65 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm trên Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng K thì $f' (x) \geq 0, \forall x \in K .$

B. Nếu $f' (x) > 0, \forall x \in K$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên K.

C. Nếu $f' (x) \geq 0, \forall x \in K$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên K.

D. Nếu

f' (x) \geq 0, \forall x \in K

và

f' (x) = 0

chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 2:

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $(a; b)$ , với $x_{1}, x_{2}$ bất kỳ thuộc $(a; b)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

B. Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

C. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

D. Hàm số

f (x)

nghịch biến trên

(a; b)

khi và chỉ khi

x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) .

Xem đáp án

A sai. Sửa lại cho đúng là $'' x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})''$ .

B sai: Sửa lại cho đúng là $'' x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})''$ .

C sai: Sửa lại cho đúng là $'' x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})''$ .

D đúng (theo định nghĩa). Chọn D.

Câu 3:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ với mọi $x_{1}, x_{2} \in (a; b)$ và $x_{1} \neq x_{2}$ .

B. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $x_{2} > x_{1} \Leftrightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

C. Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải trên $(a; b)$ .

D. Hàm số

f (x)

đồng biến trên

(a; b)

thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải trên

(a; b)

.

Xem đáp án

A sai: Sửa lại cho đúng là $'' \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0''$ .

B sai: Sửa lại cho đúng là $'' x_{2} > x_{1} \Leftrightarrow f (x_{2}) > f (x_{1})''$ .

C đúng (theo dáng điệu của đồ thị hàm đồng biến). Chọn C.

D sai (đối nghĩa với đáp án C).

Câu 4:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $(a; b)$ .Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu $f' (x) > 0, \forall x \in (a; b)$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$ .

B. Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ khi và chỉ khi $f' (x) \leq 0, \forall x \in (a; b)$ và $f' (x) = 0$ chỉ tại một hữu hạn điểm $x \in (a; b)$ .

C. Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$ thì $f' (x) > 0, \forall x \in (a; b)$ .

D. Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ khi và chỉ khi $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ với mọi $x_{1}, x_{2} \in (a; b)$ và $x_{1} \neq x_{2} .$

Xem đáp án

Chọn C. Sửa lại cho đúng là Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì $f' (x) \geq 0, \forall x \in (a; b)''$

Câu 5:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ , hàm số $g (x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ thì hàm số $f (x) + g (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ .

B. Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ , hàm số $g (x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ và đều nhận giá trị dương trên $(a; b)$ thì hàm số $f (x) . g (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ .

C. Nếu các hàm số $f (x)$ , $g (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì hàm số $f (x) . g (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ .

D. Nếu các hàm số

f (x)

,

g (x)

nghịch biến trên

(a; b)

và đều nhận giá trị âm trên

(a; b)

thì hàm số

f (x) . g (x)

đồng biến trên

(a; b)

.

Xem đáp án

A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được điều gì.

B sai: Để cho khẳng định đúng thì $g (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ .

C sai: Hàm số $f (x)$ , $g (x)$ phải là các hàm dương trên $(a; b)$ mới thoả mãn.

D đúng. Chọn D.

Câu 6:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì hàm số $- f (x)$ nghịch biến trên $(a; b) .$

B. Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì hàm số $\frac{1}{f (x)}$ nghịch biến trên $(a; b) .$

C. Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì hàm số $f (x) + 2016$ đồng biến trên $(a; b) .$

D. Nếu hàm số

f (x)

đồng biến trên

(a; b)

thì hàm số

- f (x) - 2016

nghịch biến trên

(a; b) .

Xem đáp án

Ví dụ hàm số $f (x) = x$ đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ , trong khi đó hàm số $\frac{1}{f (x)} = \frac{1}{x}$ nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ . Do đó B sai. Chọn B.

Câu 7:

Nếu hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 1; 2)$ thì hàm số $y = f (x + 2)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(- 1; 2)$ .

B.

(1; 4)

.

C.

(- 3; 0)

.

D.

(- 2; 4)

.

Xem đáp án

Tịnh tiến đồ thị hàm số

y = f (x)

sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của hàm số

y = f (x + 2)

. Khi đó, do hàm số

y = f (x)

liên tục và đồng biến trên khoảng

(- 1; 2)

nên hàm số

y = f (x + 2)

đồng biến trên

(- 3; 0)

.

Chọn C.

Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp

x + 2 \in (- 1; 2) \overset{}{\to} - 1 < x + 2 < 2 \leftrightarrow - 3 < x < 0.

Câu 8:

Nếu hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ thì hàm số $y = f (2 x)$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(0; 2)$ .

B.

(0; 4)

.

C.

(0; 1)

.

D.

(- 2; 0)

.

Xem đáp án

Tổng quát: Hàm số $y = f (x)$ liên tục và đồng biến trên khoảng $(a; b)$ thì hàm số $y = f (n x)$ liên tục và đồng biến trên khoảng $(\frac{a}{n}; \frac{b}{n})$ . Chọn C.

Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp $2 x \in (0; 2) \overset{}{\to} 0 < 2 x < 2 \leftrightarrow 0 < x < 1.$

Câu 9:

Cho hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng

(a; b)

. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số $y = f (x + 1)$ đồng biến trên $(a; b)$ .

B. Hàm số $y = - f (x) - 1$ nghịch biến trên $(a; b)$ .

C. Hàm số $y = - f (x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ .

D. Hàm số

y = f (x) + 1

đồng biến trên

(a; b)

.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 10:

Cho hàm số

y = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên R.

