35 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 15

( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R?

y = - \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} - (2 m + 3) x - m

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Tập xác định của hàm số đã cho là R .

Ta có: $y^{'} = - x^{2} - 2 m x - (2 m + 3)$ .

Hàm số nghịch biến trên R $\Leftrightarrow y^{'} \leq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a < 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < 0 \\ m^{2} - 2 m - 3 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3$ .

Mặt khác $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 1; 0; 1; 2; 3\}$ .

Vậy có 5 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R .

Câu 3:

Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB= 2a , AD=DC=a , SA=a và $S A ⊥ (A B C D)$ . của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và $(A B C D)$ là

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AB suy ra $A I = \frac{1}{2} A B = a$ .

Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB= 2a , AD=DC=a , SA=a (ảnh 1)

Suy ra $A C ⊥ C B$ (1).

Mà $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C B$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $S C ⊥ C B$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (iABCD) là góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, tức là góc $\hat{S C A} = α$ .

Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB= 2a , AD=DC=a , SA=a (ảnh 2)

Do đó $\tan α = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Câu 4:

Kí hiệu m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + 3}{2 x - 1}$ trên đoạn $[1; 4]$ . Tính giá trị của biểu thức $d = M - m$ .

A. $d = 4$

B. d=3

C. d=5

D. d=2

Xem đáp án

Chọn B

Nhận thấy $y^{'} = \frac{- 7}{{(2 x - 1)}^{2}} < 0 \forall x \in [1; 4]$ , nên:

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 4]$ là $M = y (1) = 4$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là . $m = y (4) = 1$

Vậy giá trị của biểu thức $d = M - m = 4 - 1 = 3$ .

Câu 5:

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có AB=a ; A'B tạo với mặt đáy (ABC) một góc 60 $°$ . Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$

B. $V = \frac{3}{2} a^{3}$

C. $V = \frac{3}{4} a^{3}$

D. $V = 3 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có AB=a ; A'B tạo với mặt đáy (ABC) một góc 60 độ . Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho. (ảnh 1)

Vì $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là lăng trụ tam giác đều nên $A A^{'} ⊥ (A B C)$ và $Δ A B C$ đều.

Suy ra $\{\begin{cases} \hat{(A^{'} B; (A B C))} = \hat{A^{'} B A} = 60^{0} \Rightarrow A A^{'} = A B . \tan 60^{0} = a \sqrt{3} \\ S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \end{cases}$ .

$\Rightarrow V = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} a^{3}$ .

Câu 6:

Mệnh đề nào đúng với bảng biến thiên sau :

A. Hàm số nghịch biến trên

(- 1; 1)

.

B. Hàm số nghịch biến trên

(1; 2)

.

C. Hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

.

D. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; 1)

.

Xem đáp án

Chọn B

Từ bảng biến thiên suy ra :

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1)$ .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

Do $(1; 2) \subset (1; + \infty)$ . Như vậy, phương án B đúng.

Câu 7:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABC) là $60 °$ . Tính thể tích V khối chóp SABC .

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$

D. $V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. (ảnh 1)

Do hai mặt bên ( SAB) và ( SAC) cùng vuông góc với đáy nên suy ra $S A ⊥ (A B C)$ .

$\hat{(S B, (A B C))} = \hat{S B A} = 60^{o}$ .

Trong tam giác vuông SAB , ta có $S A = A B . \tan \hat{S B A} = 2 \sqrt{3} a$ .

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{3} a \cdot \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 a^{3}

.

Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{x - m + 2}{x + 1}$ giảm trên các khoảng xác định của nó?

A. $m < - 3$

B. $m \leq - 3$

C. $m < 1$

D. $m \leq 1$

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 1\}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{m - 1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Để hàm số giảm trên các khoảng xác định thì $y^{'} < 0 \Leftrightarrow m < 1$ .

Câu 9:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} + 1

trên đoạn

[0; 3]

A. 64

B. 9

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$ .

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 1 \\ x = 0 \end{array}$ .

$y (0) = 1; y (1) = 0; y (3) = 64$ .

