20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P6) - vietjack.online

Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P6)

22977 lượt thi
20 câu hỏi
20 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) . tồn tại điểm M( a; b) với; a; b nguyên dương thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI. Khi đó b-a= ?

A. 0

B. -1

C. 2

D. 1

+Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x= 1 và TCN là y= 2; giao điểm của hai tiệm cận là

I (1; 2) .

Lấy điểm $M (a; b) \in (C) \Rightarrow b = \frac{2 a - 1}{a - 1} (a > 1) .$

+ Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M là $y = - \frac{1}{{(a - 1)}^{2}} (x - a) + \frac{2 a - 1}{a - 1}$

+ Phương trình đường thẳng MI là $y = \frac{1}{{(a - 1)}^{2}} (x - 1) + 2$

+ Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có

$- \frac{1}{{(a - 1)}^{2}} . \frac{1}{{(a - 1)}^{2}} = - 1 \Leftrightarrow$

Vì yêu cầu hoành độ và tung độ của M nguyên dương nên điểm cần tìm là M( 2; 3).

Chọn D.

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{- x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị là (C) , đường thẳng d: y= x+ m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A: B . Gọi k₁; k₂ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C) tại A; B . Tìm m để tổng k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất.

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

+ Theo định lí Viet ta có x₁+ x₂= -m ; x₁.x₂= ( -m-1) /2.

Gọi A( x₁; y₁) ; B( x₂: y ₂) .

+ Ta có $y' = - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ , nên tiếp tuyến của ( C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là

$k_{1} = - \frac{1}{{(2 x_{1} - 1)}^{2}}; k_{2} = - \frac{1}{{(2 x_{2} - 1)}^{2}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m= -1.

Vậy k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất bằng - 2 khi m= -1.

Chọn B.

Câu 3:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{2 x + 3} (1)$ .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A; B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ.

A. y= -x+1

B. y= -x

C. y= -x- 1

D. y= -x- 2

+ Gọi M(a; b) là toạ độ của tiếp điểm

Đạo hàm $y' = \frac{- 1}{{(2 x + 3)}^{2}} < 0; \forall x$ .

+ Do tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm).

Nghĩa là

-Với a= -1; b= 1 phương trình ∆: y- 1= -( x+ 1) hay y= -x ( loại) .

-Với a= -2; b= 0 thì ∆ : y- 0= -( x+ 2) hay y=-x-2 (nhận).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= -x- 2.

Chọn D.

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2017}{|x| + 1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là x= -1

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y= -2; y= 2 và không có tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng.

D. Tất cả sai.

Suy ra đồ thị hàm số có 2TCN là y= 2 và y= -2 .

Chọn B.

Câu 5:

Biết đường thẳng y= (3m-1) x+ 6m+3 cắt đồ thị hàm số y= x³-3x²+ 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (1; 3/2)

B. (0;1)

C. (-1; 0)

D. (3/2; 2)

PT hoành độ giao điểm là

(3m-1) x+ 6m+ 3 = x³-3x²+ 1 hay x³-3x² – (3m-1) x-6m-2=0 ( *)

Giả sử A( x₁; y₁) ; B( x₂; y₂); B( x₃; y₃) lần lượt là giao điểm của (C) và (d)

Vì B cách đều hai điểm A và C nên B là trung điểm của AC

Suy ra x₁+ x₃= 2x₂

Thay x₂= 1vào , ta có

Vậy -1< m< 0

Chọn C.

Câu 6:

Số nguyên nhỏ nhất của tham số để PT $x^{2} + (m + 2) x + 4 = (m - 1) \sqrt{x^{3} + 4 x}$ có nghiệm là

A. 6

B. 8

C. 7

D. 9

Điều kiện x≥ 0.

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

Xét x> 0 , chia cả 2 vế của phương trình cho x ta được

$\frac{x^{2} + 4}{x} - (m - 1) \sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x}} + m + 2 = 0 (*)$

Đặt $t = \sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x}}$ , khi đó phương trình ( *) trở thành: t²- (m - 1)t + m + 2 = 0

Vì t ≥ 2 nên t - 1 ≠ 0 nên phương trình $(*) \Leftrightarrow t^{2} + t + 2 = m (t - 1) \Leftrightarrow m = \frac{t^{2} + t + 2}{t - 1}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2} + t + 2}{t - 1} t r ê n [2; + \infty) f' (t) = \frac{t^{2} - 2 t - 3}{{(t - 1)}^{2}} \Rightarrow \underset{[2; + \infty)}{m i n} f (t) = 7$

Khi đó, để phương trình m =f( t) có nghiệm $\Leftrightarrow m \geq \underset{[2; + \infty)}{m i n} f (t) = 7$

Chọn C.

