50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 16

Câu 1:

Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB= a và $A A^{'} = a \sqrt{3} .$ Thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $3 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB= a và A'A= acăn 3 Thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng (ảnh 1)

Ta có $Δ A B C$ vuông cân tại A $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2}}{2} .$

$A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ đứng, nên $A A^{'} ⊥ (A B C) .$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = 2 x^{4} - (m + 1) x^{2} + 4$ có ba điểm cực trị.

A. $m \geq 0$

B. $m > - 1$

C. $m \geq - 1$

D. $m > 0$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow 2. [- (m + 1)] < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1.$

Vậy . $m > - 1$

Câu 3:

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng mỗi căn hộ cho thuê với giá $2000000$ đ một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ $100000$ đ thì sẽ có 2 căn hộ bỏ trống. Hỏi muốn thu nhập cao nhất thì công ty phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu 1 tháng?

A. $2200000 đ$

B. $2100000 đ$

C. $2225000 đ$

D. $2250000 đ$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi y là tiền thu nhập và là số lần tăng tiền $(x \in ℤ)$ .

Ta có $y = (2000000 + 100000 x) (50 - 2 x) = - {2.10}^{5} x^{2} + 10^{6} x + 10^{8}$ .

Lập BBT của hàm số trên tập R

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng mỗi căn hộ cho thuê với giá 2000000 đ một tháng thì mọi căn hộ (ảnh 1)

Ta có $y (2) = y (3) = 101200000$ .

Dựa vào bảng biến thiên thì số tiền thu nhập nhiều nhất khi x=2 hoặc x =3 .

Vậy số tiền mỗi tháng là $2000000 + 2.100000 = 2200000$

hoặc $2000000 + 3.100000 = 2300000$ .

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{a x^{2} + 2}}

có tiệm cận ngang

A. $a \leq 0$

B. a=1 hoặc a=4

C. $a \geq 0$

D. a>0

Xem đáp án

Chọn C

Với a=0 ta thấy $\lim_{x \to \pm \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{- 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) = 0$ , nên đồ thị có TCN.

Với $a > 0$ , ta có $\lim_{x \to + \infty} (\frac{x - \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{a x^{2} + 2}}) = \lim_{x \to + \infty} (\frac{x - | x | \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{| x | \sqrt{a + \frac{2}{x^{2}}}}) = 0$ . Nên đồ thị có TCN.

Với $a < 0$

Khi đó hàm số chỉ xác định trên khoảng $(- \sqrt{\frac{- 2}{a}}; \sqrt{\frac{- 2}{a}})$ . Do đó không tồn tại giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$ .

Vậy để hàm số có tiệm cận ngang thì $a \geq 0$ .

Câu 5:

Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ thoả mãn tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc bằng 2019 ?

A. vô số

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y^{'} = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$ ,

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2019 nên $y^{'} (x) = 2019 \Leftrightarrow \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} = 2019$ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc bằng 2019 .

Câu 6:

Cho hàm số $y = |x^{2} + 2 x + a - 4|$ . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 2; 1]$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

A. Một giá trị khác

B. a=2

C. a=3

D. a=1

Xem đáp án

Chọn C

+ Xét hàm số $f (x) = x^{2} + 2 x + a - 4$ , ta có $f^{'} (x) = 2 x + 2, f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ .

$f (- 2) = a - 4$ , $f (- 1) = a - 5$ , $f (1) = a - 1$ .

+ Do $a - 5 < a - 4 < a - 1$ nên giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{2} + 2 x + a - 4|$ bằng $\max \{|a - 1|; |a - 5|\}$ nên có 3 trường hợp xảy .

TH1: Nếu $|a - 1| > |a - 5| \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} > {(a - 5)}^{2} \Leftrightarrow 8 a > 24 \Leftrightarrow a > 3$ thì

$\max_{[- 2; 1]} y = y (1) = |a - 1| > 2$ .

