20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P9)

Câu 1:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị (C) . Biết khoảng cách từ I(-1; 2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất?

A.3e

B.2e

C.e

D.4e

Xem đáp án

+) Ta có $y' = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$ ; I(-1; 2).

+) Gọi $M (x_{0}; \frac{2 x_{0} - 1}{x_{0} + 1}) \in (C), x_{0} \neq - 1, y_{0} = \frac{2 x_{0} - 1}{x_{0} + 1} > 0 .$

Phương trình tiếp tuyến tại M là

+)

+) Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án.

Chọn C.

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ có đồ thị (C) . Biết tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A; B sao cho AB ngắn nhất. Khi đó, độ dài lớn nhất của vectơ $\vec{O M}$ gần giá trị nào nhất ?

A. 7.

B. 5.

C. 6.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 3:

Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) : $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ biết d cách đều điểm A( 2; 4) và B( -4; -2).

A. $y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4}, y = x + 3, y = x + 1$

B. $y = \frac{1}{4} x + \frac{5}{2}, y = x + 5, y = x + 1$

C. $y = \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}, y = x + 4, y = x + 1$

D. $y = \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}, y = x + 5, y = x + 1$

Xem đáp án

Gọi M( x₀; y₀) , $x_{0} \neq - 1$ là tọa độ tiếp điểm của d và (C).

Khi đó d có hệ số góc $y' (x_{0}) = \frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}}$ và có phương trình là :

Vì d cách đều A: B nên d đi qua trung điểm I( -1; 1) của AB hoặc cùng phương với AB .

TH1: d đi qua trung điểm I( -1; 1) , thì ta luôn có:

,

phương trình này có nghiệm x₀= 1

Với x₀= 1 ta có phương trình tiếp tuyến $d : \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó

hay

$\frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}} = 1 \Leftrightarrow x_{0} = - 2 h o ặ c x_{0} = 0$

Với x₀ = -2 ta có phương trình tiếp tuyến d: y= x+ 5.

Với x₀ =0 ta có phương trình tiếp tuyến d: y=x+ 1.

Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: $y = \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$ , y= x+ 5, y=x+ 1

Chọn D.

Câu 4:

Cho hàm số y= 3x-4x³ có đồ thị (C). Từ điểm M(1;3) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ?

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

+ Đường thẳng đi qua M(1;3) có hệ số góc k có dạng d: y=k(x-1)+3 .

+ d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Thay (2) vào (1) ta được

Vậy có 2 tiếp tuyến.

Chọn C.

Câu 5:

Qua điểm A(0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x⁴- 2x²+ 2

A.2

B.3

C.0

D.1

Xem đáp án

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.

Vì $A \in d$ nên phương trình của d có dạng: y = kx + 2

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ

có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta suy ra được

Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Chọn B.

Câu 6:

Cho hàm số y= x³-6x²+9x-1 có đồ thị là (C) . Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x=2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)

A.2

B.1

C.3

D.0

Xem đáp án

+ Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng:

∆: y = k(x - 2) hay y = kx - 2k

+ ∆ là tiếp tuyến của (C)

có nghiệm

+ Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp tuyến.

+ Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2có dạng y = a song song với trục Ox cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến.

Chọn B.

Câu 7:

Tìm m để từ điểm M( 1; 2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y= x³-2x²+(m-1) x+2m.

A.m= 10/81; m=-3

B.m=100/81; m=3

C.m=10/81; m=3

D.m=100/ 81; m=-3

Xem đáp án

Gọi N( x₀; y₀) thuộc (C). Phương trình tiếp tuyến d tại N là:

Dễ thấy (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y= 3-3m và $f (x_{0}) = 2 {x_{0}}^{3} + 5 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}$

Xét hàm số $f (x_{0}) = 2 {x_{0}}^{3} + 5 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}$ , $f' (x_{0}) = 6 {x_{0}}^{3} + 10 x_{0} - 4$

$f' (x_{0}) = 0 \Leftrightarrow x_{0} = - 2 h o ặ c x_{0} = \frac{1}{3}$

Lập bảng biến thiên, suy ra m= 100/ 81; m=-3

Chọn D.

Câu 8:

Cho hàm số $y = \frac{- x + 2}{x - 1}$ có đồ thị C và điểm A( a; 1) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến từ C đi qua A. Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng

A. 1.

B. 3/2.

C. 5/2.

D. 1/2.

Xem đáp án

+ Phương trình đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k là : y= k ( x-a) + 1

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và C :

Hay kx²+ (-k-ka+2) x-3+ka=0 ( *)

+ Với k= 0 , ta có d: y= 1 là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.