Câu 7:

Để chặn đường hành lang hình chữ L người ta dung một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ bên). Biết rằng a = 24 và b = 3, hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?

A. 18 $\sqrt{5}$

B. 27 $\sqrt{5}$

C. 15 $\sqrt{5}$

D. 12 $\sqrt{5}$

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)

Suy ra độ dài thanh sào là

Đặt ,do đó $L = \frac{24}{\sin x} + \frac{3}{\cos x}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow L_{m i n} \Leftrightarrow f (x) = \frac{24}{\sin x} + \frac{3}{\cos x} m i n$

Ta có $f' (x) = \frac{3 \sin x}{\cos^{2} x} - \frac{24 \cos x}{\sin^{2} x} = 0 \Leftrightarrow \sin^{3} x = 8 \cos^{3} x \Leftrightarrow \tan x = 2 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} x}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Suy ra $\underset{(0; \frac{π}{2})}{m i n} f (x) = 15 \sqrt{5}$ . Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là $15 \sqrt{5}$

Chọn C.

Câu 8:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y= x³+ x²+ mx-1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử nguyên của tập hợp $(- 5; 6) \cap S$

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Ta có đạo hàm y’ = 3x²+ 2x+ m.

Hàm số có cực trị khi $∆' = 1 - 3 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}$

Do hàm số có a=1>0 $\Rightarrow x_{C T} > x_{C D}$

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình y’ = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương

Do $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{2}{3} < 0 \\ x_{1} x_{2} = \frac{m}{3} \end{cases} \Rightarrow m < 0$ là giá trị cần tìm.

Vậy $(- 5; 6) \cap S = (- 5; 0)$

Mà m nguyên nên chọn -4; -3; -2; -1. Có 4 giá trị thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 9:

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $4 |x^{3}| - 3 x^{2} - 6 |x| = m^{2} - 6 m$ có đúng 3 nghiêm phân biệt.

A. m=0 hoặc m= 6

B. m> 0 hoặc m< 6

C. 0< m< 3

D. 1< m< 6

Phương trình

Dựa vào đồ thị hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x$ suy ra đồ thị hàm số $y = f (|x|) (C)$

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng $y = \frac{m^{2} - 6 m}{4}$

Vậy để (*) có 3 nghiệm phân biệt

( học sinh tự vẽ đồ thị hàm số (C) ).

Chọn A.

Câu 10:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y= x+ m-1 cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $A B = 2 \sqrt{3}$

A. $m = 2 \pm \sqrt{10}$

B. $m = 4 \pm \sqrt{3}$

C. $m = 2 \pm \sqrt{3}$

D. $m = 4 \pm \sqrt{10}$

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và d là

Để (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

Gọi A(x₁; y₁) ; B(x₂; y₂) là giao điểm của (C) và d

Theo hệ thức Viet, ta được

mà

Chọn D.

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{x - a}{b x + c}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của biểu thức A= a+ b+ c

A. - 2

B. -3

C. - 4

D. -5

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số có TCĐ và TCN là

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ ( -2; 0) nên a= -2

Suy ra A= a+ b+ c= -2+ 1+ ( -2) = -3

Chọn B.

Câu 12:

Xét phương trình ax³- x²+ bx-1=0 với a, b là các số thực a≠0; a≠ b sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{5 a^{2} - 3 a b + 2}{a^{2} (b - a)}$

A. $15 \sqrt{3}$

B. $8 \sqrt{2}$

C. $11 \sqrt{6}$

D. $12 \sqrt{3}$

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm

Khi đó

Suy ra

Xét hàm số:

Chọn D.

Câu 13:

Cho hàm số y= f( x) liên tục trên R Đồ thị của hàm số y= f’ (x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f(x)-(x+ 1) ² . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\underset{[- 3; 3]}{m i n} g (x) = g (1) .$

B. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} g (x) = g (1) .$

C. $\underset{[- 3; 3]}{m i n} g (x) = g (3) .$

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g( x) trên [-3;3]

Ta có:

+ Với x< - 3 ta có: f’ (x)< x + 1 suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( -∞; -3)

+ Xét hàm số g( x) ; ta cần so sánh g(-3) và g( 3)

Ta có g(x) = 2f(x) – ( x + 1) ² nên g’(x) = 2f’(x) - 2(x + 1)

Phương trình (Dựa vào đồ thị hàm số y= f’ (x)) .

