50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 23

Câu 1:

Cho hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có một điểm cực trị.

B. Hàm số có ba điểm cực trị.

C. Hàm số có hai điểm cực trị.

D. Hàm số không có cực trị

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 2 x$ , $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$ .

Do $y^{'} = 0$ có ba nghiệm phân biệt nên hàm số có ba cực trị.

Câu 2:

Hình đa diện sau có bao nhiêu mặt?

A. 8

B. 6

C. 7

D. 10

Xem đáp án

Chọn C

Hình đa diện sau có 7 mặt.

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên trên đoạn [-2,3] như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [-2,3] bằng:

A. -2

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $[- 2; 3]$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\forall x \in [- 2; 3]$ thì $f (x) \leq 2$ và $f (- 1) = 2$ nên giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 2; 3]$ bằng 2 nên chọn.

Xét đáp án A vì $- 2 < 2$ nên loại.

Xét đáp án B vì $0 < 2$ nên loại.

Xét đáp án D vì $1 < 2$ nên loại.

Câu 4:

Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên R?

A. $y = x^{3} - x^{2} + x + 4$

B. $y = \frac{2 x - 5}{x + 2}$

C. $y = x^{4} + 3 x^{2} - 4$

D. $y = x^{2} - 2 x - 2$

Xem đáp án

Chọn A

Xét đáp án A hàm số $y = x^{3} - x^{2} + x + 4$ có tập xác định D=R

$y^{'} = 3 x^{2} - 2 x + 1$

${Δ^{'}}_{y^{'}} = - 2 < 0$ nên $y^{'} = 3 x^{2} - 2 x + 1 > 0, \forall x \in ℝ$ do đó hàm số luôn đồng biến trên R nên chọn.

Xét đáp án B hàm số $y = \frac{2 x - 5}{x + 2}$ có tập xác định $D = ℝ \ \{- 2\}$ .

$y^{'} = \frac{9}{{(x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 2$ do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ nên loại.

Xét đáp án C hàm số $y = x^{4} + 3 x^{2} - 4$ có tập xác định D=R

$y^{'} = 4 x^{3} + 6 x = 2 x (2 x^{2} + 3) < 0, \forall x < 0$ do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ nên loại.

Xét đáp án D hàm số $y = x^{2} - 2 x - 2$ có tập xác định $D = ℝ$

$y^{'} = 2 x - 2 < 0, \forall x < 1$ do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ nên loại.

Câu 5:

Hàm số nào sau đây có cực trị ?

A. $y = 3 x + 4$

B. $y = \frac{2 x - 1}{3 x + 2}$

C. $y = x^{4} + 3 x^{2} + 2$

D. $y = x^{3} + 1$

Xem đáp án

Chọn C

Xét đáp án A có $y^{'} = 3 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow$ hàm số không có cực trị.

Xét đáp án B có $y^{'} = \frac{7}{{(3 x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq - \frac{2}{3} \Rightarrow$ hàm số không có cực trị.

Xét đáp án D có $y^{'} = 3 x^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow$ hàm số không có cực trị.

Xét đáp án C có $y^{'} = 4 x^{3} + 6 x$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ . Ta có bảng biến thiên:

Do đó hàm số có đạt cực tiểu tại điểm x=0. Chọn C.

Câu 6:

Cho hàm số $y = \frac{x}{2} + \cos x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số đạt cực đại tại

x = \frac{π}{3}

.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại

x = \frac{π}{3}

.

C. Hàm số đạt cực đại tại

x = \frac{π}{6}

.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại

x = \frac{π}{6}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y^{'} = \frac{1}{2} - \sin x$ ; ${y^{'}}^{'} = - \cos x$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}; k \in ℤ$ .

${y^{'}}^{'} (\frac{π}{6} + k 2 π) = - \cos (\frac{π}{6} + k 2 π) = - \cos \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \Leftrightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = \frac{π}{6} + k 2 π; k \in ℤ$

${y^{'}}^{'} (\frac{5 π}{6} + k 2 π) = - \cos (\frac{5 π}{6} + k 2 π) = - \cos \frac{5 π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π; k \in ℤ$ . Do đó chọn C.

