50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 24

Câu 1:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ , có bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(1; + \infty)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 2)

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 1)

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; + \infty)

Xem đáp án

Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1) \supset (- \infty; - 2)$ nên đáp án B đúng.

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 3$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$ .

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(0; 2)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 0)

.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng

(- \infty; - 2)

và

(0; 2)

.

Xem đáp án

Ta thấy, $y^{'} = x^{3} - 4 x$ . Cho $y^{'} = 0 \Rightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \\ x = 0 \end{array}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$ ;

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(0; 2)$ .

Câu 3:

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta thấy, $y^{'} = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq 1$ . Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định của nó nên hàm số không có cực trị.

Câu 4:

Tìm giá trị cực đại của hàm số

y = x^{3} - 12 x - 1

.

A. -`17

B. -2

C. 45

D. 15

Xem đáp án

$y^{'} = 3 x^{2} - 12$ . Cho $y^{'} = 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 2, f_{C D} = f (- 2) = 15$ .

Câu 5:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $- \frac{50}{27}$

B. -2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ .

Cho $f^{'} = 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{1}{3} \end{array}$

Ta có $f (0) = - 2$ ; $f (1) = - 2$ ; $f (\frac{1}{3}) = - \frac{50}{27}$ ; $f (2) = 0$ . Suy ra $\max_{[0; 2]} f (x) = 0$ .

Câu 6:

Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{5 - 4 x}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ . Khi đó M-n bằng

A. 8

B. -8

C. -2

D. 2

Xem đáp án

Hàm số có tập xác định là $D = (- \infty; \frac{5}{4}]$ .

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $[- 1; 1]$

Ta có $y^{'} = \frac{- 2}{\sqrt{5 - 4 x}} < 0$ $\forall x \in [- 1; 1]$ .

$y (1) = 1, y (- 1) = 3$ $\Rightarrow M = 3, m = 1 \Rightarrow$ $M - m = 2$ .

Câu 7:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên.

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A. $x = 1$

B. $x = 0$

C. $x = 5$

D. $x = 2$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại điểm x=2 .

Câu 8:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm của phương trình $f (x) = - 1$ là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm giữa đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng $y = - 1$

Dựa vào bảng biến thiên hàm số thấy đường thẳng $y = - 1$ cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại 2 điểm phân biệt nên phương trình $f (x) = - 1$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 9:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên $(- 4; 4)$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. $\underset{(- 4; 4)}{\max y} = 0 v à \underset{(- 4; 4)}{\min y} = - 4$

B. $\underset{(- 4; 4)}{\max y} = 10 v à \underset{(- 4; 4)}{\min y} = - 4$

C. $\underset{(- 4; 4)}{\max y} = 10 v à \underset{(- 4; 4)}{\min y} = - 10$

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên $(- 4; 4)$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 10:

Cho hàm số y=f(x) có $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2$ và $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng

x = 2

và x=-2.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng

y = 2

và y=-2.

Xem đáp án

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2 \overset{}{\to} y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2 \overset{}{\to} y = - 2$ đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 11:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 4 x}{2 x - 1} .$ .

A. y=2

B. $x = - 2$

C. $y = \frac{1}{2}$

D. y=-2

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 4 x}{2 x - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x} - 4}{2 - \frac{1}{x}} = - 2 \\ \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 - 4 x}{2 x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - 4}{2 - \frac{1}{x}} = - 2 \end{array}$

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 4 x}{2 x - 1}$ là y=-2.

Câu 12:

Khối hộp chữ nhật có ba kích thước a=5 , b=4, c=3 có thể tích là

A. 20

B. 30

C. 50

D. 60

Xem đáp án

Thể tích khối hộp là $V = a b c = 60.$

Câu 13:

Khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h. Thể tích khối chóp là

A. $\frac{4}{3} B h$

B. $3 B h$

C. $\frac{1}{3} B h$

D. $\frac{1}{6} B h$

Xem đáp án

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là $V = \frac{1}{3} B h$ .

Câu 14:

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là

A. $\frac{4}{3} B h$

B. $3 B h$

C. $\frac{1}{3} B h$

D. $B h$

Xem đáp án

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là $V = B h$ .