Vậy $\min_{[0; 3]} y = y (1) = 0$

Câu 10:

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

(C) : y = x^{3} + 3 x^{2}

M (1; 4)

là

A. $y = - 9 x + 5$

B. $y = 9 x + 5$

C. $y = 9 x - 5$

D. $y = - 9 x - 5$

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x$ .

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại $M (1; 4)$ là $f^{'} (1) = 9$ .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = f^{'} (1) (x - 1) + 4 = 9 (x - 1) + 4 = 9 x - 5$ .

Vậy $y = 9 x - 5$ .

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x - 2 x - 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.

B. Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại,.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số chỉ có 1 cực tiểu và không có cực đại.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $y' = x^{3} - 4 x^{2} - 7 x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \end{array}$

BBT

Cho hàm số y= 1/4x^4- 4/3x^3-7/2x-2x-1 . Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Hàm số có 1 CĐ và 2 CT.

Câu 12:

Cho hàm số y=f(x) được biểu diễn như hình vẽ bên. Đáp án nào đúng về hàm số đã cho?

A. $y = \frac{x + 2}{2 x - 1}$

B. $y = \frac{x + 3}{x - 1}$

C. $y = \frac{x - 2}{2 x + 1}$

D. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn C

Theo đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số:

Có TCĐ: $x = - \frac{1}{2}$

Có TCN: $y = \frac{1}{2}$

Suy ra đáp án C.

Câu 13:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 4$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 2)

.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 2)

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 2)

.

Xem đáp án

Chọn D

+ TXĐ: R

+ $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x, y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

BBT:

Cho hàm số y= -x^3+ 3x^2-4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 1)

+ Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ .

Câu 14:

Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của một trong bốn hàm số nào dưới đây?

A. $y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = - x^{3} + 3 x$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2}$

Xem đáp án

Chọn B

+ Quan sát đồ thị ta thấy đây làm đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a>0 và có hai điểm cực trị là $x = 0, x = 2$ do đó loại phương án A, D, C, ta chọn đáp án B.

Câu 15:

có giá trị lớn nhất là 4 trên

y = \frac{x^{2} - m x + 1}{x - m}

(- \infty; m)

khi m thỏa bất đẳng thức nào sau đây?.

A. $- 4 \leq m \leq 3$

B. $8 \leq m \leq 12$

C. $5 < m < 8$

D. $m \leq - 6$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số y= x^2-mx+1/ x-m có giá trị lớn nhất là 4 trên ( - vô cùng, m) khi m thỏa bất đẳng thức nào sau đây?. (ảnh 1)

Trên $(- \infty; m)$ $y' = \frac{x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1}{{(x - m)}^{2}}, y' = 0 \Leftrightarrow x = m - 1$ .

Bảng biến thiên:

$\max_{(- \infty; m)} y = 4 \Leftrightarrow m = 6$ . Chọn C.

Câu 16:

Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABCA'B'C' là tam giác đều. Mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy một góc 30o và diện tích tam giác A'BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

A. $8 \sqrt{3}$

B. $4 \sqrt{3}$

C. $16 \sqrt{3}$

D. đáp án khác

Xem đáp án

Chọn A

Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABCA'B'C' là tam giác đều. Mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy một góc 30o và diện tích tam giác A'BC bằng 8. (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có $\{\begin{cases} A I ⊥ B C \\ A' I ⊥ B C \end{cases}$ suy ra góc giữa mặt phẳng $(A' B C)$ và mặt đáy $(A B C)$ bằng $\hat{A' I A}$ .

Từ giả thiết a có: $\{\begin{cases} A' I . B C = 16 \\ A I = \frac{B C \sqrt{3}}{2} \\ A I = A' I \cos 30^{o} = A' I \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} A' I = 4 \\ B C = 4 \\ A I = 2 \sqrt{3} \end{cases}$ . $V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{A B C} = 2. \frac{1}{2} .2 \sqrt{3} .4 = 8 \sqrt{3}$ .