Câu 7:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ là

A. $x = - 3$

B. $x = 2$

C. $x = 1$

D. $x = - 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq 0; a d - b c \neq 0)$ luôn nhận đường thẳng $x = - \frac{d}{c}$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ .

Câu 8:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. $y = - x^{3} + 3 x + 4$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = x^{3} + 3 x$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 4$

Xem đáp án

Chọn B

Nhánh cuối của đồ thị đi lên nên hệ số $a > 0$ , do đó loại phương án A và D.

Hàm số có 2 điểm cực trị nên $y^{'} = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Với phương án B ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

Với phương án C ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 3 = 0$ vô nghiệm.

Câu 9:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x=1.

B. Hàm số đạt cực đại tại x=2.

C. Hàm số đạt cực đại tại x=2.

D. Hàm số đạt cực đại tại x=-2.

Xem đáp án

Chọn A

Dưa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=1.

Câu 10:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(1; 3)

.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(2; 3)

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

.

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số nghịch biến trên ( 1,2) và đồng biến trên ( 2,3) nên khẳng định A sai.

Câu 11:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số

y = f (x)

đạt cực trị tại

x_{0}

thì

f^{''} (x_{0}) > 0

hoặc

f^{''} (x_{0}) < 0

.

B. Hàm số

y = f (x)

đạt cực trị tại

x_{0}

thì

f^{'} (x_{0}) = 0

.

C. Hàm số

y = f (x)

đạt cực trị tại

x_{0}

thì nó không có đạo hàm tại

x_{0}

.

D. Nếu hàm số đạt cực trị tại

x_{0}

thì hàm số không có đạo hàm tại

x_{0}

hoặc

f^{'} (x_{0}) = 0

.

Xem đáp án

Chọn D

Đáp án A sai, ví dụ hàm số $y = x^{4}$ đạt cực trị tại $x = 0$ nhưng $f^{''} (0) = 0$ .

Đáp án B sai, ví dụ hàm số $y = |x|$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ nhưng không tồn tại $f^{'} (0)$ .

Đáp án C sai, ví dụ hàm số $y = x^{2}$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ và $f^{''} (0) = 0$ .

Đáp án D đúng.

Câu 12:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(2; + \infty)

và nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 0)

.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(0; 2)

và nghịch biến trên khoảng

(2; + \infty)

.

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

(0; 2)

.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên R.

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Cho hàm số y= x^3-3x^2+6. Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .

Câu 13:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1) {(x - 2)}^{2} (x - 3)$ . Hỏi hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow (x + 1) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \end{array}$ .

Phương trình $f^{'} (x) = 0$ có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội chẵn. Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 14:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 2$ đạt cực trị tại $x_{1}$ , $x_{2}$ . Giá trị của biểu thức $S = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ bằng?

A. 10

B. 6

C. 4

D. 8

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 9$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Vậy $S = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10$ .

Câu 15:

Cho khối lăng trụ ( H) có thể tích V , diện tích S và chiều cao h . mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $h = \frac{S}{3 V}$

B. $h = \frac{3 V}{S}$

C. $h = \frac{S}{V}$

D. $h = \frac{V}{S}$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích khối lăng trụ $V = S . h \Rightarrow h = \frac{V}{S}$ .

Câu 16:

Cho hình chóp SABC, đáy ABC đều canh 2a. cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa SB và ( ABC) là 60 $°$ . Thể tích SABC là

A. $4 a^{3}$

B. $3 a^{3}$

C. $6 a^{3}$

D. $2 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

$S_{A B C} = \frac{1}{2} .2 a . \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a^{2} \sqrt{3}$ .

Góc giữa SB và $(A B C)$ là góc $\hat{S B A} = 60^{0}$ .

Trong tam giác SBA vuông tại A có $S A = A B . \tan 60^{0} = 2 a . \tan 60^{0} = 2 a \sqrt{3}$ .

Vậy thể tích của SABC là

V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . a^{2} \sqrt{3} .2 a \sqrt{3} = 2 a^{3}

.