+ Với k≠0, d và C tiếp xúc nhau khi (1) có nghiệm kép

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn k tham số a

+ Để qua A( a; 1)vẽ được đúng tiếp tuyến thì phương trình $△_{x}$ =0 có đúng một nghiệm k ≠ 0.

*Xét 1 - a = 0 hay a = 1, ta có 4k + 4 = 0 hay k = -1 thỏa mãn

*Có f(0) = 4 nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là 0.

*Còn lại là trường hợp $∆_{x} = 0$ có nghiệm kép khi

Tổng là 1+ 3/2=5/2.

Chọn C.

Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: x²-3x+2 $\leq 0$ cũng là nghiệm của bất phương trình mx²+ (m + 1)x + m + 2 $\geq 0$

A. $m \leq - 1$

B. $m \leq - \frac{4}{7}$

C. $m \geq - \frac{4}{7}$

D. $m \geq - 1$

Xem đáp án

Bất phương trình x²-3x+2 $\leq 0$ $\Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2$

Bất phương trình mx²+ (m + 1)x + m + 2 $\geq 0$

Xét hàm số $f (x) = \frac{- x - 2}{x^{2} + x + 1}, 1 \leq x \leq 2$

Có $f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}} > 0 \forall x \in [1; 2]$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m \geq \underset{[1; 2]}{m a x} f (x) \Leftrightarrow m \geq - \frac{4}{7}$

Chọn C.

Câu 10:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $\sqrt{x^{2} + m x + 2} = 2 x + 1$ có hai nghiệm thực?

A. $m \geq - \frac{7}{2}$

B. $m \geq \frac{3}{2}$

C. $m \geq \frac{9}{2}$

D. với mọi m

Xem đáp án

Điều kiện: $x \geq - \frac{1}{2}$

Phương trình $\sqrt{x^{2} + m x + 2} = 2 x + 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 4 x - 1 = m x (*)$

Vì x=0 không là nghiệm nên (*) $\Leftrightarrow m = \frac{3 x^{2} + 4 x - 1}{x}$

Xét

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì $m \geq \frac{9}{2}$ .

Chọn C.

Câu 11:

Bất phương trình $\sqrt{x^{2} - 2 x + 3} - \sqrt{x^{2} - 6 x + 11} > \sqrt{3 - x} - \sqrt{x - 1}$ có tập nghiệm (a; b]. Hỏi hiệu b-a có giá trị là bao nhiêu?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. -1.

Xem đáp án

Điều kiện: $1 \leq x \leq 3$

bpt

Xét

$f (t) = \sqrt{t^{2} + 2} + \sqrt{t}, t \geq 0 f' (t) = \frac{t}{2 \sqrt{t^{2} + 2}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}, \forall t > 0$

Do đó hàm số đồng biến trên $[0; + \infty)$ .

Từ (1) suy ra f(x-1) >f(3-x) hay x-1> 3-x

Suy ra : x> 2

Kết hợp với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S= (2; 3]

Do đó: a = 2; b = 3 và b - a = 1

Chọn A.

Câu 12:

Phương trình $x^{3} + x (x + 1) = m {(x^{2} + 1)}^{2}$ có nghiệm thực khi và chỉ khi:

A. $- 6 \leq m \leq - \frac{3}{2}$

B. $- 1 \leq m \leq 3$

C. $m \geq 3$

D. $- \frac{1}{4} \leq m \leq \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Ta có $x^{3} + x (x + 1) = m {(x^{2} + 1)}^{2} \Leftrightarrow m = \frac{x^{3} + x (x + 1)}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$ (1)

Xét hàm số $y = \frac{x^{3} + x (x + 1)}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$ xác định trên R.

Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

$y = \frac{x^{3} + x (x + 1)}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} \Leftrightarrow \frac{- 1}{4} \leq m \leq \frac{3}{4}$

Chọn D.

Câu 13:

Cho hàm số y= f( x) ) liên tục trên R. Hàm số y= f’ (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y = g (x) = f (x) + \frac{2017 - 2018 x}{2017}$ có bao nhiêu cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Ta có

Suy ra đồ thị của hàm số g’ (x) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y= f’ (x) theo phương Oy xuống dưới đơn vị.

Ta có và dựa vào đồ thị của hàm số y= f’ (x), ta suy ra đồ thị của hàm số g’ (x) cắt trục hoành tại 4 điểm.

Chọn D.

Câu 14:

Cho hàm số y= f(x) . Biết f(x) có đạo hàm f’(x) và hàm số y= f’(x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt g(x) = f(x+1). Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số g( x) có hai điểm cực trị.

B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; 3).

C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4).

D. Hàm số g(x) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 15:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên R thoả f( 2) = f( -2) =0 và đồ thị của hàm số y= f’ (x) có dạng như hình bên.