Câu 15:

Khối đa diện đều loại {4,3} là

A. Khối chóp tứ giác đều.

B. Khối bát diện đều.

C. Khối tứ diện đều.

D. Khối lập phương.

Xem đáp án

Theo lý thuyết khối đa diện đều chọn D

Câu 16:

Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{6}$ . Thể tích khối chóp SABC bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

B. $a^{3} \sqrt{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $h = a$

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc ( ABCD) và SA = a căn 6. Thể tích khối chóp SABC bằng (ảnh 1)

Ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} a^{2} . a \sqrt{6} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

Câu 17:

Cho một khối lăng trụ có thể tích là $a^{3} \sqrt{3}$ , đáy tam giác có diện tích $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ . Tính chiều cao của khối lăng trụ.

A. $h = 4 a$

B. $h = 3 a$

C. $h = 2 a$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Ta có thể tích khối lăng trụ: $V = B . h \Rightarrow h = \frac{V}{B} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} = 4 a$ .

Câu 18:

Cho khối chóp SABC Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' sao cho $S A' = \frac{1}{2} S A, S B' = \frac{1}{3} S B, S C' = \frac{1}{4} S C .$ Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp $S . A B C$ và $S . A' B' C' .$ Khi đó tỉ số $\frac{V'}{V}$ là

A. 24

B. $\frac{1}{24}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Cho khối chóp SABC Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' sao cho SA'= 1/2SA, SB'= 1/ 3SB, SC'= 1/4 SC Gọi V và V' lần (ảnh 1)

$\frac{V'}{V} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$

Câu 19:

Cho khối bát diện đều. Gọi a,b,c lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt của khối bát diện đều. Chọn khẳng định đúng.

A. $a + b + c = 6$

B. $a + b + c = 62$

C. $a + b + c = 26$

D. $a + b + c = 14$

Xem đáp án

Cho khối bát diện đều. Gọi a,b,c lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt của khối bát diện đều. Chọn khẳng định đúng. (ảnh 1)

Ta có số đỉnh, số cạnh và số mặt của khối bát diện đều lần lượt là 6, 12, 8.

Suy ra $a + b + c = 6 + 12 + 8 = 26$ .

Câu 20:

Cho hình chóp SABC có thể tích bằng

a^{3}

và đáy có diện tích

a^{2} \sqrt{3}

. Tính chiều cao h của khối chóp đã cho

A. $h = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

B. $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $h = a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Ta có:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot h \Rightarrow h = \frac{3 a^{3}}{a^{2} \sqrt{3}} = a \sqrt{3}

Câu 21:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ có đồ thị ( C). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (C)

A. $I (- 2; 2)$

B. $I (2; 2)$

C. $I (2; - 2)$

D. $I (- 2; - 2)$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=-2 ; và tiệm cận ngang là y=2.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ là $I (- 2; 2)$

Câu 22:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. $y = - x^{3} + 2 x^{2} - 1$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 4$

Xem đáp án

Ta thấy hình dáng đồ thị là của hàm số bậc 3 với hệ số $a < 0$ nên loại đáp án B.

Với $x = 0 \Rightarrow y = 1$ nên loại đáp án A và D. Vậy đáp án đúng là C

Câu 23:

Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{2 x - 3}{2 x - 2}$

B. $y = \frac{x}{x - 1}$

C. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị nhận đường thẳng $x = 1 x = 1$ là tiệm cận đứng, $y = 1$ là tiệm cận ngang, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên loại đáp án C.

Với $x = 0 \Rightarrow y = - 1$ và $x = - 1 \Rightarrow y = 0$ nên loại đáp án A, B.

Vậy đáp án đúng là D

Câu 24:

Cho hàm số $y = x^{4} + 4 x^{2}$ có đồ thị (C).Tìm số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành?

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{4} + 4 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Suy ra đồ thị hàm số có một điểm chung với trục hoành.

Câu 25:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ?

A. $y = x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 5.$

B. $y = x^{2} + 3$

C. $y = x^{4} + 2 x^{2} + 2$

D. $y = 2020$

Xem đáp án

Xét hàm số $y = x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 5.$

Ta có $y' = 3 x^{2} + 4 x + 3 = {(\sqrt{3} x + \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \frac{5}{3} > 0, \forall x \in ℝ$ . Hàm số đồng biến trên R.

Câu 26:

Tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng $y = x - 1$ là:

A. $(- 1; 0), (0; 1) .$

B. $(- 1; 0), (0; - 1) .$

C. $(1; 0) .$

D. $(1; 0), (0; - 1) .$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng $y = x - 1$ là:

$\frac{x - 1}{x + 1} = x - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 1 \\ x^{2} - x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Với $x = 0 \Rightarrow y = - 1$

Với $x = 1 \Rightarrow y = 0$

Câu 27:

Hàm số nào sau đây có cực đại và cực tiểu?

A. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x.$

B. $y = - x^{3} - 3 x.$

C. $y = x^{3} - 3 x.$

D. $y = x^{3} + 3.$

Xem đáp án

Xét hàm số: $y = x^{3} - 3 x$

$y' = 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 0 \end{array}$

suy ra hàm số có cực đại, cực tiểu

Chọn đáp án C.

Câu 28:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d : y = 2 x - 3.$ Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A và B. Khoảng cách giữa A và B là

A. $A B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

B. $A B = \frac{5}{2}$

C. $A B = \frac{5 \sqrt{5}}{2}$

D. $A B = \frac{2}{5}$

Xem đáp án

Ta có: pt hoành độ giao điểm

$\frac{2 x - 1}{x + 1} = 2 x - 3$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}$

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm $A (- \frac{1}{2}; - 4)$ và $B (2; 1)$ . Khoảng cách giữa A và B là

$A B = \sqrt{{(2 + \frac{1}{2})}^{2} + {(1 + 4)}^{2}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2}$ .

Chọn đáp án C.

Câu 29:

Biết $m_{0}$ là giá trị tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + m x - 1$ có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ sao cho ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2} = 13.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m_{0} \in (- 1; 7)$

B. $m_{0} \in (7; 10)$

C. $m_{0} \in (- 15; - 7)$

D. $m_{0} \in (- 7; - 1)$

Xem đáp án

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x + m = 0$ (1)

Để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ khi (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ' > 0$ $\Leftrightarrow m < 3$

Khi đó: ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2} = 13$ $\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 13 \Leftrightarrow 4 - m = 13$ $\Leftrightarrow m = - 9$ (thỏa mãn).

Câu 30:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)= 2-3m có bốn nghiệm phân biệt.

A. $m \leq - \frac{1}{3}$

B. $- 1 < m \leq - \frac{1}{3}$

C. $- 1 < m < - \frac{1}{3}$

D. $3 < m < 5$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên để phương trình $f (x) = 2 - 3 m$ có bốn nghiệm phân biệt.

$3 < 2 - 3 m < 5 \Leftrightarrow - 1 < m < - \frac{1}{3}$ .

Câu 31:

Cho hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + (3 m + 2) x+ 1$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho nghich biến trên R?

A. $- 2 \leq m \leq - 1$

B. $[\begin{array}{l} m > - 1 \\ m < - 2 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} m \geq - 1 \\ m \leq - 2 \end{array}$

D. $- 2 < m < 1$

Xem đáp án

Để hàm số đã cho nghich biến trên R khi $y' = - x^{2} + 2 m x + (3 m + 2) \leq 0, \forall x$

$Δ' \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 1$

Chọn đáp án A.

Câu 32:

Cho hàm sốy= f(x) . Biết đồ thị của hàm số y=f'(x) như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 2)$

B. $(- \infty; - 1)$

C. $(- 1; 0)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Ta thấy đồ thị hàm số $y = f' (x)$ cắt Ox tại ba điểm lần lượt từ trá sang phải là $x_{1}; 0; x_{2}$ , với $- 2 < x_{1} < - 1; 1 < x < 2$ .

$f' (x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < x_{1} \\ 0 < x < x_{2} \end{array}$

Suy ra hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; x_{1})$ và $(0; x_{2})$

Chọn đáp án A.

Câu 33:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên để m hàm $y = \frac{(m + 1) x - 2}{x - m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ \ \{m\}$

Ta có:

$y' = \frac{- m^{2} - m + 2}{{(x - m)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định: $y' > 0$ với $\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{- m^{2} - m + 2}{{(x - m)}^{2}} > 0 \Rightarrow - m^{2} - m + 2 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1$ .

Vậy $S = \{- 1; 0\}$ .

Câu 34:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng $d : y = x + m$ cắt đồ thị hàm $y = \frac{- x + 1}{2 x - 1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ .

A. $m < 0$

B. $m \in ℝ$

C. $m > 1$

D. $m = 5$

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{1}{2}\}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{- x + 1}{2 x - 1} = x + m$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 m x - m - 1 = 0$

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thì phương trình $2 x^{2} + 2 m x - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\neq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ' = m^{2} + 2 m + 1 = {(m + 1)}^{2} + 1 > 0 \forall x \in ℝ \\ 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 m . \frac{1}{2} - m - 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \forall m \in ℝ .$

Vậy $m \in ℝ$ .