TH2: Nếu $|a - 1| < |a - 5| \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} < {(a - 5)}^{2} \Leftrightarrow 8 a < 24 \Leftrightarrow a < 3$ thì

$\max_{[- 2; 1]} y = y (- 1) = |a - 5| > 2$ .

TH3: Nếu $|a - 1| = |a - 5| \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} = {(a - 5)}^{2} \Leftrightarrow 8 a = 24 \Leftrightarrow a = 3$ thì

$\max_{[- 2; 1]} y = y (- 1) = y (1) = 2$ .

Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 2; 1]$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a = 3$ .

Câu 7:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $\sqrt{3} a^{2}$ . Độ dài cạnh bên là $a \sqrt{2}$ . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

A. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}$

B. $\sqrt{3} a^{3}$

C. $\sqrt{6} a^{3}$

D. $\sqrt{2} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích khối lăng trụ là: $V = \sqrt{3} a^{2} . a \sqrt{2} = \sqrt{6} a^{3}$ .

Câu 8:

Số giao điểm của đường cong $y = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ và đường thẳng $y = 1 - 2 x$ bằng

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1 = 1 - 2 x \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Phương trình có nghiệm nên số giao điểm của đường cong và đường thẳng là 1 .

Câu 9:

Hàm số $y = \sqrt{8 + 2 x - x^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

A. $(1; + \infty)$

B. $(- 2; 1)$

C. $(- \infty; 1)$

D. $(1; 4)$

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định $D = [- 2; 4]$ .

Ta có $y^{'} = \frac{- x + 1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}}$ .

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{- x + 1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 (y = 3)$ .

Bảng biến thiên

Hàm số y= căn 8+ 2x-x^2 đồng biến trên khoảng nào sau đây ? (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số trên đồng biến trên khoảng $(- 2; 1)$ .

Câu 10:

Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ là:

A. $x = 1, y = 2$

B. $x = 2, y = 1$

C. $x = 1, y = - 2$

D. $x = - 1, y = - 2$

Xem đáp án

Chọn A

Tập xác định $D = ℝ \ \{1\}$ .

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x (2 + \frac{1}{x})}{x (1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ . Suy ra y=2 là tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = + \infty$ vì ; $\lim_{x \to 1^{+}} (2 x + 1) = 3 > 0$ $\lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0$ và $x - 1 > 0$ khi $x \to 1^{+}$ .

$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = - \infty$ vì $\lim_{x \to 1^{-}} (2 x + 1) = 3 > 0$ ; $\lim_{x \to 1^{-}} (x - 1) = 0$ và $x - 1 < 0$ khi $x \to 1^{-}$ .

Suy ra x=1 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=1 và tiệm cận ngang là y=2.

Câu 11:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SB=2a. Tính thể tích khối chóp SABC.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^{2}}{4}$

D. $\frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SB=2a. Tính thể tích khối chóp SABC. (ảnh 1)

Ta có $Δ A B C$ đều cạnh a , nên $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Đường cao $h = S B = 2 a$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S B . S_{A B C} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.

Câu 12:

Hàm số $y = - x^{3} + 3 x - 2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

A. $y = 2 x + 1.$

B. $y = - 2 x + 1.$

C. $y = - 3 x - 2.$

D. $y = 3 x - 2.$

Xem đáp án

Chọn D

Giao điểm của (C) với trục tung là . $(0; - 2)$

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} + 3, y^{'} (0) = 3.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là $y = 3 x - 2.$

Câu 13:

Cho khối chóp SABC gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tỉ số thể tích $\frac{V_{S . A B C}}{V_{S . A G C}}$ bằng

A. $\frac{1}{3} .$

B. $\frac{2}{3} .$

C. 3

D. $\frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho khối chóp SABC gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tỉ số thể tích VSABC/ VSAGC bằng (ảnh 1)

Ta có: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . d (S, (A B C))$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $d (G, A C) = \frac{1}{3} d (B, A C)$ .

