50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 1)

Câu 1:

Cho các hàm số f(x),g(x) liên tục trên tập xác định. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\int f (x) . g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x .$

B.

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x .

C.

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x, (k \neq 0) .

D.

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C, (C \in ℝ) .

Xem đáp án

Đáp án: A

$\int f (x) . g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x$ là mệnh đề sai.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4.$ Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là:

A. $I (- 2; 1; 1) .$

B.

I (- 2; 0; 1) .

C.

I (2; 1; - 1) .

D.

I (2; 0; - 1) .

Xem đáp án

Đáp án : D

Mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4$ có tâm $I (2; 0; - 1) .$

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;-1) và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} (2; 0; - 3)$ ?

A. $2 x - 3 z - 5 = 0.$

B.

2 x - 3 z + 5 = 0.

C.

x + 2 y - z - 5 = 0.

D.

x + 2 y - z - 6 = 0.

Xem đáp án

Đáp án : A

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;-1) và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 0; - 3) :$

$2 (x - 1) - 3 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 z - 5 = 0.$

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d) : \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 4}{1} .$ Một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) có tọa độ là:

A. (0;-2;-4)

B. (3;-1;0)

C. (0;2;4)

D. (3;-1;1)

Xem đáp án

Đáp án : D

Đường thẳng $(d) : \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 4}{1} .$ có vectơ chỉ phương là (3;-1;1)

Câu 5:

Cho số phức z = 2 + i. Số phức liên hợp $\bar{z}$ có phần thực, phần ảo lần lượt là

A. 2 và 1.

B. -2 và -1.

C. -2 và 1.

D. 2 và -1.

Xem đáp án

Đáp án: D

Số phức z = 2 +i có số phức liên hợp là $\bar{z} = 2 - i .$

$\bar{z} = 2 - i .$ có phần thực là 2, phần ảo là – 1.

Câu 6:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} 3^{x} d x .$

A.

I = \frac{9}{5} .

B. I = 2ln3

C.

I = \frac{3}{\ln 3} .

D.

I = \frac{2}{\ln 3} .

Xem đáp án

Đáp án: D

$I = \int_{0}^{1} 3^{x} d x = {\frac{3^{x}}{\ln 3}|}_{0}^{1} = \frac{3 - 1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3} .$

Câu 7:

Tính môđun của số phức z biết $z = \frac{1 + 7 i}{3 - 4 i} .$

A. $|z| = 0.$

B.

|z| = 25 \sqrt{2} .

C.

|z| = \sqrt{2}

D.

|z| = 2

Xem đáp án

Đáp án: C

$z = \frac{1 + 7 i}{3 - 4 i} = \frac{(1 + 7 i) (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)} = \frac{- 25 + 25 i}{9 + 16} = - 1 + i \Rightarrow |z| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} .$

Câu 8:

Cho các hàm số f(x) và F(x) liên tục trên R thỏa $F^{'} (x) = f (x), \forall x \in ℝ .$ Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ biết F(0) = 2, F(1) = 5.

A. $\int_{0}^{1} f (x) d x = 7.$

B.

\int_{0}^{1} f (x) d x = 1 .

C.

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3 .

D.

\int_{0}^{1} f (x) d x = - 3 .

Xem đáp án

Đáp án: C

Ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} F^{'} (x) d x = F (1) - F (0) = 5 - 2 = 3.$

Câu 9:

Cho số phức

z = a + b i, (a, b \in ℝ) .

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. là phần thực của z.

B.

|z| = \sqrt{a + b}

là môđun của z.

C.

\bar{z} = a - b i

là số phức liên hợp của z.

D.là phần ảo của z.

Xem đáp án

Đáp án: B

$|z| = \sqrt{a + b}$ là môđun của z là mệnh đề sai.

Sửa lại: $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Câu 10:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x

A. $\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C .$

B.

\int \cos 2 x d x = - 2 \sin 2 x + C .

C.

\int \cos 2 x d x = 2 \sin 2 x + C .

D.

\int \cos 2 x d x = - \frac{1}{2} \sin 2 x + C .

Xem đáp án

Đáp án: A

Ta có: $\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \int \cos 2 x d (2 x) = \frac{1}{2} \sin 2 x + C .$

Chú ý: Nhiều HS có lời giải sai như sau: $\int \cos 2 x d x = \sin 2 x + C .$

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 2 = 0.Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. N(0;1;1)

B. M(1;0;1)

C. P(1;1;0)

D. Q(1;1;1)

Xem đáp án

Đáp án: A

Ta có: $2.0 - 1 + 3.1 - 2 = 0 :$ đúng $\Rightarrow N (0; 1; 1) \in (P) : 2 x - y + 3 z - 2 = 0.$

Câu 12:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} - 1.