Câu 35:

Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3, cạnh bên bằng $2 \sqrt{3}$ và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 $°$ . Khi đó thể tích khối lăng trụ là

A. $\frac{9}{4}$

B. $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{27}{4}$

Xem đáp án

Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3, cạnh bên bằng 2 căn 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 độ. (ảnh 1)

Diện tích đáy của khối lăng trụ $S = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ , chiều của khối lăng trụ $h = 2 \sqrt{3} . s i n 30^{0} = \sqrt{3}$ .

Vậy thể tích khối lăng trụ là $\frac{27}{4}$ .

Câu 36:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tha số m để hàm số

$y = (m^{2} - 4) x^{4} + (m^{2} - 25) x^{2} + m - 3$ có 3 cực trị.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow a b < 0 \Leftrightarrow (m^{2} - 4) (m^{2} - 25) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 5 < m < - 2 \\ 2 < m < 5 \end{array}$ . Vậy có hai giá trị nguyên dương của tham số m thỏa ycbt.

Câu 37:

Các đường chéo của các mặt hình hộp chữ nhật bằng $\sqrt{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13} .$ Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó.

A. $V = 6$

B. $V = 5 \sqrt{26}$

C. $V = 2$

D. $V = \frac{5 \sqrt{26}}{3}$

Xem đáp án

Các đường chéo của các mặt hình hộp chữ nhật bằng căn 5, căn 10 , căn 13 Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó. (ảnh 1)

Đặt $x, y, z$ lần lượt là chiều dài, rộng, cao của hình hộp chữ nhật $(x, y, z > 0)$ .

Khi đó ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 5 \\ x^{2} + z^{2} = 13 \\ y^{2} + z^{2} = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = 4 \\ y^{2} = 1 \\ z^{2} = 9 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \end{cases}$ .

Vậy $V = x y z = 2.1.3 = 6$ .

Câu 38:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - m x + 1}$ có hai đường tiệm cận đứng.

A. $m \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty) \ \{\frac{5}{2}\}$

B. $m \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

C. $m \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

D. $m \neq \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - m x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 \\ m < - 2 \end{array} .$

Câu 39:

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên $ℝ \ \{- 2; 2\},$ có bảng biến thiên như sau:

$Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R\{-2,2}có bảng biến thiên như sau: Gọi k,l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (ảnh 1)$

Gọi k,l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 2020} .$ Tính k+l.

A. $k + l = 2$

B. $k + l = 3$

C. $k + l = 4$

D. $k + l = 5$

Xem đáp án

$Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R\{-2,2}có bảng biến thiên như sau: Gọi k,l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (ảnh 2)$

$f (x) - 2020 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = a (a < - 2) \\ x = b (- 2 < b < 0) \\ x = c (0 < c < 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a^{\mp}} \frac{1}{f (x) - 2020} = \infty \\ \lim_{x \to b^{\mp}} \frac{1}{f (x) - 2020} = \infty \Rightarrow k = 3. \\ \lim_{x \to c^{\mp}} \frac{1}{f (x) - 2020} = \infty \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{f (x) - 2020} = - \frac{1}{2021} \\ \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{f (x) - 2020} = 0 \\ \Rightarrow l = 2. \end{array}$

Vậy k+l=5.

Câu 40:

Cho hàm số

y = \frac{3 x + 5}{3 x + 1}

có đồ thị (C) Gọi S là tập hợp tất cả các điểm thuộc (C) có tọa độ là số nguyên. Tính số phần tử của S.

A. 15

B. 3

C. 2

D. 6

Xem đáp án

$y = \frac{3 x + 5}{3 x + 1} = 1 + \frac{4}{3 x + 1}$ .

Do x,y là các số nguyên nên

$\Rightarrow [\begin{array}{l} 3 x + 1 = \pm 1 \\ 3 x + 1 = \pm 2 \\ 3 x + 1 = \pm 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0, x = \frac{- 2}{3} \\ x = \frac{1}{3}, x = - 1 \\ x = 1, x = - \frac{5}{3} \end{array}$ .