$\Rightarrow S_{A G C} = \frac{1}{2} A C . d (G, A C) = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} A C . d (B, A C) = \frac{1}{3} S_{A B C} .$

Do đó $V_{S . A G C} = \frac{1}{3} S_{A G C} . d (S, (A B C)) = \frac{1}{3} . [\frac{1}{3} S_{A B C} . d (S, (A B C))] = \frac{1}{3} V_{S . A B C} .$

Vậy: $\frac{V_{S . A B C}}{V_{S . A G C}} = 3$

Câu 14:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $3 a^{2},$ độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ này bằng

A. $2 a^{3} .$

B. $3 a^{3} .$

C. $6 a^{3} .$

D. $a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C

Theo giả thiết ta có diện tích đáy của lăng trụ là

B = 3 a^{2}

, chiều cao của lăng trụ (bằng độ dài cạnh bên) là h=2a nên thể tích khối lăng trụ là:

V = B . h = 3 a^{2} .2 a = 6 a^{3}

Câu 15:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục, có bảng biến thiên sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số có đúng một điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=-1.

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng và giá trị lớn nhất bằng 1 .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 1)

.

Xem đáp án

Chọn D

Quan sát bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ ta thấy hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng (0,1) .

Câu 16:

Cho tứ diện MNPQ . Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của MN, MP, MQ . Tỉ số thể tích $\frac{V_{M I J K}}{V_{M N P Q}}$ bằng:

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho tứ diện MNPQ . Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của MN, MP, MQ . Tỉ số thể tích VMỊK/ VMNPQ bằng: (ảnh 1)

Ta có $\frac{V_{M I J K}}{V_{M N P Q}} = \frac{M I}{M N} . \frac{M J}{M P} . \frac{M K}{M Q} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ .

Câu 17:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ trên đoạn $[3; 5]$ . Khi đó M-m bằng

A. $\frac{7}{2}$

B. $\frac{3}{8}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Xét trên $[3; 5]$ hàm số liên tục.

Ta có $y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [3; 5]$ nên hàm số luôn nghịch biến trên $[3; 5]$ .

Khi đó $f (3) = 2$ và $f (5) = \frac{3}{2}$ suy ra $M = 2$ và $m = \frac{3}{2}$ .

Vậy $M - m = \frac{1}{2}$ .

Câu 18:

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4}$ là

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định $D = (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)$ .

Ta có $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} (2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{{(2 x - 1)}^{2} - (4 x^{2} - 4)}{2 x - 1 - \sqrt{4 x^{2} - 4}}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 x + 3}{2 x - 1 - \sqrt{4 x^{2} - 4}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{1}{x} + \sqrt{4 - \frac{4}{x^{2}}}} = - 1$

và $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4}) = \lim_{x \to + \infty} x (2 - \frac{1}{x} + \sqrt{4 - \frac{4}{x^{2}}}) = + \infty$

Vậy y=-1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 19:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên K và có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M (a; f (a))$ , $a \in K$ .

A. $y = f^{'} (a) (x + a) + f (a)$

B. $y = f (a) (x - a) + f^{'} (a)$

C. $y = f^{'} (a) (x - a) - f (a)$

D. $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $M (a; f (a)) \in (C)$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm $M (a; f (a))$ có dạng:

. $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Câu 20:

Cho khối chóp SABC có thể tích V . Các điểm A', B' ,C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB , SC . Thể tích khối chóp SA'B'C' bằng

A. $\frac{V}{8}$

B. $\frac{V}{2}$

C. $\frac{V}{4}$

D. $\frac{V}{16}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho khối chóp SABC có thể tích V . Các điểm A', B' ,C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB , SC . Thể tích khối chóp SA'B'C' bằng (ảnh 1)

Ta có: $\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C}$ .

Mà các điểm A' , B' , C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA ,SB ,SC .

