20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P8)

Câu 1:

Cho hàm số y= -x³+3mx²-3m-1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x+8y-74=0.

A. m=1

B. m=- 2

C. m= -1

D. m=1

Xem đáp án

Ta có

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi m khác 0.

Khi đó gọi A( 0 ; -3m-1) và B( 2m ; 4m³-3m-1) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm I ( m ; 2m³-3m-1) và $\vec{A B} = (2 m; 4 m^{3}) = 2 m (1; 2 m^{2})$

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (8; - 1) .$

Ycbt

Chọn D.

Câu 2:

Cho hàm số y=x³+3x²+mx+m-2 với m là tham số thực, có đồ thị là (C) . Tìm tất cả các giá trị của m để (C) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

A. m<2

B. m $\leq 3$

C. m<3

D. $m \leq 2 .$

Xem đáp án

Đạo hàm y’ = 3x²+6x+m. Ta có $∆'_{y'} = 9 - 3 m$

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi $∆'_{y'} = 9 - 3 m$ > 0 $\Leftrightarrow m < 3$

Ta có

Gọi x₁; x₂ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó

Theo định lí Viet, ta có

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y₁.y₂<0

Chọn C.

Câu 3:

Cho hàm số y= x³-3x²-mx+2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d ; x+4y-5=0 một góc $α = 45 °$ .

A. m= -1/2

B. m= 1/2

C. m=0

D. m= 1

Xem đáp án

Ta có y’=3x²-6x-m

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow ∆' = 9 + 3 m > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Ta có

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị Avà B là

Đường thẳng d; x+4y-5=0 có một VTPT là $\vec{n_{d}} = (1; 4) .$

Đường thẳng có một VTCP là $\vec{n_{∆}} = (\frac{2 m}{3} + 2; 1)$

Ycbt suy ra:

Suy ra

thỏa mãn

Chọn A.

Câu 4:

Cho hàm số y= 2x³-3( m+ 1) x²+ 6mx+ m³ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A; B thỏa mãn AB = $\sqrt{2}$

A. m=0

B. m=0; m= 2.

C. m=1

D. m=2

Xem đáp án

Ta có

Để hàm số có hai điểm cực trị khi m khác -1

Tọa độ các điểm cực trị là A( 1; m³+ 3m-1) và B( m; 3m²)

Suy ra

Chọn B.

Câu 5:

Cho hàm số y= x³- 3mx²+4m²-2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A; B sao cho I( 1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

A. 0

B. -1.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Ta có

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi m khác 0.

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A( 0 ; 4m²- 2) và B( 2m; 4m²- 4m³-2).

Do I( 1; 0) là trung điểm của AB nên

Chọn C.

Câu 6:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= x³-3mx²+2 có hai điểm cực trị A: B sao cho A: B và M( 1; -2) thẳng hàng.

A. m=0

B. $m = \sqrt{2}$

C. $m = - \sqrt{2}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có

Hàm số có hai điểm cực trị khi y’= 0 có hai nghiệm phân biệt suy ra

0≠2m hay m≠0

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A( 0; 2) và B( 2m; 2-4m³).

Suy ra

Theo giả thiết A; Bvà M thẳng hàng

Chọn D.

Câu 7:

Cho hàm số y = x⁴- 2(m²- m + 1)x²+ m - 1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

A. m= -1/2

B. m= 1/2

C. m=2

D. m=1

Xem đáp án

Ta có

Do a > 0 nên đồ thị có hai điểm cực tiểu là $A (- \sqrt{m^{2} - m + 1}; y_{C T})$ và $B (\sqrt{m^{2} - m + 1}; y_{C T})$

Khi đó

Dấu xảy ra khi m=1/2.

Chọn B.

Câu 8:

Cho hàm số y = x⁴- 2mx²+ 2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A; B; C thỏa mãn OA.OB.OC = 12?

A.2

B.1

C.0

D.4

Xem đáp án

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi ab< 0 hay 1.( -2m) <0

Suy ra m> 0

Khi đó

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$A (0; 2), B (\sqrt{m}; - m^{2} + 2), C (- \sqrt{m}; - m^{2} + 2)$

Ycbt $O A . O B . O C = 12 \Leftrightarrow 2 [m + {(- m^{2} + 2)}^{2}] = 12$

Giải ra ta được m=2; có một giá trị nguyên.

Chọn B.

Câu 9:

Cho $m = \log_{a} (\sqrt[3]{a b}), a > 1; b > 1, P = {\log_{a}}^{2} (b) + 16 \log_{b} (a)$ . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.