Suy ra các tọa độ nguyên $(0; 5); (- 1; - 1); (1; 2) .$

Câu 41:

Gọi A,B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 4$ . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

A. 1

B. $\sqrt{2} + 1$

C. $\sqrt{2} - 1$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$ và y' đổi dấu qua các nghiệm đó.

$\Rightarrow$ Hàm số có ba điểm cực trị tại $x = 0; x = 1; x = - 1$ .

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $A (0; 4); B (1; 3); C (- 1; 3)$ .

$\Rightarrow \vec{A B} = (1; - 1) \Rightarrow A B = \sqrt{2}$ ; $\vec{A C} = (- 1; - 1) \Rightarrow A C = \sqrt{2}$ ; $\vec{B C} = (- 2; 0) \Rightarrow B C = 2$ .

$\Rightarrow Δ A B C$ cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC $\Rightarrow A H ⊥ B C$ .

$\Rightarrow A H = \sqrt{A B^{2} - H B^{2}} = \sqrt{2 - 1} = 1$ .

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = 1$ .

Mà $p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + 1$

Vì $S_{Δ A B C} = p r \Rightarrow r = \frac{S_{Δ A B C}}{p} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ .

Vậy $r = \sqrt{2} - 1$ .

Câu 42:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA= a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho $S N = 2 N D$ . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN.

A. $V = \frac{1}{12} a^{3}$

B. $V = \frac{1}{8} a^{3}$

C. $V = \frac{1}{36} a^{3}$

D. $V = \frac{1}{6} a^{3}$

Xem đáp án

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA= a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho (ảnh 1)

Ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{S . A B C D} = \frac{a^{3}}{3}$ .

Vì $\frac{N D}{S D} = \frac{1}{3} \Rightarrow d (N, (A B C D)) = \frac{1}{3} S A = \frac{a}{3}$ .

$\frac{M B}{S B} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (M, (A B C D)) = \frac{1}{2} S A = \frac{a}{2}$ .

Mà $V_{A C M N} = V_{S . A B C D} - V_{S A M N} - V_{S C M N} - V_{M A B C} - V_{N A D C}$

Mặt khác $V_{S A B D} = V_{S B C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3}}{6}$ .

$\frac{V_{S A M N}}{V_{S A B D}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S D} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{3} V_{S A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a^{3}}{6} = \frac{a^{3}}{18}$ .

$\frac{V_{S C M N}}{V_{S B C D}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S D} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S C M N} = \frac{1}{3} V_{S B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a^{3}}{6} = \frac{a^{3}}{18}$ .

$V_{M A B C} = \frac{1}{3} d (M, (A B C D)) . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a}{2} . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{a^{3}}{12}$ .

$V_{N A D C} = \frac{1}{3} d (N, (A B C D)) . S_{A D C} = \frac{1}{3} . \frac{a}{3} . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{a^{3}}{18}$ .

Vậy $V_{A C M N} = \frac{a^{3}}{3} - \frac{a^{3}}{18} - \frac{a^{3}}{18} - \frac{a^{3}}{12} - \frac{a^{3}}{18} = \frac{a^{3}}{12}$ .

Câu 43:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {(x^{2} + x + m)}^{2}$ trên đoạn $[- 2; 2]$ bằng 4. Tính tổng các phần tử của S.

A. $- \frac{23}{4}$

B. $\frac{41}{4}$

C. $\frac{9}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Vì $\underset{[- 2; 2]}{\min y} = 4$ nên ${(x^{2} + x + m)}^{2} \geq 4 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} + x + m \geq 2 \\ x^{2} + x + m \leq - 2 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} m \geq - x^{2} - x + 2 = f (x) \\ m \leq - x^{2} - x - 2 = g (x) \end{matrix}, \forall x \in [- 2; 2] .$

+) Xét $f (x) = - x^{2} - x + 2, \forall x \in [- 2; 2]$ .

$f' (x) = - 2 x - 1; f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

BBT

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y= ( x^2+x+m^2)^2 trên đoạn[-2,2] bằng 4. Tính tổng các phần tử của S. (ảnh 1)

Từ BBT suy ra $m \geq \frac{9}{4}$ . $\underset{[- 2; 2]}{\min y} = 4 \Leftrightarrow m = \frac{9}{4} .$

+) Xét $g (x) = - x^{2} - x - 2, \forall x \in [- 2; 2] .$

$g' (x) = - 2 x - 1; g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

BBT

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y= ( x^2+x+m^2)^2 trên đoạn[-2,2] bằng 4. Tính tổng các phần tử của S. (ảnh 2)

Từ BBT suy ra $m \leq - 8$ . $\underset{[- 2; 2]}{\min y} = 4 \Leftrightarrow m = - 8.$

Vậy $S = \{\frac{9}{4}; - 8\}$ Do đó $m_{1} + m_{2} = \frac{9}{4} - 8 = - \frac{23}{4}$ .