Nên $\frac{S A'}{S A} = \frac{1}{2}$ , $\frac{S B'}{S B} = \frac{1}{2}$ , $\frac{S C'}{S C} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra: $\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ .

Hay $V_{S . A' B' C'} = \frac{V}{8}$ .

Vậy: thể tích khối chóp SA'B'C' bằng $\frac{V}{8}$ .

Câu 21:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x)=m có ba nghiệm phân biệt.

A. $- 2 \leq m \leq 4$

B. $- 2 < m < 4$

C. $m < - 2$

D. $m > 4$

Xem đáp án

Chọn B

Số nghiệm của phương trình $f (x) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng y=m .

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình $f (x) = m$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow - 2 < m < 4$ .

Câu 22:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình $f (2 - x) - 1 = 0$ là:

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Ứng với một giá trị của 2-x sẽ có một giá trị x nên số nghiệm của phương trình $f (2 - x) - 1 = 0$ cũng là số nghiệm của phương trình $f (x) - 1 = 0$ .

Số nghiệm của phương trình $f (x) - 1 = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = 1$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình $f (x) - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt, vậy phương trình $f (2 - x) - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Câu 23:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; + \infty)

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 1)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 3)

.

Xem đáp án

Chọn A

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên từng khoảng $(- \infty; - 1)$ , $(1; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Câu 24:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 15$ trên đoạn $[- 3; 2]$ .

A. $\max_{[- 3; 2]} y = 54$

B. $\max_{[- 3; 2]} y = 48$

C. $\max_{[- 3; 2]} y = 16$

D. $\max_{[- 3; 2]} y = 7$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên đoạn $[- 3; 2]$ .

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 x$ ; $\{\begin{cases} x \in (- 3; 2) \\ y^{'} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in (- 3; 2) \\ 4 x^{3} - 4 x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

Tính $y (- 3) = 48$ , $y (2) = - 7$ , $y (0) = - 15$ , $y (1) = - 16$ , $y (- 1) = - 16$ .

Vậy $\max_{[- 3; 2]} y = 48$ .

Câu 25:

Cho khối chóp SABC trên SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A',B' , C' sao cho $S A^{'} = \frac{1}{3} S A$ , $S B^{'} = \frac{1}{3} S B$ , $S C^{'} = \frac{1}{3} S C$ . Gọi V và V'lần lượt là thể tích khối chóp $S . A B C$ và $S . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Khi đó tỷ số $\frac{V^{'}}{V}$ là

A. $\frac{1}{27}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} \cdot \frac{S B^{'}}{S B} \cdot \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow \frac{V^{'}}{V} = \frac{1}{27}

Câu 26:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $[- 2; 2]$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Hàm số $f (x)$ đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?

A. x=2

B. x=1

C. x=-2

D. x=-1

Xem đáp án

Chọn D

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-2,2] và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây? (ảnh 2)

Từ đồ thị ta thấy hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x=-1.

Câu 27:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?

A. $(0; 4) .$

B. $(- 2; 2) .$

C. $(4; 5) .$

D. $(- 1; 3) .$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ . Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq 3 \end{array}$ .

Câu 28:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2019. Gọi M, N, P,Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác $A B C, A B D, A C D, B C D$ . Tính theo Vthể tích của khối tứ diện $M N P Q .$

A. $\frac{2019}{9} .$

B. $\frac{8068}{27} .$

C. $\frac{673}{9} .$

D. $\frac{4031}{81} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2019. Gọi M, N, P,Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,ABD,ACD,BCD . (ảnh 1)

+ Gọi $M^{'} = D M \cap (N P Q)$ , $h = d (D, (A B C)), h_{1} = d (M, (N P Q))$ .

+ $(N Q P) / / (A B C) \Rightarrow$ $\frac{h_{1}}{h} = \frac{M M^{'}}{M D} = \frac{F N}{F D} = \frac{1}{3} \Rightarrow h_{1} = \frac{1}{3} h$ .

