38 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 10

Câu 1:

y = f (x)

có đồ thị đạo hàm

y = f^{'} (x)

như hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A. $(- \frac{1}{2}; 0)$

B. $(0; 2)$

C. $(1; 3)$

D. $(- 1; 1)$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ ta có bảng xét dấu như sau:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị đạo hàm y=f'(x) như hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (ảnh 2)

Do đó $f^{'} (x) < 0, \forall x \in (- \frac{1}{2}; 0)$ .

Câu 2:

Cho hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 2020}

. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 2020)

và

(2020; + \infty)

.

B. Hàm số nghịch biến trên

ℝ \ \{2020\}

C. Hàm số đồng biến trên

ℝ \ \{2020\}

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 2020)

và

(2020; + \infty)

.

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = \frac{- 2021}{{(x - 2020)}^{2}} < 0 \forall x \neq 2020$ .

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 2020)$ và $(2020; + \infty)$ .

Câu 3:

Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên R ?

A. $y = x^{3} + 4 x - 3$

B. $y = \frac{x + 2}{x + 3}$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

D. $y = x^{3} + 4 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Xét hàm số $y = x^{3} + 4 x - 3$ có $y^{'} = 3 x^{2} + 4 > 0, \forall x \in ℝ$ . Do vậy hàm số $y = x^{3} + 4 x - 3$ đồng biến trên R

Câu 4:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có một cực trị?

A. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$

B. $y = x^{3}$

C. $y = x^{4}$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

+ Hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ không có cực trị vì $y^{'} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 2$ .

+ Hàm số $y = x^{3}$ không có cực trị vì $y^{'} = 3 x^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ$ .

+ Hàm số $y = x^{4}$ có một cực trị vì $y^{'} = 4 x^{3}; y = 0$ có một nghiệm bội lẻ $x = 0$ .

+ Hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x; y^{'} = 0$ có ba nghiệm đơn: $x = 0; x = 1; x = - 1$ nên hàm số có ba cực trị.

Câu 5:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x$ đạt cực tiểu tại x bằng

A. -2

B. 1

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 0$ . $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số y= x^3-3x đạt cực tiểu tại x bằng (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ .

Câu 6:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A, x=2

B. x=-2

C. x=1

D. x=3

Xem đáp án

Chọn D vì tại đạo hàm đổi dấu từ (+) sang (-).

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, (a \neq 0)$ có đồ thị như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số là

A. $y_{C T} = - 3$

B. $y_{C T} = 1$

C. $x_{C T} = - 2$

D. $x_{C T} = - 3$

Xem đáp án

Từ đồ thị ta có hàm số giá trị cực tiểu của hàm số là

y_{C T} = - 3

Câu 8:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn

[- 2; 3]

bằng

A. -2

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Nhận thấy trên đoạn

[- 2; 3]

đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn

[- 2; 3]

bằng 4

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\max_{[- 3; 2]} f (x) = 5$

B. $\max_{[- 3; 2]} f (x) = 0$

C. $\min_{[- 3; 2]} f (x) = 3$

D. $\min_{[- 3; 2]} f (x) = 2$

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy

\max_{[- 3; 2]} f (x) = f (0) = 5

Câu 10:

Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = 2 x^{4} - x^{2}$

D. $y = - x^{3} - 3 x^{2}$

Xem đáp án

Đường cong trong hình trên là đồ thị hàm số bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ .

Đồ thị hàm số đi qua O nên $d = 0$ .

Trên khoảng $(0; + \infty)$ đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hệ số $a > 0$

Do đó chọn đáp án B.

Câu 11:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào sau đây?

A. $y = 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1$

B. $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

C. $y = x^{2} - 3 x$

D. $y = \frac{4 x - 3}{2 x - 1}$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ đã cho ta thấy: Hàm số không xác định tại $x = \frac{1}{2}$ nên ta loại phương án A, B, C.

Câu 12:

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ có đường tiệm cận đứng là

A. $x = 2$

B. $y = \frac{1}{2}$

C. $y = 2$

D. $x = - 2$

Xem đáp án

$\lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{2 x + 1}{x + 2} = - \infty$ nên $x = - 2$ là tiệm cận đứng.

Câu 13:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số đường tiệm cận bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C) là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} y = - 3; \lim_{x \to + \infty} y = 3 \Rightarrow y = - 3; y = 3$ là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C).