Câu 44:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $d : y = - x + m .$ Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, Bsao cho $Δ P A B$ đều, biết $P (2; 5)$ . Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của S.

A. 10

B. 26

C. 25

D. 16

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2 x - 1}{x + 1} = - x + m$ , đk $x \neq - 1$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = (- x + m) (x + 1)$

$\Leftrightarrow x^{2} + (3 - m) x - 1 - m = 0 (1)$

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, Bkhi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt, $x \neq - 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(3 - m)}^{2} + 4 m + 4 > 0 \\ 1 - 3 + m - 1 - m \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 13 > 0$ , đúng $\forall m$

Gọi $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ là hai giao điểm của d và (C)

Suy ra $A (x_{1}; - x_{1} + m)$ , $B (x_{2}; - x_{2} + m)$

Theo viet ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m - 3 \\ x_{1} . x_{2} = - 1 - m \end{cases}$

$A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(x_{1} - x_{2})}^{2}}$ $= \sqrt{2 {(m - 3)}^{2} + 8 + 8 m}$

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I (\frac{m - 3}{2}; \frac{m + 3}{2})$

$\vec{P I} = (\frac{m - 7}{2}; \frac{m - 7}{2})$

Mặc khác $P I = d (I; (d)) = \frac{|5 + 2 - m|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|7 - m|}{\sqrt{2}}$

Đề tam giác $Δ P A B \Leftrightarrow P I = A B . \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{|7 - m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2 m^{2} - 4 m + 26} . \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow 2 {(7 - m)}^{2} = 3 (2 m^{2} - 4 m + 26) \Leftrightarrow 4 m^{2} + 16 m - 20 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 5 \end{array} \Rightarrow {m_{1}}^{2} + {m_{2}}^{2} = 26$

Chọn đáp án B

Câu 45:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Hàm số $g (x) = f (x) - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + 2$ có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có $g' (x) = f' (x) - x^{2} + 2 x - 1$

$g' (x) = 0$ $\Leftrightarrow f' (x) = x^{2} - 2 x+ 1 = {(x - 1)}^{2}$ . (*)

Dựa vào tương giao của 2 đồ thị $y = f' (x)$ và $y = {(x - 1)}^{2}$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x)=f(x)= -x^3/3+x^2-x+2 có bao nhiêu điểm cực đại? (ảnh 2)

Khi đó (*) có 3 nghiệm $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}$

Bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x)=f(x)= -x^3/3+x^2-x+2 có bao nhiêu điểm cực đại? (ảnh 3)

Vậy hàm số $g (x) = f (x) - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + 2$ có một cực đại.

Câu 46:

Cho hai tam giác đều ABC và ABD có độ dài cạnh bằng 1 và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳng CD. Tính thể tích của khối đa diện ABDSC.

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{3}{8}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Cho hai tam giác đều ABC và ABD có độ dài cạnh bằng 1 và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳng CD. Tính thể tích của khối đa diện ABDSC. (ảnh 1)

Câu 47:

Cho hình chóp SABCcó các cạnh AB=a, $A C = a \sqrt{3}$ , $S B > 2 a$ và góc $∠ A B C = ∠ B A S = ∠ B C S = 90^{0}$ . Biết sin của góc giữa đường thẳng SBvà mặt phẳng $(S A C)$ bằng $\frac{\sqrt{11}}{11}$ . Tính thể tích khối chóp SABC

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Cho hình chóp SABCcó các cạnh AB=a, AC = a căn 3, SB> 2a (ảnh 1)

là góc $∠ B S J$ . Ta có $\sin ∠ B S J = \frac{B J}{S B} = \frac{\sqrt{11}}{11} \Leftrightarrow \frac{B J^{2}}{S B^{2}} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow \frac{B J^{2}}{h^{2} + 3 a^{2}} = \frac{1}{11} \Rightarrow B J^{2} = \frac{h^{2} + 3 a^{2}}{11}$ .