Câu 17:

Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng $60 °$ , tam giác ABC vuông tại C và góc $\hat{B A C} = 60 °$ . Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của $Δ A B C$ . Thể tích của khối tứ diện theo $A^{'} . A B C$ bằng a

A. $\frac{13 a^{3}}{108}$

B. $\frac{15 a^{3}}{108}$

C. $\frac{7 a^{3}}{106}$

D. $\frac{9 a^{3}}{208}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60 độ , tam giác ABC vuông tại C (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm $Δ A B C$ .

$\Rightarrow B^{'} G ⊥ (A B C)$ .

là hình chiếu của $B B^{'}$ lên $(A B C)$ .

$\Rightarrow (\hat{B B^{'}, (A B C)}) = (\hat{B B^{'}, B G}) = \hat{B^{'} G B} = 60 °$ (vì $Δ B B^{'} G$ vuông tại G nên $\hat{B^{'} G B}$ nhọn).

$\Rightarrow B^{'} G = B B^{'} . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ ; $B G = B B^{'} . \cos 60 ° = \frac{a}{2}$ .

Gọi $Δ A B C$ là trung điểm AC .

Lại có : $Δ A B C$ vuông tại C và góc $\hat{B A C} = 60 °$ $\Rightarrow B C = A C . \tan 60 ° = A C . \sqrt{3}$ .

$Δ B C M$ vuông tại C $\Rightarrow B C^{2} + M C^{2} = B M^{2} \Leftrightarrow 3 A C^{2} + \frac{A C^{2}}{4} = \frac{9 a^{2}}{16} \Leftrightarrow A C = \frac{3 a \sqrt{13}}{26}$ .

$\Rightarrow B C = \frac{3 a \sqrt{39}}{26} \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A C = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104}$ .

$(A B C) // (A^{'} B^{'} C^{'}) \Rightarrow d (A^{'}, (A B C)) = d (B^{'}, (A B C)) = B^{'} G = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Thể tích của khối tứ diện $A^{'} . A B C$ : $V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . B^{'} G . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104} = \frac{9 a^{3}}{208}$ .

Câu 18:

có giá trị nhỏ nhất trên [0,1] bằng -1 khi

y = \frac{x - m^{2}}{x + 1}

A. $m = - 1$

B. $m = \pm 1$

C. m=1

D. m=0

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y = \frac{x - m^{2}}{x + 1}$ .

$y^{'} = \frac{1 + m^{2}}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall m \in ℝ$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

Nên hàm số đồng biến trên khoảng (0,1) .

$\Rightarrow \min_{[0; 1]} y = y (0) \Leftrightarrow - 1 = - m^{2} \Leftrightarrow m = \pm 1$ .

Câu 19:

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. (ảnh 1)

Xét khối tứ diện đều ABCD, gọi O là trọng tâm của tam giác BCD . Khi đó ta có:

$A O ⊥ (B C D)$ và $A O = \sqrt{A D^{2} - O D^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Suy ra $V_{A B C D} = \frac{1}{3} A O . S_{Δ B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} a . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ (ĐVTT).

Câu 20:

Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

A. $y = \frac{x}{x^{2} - x + 9}$

B. $y = \frac{1}{4 - x^{2}}$

C. $y = \frac{1 - 2 x}{1 + x}$

D. $y = \frac{x + 3}{5 x - 1}$

Xem đáp án

Chọn B

Xét đáp án A: Do phương trình $x^{2} - x + 9 = 0$ vô nghiệm nên đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận ngang $y = 0$ .

Xét đáp án B: Do $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{4 - x^{2}} = 0; \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{4 - x^{2}} = - \infty; \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1}{4 - x^{2}} = - \infty$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang $y = 0$ và 2 tiệm cận đứng $x = 2, x = - 2$ .

Xét đáp án C: Do $\lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{1 + x} = - 2; \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{1 - 2 x}{1 + x} = + \infty$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang $y = - 2$ và 1 tiệm cận đứng $x = - 1$ .