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên $(1; + \infty)$ và nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

(- \infty; 1)

và nghịch biến

(1; + \infty)

.

Xem đáp án

Đạo hàm: $y^{/} = x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ$ và $y^{/} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên R. Chọn A.

Câu 11:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m$ nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?

A. $(- 1; 3)$ .

B. $(- \infty; - 3)$ hoặc $(1; + \infty)$ .

C.

ℝ

.

D.

(- \infty; - 1)

hoặc

(3; + \infty)

.

Xem đáp án

Ta có: $y^{/} = 3 x^{2} - 6 x - 9.$

Ta có $y^{/} \leq 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 3$ .

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- 1; 3)$ . Chọn A.

Câu 12:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?

A. $y = x^{3} - 3 x^{2}$ .

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 2$ .

C.

y = - x^{3} + 3 x + 1

.

D.

y = x^{3}

.

Xem đáp án

Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của $x^{3}$ phải âm. Do đó A & D không thỏa mãn.

Xét B: Ta có $y' = - 3 x^{2} + 6 x - 3 = - {(x - 1)}^{2} \leq 0, \forall x \in ℝ$ và $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên R. Chọn B.

Câu 13:

$(- \infty; - \frac{1}{2})$

A.

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \frac{1}{2}; + \infty)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Ta có $y' = 8 x^{3} > 0 \Leftrightarrow x > 0$ .

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ . Chọn B.

Câu 14:

Cho hàm số $y = 2 x^{4} - 4 x^{2}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; - 1)

và

(0; 1)

.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

C. Trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1)$ , $y' < 0$ nên hàm số đã cho nghịch biến.

D. Trên các khoảng

(- 1; 0)

và

(1; + \infty)

,

y' > 0

nên hàm số đã cho đồng biến.

Xem đáp án

Ta có $y' = 8 x^{3} - 8 x = 8 x (x^{2} - 1); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số

● Đồng biến trên các khoảng $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

● Nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1)$ . Chọn B.

Câu 15:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

A. $y = x^{3} + 3 x^{2} - 4$

B. $y = - x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$

D. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên R. Do đó ta loại C & D.

Để hàm số nghịch biến trên R số thì hệ số của $x^{3}$ phải âm. Do đó loại A.

Vậy chỉ còn lại đáp án B. Chọn B.

Thật vậy: Với $y = - x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 \overset{}{\to} y' = - 3 x^{2} + 2 x - 2$ có $(2; + \infty)$ .

Câu 16:

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ là:

A. $ℝ \ \{1\}$

B. $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$

C. $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$

D. $(- \infty; + \infty)$

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{1\}$ . Đạo hàm: $y^{/} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1.$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ . Chọn C.

Chú ý: Sai lầm hay gặp là chọn A hoặc B. Lưu ý rằng hàm bậc nhất trên nhất này là đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên R

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên R

C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{1\}$ . Đạo hàm: $y^{/} = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1.$ .

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

. Chọn D

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên R

B. Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ \ \{- 2\} .$

C. Hàm số đã cho đồng biến trên $(- \infty; 0) .$

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

(1; + \infty) .

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 2\} .$ Đạo hàm $y^{'} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 2.$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $(1; + \infty) .$ Chọn D.

Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:

= Hàm số đồng biến trên $(- 2; + \infty)$ ;

= $(1; + \infty) \subset (- 2; + \infty)$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên $(1; + \infty) .$

Câu 19:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?

A. $y = \frac{x - 2}{x + 2}$

B. $y = \frac{- x + 2}{x + 2}$

C. $y = \frac{x - 2}{- x + 2}$

D. $y = \frac{x + 2}{- x + 2}$

Xem đáp án

Ta có

A. $f^{'} (x) = x^{2} (x + 2)$ B. $(0; + \infty) .$

C. $(- 2; + \infty) .$ D. $y^{/} = \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq 2.$

Chọn B.

Câu 20:

Cho hàm số $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên $[0; 1]$

B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên $[0; 1]$

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.

Xem đáp án

Tập xác định $D = [- 1; 1]$ . Đạo hàm $y' = \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}}; y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên $[0; 1]$ . Chọn C.

Câu 21:

Hàm số

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây?

A. $(0; 2)$

B. $(0; 1)$

C. $(1; 2)$

D. $(- 1; 1)$

Xem đáp án

Tập xác định $D = [0; 2]$ . Đạo hàm $y' = \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}; y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$ . Chọn C.

Câu 22:

Cho hàm số $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{4 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên $(1; 4) .$

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $(1; \frac{5}{2}) .$

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên $(\frac{5}{2}; 4) .$

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên R

Xem đáp án

Tập xác định: $D = [1; 4] .$ Đạo hàm $y' = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Xét phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = \sqrt{4 - x} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (1; 4) \\ x - 1 = 4 - x \end{cases} \overset{}{\to} x = \frac{5}{2} \in (1; 4)$

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{5}{2}; 4) .$ Chọn C.

Câu 23:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $ℝ$ ?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

B. $y = 2 x - \cos 2 x - 5$

C. $y = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

D. $y = \sqrt{x^{2} - x + 1}$

Xem đáp án

Chọn B. Vì $y' = 2 + 2 \sin 2 x = 2 (\sin 2 x + 1) \geq 0, \forall x \in ℝ$ và $y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2 x = - 1$ .