Ta thấy $d (D, (S A C)) = d (B, (S A C)) \Rightarrow D K = B J$ . Do đó

$\frac{2 a^{2} h^{2}}{2 a^{2} + 3 h^{2}} = \frac{h^{2} + 3 a^{2}}{11} \Leftrightarrow (h^{2} + 3 a^{2}) (2 a^{2} + 3 h^{2}) = 22 a^{2} h^{2}$

$\Leftrightarrow 3 h^{4} - 11 a^{2} h^{2} + 6 a^{4} = 0$ $\Leftrightarrow h^{2} = 3 a^{2}$ hoặc $h^{2} = \frac{2}{3} a^{2}$ .

Trong tam giác vuông SDB có $S B > 2 a$ , $B D = a \sqrt{3}$ nên $S D > a$ , hay h>a. Suy ra $h = a \sqrt{3}$ .Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S D . S_{A B C} = \frac{1}{3} a \sqrt{3} (\frac{1}{2} a . a \sqrt{2}) = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

Câu 48:

Biết điểm $M (x_{M}; y_{M})$ thuộc đồ thị $(C) : y = \frac{2 x - 2}{x + 1}$ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng $Δ_{1} : 2 x - y + 4 = 0$ bằng $\frac{2}{3}$ lần khoảng cách từ M đến đường thẳng $Δ_{2} : x - 2 y + 5 = 0$ . Hãy chọn khẳng định đúng?

A. $x_{M} + y_{M} = - 4$

B. $x_{M} + y_{M} = 4$

C. $x_{M} + y_{M} = 2$

D. $x_{M} + y_{M} = 0$

Xem đáp án

Ta có $d_{(M; Δ_{1})} = \frac{|2 x_{M} - y_{M} + 4|}{\sqrt{5}}$ và $d_{(M; Δ_{2})} = \frac{|x_{M} - 2 y_{M} + 5|}{\sqrt{5}}$

Suy ra $|2 x_{M} - y_{M} + 4| = \frac{2}{3} |x_{M} - 2 y_{M} + 5|$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 (2 x_{M} - y_{M} + 4) = 2 (x_{M} - 2 y_{M} + 5) \\ 3 (2 x_{M} - y_{M} + 4) = - 2 (x_{M} - 2 y_{M} + 5) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x_{M} + y_{M} = - 2 (1) \\ 8 x_{M} - 7 y_{M} = - 22 (2) \end{array}$

Mà $M (x_{M}; y_{M})$ thuộc đồ thị $(C) : y = \frac{2 x - 2}{x + 1}$ suy ra $y_{M} = \frac{2 x_{M} - 2}{x_{M} + 1}$

Thay vào (1)ta được $4 x_{M} + \frac{2 x_{M} - 2}{x_{M} + 1} = - 2 \Leftrightarrow 4 x_{M}^{2} + 8 x_{M} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{M} = 0 \Rightarrow y_{M} = - 2 \\ x_{M} = - 2 \Rightarrow y_{M} = 6 \end{array}$

Thay vào (2) ta được $8 x_{M} - 7 \frac{2 x_{M} - 2}{x_{M} + 1} = - 22 \Leftrightarrow 8 x_{M}^{2} + 16 x_{M} + 36 = 0 (V N)$

Vậy $x_{M} + y_{M} = 4$ là đúng.

Câu 49:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ có đồ thị (C) và điểm $M (3; - 1)$ . Gọi D là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm M và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho $M B = 3 M A$ . Tính tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D.

A. -1

B. $- \frac{6}{5}$

C. $\frac{9}{5}$

D. 2

Xem đáp án

Gọi đường thẳng thuộc D có dạng: $d : y = k (x - 3) - 1 = k x - 3 k - 1$ .

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} \frac{x - 2}{x - 1} = k x - 3 k - 1 \\ \Leftrightarrow x - 2 = (k x - 3 k - 1) (x - 1) \\ \Leftrightarrow k x^{2} - 2 (2 k + 1) x + 3 k + 3 = 0 \begin{matrix} (1) \end{matrix} \end{array}$

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 $\{\begin{cases} k \neq 0 \\ {(2 k + 1)}^{2} - k (3 k + 3) > 0 \\ k {.1}^{2} - 2 (2 k + 1) .1 + 3 k + 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k \neq 0 \\ k^{2} + k + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow k \neq 0$ , tức là

.