+ $\frac{N Q}{E F} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{N Q}{A C} = \frac{1}{3}$ , tương tự ta có $\frac{N P}{B C} = \frac{P Q}{A B} = \frac{1}{3}$ nên $Δ N P Q$ và $Δ A B C$ đồng dạng theo tỉ số $k = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow S_{Δ N P Q} = \frac{1}{9} S_{Δ A B C}$ .

+ Vậy $V_{M N P Q} = \frac{1}{3} h_{1} . S_{Δ N P Q} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . h . \frac{1}{9} S_{Δ A B C} = \frac{1}{27} V_{A B C D} = \frac{673}{9}$ .

Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x - 2017) - 2018 x + 2019$ là:.

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $g (x) = f (x - 2017) - 2018 x + 2019$ .

Ta có: $g' (x) = f' (x - 2017) - 2018$ .

Đồ thị hàm số $y = f' (x - 2017)$ là phép tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f' (x)$ theo phương trục hoành sang phải 2017 đơn vị.

Đồ thị hàm số $y = f' (x - 2017)$ cắt đường thẳng y=2018 tại duy nhất một điểm có hoành độ $x_{0} > 1$ và giá trị hàm số $g' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x_{0}$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x_{0}$ ,

Câu 30:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ bằng số nghiệm của phương trình.

A. $g (x) = 0.$

B. $f (x) = 0.$

C. $f (x) - g (x) = 0.$

D. $f (x) + g (x) = 0.$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + m$ trên đoạn $[0; 5]$ bằng 5 khi m là:

A. 7

B.10

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

$y^{'} = 6 x^{2} - 6 x$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2x^3-3x^2+m trên đoạn [0,5] bằng 5 khi m là: (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\min_{[0; 5]} y = m - 1$ .

Theo giả thiết, $m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 6$ .

Câu 32:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(1; + \infty)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(- 2; 2)$

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định $D = ℝ$ .

$y^{'} = 3 x^{2} - 3$ , $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số y= x^3-3x+1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến $(- 1; 1)$ .

Câu 33:

Cho x,y là các số thực dương. Xét các hình chóp SA= x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1 . Khi x,y thay đổi, thể tích khối chóp $S . A B C$ có giá trị lớn nhất là

A. $\frac{2 \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho x,y là các số thực dương. Xét các hình chóp SA= x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1 . Khi x,y thay đổi, thể tích khối chóp (ảnh 1)

Do $S B = S C = A B = A C = 1$ nên các tam giác $S B C$ và ABC là tam giác cân.

Gọi M là trung điểm BC , khi đó ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S M \\ B C ⊥ A M \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A M) \Rightarrow (A B C) ⊥ (S A M)$ .

Kẻ $S H ⊥ A M$ , khi đó $S H ⊥ (A B C)$ .

Ta có $A M = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}}$ $\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot B C = \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}} \cdot y$ .

Gọi N là trung điểm SA . Tam giác SMA cân tại M nên MN là đường cao và $M N = \sqrt{A M^{2} - A N^{2}} = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Ta có $M N . S A = A H . A M$ nên $A H = \frac{M N . S A}{A M}$ $= \frac{x \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{4 - y^{2}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}} \cdot y$

$= \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} \leq \frac{1}{12} \sqrt{{(\frac{x^{2} + y^{2} + 4 - x^{2} - y^{2}}{3})}^{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{27}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Câu 34:

Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang?

A. $y = x^{2} + x + 1$

B. $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x}$

C. $y = x + \sqrt{1 - x^{2}}$

D. $y = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số $y = x^{2} + x + 1$ có đồ thị dạng parabol nên không có đường tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - x + 1}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} = + \infty$ và $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x + 1}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} = - \infty$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x}$ không có đường tiệm cận ngang.