Câu 17:

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa ( A'BC) và mặt phẳng đáy bằng 60 $°$ . Thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng

A. $a^{3} \sqrt{3}$

B. $3 a^{3} \sqrt{3}$

C. $4 a^{3} \sqrt{3}$

D. $3 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa ( A'BC) và mặt phẳng đáy bằng 60. Thể tích khối lăng trụ (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm BC suy ra góc giữa ( A'BC) và mặt phẳng đáy là góc $\hat{A^{'} M A} = 60 °$ .

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a suy ra $S_{A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} . {(2 a)}^{2} = a^{2} \sqrt{3}$ và $A M = a \sqrt{3}$ .

Tam giác $A^{'} A M$ có $\tan \hat{A^{'} M A} = \frac{A^{'} A}{A M} \Rightarrow A^{'} A = A M . \sqrt{3} = 3 a$ .

Thể tích của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là: $V_{A B C A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A^{'} A = a^{2} \sqrt{3} .3 a = 3 a^{3} \sqrt{3}$ .

Câu 18:

Một khối chóp có số mặt bằng 2021 thì có số cạnh bằng

A. 2020.

B. 2022.

C. 4044.

D. 4040.

Xem đáp án

Chọn D

Một khối chóp luôn có một mặt đáy và các mặt bên nên khối chóp có 2021 mặt thì có 2020 mặt bên. Suy ra mặt đáy có 2020 cạnh, và cũng có 2020 cạnh bên.

Vậy khối chóp đó có tất cả $2020 + 2020 = 4040$ cạnh.

Câu 19:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên các khoảng $(- \infty; 2), (2; + \infty)$ và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận ngang y=2.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=2 và tiệm cận ngang y=-1.

C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Xem đáp án

Chọn B

$\lim_{x \to 2^{-}} = + \infty, \lim_{x \to 2^{+}} = - \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$ .

$\lim_{x \to - \infty} = - 1, \lim_{x \to + \infty} = - 1 \Rightarrow$ đồ thị hàm số có tiệm cân ngang là $y = - 1$ .

Câu 20:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 1$

B. $y = x^{4} + 3 x$

C. $y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{4} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị hàm số $\Rightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ c = 1 \end{cases} \Rightarrow$ Chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Câu 21:

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{x + 1}{2 x + 1}

là

A. $y = 2$

B. $y = - 2$

C. $y = \frac{1}{2}$

D. $y = 1$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có : $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{2 x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}$ nên $y = \frac{1}{2}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 22:

Cho hàm số y=f(x) có $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) = 2$ và $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = - \infty .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=3.

Xem đáp án

Chọn D

Do $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) = 2$ và $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = - \infty .$ Nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=3 nên loại đáp án C. Giả thiết không cho giới hạn tại vô cực của hàm số $y = f (x)$ nên chưa thể kết luận về đường tiệm cận ngang.

Câu 23:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp SABCD là

A. $a^{3} \sqrt{3} .$

B. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

C. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $4 a^{3} \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên $S H ⊥ (A B C D)$ .

SH là đường cao của tam giác đều cạnh 2a $\Rightarrow S H = a \sqrt{3} .$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{1}{3} . {(2 a)}^{2} . a \sqrt{3} = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Câu 24:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = - x^{2} + 4 x

trên đoạn

[- 2; 5]

là

A. -12

B. 4

C. -4

D. 12

Xem đáp án

Chọn A

Ta có hàm số $f (x) = - x^{2} + 4 x$ liên tục trên đoạn $[- 2; 5]$ .

$f^{'} (x) = - 2 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [- 2; 5] .$

$f (- 2) = - 12; f (2) = 4; f (5) = - 5.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = - x^{2} + 4 x$ trên đoạn $[- 2; 5]$ là -12

Câu 25:

Cho hình chóp SABC có đáy làm tam giác ABC vuông cân ở B. Biết rằng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a và diện tích tam giác SBC là

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}

. Thể tích khối chóp SABC là :

A. $\frac{2 a^{3}}{6}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp SABC có đáy làm tam giác ABC vuông cân ở B. Biết rằng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a và diện tích tam giác SBC (ảnh 1)

Đặt $A B = x (x > 0)$ $\Rightarrow B C = x$ .