Phương trình $\sin 2 x = - 1$ có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên R

Câu 24:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. $y = {(x - 1)}^{2} - 3 x + 2$

B. $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

C. $y = \frac{x}{x + 1}$

D. $y = \tan x$

Xem đáp án

Xét hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Ta có $y' = \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}} > 0, \forall x \in ℝ \overset{}{\to}$ hàm số đồng biến trên $ℝ$

Chọn B.

Câu 25:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = 2 x + \cos x$ đồng biến trên $ℝ$ .

B. Hàm số $y = - x^{3} - 3 x + 1$ nghịch biến trên $ℝ$ .

C. Hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

D. Hàm số

y = 2 x^{4} + x^{2} + 1

nghịch biến trên

(- \infty; 0)

.

Xem đáp án

Xét hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ . Ta có $y' = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1$ .

Suy ra hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ . Chọn C.

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 5)$ và $(- 3; - 2)$ .

II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; 5)$ .

III. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- 2; + \infty)$ .

IV. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ ; nghịch biến trên khoảng $(- 2; + \infty)$ .

Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.

Ta thấy khoảng $(- \infty; - 3)$ chứa khoảng $(- \infty; - 5)$ nên I Đúng.

Vậy chỉ có II sai. Chọn A.

Câu 27:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- 2; + \infty)$ và $(- \infty; - 2) .$

B. Hàm số đã cho đồng biến trên $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 2) .$

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; 2) .$

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

(- 2; 2)

.

Xem đáp án

Vì $(0; 2) \subset (- 1; 2)$ , mà hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 2)$ nên suy ra C đúng. Chọn C.

Câu 28:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Media VietJack

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và $(3; + \infty) .$

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \frac{1}{2}; + \infty) .$

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty) .$

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(- \infty; 3)

.

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

● Đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và $(- \frac{1}{2}; 3)$ .

● Nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ . Chọn C.

Câu 29:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định liên tục trên

ℝ \ \{- 2\}

và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- 3; - 2) \cup (- 2; - 1) .$

B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng -3

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 3)$ và $(- 1; + \infty) .$

D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 3; - 2)$ và $(- 2; - 1) \overset{}{\to}$ A sai (sai chỗ dấu $\cup$ ).

Hàm số có giá trị cực đại $y_{C �} = - 2 \overset{}{\to}$ B sai.

Hàm số đồng biến khoảng $(- \infty; - 3)$ và $(- 1; + \infty) \overset{}{\to}$ C đúng.

Hàm số có điểm cực tiểu là $- 1 \overset{}{\to}$ D sai.

Chọn C.

Câu 30:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?

Media VietJack

A. Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty) .$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

D. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) .

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- 1; 1)$ nên các khẳng định A, B, C đúng.

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ thì khẳng định D sai.

Ví dụ: Ta lấy $- 1, 1 \in (- \infty; - 1), 1, 1 \in (1; + \infty) : - 1, 1 < 1, 1$ nhưng $f (- 1, 1) > f (1, 1) .$

Chọn D.

Câu 31:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Media VietJack

A. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; 0)

và

(0; + \infty)

.

B. Hàm số đồng biến trên

(- 1; 0) \cup (1; + \infty) .

C. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 1)

và

(1; + \infty) .

D. Hàm số đồng biến trên

(- 1; 0)

và

(1; + \infty) .

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 32:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f' (x)

xác định, liên tục trên R và

f' (x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(3; + \infty) .$

C. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1) .$

D. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty) .

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị của hàm số $f' (x)$ , ta có nhận xét:

$f' (x)$ đổi dấu từ "+" sang "-" khi qua điểm x=-1

$f' (x)$ đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua điểm x=3

Do đó ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng. Chọn B.

Câu 33:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + x^{2} + 8 x + \cos x$ và hai số thực a,b sao cho a<b Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $f (a) = f (b) .$

B. $f (a) > f (b) .$

C. $f (a) < f (b) .$

D. Không so sánh được $f (a)$ và $f (b)$ .

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ .$

Đạo hàm $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x + 8 - \sin x = (3 x^{2} + 2 x + 1) + (7 - \sin x) > 0, \forall x \in ℝ .$

Suy ra $f (x)$ đồng biến trên $ℝ$ . Do đó $a < b \Rightarrow f (a) < f (b)$ . Chọn C.

Câu 34:

Cho hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ và hai số thực $u, v \in (0; 1)$ sao cho u>v

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $f (u) = f (v) .$

B. $f (u) > f (v) .$

C. $f (u) < f (v) .$

D. Không so sánh $f (u)$ và $f (v)$ được.

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ .$

Đạo hàm $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1); f^{/} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array} .$

Vẽ bảng biến thiên ta thấy được hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$ .

Do đó với $u, v \in (0; 1)$ thỏa mãn $u > v \Rightarrow f (u) < f (v)$ . Chọn C.

Câu 35:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ sao cho $f' (x) > 0, \forall x > 0.$ Biết $e ≃ 2, 718$ . Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f (e) + f (π) < f (3) + f (4) .$

B. $f (e) - f (π) \geq 0.$

C. $f (e) + f (π) < 2 f (2) .$

D. $f (1) + f (2) = 2 f (3) .$

Xem đáp án

Từ giải thiết suy ra hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ . Do đó

$\{\begin{cases} e < 3 \to f (e) < f (3) \\ π < 4 \to f (π) < f (4) \end{cases} \overset{}{\to} f (e) + f (π) < f (3) + f (4) .$ Vậy A đúng. Chọn A.

$e < π \to f (e) < f (π) \to f (e) - f (π) < 0.$ Vậy B sai.

Tương tự cho các đáp án C và D.

Câu 36:

Hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ đồng biến trên R khi:

A. $[\begin{array}{l} a = b = 0; c > 0 \\ b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} a = b = c = 0 \\ a > 0; b^{2} - 3 a c < 0 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} a = b = 0; c > 0 \\ a > 0; b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} a = b = 0; c > 0 \\ a > 0; b^{2} - 3 a c \geq 0 \end{array}$

Xem đáp án

Quan sát các đáp án, ta sẽ xét hai trường hợp là: $a = b = 0$ và $a \neq 0.$

Nếu $a = b = 0$ thì $y = c x + d$ là hàm bậc nhất => để y đồng biến trên R khi c>0.

Nếu $a \neq 0$ , ta có $y' = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ . Để hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{cases}$ . Chọn C.

Câu 37:

Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m x + m$ đồng biến trên tập xác định.

A. $m \leq 1.$

B. $m \geq 3.$

C. $- 1 \leq m \leq 3.$

D. $m < 3.$

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ$ . Đạo hàm $y' = 3 x^{2} + 6 x + m$ .

Ycbt $\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ$ ( $y' = 0$ có hữu hạn nghiệm)

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 > 0 \\ 9 - 3 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 3.$

Cách giải trắc nghiệm. Quan sát ta nhận thấy các giá trị $m$ cần thử là:

ü $m = 3$ thuộc B & C nhưng không thuộc A, D.

ü $m = 2$ thuộc C & D nhưng không thuộc A, B.

● Với $m = 3 \overset{}{\to} y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 3 \overset{}{\to} y' = 3 x^{2} + 6 x + 3 = 3 {(x + 1)}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ$ .

Do đó ta loại A và D.

● Với $m = 2 \overset{}{\to} y = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 2 \overset{}{\to} y' = 3 x^{2} + 6 x + 2$ .

Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x + 2 = 0$ có $Δ > 0$ nên $m = 2$ không thỏa nên loại C.

Chọn B.

Câu 38:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (4 m - 3) x + 2017$ . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực m để hàm số đã cho đồng biến trên R.

A. m=1

B. m=2

C. m=4

D. m=3

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$ . Đạo hàm $y' = x^{2} - 2 m x + 4 m - 3$ .

Để hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ$ ( $y' = 0$ có hữu hạn nghiệm)

$\Leftrightarrow Δ' = m^{2} - 4 m + 3 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 3$

Suy ra giá trị lớn nhất của tham số m thỏa mãn ycbt là $m = 3.$

Chọn D.

Câu 39:

Cho hàm số $y = - x^{3} - m x^{2} + (4 m + 9) x + 5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty) ?$

A. 4

B. 6

C. 7

D. 5

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ$ . Đạo hàm $y' = - 3 x^{2} - 2 m x + 4 m + 9.$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ thì $\Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in ℝ$ ( $y' = 0$ có hữu hạn nghiệm) $\Leftrightarrow Δ' \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 (4 m + 9) \leq 0 \Leftrightarrow - 9 \leq m \leq - 3$

Chọn C.

Sai lầm hay gặp là Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ thì $\Leftrightarrow y' < 0, \forall x \in ℝ$ . Khi đó ra giải ra $- 9 < m < - 3$ và chọn D.

Câu 40:

Cho hàm số $y = \frac{m}{3} x^{3} - 2 x^{2} + (m + 3) x + m$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số đồng biến trên R.

A. m=-4

B. m=0

C. m=-2

D. m=1

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ$ . Đạo hàm: $y' = m x^{2} - 4 x + m + 3$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ$ ( $y' = 0$ có hữu hạn nghiệm):

TH1. $m = 0$ thì $y' = - 4 x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{3}{4}$ (không thỏa mãn).

TH2. $\{\begin{cases} a = m > 0 \\ Δ'_{y'} = - m^{2} - 3 m + 4 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 1.$

Suy ra giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là $m = 1.$

Chọn D.

Câu 41:

Cho hàm số $y = (m + 2) \frac{x^{3}}{3} - (m + 2) x^{2} + (m - 8) x + m^{2} - 1$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên R

A. m<-2

B. m>-2

^{C. $m \leq - 2$}

D. $m \geq - 2$

Xem đáp án

Ta có $y' = (m + 2) x^{2} - 2 (m + 2) x + m - 8$

Yêu cầu bài toán $y' \leq 0, \forall x \in ℝ$ ( $y' = 0$ có hữu hạn nghiệm):

TH1 $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ , khi đó $y' = - 10 \leq 0, \forall x \in ℝ$ (thỏa mãn).

TH2 $\{\begin{cases} a = m + 2 < 0 \\ Δ' = {(m + 2)}^{2} - (m + 2) (m - 8) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 2 < 0 \\ 10 (m + 2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 2$ .

Hợp hai trường hợp ta được $m \leq - 2.$

Chọn C.

Câu 42:

Cho hàm số $y = x^{3} - (m + 1) x^{2} - (2 m^{2} - 3 m + 2) x + 2 m (2 m - 1)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $[2; + \infty) .$

A. m<5

B. $- 2 \leq m \leq \frac{3}{2}$

C. $m > - 2$

D. $m < \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có $y^{/} = 3 x^{2} - 2 (m + 1) x - (2 m^{2} - 3 m + 2) .$

Xét phương trình $y^{/} = 0$ có $Δ^{/} = {(m + 1)}^{2} + 3 (2 m^{2} - 3 m + 2) = 7 (m^{2} - m + 1) > 0, \forall m \in ℝ .$

Suy ra phương trình $y^{/} = 0$ luôn có hai nghiệm $x_{1} < x_{2}$ với mọi $m$ .

Để hàm số đồng biến trên $[2; + \infty) \Leftrightarrow$ phương trình $y^{/} = 0$ có hai nghiệm $x_{1} < x_{2} \leq 2$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x_{1} - 2) + (x_{2} - 2) < 0 \\ (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} < 4 \\ x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 \geq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 (m + 1)}{3} < 4 \\ \frac{- (2 m^{2} - 3 m + 2)}{3} - 2. \frac{2 (m + 1)}{3} + 4 \geq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 5 \\ - 2 \leq m \leq \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq \frac{3}{2}$

Chọn B.

Câu 43:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng $(- 1000; 1000)$ để hàm số $y = 2 x^{3} - 3 (2 m + 1) x^{2} + 6 m (m + 1) x + 1$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ ?

A. 999

B. 1001

C. 998

D. 1998

Xem đáp án

Ta có $y' = 6 x^{2} - 6 (2 m + 1) x + 6 m (m + 1) = 6. [x^{2} - (2 m + 1) x + m (m + 1)]$

Xét phương trình $y^{/} = 0$ có $Δ = {(2 m + 1)}^{2} - 4 m (m + 1) = 1 > 0, \forall m \in ℝ .$

Suy ra phương trình $y^{/} = 0$ luôn có hai nghiệm $x_{1} < x_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viet, ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 \\ x_{1} x_{2} = m (m + 1) \end{cases} .$

Để hàm số đồng biến trên $(2; + \infty) \Leftrightarrow$ phương trình $y^{/} = 0$ có hai nghiệm $x_{1} < x_{2} \leq 2$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x_{1} - 2) + (x_{2} - 2) < 0 \\ (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} < 4 \\ x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m + 1 < 4 \\ m (m + 1) - 2 (2 m + 1) + 4 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq 1$

$\overset{m \in ℤ}{\to} m = \{- 999; - 998; ...; 1\} .$

Vậy có 1001 số nguyên m thuộc khoảng $(- 1000; 1000) .$ Chọn B.

Câu 44:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 3 m (m + 2) x$ nghịch biến trên đoạn $[0; 1] .$

A. $m \leq 0.$

B. $- 1 < m < 0.$

C. $- 1 \leq m \leq 0.$

D. $m \geq - 1.$

Xem đáp án

Đạo hàm $y^{'} = 3 x^{2} - 6 (m + 1) x + 3 m (m + 2) = 3. [x^{2} - 2 (m + 1) x + m (m + 2)] .$

Ta có $Δ' = {(m + 1)}^{2} - m (m + 2) = 1 > 0, \forall m \in ℝ$ .

Do đó $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x = m, x = m + 2.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên $[0; 1] \overset{}{\leftrightarrow} [0; 1] \subset [m; m + 2]$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 0 \\ m + 2 \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0.$

Chọn C.

Câu 45:

Cho hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + (m + 3) x - 4$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; 3) .$

A. $m \geq \frac{12}{7} .$

B. $m \leq \frac{12}{7} .$

C. $m \geq 1.$

D. $1 \leq m \leq \frac{12}{7} .$

Xem đáp án

Ta có $y^{/} = - x^{2} + 2 (m - 1) x + m + 3.$

Xét phương trình $y^{/} = 0$ có $Δ^{/} = {(m - 1)}^{2} + (m + 3) = m^{2} - m + 4 > 0, \forall m \in ℝ .$

Suy ra phương trình $y^{/} = 0$ luôn có hai nghiệm $x_{1} < x_{2}$ với mọi m.

Để hàm số đồng biến trên $(0; 3) \Leftrightarrow$ phương trình $y^{/} = 0$ có hai nghiệm $x_{1} \leq 0 < 3 \leq x_{2}$

$y' = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} y (0) = 0 \\ y (\pm 1) = - 1 \end{array} .$ . Chọn A.

Câu 46:

Biết rằng hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} + 3 (m - 1) x^{2} + 9 x + 1

(với m là tham số thực) nghịch biến trên khoảng

(x_{1}; x_{2})

và đồng biến trên các khoảng giao với

(x_{1}; x_{2})

bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị của m để

|x_{1} - x_{2}| = 6 \sqrt{3} .

A. $m = - 1$

B. m=3

C. m=-3, m=1

D. m=-1, m=3

Xem đáp án

Ta có $y^{/} = x^{2} + 6 (m - 1) x + 9$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| = 6 \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{/} > 0 \\ |x_{1} - x_{2}| = \frac{2 \sqrt{Δ^{/}}}{|a|} = 6 \sqrt{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{/} > 0 \\ \sqrt{Δ^{/}} = 3 \sqrt{3} \end{cases} \Leftrightarrow Δ^{/} = 27$

$\Leftrightarrow 9 {(m - 1)}^{2} - 9 = 27 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 1 \end{array}$ .

Chọn D.

Câu 47:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m x + m$ giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1.

A. $m = - \frac{9}{4}$

B. m=3

C. $m \leq 3$

D. $m = \frac{9}{4}$

Xem đáp án

Ta có $y' = 3 x^{2} + 6 x + m$ .

Yêu cầu bài toán $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| = 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 9 - 3 m > 0 \\ 2 \frac{\sqrt{Δ'}}{|a|} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 3 \\ 2. \frac{\sqrt{9 - 3 m}}{3} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 3 \\ m = \frac{9}{4} \end{cases} \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}$

Chọn D.