Hàm số .. có tập xác định $D = [- 1; 1]$ nên đồ thị hàm số này cũng không có đường tiệm cận ngang.

Xét hàm số $y = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ , ta có

$\lim_{x \to + \infty} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = + \infty$ và $\lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} = 0$ nên suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=0 .

Câu 35:

Cho hàm số y=f(x) , có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất 2 bằng .

C. Hàm số có ba cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại

x = 0

và cực tiểu tại x=2

Xem đáp án

Chọn D

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2. Loại A.

Hàm số có hai cực trị. Loại C

$\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ , $\lim_{x \to - \infty} y = - \infty$ nên GTLN và GTNN của hàm số khác 2 và -2 . Loại B

Câu 36:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=aBC=2a, SA= 2a vuông góc mặt phẳng $(A B C D)$ . Tính thể tích khối chóp

SABCD theo a.

A. $4 a^{3}$

B. $\frac{4 a^{3}}{3}$

C. $\frac{8 a^{3}}{3}$

D. $\frac{6 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 a . a .2 a = \frac{4 a^{3}}{3}$ .

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=aBC=2a, SA= 2a vuông góc mặt phẳng (ABCD) . Tính thể tích khối chóp SABCD theo a. (ảnh 1)

Câu 37:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 2]$ có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(- 7; 8)$

B. $(3; 8)$

C. $(2; 14)$

D. $(12; 20)$

Xem đáp án

Chọn D

$y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12.$ Xét y'=0 $\Leftrightarrow 6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [- 1; 2] \\ x = - 2 \notin [- 1; 2] \end{array} .$

Ta có $y (- 1) = 15,$ $y (2) = 6,$ $y (1) = - 5.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng khi x=-1

Câu 38:

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Phát biểu nào đúng?

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và đạt cực đại tại x=5.

C. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=2 .

D. Giá trị cực đại của hàm số là 0 .

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và đạt cực đại tại x=5.

C. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=2 .

D. Giá trị cực đại của hàm số là 0 .

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có giá trị cực đại bằng 5 tại x=0 và có giá trị cực tiểu bằng 1 tại x=2 Từ các đáp án A, B, C, D ta chọn C

Câu 39:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{5}{x - 1}$ là đường thẳng có phương trình ?

A. x=1

B. y=0

C. x=0

D. y=5

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5}{x - 1} = 0$ nên tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 .

Câu 40:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ . Hàm số y= f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; + \infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(- 2; 2)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng (0,2) đồ thị là một đường đi lên theo chiều từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng (0,2) .

Câu 41:

Cho khối tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA= a, OB=b, OC=c. Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào dưới đây

A. $V = 3 a . b . c$

B. $V = \frac{1}{6} a . b . c$

C. $V = \frac{1}{3} a . b . c$

D. $V = \frac{1}{2} a . b . c$

Xem đáp án

Chọn B

Vì $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc với nhau nên:

$O A ⊥ (O B C)$ và $Δ O B C$ vuông tại O .

Vậy thể tích khối tứ diện:

V = \frac{1}{3} . O A . \frac{1}{2} . O B . O C = \frac{1}{6} a . b . c

.

Câu 42:

Cho khối lập phương ABCDA'B'C'D' có thể tích V. Tính thể tích $V_{1}$ của khối lăng trụ ABCA'B'C' là

A. $V_{1} = \frac{1}{6}$

B. $V_{1} = \frac{1}{2}$

C. $V_{1} = \frac{1}{3}$

D. $V_{1} = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho khối lập phương ABCDA'B'C'D' có thể tích V. Tính thể tích V1 của khối lăng trụ ABCA'B'C' là (ảnh 1)

Ta thấy $S_{A B C} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ .

Nên thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ : $V_{1} = A A^{'} . S_{A B C} = A A^{'} . \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{1}{2} V = \frac{1}{2}$ .