$B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$ .

$S B = \sqrt{a^{2} + x^{2}}$ .

$S_{Δ S B C} = \frac{1}{2} S B . S C \Leftrightarrow \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}} . x \Leftrightarrow x^{4} + a^{2} x^{2} - 2 a^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = a^{2} \\ x^{2} = - 2 a^{2} \end{array} \Leftrightarrow x = a$ .

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} a . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{a^{3}}{6}$ .

Câu 26:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{2} + \frac{16}{x}$ trên $(0; + \infty)$ bằng :

A. $4 \sqrt[3]{4}$

B. 16

C. 12

D. $4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B

$f' (x) = 2 x - \frac{16}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} - 16}{x^{2}}$

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow f (2) = 12$

Ta có bảng biến thiên sau :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)= x^2+ 16/ x trên ( 0, + vô cùng) bằng : (ảnh 1)

$\underset{(0; + \infty)}{G T N N f (x)} = 12$

Câu 27:

Cho hình chóp SABC có thể tích là 240. Gọi A', B', C' là các điểm thỏa mãn

\vec{S A} = 2 \vec{S A'}

;

\vec{S B} = 3 \vec{S B'}

;

\vec{S C} = 4 \vec{S C'}

.

A. 10

B. 20

C. 30

D. 40

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\frac{S A'}{S A} = \frac{1}{2}; \frac{S B'}{S B} = \frac{1}{3}; \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{4}$ .

Vậy áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: $\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{24}$ .

Vậy $V_{S . A' B' C'} = 10.$

Câu 28:

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 là

A. 27

B. 8.

C. 6.

D. 12.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có : $V_{K L P} = 2^{3} = 8$ .

Câu 29:

Khối chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Khối chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? (ảnh 1)

Câu 30:

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 2}$ là

A. $(- \infty; \frac{1}{3}) v à (\frac{1}{3}; + \infty)$

B. $(- \infty; 2) v à (2; + \infty)$

C. $(- \infty; - 2) v à (- 2; + \infty)$

D. R

Xem đáp án

Chọn B

TXĐ: $D = ℝ \ \{2\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}} < 0, \forall x \neq 2$ .

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 2}$ là $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$ .

Câu 31:

Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang

A. $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

B. $y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$

C. $y = \frac{x^{2} - 1}{x}$

D. $y = \frac{1 - x^{2}}{x}$

Xem đáp án

Chọn A

Xét hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ có tập xác định $D = (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} y = - 1$ và $\lim_{x \to + \infty} y = 1$ nên đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang.

- Đáp án B loại do tập xác định của hàm số không chứa $\infty$

- Đáp án C và D loại do hàm phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu.

Câu 32:

Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ trên $[2; 4]$ . Giá trị của tổng $M + m$ bằng

A. 6

B. 2

B. -3

D. 8

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f^{'} (x) = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [2; 4]$

Nên hàm $y = f (x)$ nghịch biến trên $[2; 4]$

Do đó ta có: $M = \max_{[2; 4]} f (x) = f (2) = 5; m = \min_{[2; 4]} f (x) = f (4) = 3$

Khi đó $M + m = 5 + 3 = 8$

Câu 33:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 4}{x^{2} - 16}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định: $D = ℝ \ \{\pm 4\}$ .

Ta có: $y = \frac{x - 4}{x^{2} - 16}$ $= \frac{1}{x + 4}$ .

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = 0$ ; $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = 0$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=0 làm tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to {(- 4)}^{-}} y = - \infty$ ; $\lim_{x \to {(- 4)}^{+}} y = + \infty$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = - 4$ làm tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận

Câu 34:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(- 2; 3)$ . B. Hàm số đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ .

C. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 4)$ . D. Hàm số đồng biến trên $(- 2; + \infty)$ .