A. $\int f (x) d x = x^{3} + x + C .$

B.

\int f (x) d x = x^{3} - x + C .

C.

\int f (x) d x = 6 x + C .

D.

\int f (x) d x = x^{3} + C .

Xem đáp án

Đáp án: B

$\int f (x) d x = \int (3 x^{2} - 1) d x = x^{3} - x + C .$

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 4 x + 3 z - 5 = 0$ . Tính khoảng cách d từ điểm M(1;-1;2) đến mặt phẳng (P).

A. $d = \frac{4}{5} .$

B.

d = \frac{1}{5} .

C.

d = \frac{7}{5} .

D. d = 1

Xem đáp án

Đáp án: D

Khoảng cách d từ điểm M(1;-1;2) đến mặt phẳng $(P) : 4 x + 3 z - 5 = 0$ là $d = \frac{|4.1 + 3.2 - 5|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 1.$

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;3;1). Hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Ox có tọa độ là:

A. (2,0,0)

B. (-2,0,0)

C. (0,3,1)

D. (0,-3,-1)

Xem đáp án

Đáp án: B

Hình chiếu vuông góc của điểm A(-2;3;1) lên trục R có tọa độ là: (-2;0;0).

Câu 15:

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x = a, x = b (a < b)$ , xung quanh trục Ox.

A. $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

B.

V = π \int_{a}^{b} f (x) d x .

C.

V = \int_{a}^{b} |f (x)| d x .

D.

V = \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .

Xem đáp án

Đáp án: A

Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x = a, x = b (a < b),$ xung quanh trục Ox là: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Câu 16:

Cho số phức z, biết số phức liên hợp $\bar{z} = (1 - 2 i) {(1 + i)}^{3} .$ Điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức Oxy là điểm nào dưới đây?

A. N(2; -6)

B. M(2;6)

C. P(6;-2)

D. Q(6;2)

Xem đáp án

Đáp án: A

$\bar{z} = (1 - 2 i) {(1 + i)}^{3} = (1 - 2 i) (1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}) = (1 - 2 i) (- 2 + 2 i)$ $= - 2 + 2 i + 4 i + 4 = 2 + 6 i \Rightarrow z = 2 - 6 i .$

Điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức Oxy là N(2;-6)

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d) : \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 1 + 2 t, (t \in ℝ) \\ z = 2 - t \end{cases} .$ Đường thẳng đi qua điểm M(0;1;-1) và song song với đường thẳng d có phương trình là:

A. $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1} .$

B.

\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1} .

C.

\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 1}{2} .

D.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2} .

Xem đáp án

Đáp án: B

Gọi $Δ$ là đường thẳng cần tìm. Do $Δ$ song song d nên $Δ$ có 1 VTCP là $\vec{u} = (1; - 2; 1)$

Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua M(0;1;-1) và có một VTCP $\vec{u} = (1; - 2; 1) : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1} .$

Câu 18:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = 3 x^{2}, y = 2 x + 5, x = - 1$ và x = 2

A. S = 9

B.

S = \frac{269}{27} .

C.

S = \frac{256}{27} .

D. S = 27

Xem đáp án

Đáp án: B

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = 3 x^{2}, y = 2 x + 5, x = - 1$ và x = 2 là:

$S = \int_{- 1}^{2} |3 x^{2} - 2 x - 5| d x = \int_{- 1}^{\frac{5}{3}} |3 x^{2} - 2 x - 5| d x + \int_{\frac{5}{3}}^{2} |3 x^{2} - 2 x - 5| d x$

$= - \int_{- 1}^{\frac{5}{3}} (3 x^{2} - 2 x - 5) d x + \int_{\frac{5}{3}}^{2} (3 x^{2} - 2 x - 5) d x$

$= - {(x^{3} - x^{2} - 5 x)|}_{- 1}^{\frac{5}{3}} + {(x^{3} - x^{2} - 5 x)|}_{\frac{5}{3}}^{2} = \frac{269}{27} .$

Câu 19:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x$ bằng cách đặt $u = 2 x + 1, d v = e^{x} d x .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I = (2 x + 1) {e^{x}|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x .$

B.

I = (2 x + 1) {e^{x}|}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} d x .

C.

I = (2 x + 1) {e^{x}|}_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{x} d x .

D.

I = (2 x + 1) {e^{x}|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{2 x} d x .