Bảng xét dấu của g’(x)

Dựa vào bảng xét dấu, ta được $\underset{[- 3; 3]}{m a x} g (x) = g (1) .$

Dựa vào hình vẽ lại có

Do đó g( 1) – g( -3) > g( 1) – g( 3) hay g( 3) > g( -3) .

Suy ra GTNN của hàm số trên đoạn [- 3; 3] là g( -3) .

Chọn B.

Câu 14:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có đồ thị (C) và điểm I (1; 2). Điểm M( a; b) ; a> 0 thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với đường thẳng IM.

Giá trị a+ b bằng

A. 3

B . 4

C. 5

D. 6

Hệ số góc của đường thẳng IM là:

Mặt khác tiếp tuyến tại M có hệ số góc $k = y' (a) = \frac{- 1}{{(a - 1)}^{2}}$

Giả thiết bài toán

Chọn C.

Câu 15:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y= 3x+ m(sinx+ cosx+m) đồng biến trên R ?

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Đạo hàm : $y' = 3 + m (\cos x - \sin x) = 3 + m \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4})$

Hàm số đồng biến trên R khi y’ ≥ 0 với mọi x

$\Leftrightarrow \underset{ℝ}{M i n} y' \geq 0 \Leftrightarrow 3 - |m \sqrt{2}| \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{3}{\sqrt{2}} \overset{m \in ℤ}{\to} m = 0; m = \pm 1; m = \pm 2 .$

Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Câu 16:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ M và N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

B. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

C. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận.

D. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau nên hệ số góc của chúng bằng nhau g=hay $y' (x_{M}) = y' (x_{N})$

$y = \frac{x + 1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1} (x \neq 1) \Rightarrow y' = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Gọi $M (x_{M}; 1 + \frac{2}{x_{M} - 1}); M (x_{N}; 1 + \frac{2}{x_{N} - 1})$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau

Gọi I là trung điểm của MN ta có: I (1; 1)

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCN là y = 1và tiệm cận đứng x = 1 nên I (1; 1) là giao điểm của hai đường tiệm cận => C đúng.

TCN y = 1 và tiệm cận đứng x = 1 rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN => B, D đúng.

Chọn A.

Câu 17:

gCho hàm số y= f( x) có đạo hàm liên tục trên R, hàm số y= f’ (x-2) có đồ thị hàm số như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số y= f( x) là :

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Ta có: f' (x - 2) = f' (x).(x-2)' = f'(x)

Do đó; đồ thị hàm số y= f’ (x) có hình dạng tương tự như trên.

Xét phương trình f'(x-2) = 0 có 3 nghiệm x = -1; x = 0; x = 1

nhưng f'(x - 2) chỉ đổi dấu qua 2 nghiệm x = -1 và x = 0 nên hàm số y= f( x-2) có 2 điểm cực trị.

Suy ra hàm số y = f(x) cũng có 2 điểm cực trị.

Chọn B.

Câu 18:

Giá trị của m để hàm số $y = \frac{c o t x - 2}{c o t x - m}$ nghịch biến trên $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ là

A. m> 2

B.

C. 1< m

D. m< 0

Ta có: $y = \frac{c o t x - 2}{c o t x - m}$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) \Leftrightarrow y' < 0; \forall x \in (\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) (*)$

Mà

Vậy là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Câu 19:

Cho hàm số y= f( x) đạo hàm f’ (x) = -x²- 1. Với các số thực dương a, b thỏa mãn a< b. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f( x) trên đoạn [ a; b] bằng

A. f(a)

B. $f (\sqrt{a b})$

C. f( b)

D. $f (\frac{a + b}{2})$

Hàm số đơn điệu trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất – lớn nhất sẽ đạt tại đầu mút của đoạn

Ta có f’ (x) = -x²-1< 0 với a< x< b ; suy ra hàm số y= f( x) là hàm số nghịch biến trên [ a; b].

Mà a< b nên f(a) > f( b)

Vậy $\underset{[a; b]}{m i n} f (x) = f (b)$

Chọn C.

Câu 20:

Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ Số điểm cực trị của hàm số $f (|x|)$ là

A. 5

B. 3

C. 1

D. 2

Do đó hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị tại x= 2; x= -2 và x= 0

Chọn B.

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương