38 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 6

Câu 1:

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 2; 0)$

B. $(1; - 3)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Chọn A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 2; 0)$ .

Câu 2:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, có đồ thị như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; 1) .$

B. $(- 1; 0) .$

C. $(- 2; - 1) .$

D. $(- 1; 1) .$

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1) .$

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục và có đạo hàm trên R, đồ thị hàm số

y = f' (x)

như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số

y = f (x)

?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 0)

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(1; 2)

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ nên ta có bảng biến thiên như sau.

Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y=f(x) ? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 0)$

Câu 4:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a, b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số này là

Cho hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d (a,b,c,d thuộc R) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số này là (ảnh 1)

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x + 1) {(x - 4)}^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x (x + 1) {(x - 4)}^{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \end{array}$ .

Lập bảng biến thiên của hàm số $f (x)$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=x(x+1)( x-4)^3, với mọi x thuộc R . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là (ảnh 1)

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Câu 6:

Cho hàm số $f (x)$ , bảng xét dấu của $f^{'} (x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Từ bảng biến thiên ta thấy $f^{'} (x)$ đổi dấu khi x qua nghiệm -1 và nghiệm 1 ; không đổi dấu khi x qua nghiệm 0 nên hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 7:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ sau:

Giá trị cực đại của hàm số

y = g (x) = f (x) - 5

là:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ sau: Giá trị cực đại của hàm số y= g(x)=f(x)-5 là: (ảnh 1)

A. 2

B. 3

C. 4

D. -1

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $g (x) = f (x) - 5$

Dựa vào đồ thị, giá trị cực đại của hàm số $f (x)$ là 4 nên giá trị cực đại của $g (x)$ là -1.

Câu 8:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (2)$

B. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (3)$

C. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (1)$

D. $\max_{(1; 3)} f (x) = f (5)$

Xem đáp án

Chọn A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $\max_{(1; 3)} f (x) = f (2) .$

Câu 9:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y=f(x) trên đoạn [-2,1].

A. $m = - 5; M = - 1$

B. $m = - 1; M = 0$

C. $m = - 2; M = 2$

D. $m = - 5; M = 0$

Xem đáp án

Chọn A

Nhìn vào đồ thị ta thấy: $M = \max_{[- 2; 1]} f (x) = - 1$

$m = \min_{[- 2; 1]} f (x) = - 5$

Câu 10:

Hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Khẳng định nào là đúng về hệ số $α$ ?

A. $a \in (- \infty; 0]$

B. $a \in [0; + \infty)$

C. $a \in (- \infty; 0)$

D. $a \in (0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn D

+ Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a>0 .

Câu 11:

Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

B. $y = \frac{- 2 x + 1}{2 x + 2}$

C. $y = \frac{9 - x}{- x - 2}$

D. $y = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn A

Cách 1.

Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số dạng $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq 0; a d - b c \neq 0) \Rightarrow$ Loại phương án D

Ta thấy: Đồ thị có đường tiệm cận đứng là $x = - 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 1$

Phương án B: Đồ thị có đường tiệm cận ngang là loại $y = - 1 \Rightarrow$ B

Phương án C: Đồ thị có đường tiệm cận đứng là loại $x = - 2 \Rightarrow$ C

$\Rightarrow$ A đúng.

Cách 2. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm hoành độ bằng 2 $\Rightarrow$ chọn A.

Câu 12:

Cho hàm sốy= f(x) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 2 \Rightarrow y = 2$ là một tiệm cận ngang

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - \infty \Rightarrow x = 1$ là một tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 2.

Câu 13:

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 3}$ là

A. $I (- 3; 1)$

B. $I (1; - 3)$

C. $y = 1$

D. $x = - 3$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của tiệm cận đứng, và tiệm cận ngang

Ta có: + $\lim_{x \to + \infty} = 1, \lim_{x \to - \infty} = 1$ nên ta có TCN của đồ thị hàm số là y=1

+ $\lim_{x \to {(- 3)}^{+}} = - \infty, \lim_{x \to {(- 3)}^{-}} = + \infty$ nên ta có TCĐ của đồ thị hàm số là x=-3

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I (- 3; 1)$

Câu 14:

Cho hàm số y= f(x)có $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ và $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm đứng là các đường thẳng x=1 và x=-1.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y=1 và y=-1 .

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ta chọn đáp án C.

Câu 15:

Số cạnh của khối đa diện 20 mặt đều là

A. 30

B. 12

C. 48

D. 24

Xem đáp án

Chọn A

Vì mỗi mặt của khối 20 mặt đều là tam giác đều nên số cạnh của khối chóp 20 mặt đều là $\frac{20.3}{2} = 30$

Câu 16:

Trong các khẳng định sau khẳng định nào là đúng.

A. Khối đa diện đều loại

\{p, q\}

là khối đa diện đều có p đỉnh,q mặt.

B. Khối đa diện đều loại

\{p, q\}

là khối đa diện đều có p mặt, q đỉnh.

C. Khối đa diện đều loại

\{p, q\}

là khối đa diện lồi thỏa mãn mỗi mặt của nó là đa giác đều p cạnh và mối đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

D. Khối đa diện đều loại

\{p, q\}

là khối đa diện lồi thỏa mãn mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng p mặt và mối mặt của nó là một đa giác đều q cạnh.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 17:

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là

A. $\frac{1}{3} B h$

B. Bh

C. $\frac{1}{6} B h$

D. 3Bh

Xem đáp án

Chọn B

Theo công thức thể tích khối lăng trụ chọn đáp án B.

Câu 18:

Thể tích khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là

A. $\frac{1}{3} B h$

B. Bh

C. $\frac{1}{6} B h$

D. 3Bh

Xem đáp án

Chọn A

Theo công thức thể tích khối chóp chọn đáp án A.

Câu 19:

Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3,4,5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng?

A. 10

B. 20

C. 12

D. 60

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích khối hộp đã cho bằng $3.4.5 = 60$ .

Câu 20:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA

⊥

( ABCD) và SA= a

\sqrt{3}

. Thể tích của khối chóp SABCD bằng

A. $a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . a^{2} . a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 21:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ đồng biến trên khoảng nào dưới dây?

A. $(3; + \infty)$

B. $(0; 4)$

C. $(- 1 : + \infty)$

D. $(- 1; 3)$

Xem đáp án

Chọn A

Xét hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ có tập xác định D=R .

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9$

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \lor x = 3$ .

Bảng biến thiên:

Hàm số y= x^3-3x^2-9x+1 đồng biến trên khoảng nào dưới dây? (ảnh 1)

$\Rightarrow$ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(3; + \infty)$

Câu 22:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như sau. Hàm số $g (x) = f (x + 1)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 1)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; 2)$

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Từ đồ thị hàm số $y = f (x)$ ta tịnh tiến sang trái đơn vị ta được đồ thị của hàm số $g (x) = f (x + 1)$ như hình vẽ sau.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như sau. Hàm số g(x)=f(x+1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 2)

Từ đồ thị, ta có hàm số $g (x) = f (x + 1)$ nghịch biến trên $(- 2; 0)$ .

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + 4 x + 2011$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có điểm cực trị?

A. 5

B. vô số

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $y^{'} = x^{2} + 2 m x + 4$ .

Hàm số đã cho không có điểm cực trị

$\Leftrightarrow y^{'} = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\Leftrightarrow Δ^{'} \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$ .

Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 24:

Biết đồ thị hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có 2 điểm cực trị là $A (0; 2), B (2; - 14)$ . Khi đó $a + b + c$ bằng?

A. 5

B. 3

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: Đồ thị hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có 2 điểm cực trị là $A (0; 2), B (2; - 14)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} y^{'} (0) = 0 \\ y^{'} (2) = 0 \\ y (0) = 2 \\ y (2) = - 14 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 = 0 \\ 32 a + 4 b = 0 \\ c = 2 \\ 16 a + 4 b + c = - 14 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 8 \\ c = 2 \end{cases} .$

Thử lại ta thấy hàm số $y = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ thỏa dữ kiện đề bài.

Vậy $a + b + c = - 5$ .

Câu 25:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + m}{x - 1}$ (m là tham số) thỏa mãn $\max_{[2; 5]} y = 6.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m \in (- \infty; - 3)$

B. $m \in (1; 4) .$

C. $m \in (0; 1)$

D. $m \in (4; 7)$

Xem đáp án

Chọn B

+) Nếu $m = - 2$ thì $y = 2$ không thỏa mãn đề bài.

+) Nếu $m \neq - 2$ thì hàm số là hàm nhất biến

Ta có: $y^{'} = \frac{- 2 - m}{{(x - 1)}^{2}}$

TH 1: Nếu $- 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 2$ thì $\max_{[2; 5]} y = y (5) = \frac{10 + m}{4} = 6 \Leftrightarrow m = 14$ (loại).

TH 2: Nếu $- 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 2$ thì $\max_{[2; 5]} y = y (2) = 4 + m = 6 \Leftrightarrow m = 2$ (thỏa mãn).

Vậy m=2

Câu 26:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 1$ trên đoạn $[- 3; 2]$ bằng

A. 1

B. -24

C. -23

D. -8

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 1$ xác định và liên tục trên $[- 3; 2]$ .

Ta có $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 20 x$ .

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0_{} {_{}}_{}_{} \in [- 3; 2] \\ x = {\sqrt{5}}_{} \notin [- 3; 2] \\ x = - \sqrt{5} \in [- 3; 2] \end{array} .$ .

$f (- 3) = - 8; f (- \sqrt{5}) = - 24; f (0) = 1; f (2) = - 23$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 3; 2]$ bằng -24 tại $x = - \sqrt{5}$ .

Câu 27:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$ có đồ thị như hình 1. Đồ thị ở hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Hình 1 Hình 2

A. $y = |{|x|}^{3} + 3 x^{2} - 2| \cdot$

B. $y = |x^{3} + 3 x^{2} - 2| \cdot$

C. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot$

D. $y = {|x|}^{3} + 3 {|x|}^{2} - 2 \cdot$

Xem đáp án

Chọn B

Đồ thị (C') của hàm số $y = |x^{3} + 3 x^{2} - 2|$ được suy ra từ đồ thị $(C)$ ở hình 1 như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị $(C)$ không nằm dưới trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị $(C)$ nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

+ Đồ thị $(C^{'})$ là $y = |x^{3} + 3 x^{2} - 2|$

Vậy hình 2 là đồ thị của hàm số $y = |x^{3} + 3 x^{2} - 2|$ .

Câu 28:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a > 0, b < 0, c < 0 \cdot$

B. $a < 0, b > 0, c < 0 \cdot$

C. $a < 0, b < 0, c < 0 \cdot$

D. $a > 0, b < 0, c > 0 \cdot$

Xem đáp án

Chọn B

Do đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có hai điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu nên $a < 0$ và $b > 0$ . Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c < 0$ .

Câu 29:

Bảng biến thiên sau là của hàm số nào trong 4 hàm số dưới đây?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1} \cdot$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot$

C. $y = \frac{x + 1}{2 x - 1} \cdot$

D. $y = \frac{2 x + 3}{x + 1} \cdot$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\lim_{x \to - \infty} y = 2$ nên đáp án C loại.

$\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = - \infty$ nên đáp án A, D loại.

Vậy chọn đáp án B đúng.

Câu 30:

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ cùng với hai trục tọa độ tạo nên một hình chữ nhật có diện tích bằng bao nhiêu?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = 2 \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = + \infty$ ; $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = - \infty$ $\Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích là $S = 2.1 = 2$ .

Câu 31:

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1}$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D.0

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 1; 1\}$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = 0$ ; $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = 0$ .

Nên đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang y=0 .

Lại có $\lim_{x \to - 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = + \infty$ ; $\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = - \infty$ .

$\lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = + \infty$ ; $\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = - \infty$

Nên đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng $x = - 1; x = 1$ .

Câu 32:

Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 6

B. 8

C. 4

D. 9

Xem đáp án

Chọn A

Nhận thấy một mặt phẳng chứa một cạnh của tứ diện và đi qua trung điểm cạnh đối diện với nó là một phẳng đối xứng của hình tứ diện đều. (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? (ảnh 1)

Một hình tứ diện đều có 6 cạnh có vai trò như nhau nên có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng.

Câu 33:

Số đỉnh của một khối đa diện đều loại {3,4} là

A. 6

B. 3

C. 4

D. 8

Xem đáp án

Chọn D

Học sinh cần nắm được đa diện đều loại là hình lập phương.

Số đỉnh của một khối đa diện đều loại {3,4} là (ảnh 1)

Câu 34:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , $S B ⊥ (A B C)$ ,SA hợp với đáy một góc $30 °$ . Tính thể tích khối chóp SABCD biết $B C = 2 a$ .

A. $\frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{9} .$

B. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{9} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{9} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SB vuông góc ( ABC), SA hợp với đáy một góc 30 độ . Tính thể tích khối chóp SABCD (ảnh 1)

Ta có $S B ⊥ (A B C)$ nên góc giữa SA với $(A B C)$ là $\hat{S A B} = 30^{0}$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A có $B C = 2 a$ nên $A B = A C = a \sqrt{2}$ .

Tam giác SAB vuông tại C có $\tan 30^{0} = \frac{S B}{A B} \Leftrightarrow S B = a \sqrt{2} . \tan 30^{0} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Thể tích khối chóp

S . A B C

:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . S B = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . a \sqrt{2} . a \sqrt{2} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}

Câu 35:

Cho hàm số $f (x)$ sao cho f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số $g (x) = f (x) - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + 2$ đạt cực đại tại điểm nào?

Cho hàm số f(x) sao cho f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số g(x)=f(x)-x^3/3+x^2-x+2 đạt cực đại tại điểm nào? (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - {(x - 1)}^{2}$

Vẽ đồ thị của các hàm số $y = f^{'} (x); y = x^{2} - 2 x + 1$ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Cho hàm số f(x) sao cho f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số g(x)=f(x)-x^3/3+x^2-x+2 đạt cực đại tại điểm nào? (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị trên ta có BBT của hàm số $y = g (x)$ như sau:

Cho hàm số f(x) sao cho f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số g(x)=f(x)-x^3/3+x^2-x+2 đạt cực đại tại điểm nào? (ảnh 3)

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g (x)$ có điểm cực đại x=1 .

Câu 36:

Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 (cm) Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

Xem đáp án

Ta có: $D F = C H = x, F H = 30 - 2 x \Rightarrow p_{Δ D H F} = 15.$

Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là: $V = S_{F D H} . E F = 30 \sqrt{15 (15 - x) (15 - x) (15 - 30 + 2 x)}$

$= 30 \sqrt{15 {(15 - x)}^{2} (2 x - 15)}; x \in (\frac{15}{2}; 15)$

Xét hàm số $f (x) = {(15 - x)}^{2} (2 x - 15); x \in (\frac{15}{2}; 15) .$

Ta có: $f' (x) = - 2 (15 - x) (2 x - 15) + 2 {(15 - x)}^{2} = - 2 (15 - x) (3 x - 30)$ ; $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 10 \\ x = 15 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 (cm) Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau (ảnh 1)

Dựa vào BBT, $\max_{(\frac{15}{2}; 15)} f (x) = 125$ khi x=10 Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất khi $x = 10 (c m) .$ Khi đó $V_{\max} = 750 \sqrt{3} (c m^{3}) .$

Câu 37:

Cho bất phương trình $m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$ . Tìm các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 9; 9]$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 1]$ .

Xem đáp án

Bpt: $m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$

$m (\sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x} - 2) \geq 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15$ (1).

Đặt $t = \sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x}$ với $x \in [- 1; 1]$ .

$t^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} < 0 \forall x \in (- 1; 1)$ .

Suy ra nghịch biến trên $[- 1; 1]$ .

Nên $t (1) \leq t \leq t (- 1)$ $\Leftrightarrow - 3 \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ .

Ta có $t^{2} = 8 x + 10 - 6 \sqrt{1 - x^{2}}$ $\Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 = 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15$ .

Khi đó (1) trở thành: $m (t - 2) \geq 2 t^{2} - 5$ với $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

$m \leq \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}$ (2) với $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ (vì $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ nên $(t - 2) < 0$ ).

Xét hàm số $f (t) = \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}$ trên đoạn $[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

$f^{'} (t) = \frac{4 t (t - 2) - (2 t^{2} - 5)}{{(t - 2)}^{2}} = \frac{2 t^{2} - 8 t + 5}{{(t - 2)}^{2}}$ .

$f^{'} (t) = 0$ $[\begin{array}{l} t = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} (l o ạ i) \\ t = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} (t h õ a m ã n) \end{array}$

$f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97$ ; $f (\sqrt{2}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \approx 1, 7$ ; $f (\frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 8 - 2 \sqrt{6} \approx 3, 1$

(1) nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 1] \Leftrightarrow$ (2) nghiệm đúng với mọi $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$

$m \leq \min_{[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]} f (t) = f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97$ .

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: $\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 9; 9] \\ m \leq \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97 \end{cases}$ .

$m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}$

Vậy $m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}$ .

Câu 38:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng $f (- 1) = \frac{10}{3}$ , $f (2) = 6$ . Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f^{3} (x) - 3 f (x)$ trên đoạn $[- 1; 2]$ .

Xem đáp án

Xét hàm số $g (x) = f^{3} (x) - 3 f (x)$ trên đoạn $[- 1; 2]$

$g^{'} (x) = 3 [f^{2} (x) - 1] \cdot f^{'} (x)$ , $g^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (x) = 0 (1) \\ f^{2} (x) = 1 (2) \end{array}$ .

Từ bảng biến thiên, ta có: $(1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \in [- 1; 2] \\ x = 2 \in [- 1; 2] \end{array}$

Và $f^{'} (x) \geq 0$ , $\forall x \in [- 1; 2]$ nên $f (x)$ đồng biến trên $[- 1; 2]$ $\Rightarrow f (x) \geq f (- 1) = \frac{10}{3}$

$\Rightarrow f (x) > 1$ $\Rightarrow f^{2} (x) > 1$ , $\forall x \in [- 1; 2]$ nên vô nghiệm.

Do đó, $g^{'} (x) = 0$ chỉ có nghiệm là $x = - 1$ và x=-2 .

Ta có $g (- 1) = f^{3} (- 1) - 3 f (- 1)$ $= {(\frac{10}{3})}^{3} - 3 (\frac{10}{3}) = \frac{730}{27}$

$g (2) = f^{3} (2) - 3 f (2)$ $= {(6)}^{3} - 3 (6) = 198$ .

Vậy $\min_{[- 1; 2]} g (x) = g (- 1) = \frac{730}{27}$ .