Xét đáp án D: Do $\lim_{x \to + \infty} \frac{x + 3}{5 x - 1} = \frac{1}{5}; \lim_{x \to {\frac{1}{5}}^{+}} \frac{x + 3}{5 x - 1} = + \infty$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang $y = \frac{1}{5}$ và 1 tiệm cận đứng $x = \frac{1}{5}$ .

Câu 21:

. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đi qua điểm

y = \frac{m x - 1}{2 x + m}

(- 1; \sqrt{2})

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC) bằng 60

A. m=2

B. $m = 2 \sqrt{2}$

C. $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $m = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B

- Tập xác định: $D = ℝ \ \{- \frac{m}{2}\}$ .

- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là : $y = \frac{m}{2}$ .

Yêu cầu bài toán trở thành $\frac{m}{2} = \sqrt{2} \Rightarrow m = 2 \sqrt{2}$ .

Câu 22:

°

. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SMC).

A. $\frac{a}{2}$

B. a

C. $\frac{a \sqrt{39}}{13}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC); góc giữa đường thẳng (ảnh 1)

Vì M là trung điểm của AB nên $d (B; (S C M)) = d (A; (S C M))$ .

Trong ( ABC) , kẻ $A H ⊥ C M$ tại H.

Ta có $\{\begin{cases} S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ C H \\ A H ⊥ C H \end{cases} \Rightarrow C H ⊥ (S A H) \Rightarrow (S A H) ⊥ (S C H)$

Hay $(S A H) ⊥ (S C M)$ theo giao tuyến SH.

Kẻ $A K ⊥ S H \Rightarrow A K ⊥ (S C M) \Rightarrow A K = d (A; (S C M))$ .

$\Rightarrow Δ A B C$ đều $\Rightarrow$ trung tuyến CM đồng thời là tia phân giác

$\Rightarrow \hat{A C M} = \frac{1}{2} \hat{A C B} = 30^{0} \Rightarrow A H = A C . \sin 30^{0} = \frac{a}{2}$ .

Vì $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B; (A B C))} = \hat{S B A} = 60^{0} \Rightarrow S A = A B . \tan 60^{0} = a \sqrt{3}$ .

Ta có $\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} \Rightarrow A K = \frac{S A . A H}{\sqrt{S A^{2} + A H^{2}}} = \frac{a \sqrt{3} . \frac{a}{2}}{\sqrt{3 a^{2} + \frac{a^{2}}{4}}} = \frac{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{13}}{2}} = \frac{a \sqrt{39}}{13}$ .

Câu 23:

có bao nhiêu điểm cực trị

y = \frac{2 x + 3}{x + 1}

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

$y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ . Tập xác định $D = ℝ \ \{- 1\}$ .

$y' = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} < 0, \forall x \in D$ .

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Câu 24:

song song với đường thẳng

y = \frac{2 x + 1}{x - 2}

có đồ thị là

(C)

. Tiếp tuyến của

(C)

5 x + y - 2 = 0

A. $y = 5 x + 2$

B. $y = - 5 x + 2$ hoặc $y = - 5 x + 22$

C. $y = - 5 x + 22$

D. $y = - 5 x + 2$

Xem đáp án

Chọn C

$y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ . Tập xác định $D = ℝ \ \{2\}$ .

$y' = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm và điểm thuộc đồ thị hàm số (C).

Hệ số góc của tiếp tuyến : $y' (x_{0}) = \frac{- 5}{{(x_{0} - 2)}^{2}}$ .

Tiếp tuyến song song với đường thẳng

$y' (x_{0}) = \frac{- 5}{{(x_{0} - 2)}^{2}} = - 5 \Leftrightarrow {(x_{0} - 2)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 3 (t m) \\ x_{0} = 1 (t m) \end{array}$ .

Với $x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = 7$ . Phương trình tiếp tuyến là: $y = - 5 (x - 3) + 7 = - 5 x + 22$ .

Với $x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = - 3$ . Phương trình tiếp tuyến là: $y = - 5 (x - 1) - 3 = - 5 x + 2$ (loại vì trùng với đường thẳng đề bài cho)

Câu 25:

Tìm m để hàm số $y = x^{4} + (m + 3) x^{2} + 4$ có 1 cực trị.