A.m=1.

B.m = 1/2

C.m=4.

D.m=2.

Xem đáp án

Ta có

Xét hàm số $f (m) = {(3 m - 1)}^{2} + \frac{16}{3 m - 1} \Rightarrow f' (m) = 18 m - 6 - \frac{48}{{(3 m - 1)}^{2}}$

Khi đó f ’( m)= 0 khi 3m-1=2 hay m=1

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 tại m=1.

Chọn A.

Câu 10:

Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức $P = {\log^{2}}_{\frac{a}{b}} (a^{2}) + 3 \log_{b} (\frac{a}{b})$

A. 19

B. 13

C. 14

D. 15

Xem đáp án

Ta có:

Đặt t = log_ba - 1 > log_bb - 1 = 0 ,

Khi đó:

$P = {(\frac{2 t + 2}{t})}^{2} + 3 t = f (t) f' (t) = 2 . \frac{2 t + 2}{t} . \frac{- 2}{t^{2}} + 3 = \frac{3 t^{3} - 8 (t + 1)}{t^{3}}$

F’ (t) = 0 => 3t³- 8(t + 1) = 0 <=> t = 2.

Suy ra P_min= f(2) = 15

Chọn D.

Câu 11:

Cho x; y > 0 thỏa mãn log ₂x + log₂y = log₄(x + y) Tìm x; y để biểu thức P = x²+ y² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $x = y = \sqrt[3]{2}$

B. $x = \sqrt[3]{2}; y = 2$

C. x = y = 1

D. $y = \sqrt[3]{2}; x = 2 \sqrt[3]{2}$

Xem đáp án

Theo đầu bài ta có: log₂x + log₂y = log₄(x+y) hay 2log ₂(xy) = log₂(x + y)

Suy ra x + y = (xy)²

Đặt u = x + y; v = xy ta có điều kiện u²- 4v ≥ 0; u > 0; v > 0.

Mà

Ta có

Hàm số g(v) là hàm đồng biến trên $[\sqrt[3]{4}; + \infty)$

nên minP = $2 \sqrt[3]{4}$ khi

Chọn A.

Câu 12:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{m x^{2} + 1}}$ có hai tiệm cận ngang.

A.m<0

B.m>0

C.m=0

D.Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem đáp án

Điều kiện: mx²+ 1 > 0.

- Nếu m = 0 thì hàm số trở thành y = x + 1 không có tiệm cận ngang.

- Nếu m < 0 thì hàm số xác định $\Leftrightarrow \frac{- 1}{\sqrt{- m}} < x < \frac{1}{\sqrt{- m}}$

Do đó, $\lim_{x \to \pm \infty} y$ không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

- Nếu m > 0 thì hàm số xác định với mọi x.

Suy ra đường thẳng $y = \frac{1}{\sqrt{m}}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi $x \to + \infty$ .

Suy ra đường thẳng $y = - \frac{1}{\sqrt{m}}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Câu 13:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3 x^{2} - m}$ có đúng một tiệm cận đứng.

A.Mọi m

B.

C.

D.

Xem đáp án

TH1 : Phương trình x³- 3x²- m = 0 có một nghiệm đơn x = -1 và một nghiệm kép.

Phương trình x³- 3x²- m = 0 có nghiệm x = -1 nên (-1)³- 3(-1)²- m = 0 hay m = -4.

Với m = -4 phương trình trở thành

(thỏa mãn vì x = 2 là nghiệm kép).

TH2: Phương trình x³- 3x²- m = 0 có đúng một nghiệm khác -1 hay x³- 3x²= m có một nghiệm khác -1

f(x) = x³- 3x², TXĐ: D = R

Dựa vào BBT của hàm số f(x) ta được: Phương trình f(x) = m có 1 nghiệm khác -1

Kết hợp 2 trường hợp: thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.

Câu 14:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Gọi M là một điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của (C). Tính diện tích của tam giác IAB.

A.2

B.12

C.4

D.6

Xem đáp án

Tập xác định D= R\{1}.

Đạo hàm

(C) có tiệm cận đứng x=1 (d₁) và tiệm cận ngang y=2 (d₂) nên I(1 ;2).

Gọi .

Tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có phương trình

∆ cắt d₁ tại và cắt d₂ tại .

Ta có .

Do đó .

Chọn C.

Câu 15:

Cho hàm số $y = \frac{- x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị là (C) , đường thẳng d: y = x + m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A; B. Gọi k₁; k₂ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A; B. Tìm m để (k₁+ k₂) đạt giá trị lớn nhất.