Hàm số y= (f( x)) ² nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. $(- 1; \frac{3}{2})$

B. (-1; 1)

C. (-2; -1)

D. (1; 2)

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: f’(x) = 0 khi và chỉ khi x= 1;

Ta có bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) < 0 với mọi x ≠ ± 2

Xét hàm số y= ( f( x) ) ² có đạo hàm y’ = 2f(x). f’ (x)

Bảng xét dấu:

Chọn D.

Câu 16:

Cho hàm số y= f( x) và đồ thị hình bên là đồ thị của hàm y= f’ ( x) . Hỏi đồ thị của hàm số $g (x) = |2 f (x) - {(x - 1)}^{2}|$ có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 6.

B. 7.

C. 8.

D. 9.

Xem đáp án

Đặt h( x) = 2f( x) – ( x-1) ²

Suy ra đạo hàm: h’( x) = 2f’(x) -2( x-1).

Ta vẽ thêm đường thẳng y= x-1.

Ta có h’ (x) =0 khi f’(x) =x-1

Suy ra x=0; x=1; x=2; x=3

Theo đồ thị h’(x) > .0 khi f’(x) > x-1

Ta có :

Đồ thị hàm số g( x) có nhiều điểm cực trị nhất khi h( x) có nhiều giao điểm với trục hoành nhất.

Vậy đồ thị hàm số h( x) cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm, suy ra đồ thị hàm số g(x) có tối đa 7 điểm cực trị.

Chọn B.

Câu 17:

Cho hàm số y=f( x) = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= -9 tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số y= f’ ( x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?

A. 2.

B. 27.

C. 29.

D. 35.

Xem đáp án

Ta có đạo hàm : f’ (x) = 3ax²+ 2bx+ c.

Dựa vào đồ thị hàm số y= f’ ( x) ta thấy đồ thị hàm số y= f’ (x) đi qua 3 điểm

( -1; 0) ; (3; 0) ; (1; -4)

Thay tọa độ 3 điểm này vào hàm f’ ta tìm được: a= 1/3; b= -1; c= -3.

Suy ra: f’ (x) = x²-2x-3 và f(x) = 1/3.x³-x²-3x+d.

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y= -9 tại điểm có hoành độ dương nên ta có:

F’(x) =0 khi và chỉ khi x=3 ( x= -1 bị loại vì âm)

Như vậy (C) đi qua điểm (3; -9) ta tìm được d=0.

Vậy hàm số đề bài cho là f(x) = 1/3.x³-x²-3x.

Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:

. $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{5}}{2} S = \int_{\frac{3 - 3 \sqrt{5}}{2}}^{\frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2}} |\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x| d x = 29, 25$

Chọn C.

Câu 18:

Cho hàm số y=f( x) = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y= f’(x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm hàm số đã cho ?

A. y =x³-3x+2.

B. y=x³+3x+2.

C. y=x³-2x+2.

D. y =x³-3x-1.

Xem đáp án

+ Ta có đạo hàm : f’ (x) = 3ax²+ 2bx+ c.

Dựa vào đồ thị hàm số y= f’( x), ta thấy đồ thị hàm số y= f’ (x) là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b=0

Đồ thị hàm số y= f’( x) đi qua 2 điểm (1;0) và (0; -3) thay vào f’(x) ; ta tìm được: a=1 và c= -3.

Suy ra: f’(x) = 3x²-3 và f(x) = x³-3x+d.

+ Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm nên ta có:

f’(x) = 0 khi và chỉ khi x = -1 (tm); x = 1 (loại)

Như vậy (C) đi qua điểm (-1; 4) ta tìm được d = 2

Khi đó: f(x) = x³- 3x + 2.

chọn A.

Câu 19:

Cho hàm số y=f( x) = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị hàm số y=f’( x) cho bởi hình vẽ bên. Tính f( 3) –f( 1) ?

A. 24.

B. 28.

C. 26.

D. 21.

Xem đáp án

Ta có đạo hàm : f’(x) = 3ax²+ 2bx + c.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ; ta thấy đồ thị hàm số y = f’(x) là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b = 0

+ Đồ thị hàm số y = f’(x) đi qua 2 điểm (1; 5) và (0; 2) ta tìm được: a = 1 và c = 2.

Suy ra: f’(x) = 3x²+ 2 và f( x) = x³+ 2x + d,

+ Do đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên 0 = 0 + 0 + d

Suy ra: d = 0.

Khi đó ta có: f(x) = x³+ 2x và f(3) – f(2) = 21

Chọn D.

Câu 20:

Cho hàm số y = f(x) = ax⁴+ bx²+ c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y = f’(x). Đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?