Câu 48:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} + m x + m

giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 2.

A. m=0

B. m<3

C. m=2

D. m>3

Xem đáp án

Tính $y' = 3 x^{2} + 6 x^{2} + m .$

Ta nhớ công thức tính nhanh Nếu hàm bậc ba $(a > 0)$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $α$ thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và trị tuyệt đối hiệu hai nghiệm bằng $α$ "

Với $α$ là một số xác định thì m cũng là một số xác định chứ không thể là khoảng => Đáp số phải là A hoặc C .

Thử với m=0 phương trình đạo hàm

3 x^{2} + 6 x = 0

có hai nghiệm phân biệt

[\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 0 \end{array}

và khoảng cách giữa chúng bằng 2.

Chọn A

Câu 49:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 (m - 1) x^{2} + m - 2$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3) .$

A. $1 < m \leq 2.$

B. $m \leq 2.$

C. $m \leq 1.$

D. $1 < m < 2.$

Xem đáp án

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 (m - 1) x = 4 x [x^{2} - (m - 1)]; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m - 1 \end{array} .$

Nếu $m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 1 \overset{}{\to} y' = 0$ có một nghiệm x=0 và y' đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua điểm $x = 0 \overset{}{\to}$ hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ nên đồng biến trên khoảng $(1; 3)$ . Vậy $m \leq 1$ thỏa mãn.

Nếu $m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \overset{}{\to} y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - \sqrt{m - 1} \\ x = \sqrt{m - 1} \end{array} .$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến tiên, ta có ycbt $\Leftrightarrow \sqrt{m - 1} \leq 1 \Leftrightarrow m \leq 2 \overset{m > 1}{\to} 1 < m \leq 2$

Hợp hai trường hợp ta được $m \in (- \infty; 2]$ . Chọn B.

Câu 50:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2}$ nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

A. $m \leq 0$

B. $m = 1$

C. $m > 0$

D. $m \neq 0$

Xem đáp án

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 m x = 4 x (x^{2} - m); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m \end{array} .$

TH1 $m \leq 0 \overset{}{\to} y' = 0$ có một nghiệm x=0 và y' đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua điểm $x = 0 \overset{}{\to}$ hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

TH2 $m > 0 \overset{}{\to} y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt $- \sqrt{m}; 0; \sqrt{m} .$

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \sqrt{m}; 0)$ và $(\sqrt{m}; + \infty)$ , nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; \sqrt{m})$ và $(0; \sqrt{m})$ . Do đó trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách khác. Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hàm số chỉ có một cực trị $\Leftrightarrow a . b \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 0$ nhưng vấn đề cực trị ở bài này chưa học.

Chọn A.

Câu 51:

Cho hàm số $y = (m^{2} - 2 m) x^{4} + (4 m - m^{2}) x^{2} - 4$ . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

A. 0.

B. Vô số.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Ta xét hai trường hợp:

Hệ số $a = m^{2} - 2 m = 0 \leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \overset{}{\to} y = - 4 (l o a ï i) \\ m = 2 \overset{}{\to} y = 4 x^{2} - 4 \end{array}$ . Hàm số $y = 4 x^{2} - 4$ có đồ thị là một parabol nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ , đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$ Do đó m=2 thỏa mãn. (Học sinh rất mắc phải sai lầm là không xét trường hợp a=0)

Hệ số $a = m^{2} - 2 m \neq 0$ . Dựa vào dáng điệu đặc trưng của hàm trùng phương thì yêu cầu bài toán tương đương với đồ thị thàm số có một cực trị và đó là cực tiểu $\overset{}{\leftrightarrow} \{\begin{cases} a b \geq 0 \\ a > 0 \end{cases} \overset{}{\leftrightarrow} \{\begin{cases} a > 0 \\ b \geq 0 \end{cases}$

$\overset{}{\leftrightarrow} \{\begin{cases} m^{2} - 2 m > 0 \\ 4 m - m^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \lor m > 2 \\ 0 \leq m \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < m \leq 4 \overset{m \in ℤ}{\to} m = \{3; 4\}$

Vậy $m = \{2; 3; 4\} .$

Chọn D.

Câu 52:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = \frac{x - 1}{x - m}

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 2)

.

A. $m > 2$

B. $m \geq 1$

C. $m \geq 2$

D. $m > 1$

Xem đáp án

Ta có $y' = \frac{- m + 1}{{(x - m)}^{2}}$ .

Với $- m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > 1$ thì $y' < 0, \forall x \neq m$ => hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $(- \infty; m)$ và $(m; + \infty)$ .

Ycbt : $\overset{}{\leftrightarrow} (- \infty; 2) \subset (- \infty; m) \Leftrightarrow m \geq 2$ (thỏa mãn).

Cách 2. Ta có $y' = \frac{- m + 1}{{(x - m)}^{2}}$ .

Ycbt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} y' < 0, \forall x < 2 \\ x \neq m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - m + 1 < 0 \\ m \neq (- \infty; 2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - m + 1 < 0 \\ m \in [2; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ m \geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 2.$

Chọn C.

