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

+ Đạo hàm : y’ = 4/3.x³-28/3. x

$y_{2} - y_{1} = 8 (x_{2} - x_{1}) \Leftrightarrow \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = 8$

Vậy tiếp tuyến của (C) tại A có hệ số góc bằng 8.

+ Xét phương trình y' = 8

$\Leftrightarrow \frac{4}{3} x^{3} - \frac{28}{3} x = 8 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 28 x - 24 = 0$

+) Với x= 3 thì A( 3; -15) nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y = 8(x-3) - 15 ( $d_{1}$ )

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ( $d_{1}$ ) là

$8 (x - 3) - 15 = \frac{1}{3} x^{4} - \frac{14}{3} x^{2} \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} (x^{2} + 6 x + 13) = 0 \Leftrightarrow x = 3 .$

Vậy A(3; -15) loại.

+) Với x= -2 thì A(-2; -40/3) . phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y = 8(x+2) - 40/3 ( $d_{2}$ )

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và ( $d_{2}$ ) là

$8 (x + 2) - \frac{40}{3} = \frac{1}{3} x^{4} - \frac{14}{3} x^{2} \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} (x^{2} - 4 x - 2) = 0$

Vậy A( -2; -40/3) thỏa mãn.

+) Với x= -1 thì A( -2; -13/ 3) nên phương trình tiếp tuyến của C tại A là

y = 8(x+1) - 13/3 (d3)

Phương trình hoành độ giao điểm của C và (d3) là:

$8 (x + 1) - \frac{13}{3} = \frac{1}{3} x^{4} - \frac{14}{3} x^{2} \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} (x^{2} - 2 x - 11) = 0$

Vậy A( -1; -13/3) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 2 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu 20:

Cho hàm số $y = |x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + a|$ . Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ -3; 3] sao cho M≤ 2m?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 3

Xem đáp án

+ Xét hàm số y= x⁴- 4x³+ 4x²+ a trên đoạn [ 0; 2].

Ta có đạo hàm y’ = 4x³-12x²+ 8x, $y' = 0$

Khi đó; y( 0) = y( 2) = a; y( 1) = a+ 1

+ Nếu a≥ 0 thì M= a+ 1,m = a.

Để M ≤ 2m khi a≥ 1, suy ra $a \in \{1; 2; 3\}$ thỏa mãn

+ Nếu a≤ - 1 thì $M = |a| = - a, m = |a + 1| = - a - 1 .$

Để M≤ 2m thì a≤ -2, suy ra a $a \in \{- 2; - 3\}$

Vậy có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu.

Chọn B.