A. 0 $m \in [- 3; + \infty)$

B. $m \in (- 3; + \infty)$

C. $m \in (- \infty; - 3]$

D. $m \in (- \infty; - 3)$

Xem đáp án

Chọn A

$y^{'} = 4 x^{3} + 2 (m + 3) x = 2 x (2 x^{2} + m + 3)$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 x (2 x^{2} + m + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x^{2} + m + 3 = 0 \end{array}$ , đặt $g (x) = 2 x^{2} + m + 3$ .

Để hàm số $y = x^{4} + (m + 3) x^{2} + 4$ có 1 cực trị thì $g (x) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow Δ_{g (x)} \leq 0 \Leftrightarrow - 4.2. (m + 3) \leq 0 \Leftrightarrow m \geq - 3$ .

Câu 26:

a. Tìm cực trị của hàm số

y = - 2 x^{4} + x^{2} + 1

có số điểm cực trị là

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

$y^{'} = - 8 x^{3} + 2 x$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 8 x^{3} + 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}$ , vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 27:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6}$ là

A. $x = 1.$

B. $y = - 2; y = 3.$

C. x=1

D. $x = - 2; x = 3.$

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định của hàm số là $D = ℝ \ \{- 2; 3\} .$

Ta có $\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = - \infty .$

Vì $(\begin{array}{l} \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} (x - 5) = - 7 < 0 \\ \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} (x + 2) (x - 3) = 0 \\ (x + 2) (x - 3) > 0, \forall x < - 2 \end{array}) .$

Lại có $\lim_{x \to {(- 2)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = + \infty .$

Do $(\begin{array}{l} \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} (x - 5) = - 7 < 0 \\ \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} (x + 2) (x - 3) = 0 \\ (x + 2) (x - 3) < 0, \forall x > - 2 \end{array}) .$

$\lim_{x \to 3^{+}} y = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = - \infty .$

$\lim_{x \to 3^{-}} y = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = + \infty .$

Nên

x = - 2; x = 3

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 28:

Hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

C. $y = x^{4} + 3 x^{2} - 2$

D. $y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị ta có hàm bậc 4 trùng phương $y = a x^{4} + b x^{2} + c .$

Từ đồ thị ta có $a < 0$ nên loại C.

Từ đồ thị ta có $x = 0 \Rightarrow y = 1$ nên loại B.

Từ đồ thị ta có $x = 1 \Rightarrow y = 2$ nên loại D.

Câu 29:

Cho hàm số bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0, b > 0, c < 0, d < 0$

B. $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$

C. $a > 0, b > 0, c > 0, d < 0$

D. $a < 0, b > 0, c > 0, d < 0$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hàm số bậc ba y= ax^3+bx^2+cx+d ( a khác 0) có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 2)

Từ đồ thị ta có $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty$ , $\lim_{x \to - \infty} y = + \infty$ do đó $a < 0$ (1).

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Oy tại điểm có tung độ $y = d$ , từ đồ thị đã cho suy ra $d < 0$ (2).

Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại $x_{1}$ , đạt cực đại tại $x_{2}$ , từ đó $x_{1}$ , $x_{2}$ là nghiệm của phương trình $3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ , theo viet ta có: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} \end{matrix}$ .

Từ đồ thị đã cho ta có $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} > 0 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} > 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} b > 0 \\ c < 0 \end{matrix}$ (3).

Từ (1), (2), (3) chọn A.

Câu 30:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ dài bằng 8a . Gọi M là trung điểm của BC , hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AM và $S B = \frac{25 a}{2}$ . Khoảng cách từ đến mặt phẳng (ABC) là:

A. $\frac{2 a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

B. $\frac{4 a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

C. $\frac{a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

D. $\frac{a \sqrt{1042}}{2 \sqrt{259}}$

Xem đáp án

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ dài bằng 8a . Gọi M là trung điểm của BC (ảnh 1)

Tam giácACM vuông tại C nên $A M = \sqrt{A C^{2} + C M^{2}} = 2 a \sqrt{10}$ .