Câu 53:

Cho hàm số $y = \frac{m x - 2 m - 3}{x - m}$ với m là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

A. 5

B. 4

C. Vô số

D. 3

Xem đáp án

Ta có $y' = \frac{- m^{2} + 2 m + 3}{{(x - m)}^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y' > 0, \forall x \neq m$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 2 m + 3 > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 3 \overset{m \in ℤ}{\to} m = \{0; 1; 2\} .$

Sai lầm hay gặp là cho $y' \geq 0, \forall x \neq m \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3 \overset{m \in ℤ}{\to} m = \{- 1; 0; 1; 2; 3\} .$

Chọn D.

Câu 54:

Gọi là tập hợp các số nguyên m để hàm số $y = \frac{x + 2 m - 3}{x - 3 m + 2}$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 14)$ . Tính tổng T của các phần tử trong S

A. T=-9

B. T=-5

C. T=-6

D. T=-10

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ \ \{3 m - 2\}$ . Đạo hàm $y' = \frac{- 5 m + 5}{{(x - 3 m + 2)}^{2}} .$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 14) \Leftrightarrow y' > 0, \forall x \in (- \infty; - 14)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 5 m + 5 > 0 \\ x \neq 3 m - 2 \end{cases}, \forall x < - 14 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 5 m + 5 > 0 \\ 3 m - 2 \notin (- \infty; - 14) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 5 m + 5 > 0 \\ 3 m - 2 \geq - 14 \end{cases}$

$\Leftrightarrow - 4 \leq m < 1 \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0\} \overset{}{\to} T = - 10.$

Chọn D.

Câu 55:

Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{m x - 2}{x + m - 3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định là khoảng $(a; b)$ . Tính P=b-a.

A. P=-3

B. P=-2

C. P=-1

D. P=1

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ \ \{3 - m\}$ . Đạo hàm $y' = \frac{m^{2} - 3 m + 2}{{(x + m - 3)}^{2}} .$

Yêu cầu bài toán $\overset{}{\leftrightarrow} y' < 0, \forall x \neq 3 - m \Leftrightarrow m^{2} - 3 m + 2 < 0$

$\Leftrightarrow 1 < m < 2 \Leftrightarrow m \in (1; 2) \equiv (a; b) \overset{}{\to} P = b - a = 1$ .

Chọn D.

Câu 56:

Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số $y = \frac{m^{2} x + 5}{2 m x + 1}$ nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ .Tính tổng T của các phần tử trong S

A. T=35

B. T=40

C. T=45

D. T=50

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{- 1}{2 m}\}$ . Đạo hàm $y' = \frac{m^{2} - 10 m}{{(2 m x + 1)}^{2}} .$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty) \Leftrightarrow y' < 0, \forall x \in (3; + \infty)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 10 m < 0 \\ x \neq \frac{- 1}{2 m} \end{cases}, \forall x > 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 10 m < 0 \\ \frac{- 1}{2 m} \notin (3; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 10 m < 0 \\ \frac{- 1}{2 m} \leq 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow 0 < m < 10 \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{1; 2; 3...; 9\} \overset{}{\to} T = 45.$

Chọn C.

Câu 57:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m + 1}$ đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ .

A. $m \in [1; + \infty)$

B. $m \in (3; + \infty)$

C. $m \in [2; 3)$

D. $m \in (- \infty; 1] \cup [2; 3) .$

Xem đáp án

Đặt $t = \tan x$ , với $x \in (0; \frac{π}{4}) \overset{}{\to} t \in (0; 1) .$

Hàm số trở thành $y (t) = \frac{t - 2}{t - m + 1} \overset{}{\to} y' (t) = \frac{3 - m}{{(t - m + 1)}^{2}}$

Ta có $t' = \frac{1}{\cos^{2} x} > 0, \forall x \in (0; \frac{π}{4})$ , do đó $t = \tan x$ đồng biến trên $(0; \frac{π}{4})$ .

Do đó YCBT $\overset{}{\leftrightarrow} y (t)$ đồng biến trên khoảng (0;1) $\overset{}{\leftrightarrow} y' (t) > 0, \forall t \in (0; 1)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - m > 0 \\ t - m + 1 \neq 0 \end{cases}, \forall t \in (0; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - m > 0 \\ m - 1 \neq t \end{cases}, \forall t \in (0; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - m > 0 \\ m - 1 \notin (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq 1 \\ 2 \leq m < 3 \end{array}$

Chọn D.

Câu 58:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = \frac{\sin x + m}{\sin x - 1}$ nghịch biến trên khoảng $(\frac{π}{2}; π)$ .

A. $m \geq - 1$

B. $m > - 1$

C. $m < - 1$

D. $m \leq - 1$

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x$ , với $x \in (\frac{π}{2}; π) \overset{}{\to} t \in (0; 1)$

Hàm số trở thành $y (t) = \frac{t + m}{t - 1} \overset{}{\to} y' (t) = \frac{- 1 - m}{{(t - 1)}^{2}}$ .

Ta có $t' = \cos x < 0, \forall x \in (\frac{π}{2}; π)$ , do đó $t = \sin x$ nghịch biến trên $(\frac{π}{2}; π)$ .

Do đó YCBT $\overset{}{\leftrightarrow} y (t)$ đồng biến trên khoảng (0;1) $\overset{}{\leftrightarrow} y' (t) > 0, \forall t \in (0; 1)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 - m > 0 \\ t - 1 \neq 0 \end{cases}, \forall t \in (0; 1) \Leftrightarrow - 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 1$

Nhận xét. Khi ta đặt ẩn t, nếu t là hàm đồng biến trên khoảng đang xét thì giữ nguyên câu hỏi trong đề bài. Còn nếu t là hàm nghịch biến thì ta làm ngược lại câu hỏi trong đề bài.