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa hệ thức Viet:

. $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{4 k + 2}{k} \begin{matrix} (2) \end{matrix} \\ x_{1} x_{2} = \frac{3 k + 3}{k} \begin{matrix} (3) \end{matrix} \end{cases}$

Gọdi $A (x_{1}; k x_{1} - 3 k - 1) \Rightarrow \vec{M A} = (x_{1} - 3; k x_{1} - 3 k)$ .

$B (x_{2}; k x_{2} - 3 k - 1) \Rightarrow \vec{M B} = (x_{2} - 3; k x_{2} - 3 k)$ .

Ta có $M B = 3 M A \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \vec{M B} = 3 \vec{M A} \\ \vec{M B} = - 3 \vec{M A} \end{array}$ .

Trường hợp 1: $\vec{M B} = 3 \vec{M A} \Leftrightarrow x_{2} - 3 = 3 (x_{1} - 3) \Leftrightarrow x_{2} = 3 x_{1} - 6 \begin{matrix} (4) \end{matrix}$ .

Từ (2)và (4) suy ra $\{\begin{cases} x_{1} + 3 x_{1} - 6 = \frac{4 k + 2}{k} \\ x_{2} = 3 x_{1} - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{10 k + 2}{4 k} \\ x_{2} = \frac{6 k + 6}{4 k} \end{cases}$

Thay vào (3), ta được

$\begin{array}{l} (\frac{10 k + 2}{4 k}) (\frac{6 k + 6}{4 k}) = \frac{3 k + 3}{k} \\ \Leftrightarrow 12 k^{2} + 24 k + 12 = 0 \\ \Leftrightarrow k = - 1 \end{array}$

Trường hợp 2: $\vec{M B} = - 3 \vec{M A} \Leftrightarrow x_{2} - 3 = - 3 (x_{1} - 3) \Leftrightarrow x_{2} = - 3 x_{1} + 12 \begin{matrix} (5) \end{matrix}$ .

Từ (2)và (5) suy ra $\{\begin{cases} x_{1} - 3 x_{1} + 12 = \frac{4 k + 2}{k} \\ x_{2} = - 3 x_{1} + 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{4 k - 1}{k} \\ x_{2} = \frac{3}{k} \end{cases}$

Thay vào (3), ta được:

$\begin{array}{l} (\frac{4 k - 1}{k}) (\frac{3}{k}) = \frac{3 k + 3}{k} \\ \Leftrightarrow 3 k^{2} - 9 k + 3 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ k = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{array} \end{array}$

Vậy tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D là

$S = - 1 + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = 2$ .

Câu 50:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C. Hai mặt phẳng (SBC) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

. Biết

A B = 4 a; B C = C D = a

và khoảng cách từ trung điểm E của BC đến mặt phẳng

(S A D)

bằng

\frac{5 a \sqrt{26}}{52}

. Tính thể tích khối chóp SABCD.

A. $\frac{5 a^{3}}{6}$

B. $\frac{6 a^{3}}{5}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{5}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Do hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S B D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ nên $S B ⊥ (A B C D)$ .

Gọi Q là giao điểm của $B C, A D$ . Gọi F là trung điểm AD.

Kẻ $B M ⊥ A D, B I ⊥ S M$ . Dễ thấy $B I ⊥ m p (S A D)$

Ta có $\frac{d (E, (S A D))}{d (B, (S A D))} = \frac{E Q}{B Q} = \frac{E F}{B A}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d (E, (S A D)) = \frac{E F}{B A} . B I = \frac{(\frac{a + 4 a}{2})}{4 a} . B I \\ \Rightarrow B I = \frac{8}{5} d (E, (S A D)) = \frac{8}{5} \frac{5 a \sqrt{26}}{52} = \frac{8 a \sqrt{26}}{52} \end{array}$

Xét tam giác vuông BAQ có $\frac{1}{B M^{2}} = \frac{1}{B A^{2}} + \frac{1}{B Q^{2}} = \frac{1}{{(4 a)}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{4 a}{3})}^{2}} = \frac{5}{8 a^{2}}$ .

Xét tam giác vuông SBM có $\frac{1}{S B^{2}} = \frac{1}{B I^{2}} - \frac{1}{B M^{2}} = \frac{1}{{(\frac{8 a \sqrt{26}}{52})}^{2}} - \frac{5}{8 a^{2}} = \frac{1}{a^{2}}$

$\Rightarrow S B = a$ .

Vậy $V = \frac{1}{3} S B . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . \frac{(4 a + a) a}{2} = \frac{5 a^{3}}{6}$