$\lim_{x \to - 1^{-}} y = + \infty \Rightarrow x = - 1$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $(C)$ .

Vậy số đường tiệm cận bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của $(C)$ là: 3.

Câu 14:

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị của hàm số có đường tiệm cận đứng

y = \frac{2020 - x}{x + a}

A. $a \neq 2020$

B. $a \neq - 2020$

C. $a = - 2020$

D. $a = 2020$

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ \ \{- a\}$

Suy ra $a \neq - 2020$ .

Câu 15:

Hình nào sau đây không phải là hình đa diện?

A. Hình lăng trụ.

B. Hình chóp.

C. Hình lập phương.

D. Hình thoi.

Xem đáp án

Hình thoi là một hình đa giác không phải hình đa diện.

Câu 16:

Khối đa diện đều loại {3,4} có bao nhiêu mặt?

A. 20

B. 8

C. 6

D. 12

Xem đáp án

Khối đa diện đều loại $\{3; 4\}$ là khối bát diện đều.

Khối bát diện đều có 8 mặt.

Câu 17:

Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là

A. $V = \frac{1}{3} S h$

B. $V = 3 S h$

C. $V = S h$

D. $V = \frac{1}{2} S h$

Xem đáp án

Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là

V = \frac{1}{3} S h

.

Câu 18:

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B=4 và chiều cao h=6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 8

B. 24

C. 10

D. 72

Xem đáp án

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

V = B h = 4.6 = 24

.

Câu 19:

Cho khối chóp SABCD có SA

⊥

(ABCD), SA =a và ABCD là hình vuông cạnh a . Thể tích của khối chóp SABCD là

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{2}$

C. $\frac{a^{3}}{6}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Ta có

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . a^{2} = \frac{a^{3}}{3}

.

Câu 20:

Cho hình chóp SABCD ( tham khảo hình vẽ). Gọi $V_{1}; V_{2}; V_{3}$ lần lượt là thể tích các khối $S . A B C D; S . A B C; S . A C D$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $V_{3} = V_{1} - V_{2}$

B. $V_{3} = V_{2} - V_{1}$

C. $V_{3} = V_{2} + V_{1}$

D. $V_{3} = V_{1}$

Xem đáp án

Do hình chóp $S . A B C D$ được chia thành hai khối chóp $S . A B C; S . A C D$ nên:

$V_{1} = V_{2} + V_{3} \Leftrightarrow$ $V_{3} = V_{1} - V_{2}$ .

Câu 21:

Cho hàm số $y = x^{3} + m x^{2} - (4 m + 9) x - 5$ với m là tham số.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể hàm số đồng biến trên R

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Tập xác định: D=R .

Hàm số đồng biến trên R $\Leftrightarrow y^{'} = 3 x^{2} + 2 m x - (4 m + 9) \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 > 0 \\ Δ^{'} = m^{2} + 12 m + 27 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 9 \leq m \leq - 3$ . Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn ycbt.

Câu 22:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên R và có đạo hàm

f^{'} (x) = x^{3} (x - 4) {(x - 1)}^{2}

. Hàm số

y = f (x^{2})

nghịch biến trên những khoảng nào sau

A. $(- 1; 1)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

$y^{'} = {[f (x^{2})]}^{'} = 2 x . f^{'} (x^{2}) = 2 x {(x^{2})}^{3} (x^{2} - 4) {(x^{2} - 1)}^{2} = 2 x^{7} (x^{2} - 4) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x = 0 (b o i 7) \\ x = 2 (b o i 1) \end{matrix} \\ x = - 2 (b o i 1) \\ x = 1 (b o i 2) \end{matrix} \\ x = - 1 (b o i 2) \end{matrix}$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f (x^{2})$ như sau:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đạo hàmf'(x)=x^3( x-4)(x-1)^2 . Hàm số y=f(x^2) nghịch biến trên những khoảng nào sau (ảnh 1)

Vậy hàm số $y = f (x^{2})$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

Câu 23:

Tìm m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (2 m + 1) x + 1

đạt cực tiểu tại x=3

A. $m = - 1$

B. $m = 1$

C. $m = 2$

D. $m = - 2$

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (2 m + 1) x + 1$

$\begin{array}{l} y^{'} = x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m + 1 \\ {y^{'}}^{'} = 2 x - 2 (m + 1) \end{array}$

Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 khi $\{\begin{cases} y^{'} (3) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (3) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 m + 4 = 0 \\ 4 - 2 m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 1 \\ m < 2 \end{cases} \Leftrightarrow m = 1.$

Câu 24:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f' (x) = x (x - 1) {(x + 4)}^{3}, ​ \forall x \in ℝ

. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

$f' (x) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x (x - 1) {(x + 4)}^{3} = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 4 \end{array} \end{array}$

Ta có bảng xét dấu của $f' (x)$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)= x9 x-1)( x+4)^3, với mọi x thuộc R . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu của $f' (x)$ suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Câu 25:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - x^{2} - 8 x + 1$ trên $[1; 3]$ bằng

A. -7

B. -5

C. $\frac{203}{27}$

D. -11

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 2 x - 8$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \in (1; 3) \\ x = - \frac{4}{3} \notin (1; 3) \end{array}$ .

$y (1) = - 7$ , $y (3) = - 5$ , $y (2) = - 11$ . Do đó $\underset{}{\max y} = y (3) = - 5$ .

Câu 26:

Tìm GTNN của hàm số :

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5

trên

[- 2; 5]

A. 22

B. 10

C. 3

D. -22

Xem đáp án

Xét hàm số : $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ trên $[- 2; 5]$

Có: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

$f^{'} (x) =$ 0

Tìm GTNN của hàm số : y= x^3-3x^2-9x+5 trên [-2,5] (ảnh 1)

Tính: $f (- 2) = 3$ ; $f (- 1) = 10$ ; $f (3) = - 22$ ; $f (5) = 10$

Khi đó : $\underset{[- 2; 5]}{M i n} f (x) = - 22$

Chọn đáp án D

Câu 27:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 2; 2]$ và có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Hỏi số nghiệm của phương trình $|f (x) - 1| = 1$ trên đoạn $[- 2; 2]$ là ?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Phương trình $|f (x) - 1| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 2 \\ f (x) = 0 \end{array}$ .

Từ đồ thị hàm số $y = f (x)$ ta thấy, trên đoạn $[- 2; 2]$ , phương trình $f (x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt, phương trình có 2 nghiệm phân biệt (khác các nghiệm của phương trình $f (x) = 0$ ).

Nên phương trình $|f (x) - 1| = 1$ có tất cả 5 nghiệm phân biệt.

Câu 28:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên trong hình dưới

Mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số

f (x)

có 3 cực trị.

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3

D. Hàm số

f (x)

đạt cực đại tại x=0

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên, hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 2\}$ và có 1 điểm cực đại $x = 0$ ; 1 điểm cực tiểu $x = 4$ .

Vậy chọn D.

Câu 29:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình dưới

Phương trình $f (x) + 1 = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f (x) + 1 = 0 \Leftrightarrow f (x) = - 1$ .

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới Phương trình f(x)+1=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên thì đường thẳng $y = - 1$ sẽ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại 4 điểm phân biệt. Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 30:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ có bảng biến thiên như hình sau

Cho hàm số y= f(x) xác định và liên tục trên(- vô cùng,0 ) và ( 0, + vô cùng) có bảng biến thiên như hình sau (ảnh 1)

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$ là

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\lim_{x \to - \infty} y = 2$ và $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ .

Lại có $\lim_{x \to 0^{+}} y = + \infty$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = f (x)$ có 2 đường tiệm cận đứng và ngang.

Câu 31:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} - x}

là

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số là: $D = [- 4 ; + \infty) \ \{0; 1\}$ .

Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên D . Mọi đường thẳng $x = x_{0} \notin \{0; 1\}$ đều không là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(x^{2} - x) (\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x - 1) (\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{- 1}{4}$

nên đường thẳng x=0 không phải là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{+}} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{5} - 2 > 0 \\ \lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x (x - 1)} = + \infty \end{cases}$ suy ra $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} - x} = + \infty$ do đó x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có đúng 1 đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$ .

Câu 32:

Trong các hình dưới đây, có bao nhiêu hình đa diện?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Trong 4 hình đã cho, chỉ có hình đầu tiên là không phải hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của nhiều hơn hai mặt. Vậy có 3 hình đa diện.

Câu 33:

Khối đa diện đều loại {3,4} cạnh a có thể tích bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Khối đa diện đều loại $\{3; 3\}$ cạnh a là khối lập cạnh a .

Do đó thể tích bằng $a^{3}$ .