Chọn C.

Câu 59:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

A. $m \in (- 3; + \infty) .$

B. $m \in (- \infty; - 3] \cup [2; + \infty) .$

C. $m \in (- \infty; - 3) .$

D. $m \in (- 3; 1] \cup [2; + \infty) .$

Xem đáp án

Đặt $t = \cos x$ , với $x \in (0; \frac{π}{3}) \overset{}{\to} t \in (\frac{1}{2}; 1)$ .

Hàm số trở thành $y (t) = \frac{2 t + 3}{2 t - m} \overset{}{\to} y' (t) = \frac{- 2 m - 6}{{(2 t - m)}^{2}}$ .

Ta có $t' = - \sin x < 0, \forall x \in (0; \frac{π}{3})$ , do đó $t = \cos x$ nghịch biến trên $(0; \frac{π}{3}) .$

Do đó YCBT $\overset{}{\leftrightarrow} y (t)$ đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2}; 1)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 m - 6 > 0 \\ 2 t - m \neq 0 \end{cases}, \forall t \in (\frac{1}{2}; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < - 3 \\ m \neq 2 t \end{cases}, \forall t \in (\frac{1}{2}; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < - 3 \\ m \notin (1; 2) \end{cases} \Leftrightarrow m < - 3.$

Nhận xét. Do $t \in (\frac{1}{2}; 1) \to 2 t \in (1; 2)$ . Và $m \notin (1; 2) \overset{}{\leftrightarrow} [\begin{array}{l} m \leq 1 \\ m \geq 2 \end{array} .$

Chọn C.

Câu 60:

Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{x^{2} - m x - 1}{1 - x}$ nghịch biến trên các khoảng xác định.

A. m<0

B. $m \geq 0$

C. m=0

D. $m \in ℝ$

Xem đáp án

TXĐ: $D = (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ . Đạo hàm $y' = \frac{- x^{2} + 2 x - m - 1}{(1 - x) {}^{2}} .$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - x^{2} + 2 x - m - 1 \leq 0, \forall x \in D \overset{}{\leftrightarrow} x^{2} - 2 x + 1 + m \geq 0, \forall x \in D$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 > 0 \\ - 4 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 0.$

Chọn B.

Câu 61:

Biết rằng hàm số

y = 2 x + a \sin x + b \cos x

đồng biến trên R. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a^{2} + b^{2} \leq 2$

B. $a^{2} + b^{2} \geq 2$

C. $a^{2} + b^{2} \leq 4$

D. $a^{2} + b^{2} \geq 4$

Xem đáp án

Ta có $y' = 2 + a . \cos x - b . \sin x, \forall x \in ℝ$ .

Để hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên $ℝ$ khi và chỉ khi $y' \geq 0, \forall x \in ℝ$ ( $y' = 0$ có hữu hạn nghiệm)

$\Leftrightarrow 2 + a . \cos x - b . \sin x \geq 0 \Leftrightarrow b . \sin x - a . \cos x \leq 2.$ (*)

Nếu $a^{2} + b^{2} = 0$ thì A đúng & C cũng đúng.

Nếu $a^{2} + b^{2} \neq 0$ thì $(*) \Leftrightarrow \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} . \sin x - \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} . \cos x \leq \frac{2}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $\Leftrightarrow \sin (x - α) \leq \frac{2}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

đúng với mọi $x \in ℝ \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \geq 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \leq 4$ . Chọn C.

Câu 62:

Tìm tất cả các giá trị của b để hàm số $f (x) = \sin x - b x + c$ nghịch biến trên toàn trục số.

A. $b \geq 1$

B. $b < 1$

C. b=1

D. $b \leq 1$

Xem đáp án

Ta có $f' (x) = \cos x - b$ .

Để hàm số nghịch biến trên $ℝ \overset{}{\leftrightarrow} f' (x) \leq 0, \forall x \in ℝ \overset{}{\leftrightarrow} \cos x \leq b, \forall x \in ℝ \overset{}{\leftrightarrow} b \geq 1$ .

Chọn A.

Câu 63:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ$ và $f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Media VietJack

A. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(- \infty; 1) .$

B. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(- \infty; 1) .$ và $(1; + \infty) .$

C. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(1; + \infty) .$

D. Hàm số

f (x)

đồng biến trên R

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số $f^{'} (x)$ , ta thấy $f^{'} (x) > 0, \forall x \in (1; + \infty)$ suy ra hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(1; + \infty) .$ Chọn C.

Câu 64:

Cho hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Biết rằng hàm số $f (x)$ có đạo hàm là $f' (x)$ và hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

Media VietJack

A. Trên $(- 2; 1)$ thì hàm số $f (x)$ luôn tăng.

B. Hàm $f (x)$ giảm trên đoạn $[- 1; 1]$ .

C. Hàm $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

D. Hàm

f (x)

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2)

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ ta thấy:

$f' (x) > 0$ khi $[\begin{array}{l} - 2 < x < 1 \\ x > 1 \end{array} \overset{}{\to}$ $f (x)$ đồng biến trên các khoảng $(- 2; 1)$ , $(1; + \infty)$ .

Suy ra A và C đều đúng.

$f' (x) < 0$ khi $x < - 2 \overset{}{\to}$ $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

Suy ra D đúng, B sai. Chọn B.

Câu 65:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = x^{2} (x + 2)

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- 2; + \infty) .$

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty) .$

C. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty) .$

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

(- 2; 0) .

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 2; + \infty) .$

Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

Chọn A.