A. Hàm số đồng biến trên

(- 2; 3)

B. Hàm số đồng biến trên

(- 1; + \infty)

.

C. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; 4)

.

D. Hàm số đồng biến trên

(- 2; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $(- 2; 3)$ .

Câu 35:

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có diện tích đáy là 15 và chiều cao của lăng trụ là 10. Thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' là ?

A. 150

B. 100

C. 50

D. 200

Xem đáp án

Chọn A

Ta có : $V = h . B = 10.15 = 150$ .

Câu 36:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m dể hàm số $y = x^{3} - 2 m x^{2} + (m^{2} - 3) x - 3$ đạt cực đại tại x=1.

A. $\{0\}$

B. $\{0; 4\}$

C. $\{\emptyset\}$

D. $\{4\}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có : $y^{'} = 3 x^{2} - 4 m x + m^{2} - 3, {y^{'}}^{'} = 6 x - 4 m$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 4 m x + m^{2} - 3 = 0$ (1).

Mặt khác x=1 là nghiệm phương trình ( 1)

$\Leftrightarrow 3.1 - 4 m .1 + m^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 4 \end{array}$

Với $\{\begin{cases} m = 0 \\ x = 1 \end{cases} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 6 > 0 \Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại x=1 (loại)

Với $\{\begin{cases} m = 4 \\ x = 1 \end{cases} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = - 10 < 0 \Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại x=1 (nhận)

Câu 37:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 1)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(1; 2)

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 2; - 1)

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 2)

Xem đáp án

Chọn B

Từ đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta có bảng biến thiên của hàm số y=f(x) như sau

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai? (ảnh 2)

Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 2)$ do đó cũng nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ ; hàm số đồng biến trên khoảng $(- 3; - 1)$ nên cũng đồng biến trên khoảng $(- 2; - 1)$ .

Câu 38:

Giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = 8 \cos^{3} x - 3 \cos 2 x - 3

A. 2

B. $- \frac{1}{2}$

C. -14

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $f (x) = 8 \cos^{3} x - 3 (2 \cos^{2} x - 1) - 3 = 8 \cos^{3} x - 6 \cos^{2} x$

Đặt $t = \cos x, t \in [- 1; 1]$ , bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g (t) = 8 t^{3} - 6 t^{2}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ .

$g^{'} (t) = 24 t^{2} - 12 t$ ; $g^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = \frac{1}{2} \end{array}$

Vì hàm số $g (t) = 8 t^{3} - 6 t^{2}$ liên tục trên đoạn $[- 1; 1]$ và $g (- 1) = - 14$ , $g (0) = 0$ , $g (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ , $g (1) = 2$ nên $\underset{ℝ}{\max f (x)} = \max_{[- 1; 1]} g (t) = g (1) = 2$ .

Câu 39:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + m}{x + 1}$ (m là tham số thực). Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là

A. $m > 2$

B. $m < 2$

C. $m \leq 2$

D. $m \geq 2$

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 1\}$

Ta có $y^{'} = \frac{2 - m}{{(x + 1)}^{2}}$

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $y^{'} < 0 \Leftrightarrow 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > 2$ .

Câu 40:

Cho hình chóp đều SABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại các điểm M,N,P. Biết mặt phẳng (P) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chu vi tam giác MNP bằng

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{3 a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{3 a}{\sqrt[3]{2}}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp đều SABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại các điểm (ảnh 1)

Ta có $\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} = {(\frac{S M}{S A})}^{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{S M}{S A} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Ta có $\frac{M N}{A B} = \frac{S M}{S A} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Rightarrow M N = \frac{a}{\sqrt[3]{2}}$ .

Tam giác MNP là tam giác đều, có chu vi là $\frac{3 a}{\sqrt[3]{2}}$ .

Câu 41:

Cho lăng trụ ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ( ABC) trùng với trung điểm H của BC. Góc tạo bởi cạnh bên AA'với mặt đáy bằng 45 $°$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{\sqrt{6}}{24}$

B. 1

C. $\frac{\sqrt{6}}{8}$

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Cho lăng trụ ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ( ABC) trùng với trung điểm H của BC. (ảnh 1)

Chiều cao của lăng trụ là A'H

$\hat{(A A^{'}; (A B C))} = \hat{A^{'} A H} = 45 °$ ; $\Rightarrow Δ A A^{'} H$ là tam giác vuông cân tại H

$\Rightarrow A^{'} H = A H = 2. \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ .

$V = h . S_{d} = A^{'} A . S_{Δ A B C} = \sqrt{3} . \frac{1}{2} . \sqrt{3} .2 = 3$ '(đvtt).

Câu 42:

Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kínhR=4 , người ta muốn cắt một hình chữ nhật (xem hình vẽ) có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất có thể của miếng tôn hình chữ nhật bằng

Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R=4 , người ta muốn cắt một hình chữ nhật (xem hình vẽ) có diện tích lớn nhất. (ảnh 1)

A. $4 \sqrt{2}$

B. 25

C. $16 \sqrt{2}$

D. 16

Xem đáp án

Chọn D

Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R=4 , người ta muốn cắt một hình chữ nhật (xem hình vẽ) có diện tích lớn nhất. (ảnh 2)

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là $x, 0 < x \leq 4$ .

Chiều dài của hình chữ nhật là $2 y, y > 0$ .

Xét $Δ O N P$ vuông tạ P ta có $x^{2} + y^{2} = 16 \Rightarrow y = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là

$S_{M N P Q} = x .2. \sqrt{16 - x^{2}} = 2. x . \sqrt{16 - x^{2}} \leq 2. \frac{x^{2} + 16 - x^{2}}{2} = 16$ .

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 16 (đvdt).

Câu 43:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x^{2} + 2 x + m}$ có 1 tiệm cận đứng.

A. $m = 1$ , m=-15

B. $m = 3, m = 15$

C. $m < 2$

D. $m > 1$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $f (x) = x^{2} + 2 x + m$ .

Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow f (x) = 0$ có 1 nghiệm kép khác 3 hoặc có 2 nghiệm phân biệt mà 1 nghiệm là .

Trường hợp 1: $f (x) = 0$ có 1 nghiệm kép khác 3 $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = 0 \\ f (3) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - m = 0 \\ 15 + m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 1 \\ m \neq - 15 \end{cases} \Leftrightarrow m = 1$ .

Trường hợp 2: $f (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt mà 1 nghiệm là $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ f (3) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - m > 0 \\ 15 + m = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 1 \\ m = - 15 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 15$ .

Vậy m=1; m=-15 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 44:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và bảng xét dấu f'(x) như sau:

Hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $(- \infty; - 1)$

C. $(- 1; 0)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Chọn D

$g^{'} (x) = 2 x . f^{'} (x^{2} - 2)$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x . f^{'} (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2} - 2) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array}$ .

Bảng xét dấu $g^{'} (x)$ :

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và bảng xét dấu f'(x) như sau: Hàm số g(x)= f( x^2-2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 2)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ .

Câu 45:

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' có AB= x, AD=3 góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng ( ABB'A') bằng $30 °$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật.

A. $9 \sqrt{2}$

B. $\frac{81}{2}$

C. $27 \sqrt{2}$

D. $\frac{27}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' có AB= x, AD=3 góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng ( ABB'A') bằng30 độ . (ảnh 1)

Ta có $A^{'} C \cap (A B B^{'} A^{'}) = A^{'}$ ; $B C ⊥ (A B B^{'} A^{'}) \Rightarrow (A^{'} C, (A B B^{'} A^{'})) = \hat{C A^{'} B} = 30 °$ .

Tam giác A'BC vuông tại B $\Rightarrow A^{'} B = B C . \cot \hat{B A^{'} C} = 3 \sqrt{3}$ .

Tam giác ABA' vuông tại A $\Rightarrow A A^{'} = \sqrt{A^{'} B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{27 - x^{2}}$ (với $- 3 \sqrt{3} < x < 3 \sqrt{3}$ ).

Suy ra $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 3 x \sqrt{27 - x^{2}} = 3 \sqrt{x^{2} (27 - x^{2})} \overset{A M - G M}{\leq} \frac{81}{2}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp bằng $\frac{81}{2}$ khi $x = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ .

Câu 46:

Cho hình chóp SABCD. Gọi A'B'C'D' lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho $\frac{S A^{'}}{S A} = \frac{S B^{'}}{S B} = \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{S D^{'}}{S D} = \frac{1}{3}$ . Tỉ số $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}}{V_{S . A B C D}}$ bằng

A. $\frac{1}{81}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{27}$

D. $\frac{1}{54}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp SABCD. Gọi A'B'C'D' lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho (ảnh 1)

Ta có, phép vị tự tâm S tỉ số k=3 biến hình chóp SA'B'C'D' thành hình chóp SABCD.

Suy ra $V_{S . A B C D} = 3^{3} . V_{S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} \Rightarrow \frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{27}$ .

Vậy $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{27}$ .

Câu 47:

Giá trị của tham số m để $\min_{x \in [- 1; 1]} (- x^{3} - 3 x^{2} + 2 m) = 0$ là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $y = f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 2 m$ .

$f^{'} (x) = - 3 x^{2} - 6 x$ .

Cho $f^{'} (x) = 0$ ta được:

$\begin{array}{l} - 3 x^{2} - 6 x = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 1; 1] \\ x = - 2 \notin [- 1; 1] \end{array} \end{array}$

Khi đó: $f (- 1) = 2 m - 2$ , $f (1) = 2 m - 4$ , $f (0) = 2 m$ .

Suy ra $\min_{x \in [- 1; 1]} (- x^{3} - 3 x^{2} + 2 m) = 2 m - 4$ .

Để $\min_{x \in [- 1; 1]} (- x^{3} - 3 x^{2} + 2 m) = 0$ thì $2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ .

Câu 48:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số y= ax^3+ bx^2+cx+d( a khác 0) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

A. $\{\begin{cases} a < 0 \\ b^{2} - 3 a c < 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} a < 0 \\ b^{2} - 3 a c > 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} a > 0 \\ b^{2} - 3 a c < 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} a > 0 \\ b^{2} - 3 a c > 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta được $a > 0$ .

$y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

Đồ thị hàm số đã cho không có điểm cực trị nên phương trình $3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ vô nghiệm.

Khi đó: $Δ^{'} = b^{2} - 3 a c < 0$ .

Câu 49:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 (m - 1) x^{2} - (3 m - 9) x + 15 m - 12$ (m là tham số thực). Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên R là

A. $m \in [1; 4]$

B. $m \in [- 1; 2]$

C. $m \in (- \infty; - 1)$

D. $m \in (- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 (m - 1) x - 3 m + 9$ . Để hàm số đồng biến trên R thì

$\{\begin{cases} Δ' \leq 0 \\ a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 {(m - 1)}^{2} - 3 (- 3 m + 9) \leq 0 \\ 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 9 m^{2} - 9 m - 18 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 2.$

Câu 50:

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 2 m x^{2} - 2 (m^{2} - 3) x + 1$ có hai điểm cực trị có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1.$ Số phẩn tử của S là

A. 2

B, 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y' = 6 x^{2} - 4 m x - 2 m^{2} + 6$ . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thì

$Δ' > 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 6 (- 2 m^{2} + 6) > 0 \Leftrightarrow 16 m^{2} - 36 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < \frac{- 3}{2} \\ m > \frac{3}{2} \end{array} .$

Yêu cầu bài toán hai điểm cực trị có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1 (*) .$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{2 m}{3} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{- m^{2} + 3}{3} \end{cases}$ .

Khi đó

$\begin{array}{l} (*) \Leftrightarrow \frac{- m^{2} + 3}{3} + 2. \frac{2 m}{3} = 1 \\ \Leftrightarrow - m^{2} + 4 m = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 4 \end{array} . \end{array}$

So sánh điều kiện $[\begin{array}{l} m < \frac{- 3}{2} \\ m > \frac{3}{2} \end{array}$ ta thấy m=4 thỏa mãn.

Vậy có 1 giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.