Trong tam giác HBC có HM là đường trung tuyến nên : $H M^{2} = \frac{H B^{2} + H C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}$

$\Rightarrow H B = \sqrt{\frac{4 H M^{2} - 2 H C^{2} + B C^{2}}{2}}$ .

Trong tam giác vuông SHB có $S H = \sqrt{S B^{2} - H B^{2}}$ $= \frac{a \sqrt{521}}{2}$ Dựng $H K ⊥ S I$ tại K tại .

Do tam giác SHI vuông tại I , HK là đường cao nên $\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} \Rightarrow H K = a \sqrt{\frac{1042}{529}}$ .

Lại có H là trung điểm của AM , M là trung điểm của BC nên: $d (B, (S A C))$ .

$= 2 d (M, (S A C)) = 4 d (H, (S A C)) = 4 a \sqrt{\frac{1042}{529}}$

Câu 31:

Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m$ nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$ là $(- \infty; \frac{p}{q}]$ , trong đó phân số $\frac{p}{q}$ tối giản và $q > 0$ . Hỏi tổng $p + q$ là

A. 5

B. 9

C. 7

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m \Rightarrow y^{'} = - 4 x^{3} + 2 (2 m - 3) x = 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3)$ .

Hàm số $y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m$ nghịch biến trên khoảng $(1; 2) \Leftrightarrow y^{'} \leq 0, \forall x \in (1; 2)$ và $y^{'} = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (1,2) $\Leftrightarrow 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3) \leq 0, \forall x \in (1; 2)$

$\Leftrightarrow - 2 x^{2} + 2 m - 3 \leq 0, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow m \leq x^{2} + \frac{3}{2}, \forall x \in (1; 2)$ .

Đặt $g (x) = x^{2} + \frac{3}{2}$ và $g (x)$ liên tục tại $x = 1, x = 2$ .

Suy ra $m \leq g (x), \forall x \in [1; 2] \Rightarrow m \leq \min_{[1; 2]} g (x)$ .

Ta có $g^{'} (x) = 2 x > 0, \forall x \in (1; 2)$ . Suy ra $g (x) = x^{2} + \frac{3}{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại x=1 và $g (1) = \frac{5}{2}$ .

Vậy $m \in (- \infty; \frac{5}{2}] \Rightarrow p + q = 7$ .

Câu 32:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1$ có 2 cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| = 2$ ?

A. 1

B. 3

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Ta có hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 2 m$

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1$ có 2 cực trị $x_{1}, x_{2}$ khi và chỉ khi phương trình $3 x^{2} - 6 x + 2 m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 9 - 6 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}$ .

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình $3 x^{2} - 6 x + 2 m = 0$ .

Ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{2 m}{3} \end{cases}$ .

Mà theo đề ta lại có $|x_{1} - x_{2}| = 2 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 \Rightarrow 4 - \frac{8 m}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 0$ thỏa điều kiện $(*)$ .

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 33:

y = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 1.

Xem đáp án

a. TXĐ: D=R

$\Rightarrow y^{'} = x^{3} - 4 x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = \pm 2 \Rightarrow y = - 3 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

a. Tìm cực trị của hàm số y= 1/4x^4-2x^2+1 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra cực tiểu hàm số là y=-3, cực đại của hàm số là y=1 .

Câu 34:

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x \sqrt{1 - x^{2}}

trên đoạn

[- 1; 0]

Cho hình chóp SABCD có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 45

Xem đáp án

b. $y^{/} = \sqrt{1 - x^{2}} + x \frac{- 2 x}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$

$y^{/} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} \notin [- 1; 0] \\ x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \in [- 1; 0] \end{array} .$

Ta có: $y (- 1) = 0; y (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 1}{2}; y (0) = 0$ .

Vậy $\max_{[- 1; 0]} y = y (0) = 0; \min_{[- 1; 0]} y = y (\frac{- \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 1}{2} .$

Câu 35:

°

,

S A = a \sqrt{3}

. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(S A C)