Câu 34:

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng ( AB'C') tạo với mặt đáy góc 60 độ. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' .

A. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng ( AB'C') tạo với mặt đáy góc 60 độ. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' . (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm B'C'.

Góc giữa hai mặt phẳng $(A B^{'} C^{'})$ và $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là $\Rightarrow \hat{A I A^{'}} = 60 °$

$A A^{'} = A^{'} I . t a n 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2} . \sqrt{3} = \frac{3 a}{2}$ .

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} {.S}_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3 a}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$ .

Câu 35:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60

°

. Thể tích của khối chóp đều đó là

A. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60 độ . Thể tích của khối chóp đều đó là (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$ , suy ra $S O ⊥ (A B C D)$ . Do đó góc giữa SD và $(A B C D)$ là $\hat{S D O} = 60 °$ .

Ta có $B D = a \sqrt{2} \Rightarrow O D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có $S O = O D . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{2} . a^{2} = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{6}$ .

Câu 36:

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $f (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = f (m - 1)$ có nghiệm.

Xem đáp án

Xét hàm số $u (x) = x - \sqrt{x^{2} + 1}$ .

Ta có $u^{'} (x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - x}{\sqrt{x^{2} + 1}} > 0,$ $\forall x \in ℝ$

$\lim_{x \to + \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = 0$ .

Bảng biến thiên

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x- căn x^2+1= f(m-1) có nghiệm. (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra $u (x) = x - \sqrt{x^{2} + 1} < 0, \forall x \in ℝ$ .

Do đó $f (x - \sqrt{x^{2} + 1}) \leq 3$ với mọi $x \in ℝ$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow f (m - 1) \leq 3 \Leftrightarrow m - 1 \leq 2 \Leftrightarrow m \leq 3$ .

Câu 37:

Cho hàm hình chóp

S . A B C

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết

A B = B C = a \sqrt{3}

, khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SBC) bằng

a \sqrt{2}

và

\hat{S A B} = \hat{S C B} = 90 °

. Tính theo a thể tích khối chóp SABC.

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABC)

Ta có

$\begin{array}{l} S H ⊥ (A B C) \\ S A ⊥ A B (gt) \end{array}\} \Rightarrow H A ⊥ A B$ .

Tương tự $H C ⊥ B C$

Suy ra tứ giác $H A B C$ là một hình vuông.

Ta có $A H // B C \subset (S B C) \Rightarrow A H // (S B C)$ $\Rightarrow d (A, (S B C)) = d (H, (S B C)) = a \sqrt{2}$ .

Dựng $H K ⊥ S C$ tại K $(1)$ .

Do $\begin{array}{l} B C ⊥ H C \\ B C ⊥ S H \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (S H C) \Rightarrow B C ⊥ H K (2)$ .

Từ (1) và (2) suy ra $H K ⊥ (S B C)$ , nên $d (H, (S B C)) = H K = a \sqrt{2}$ .

Ta có $\frac{1}{H S^{2}} = \frac{1}{H K^{2}} - \frac{1}{H C^{2}} = \frac{1}{6 a^{2}} \Rightarrow H S = a \sqrt{6}$

Thể tích Khối chóp được tính bởi $V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S H = \frac{1}{6} A B . B C . S H = \frac{1}{6} a \sqrt{3} . a \sqrt{3} . a \sqrt{6} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2} .$

Câu 38:

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m \in [1; 2020]

để hàm số

g (x) = |x^{2} - 1| + 2 m x - 2120

đồng biến trên

(0; 2) ?

Xem đáp án

Xét hàm số $g (x) = |x^{2} - 1| + 2 m x - 2120$ có $g^{'} (x) = \frac{2 x (x^{2} - 1)}{|x^{2} - 1|} + 2 m = \{\begin{cases} 2 x + 2 m; 1 < x < 2 \\ - 2 x + 2 m; 0 < x < 1 \end{cases}$ .

Hàm số đồng biến trên (0,2) $\Leftrightarrow g^{'} (x) \geq 0, \forall x \in (0; 1) \cup (1; 2)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 2 m \geq 0, \forall x \in (1; 2) \\ - 2 x + 2 m \geq 0, \forall x \in (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - m, \forall x \in (1; 2) \\ x \leq m, \forall x \in (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 \geq - m \\ 1 \leq m \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 1$ .

Vậy có tất cả 2020 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.