A. m=-1.

B.m=-2 .

C. m=3 .

D. m=-5.

Xem đáp án

- Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

- Theo định lí Viet ta có x₁+ x₂= -m;

Giả sử A(x₁; y₁); B(x₂; y₂).

- Ta có nên tiếp tuyến của (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là và .Vậy

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m = -1.

Vậy k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất bằng -2 khi m = -1.

Chọn A.

Câu 16:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{2 (x + 1)}$ có đồ thị là (C). Gọi điểm M(x₀; y₀) với x₀> -1 là điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A; B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: 4x+y=0. Hỏi giá trị của x₀+2y₀ bằng bao nhiêu?

A . -7/2

B. 7/2

C. 2

D.1

Xem đáp án

- Gọi là điểm cần tìm.

- Gọi ∆ tiếp tuyến của (C) tại M ta có phương trình.

- Gọi

- Khi đó ∆ tạo với hai trục tọa độ tam giác OAB có trọng tâm là

- Do G thuộc đường thẳng 4x+y=0 nên

(vì A; B không trùng O nên )

- Vì x₀>-1 nên chỉ chọn

Chọn A.

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ có đồ thị là (C) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d₁: 3x+4y-2=0 bằng 2.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Xem đáp án

- Giả sử , $x_{o} \neq - 1$

- Ta có

- Với

Vậy có 4 tiếp tuyến.

Chọn C.

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ có đồ thị (C) .Gọi $∆$ là tiếp tuyến tại điểm M(x₀; y₀₎ (với x₀> 0) thuộc đồ thị (C). Để khoảng cách từ tâm đối xứng I của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất thì tung độ của điểm M gần giá trị nào nhất?

A. $\frac{7 π}{2}$

B. $\frac{3 π}{2}$

C. $\frac{5 π}{2}$

D. $\frac{π}{2}$

Xem đáp án

+ Hàm số đã cho có TCĐ là x=1 và TCN là y= 1 nên tâm đối xứng- là giao điểm của 2 đường tiệm cận có tọa độ là I (1; 1)

+ Ta có

Gọi

+ Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

+ (BĐT Cauchy)

+ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

Tung độ này gần với giá trị nhất trong các đáp án.

Chọn D.

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến $∆$ của đồ thị hàm số (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến $∆$ bằng?

$A . \sqrt{3}$

$B . 2 \sqrt{6}$

$C . 2 \sqrt{3}$

$D . \sqrt{6}$

Xem đáp án

+ Đồ thi hàm số đã cho co TCĐ là : x= -1 và TCN là y= 1; tâm đối xứng- giao của 2 đườg tiệm cận có tọa độ là I ( -1; 1)

Gọi $M (x_{0}; \frac{x_{0} - 2}{x_{0} + 1}) \in (C), (x_{0} \neq - 1), I (- 1; 1)$

+ Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

+ Giao điểm của $∆$ với tiệm cận đứng là $A (- 1; \frac{x_{0} - 5}{x_{0} + 1})$

+ Giao điểm của $∆$ với tiệm cận ngang là B( 2x₀+1; 1).

Ta có

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là S=p.r, suy ra

Suy ra,

Chọn D.

Câu 20:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến của (C) cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến $∆$ gần giá trị nào nhất?

A. 6.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

+ Gọi $M (x_{0}; 2 + \frac{3}{x_{0} - 1}) \in (C), x_{0} \neq 1 .$

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

$∆ : y = \frac{- 3}{{(x_{0} - 1)}^{2}} (x - x_{0}) + 2 + \frac{3}{x_{0} - 1}$

+ Giao điểm của $∆$ với tiệm cận đứng là $A (1; 2 + \frac{6}{x_{0} - 1})$

+ Giao điểm của $∆$ với tiệm cận ngang là B( 2x₀-1; 2).

Ta có $S_{∆ I A B} = \frac{1}{2} I A . I B = \frac{1}{2} . \frac{6}{|x_{0} - 1|} . 2 . |x_{0} - 1| = 2.3 = 6$

Tam giác IAB vuông tại I có diện tích không đổi nên chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi

IA=IB

+Với $x_{0} = 1 + \sqrt{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là $∆ : y = - x + 3 + 2 \sqrt{3}$ . Suy ra

$d (O, ∆) = \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

+ Với $x_{0} = 1 - \sqrt{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là $∆ : y = - x + 3 - 2 \sqrt{3}$ . Suy ra

$d (O, ∆) = \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách lớn nhất là $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án.

Chọn D.