Câu 43:

Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5$

A. có hệ số góc dương.

B. song song với đường thẳng x=1 .

C. có hệ số góc bằng -1

D. song song với trục hoành.

Xem đáp án

Chọn D

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là k=0 .

Do đó, tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Câu 44:

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ là

A. -25

B. 3

C. 7

D. -20

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Vì hệ số nên hàm số đạt cực tiểu tại $x_{C T} = 3$ và giá trị cực tiểu $y_{C T} = - 25$ .

Câu 45:

Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?

A. $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}}$

B. $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

C. $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

D. $y = \frac{x + 2}{x^{2} + 3 x + 6}$

Xem đáp án

Chọn C

Xét đáp án A có $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}}$ , $\forall x \in ℝ$ , có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = - 1$ , y=1 không có tiệm cận đứng nên loại.

Xét đáp án B có $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ , $\forall x \in ℝ \ \{1\}$ , có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1 và có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 nên loại.

Xét đáp án C có $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$ , $\forall x \in ℝ \ \{- 3; 3\}$ , có tiệm cận ngang là đường thẳng y=0 và có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 3$ , $x = 3$ nên chọn.

Xét đáp án C có $y = \frac{x + 2}{x^{2} + 3 x + 6}$ , $\forall x \in ℝ$ , có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$ và không có tiệm cận đứng nên loại.

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $f (x) + 1 = 0$ là:

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Số nghiệm của phương trình $f (x) + 1 = 0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng y=-1 .

Dựa đồ thị ta có phương trình $f (x) + 1 = 0$ có 3 nghiệm.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f(x)+1=0 là: (ảnh 2)

Câu 47:

Cho hình chóp tam giác SABC với SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a . Tính thể tích khối chóp SABC .

A. $\frac{1}{3} a^{3}$

B. $\frac{1}{2} a^{3}$

C. $\frac{1}{6} a^{3}$

D. $\frac{2}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp tam giác SABC với SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a . Tính thể tích khối chóp SABC . (ảnh 1)

.

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{S B C} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} S B . S C = \frac{1}{6} S A . S B . S C = \frac{a^{3}}{6}

Câu 48:

Cho hàm số $f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ \ \{- 1\}$ và có bảng biến thiên như sau

$Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên R\{1} và có bảng biến thiên như sau Khẳng định nào sau đây là sai? (ảnh 1)$

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Hàm số không có đạo hàm tại

x = - 1

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=1 .

Xem đáp án

Chọn C

$\underset{x \to \pm \infty}{limy} = \pm \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không có đạo hàm tại $x = - 1$ .

$\underset{x \to {(- 1)}^{+}}{limy} = + \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 1$ .

Dấu

f^{'} (x)

đổi từ (-) sang (+) khi qua 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1.

Câu 49:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (x) + m - 2018 = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt.

A. $2021 \leq m \leq 2022$

B. $[\begin{array}{l} m \geq 2011 \\ m \leq 2021 \end{array}$

C. $2021 < m < 2022$

D. $[\begin{array}{l} m > 2022 \\ m < 2021 \end{array}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)+m-2018=0 có 4 nghiệm thực phân biệt. (ảnh 2)

Phương trình $f (x) + m - 2018 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 2018 - m$ .

Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = 2018 - m$ .

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy phương trình $f (x) = 2018 - m$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $- 4 < 2018 - m < - 3 \Leftrightarrow 2021 < m < 2022$ .

Câu 50:

Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (8 - 2 m) x + m + 3

đồng biến trên R

A. $m = 4$

B. m=2

C. m=-4

D. m=-2

Xem đáp án

Chọn B

TXĐ D=R .

$y^{'} = x^{2} - 2 m x + 8 - 2 m$ .

Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi $y^{'} = x^{2} - 2 m x + 8 - 2 m \geq 0, \forall x \in ℝ$ khi và chỉ khi $\{\begin{cases} Δ^{'} = m^{2} - (8 - 2 m) \leq 0 \\ a = 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 8 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là $m = 2$ .