Xem đáp án

Đáp án:B

Đặt $u = 2 x + 1, d v = e^{x} d x \Rightarrow d u = 2 d x, v = e^{x}$

$I = \int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x = (2 x + 1) {e^{x}|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} .2 d x = (2 x - 1) {e^{x}|}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} d x .$

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(3;-1;0) có bán kính R = 5 có phương trình là

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 25.$

B.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 5.

C.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 25.

D.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 5.

Xem đáp án

Đáp án: A

Mặt cầu tâm I(3;-1;0) có bán kính R = 5 có phương trình là : ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 25.$

Câu 21:

Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của $f (x) = \sqrt[3]{x}$ trên $(0; + \infty) ?$

A. $F_{3} (x) = \frac{3 x \sqrt[3]{x}}{4} + 3.$

B.

F_{2} (x) = \frac{3 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} + 2.

C.

F_{4} (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + 4.

D.

F_{1} (x) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{4}}}{4} + 1.

Xem đáp án

Đáp án:B $\int \sqrt[3]{x} d x = \int x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} . x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} . \sqrt[3]{x^{4}} + C = \frac{3}{4} . x \sqrt[3]{x} + C$

Như vậy, $F_{2} (x) = \frac{3 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} + 2$ không phải là một nguyên hàm của $f (x) = \int \sqrt[3]{x} d x$ trên $(0; + \infty)$ .

Câu 22:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = sinx ,trục hoành và các đường thẳng $x = 0, x = \frac{π}{6} .$ Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. $V = \frac{1}{4} (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) .$

B.

V = \frac{1}{2} (2 - \sqrt{3}) .

C.

V = \frac{π}{4} (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) .

D.

V = \frac{π}{2} (2 - \sqrt{3}) .

Xem đáp án

Đáp án:C

Thể tích cần tìm là:

$V = π \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} x d x = π \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos 2 x}{2} = \frac{π}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} d x - \frac{π}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos 2 x d x = \frac{π}{2} . {x|}_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{π}{2} . \frac{1}{2} {\sin 2 x|}_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{2} . \frac{π}{6} - \frac{π}{2} . \frac{1}{2} . (\sin \frac{π}{3} - \sin 0)$

$= \frac{π}{2} . \frac{π}{6} - \frac{π}{2} . \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{4} (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 3 z + 7 = 0.$

B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 3 z + 8 = 0.

C.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 1 = 0.

D.

x^{2} + z^{2} - 2 x + 6 z - 2 = 0.

Xem đáp án

Đáp án:A

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu? (ảnh 1)

Câu 24:

Tìm tất cả các giá trị thực x,y sao cho $x - 1 - y i = y + (2 x - 5) i .$

A. x = 2, y =1

B. x = 3, y =2

C. x = -2, y = -1

D. x = -2, y = 9

Xem đáp án

Đáp án: A

$x - 1 - y i = y + (2 x - 5) i \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = y \\ - y = 2 x - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y + 1 \\ - y = 2 y + 2 - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} .$

Câu 25:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x {(x + 1)}^{2016} .$

A. $\int f (x) d x = 2018 {(x + 1)}^{2018} - 2017 {(x + 1)}^{2017} + C .$

B.

\int f (x) d x = \frac{{(x + 1)}^{2018}}{2018} - \frac{{(x + 1)}^{2017}}{2017} + C .

C.

\int f (x) d x = 2018 {(x + 1)}^{2018} + 2017 {(x + 1)}^{2017} + C .

D.

\int f (x) d x = \frac{{(x + 1)}^{2018}}{2018} + \frac{{(x + 1)}^{2017}}{2017} + C .

Xem đáp án

Đáp án : B

Đặt $x + 1 = t \Rightarrow d x = d t .$

$\int f (x) d x = \int x {(x + 1)}^{2016} d x = \int (t - 1) t^{2016} d t$

$= \int t^{2017} d t - \int t^{2016} d t = \frac{t^{2018}}{2018} - \frac{t^{2017}}{2017} + C$

$= \frac{{(x + 1)}^{2018}}{2018} - \frac{{(x + 1)}^{2017}}{2017} + C .$

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = (1; - 1; 3), \vec{b} = (2; 0; - 1) .$ Tìm tọa độ vectơ $\vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} .$

A. $\vec{u} = (1; 3; - 11) .$

B.

\vec{u} = (4; 2; - 9) .

C.

\vec{u} = (- 4; - 2; 9) .

D.

\vec{u} = (- 4; - 5; 9) .

Xem đáp án

Đáp án: C

$\vec{a} = (1; - 1; 3), \vec{b} = (2; 0; - 1), \vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} \Rightarrow \vec{u} = (- 4; - 2; 9) .$

Câu 27:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} - 4 z + 9 = 0.$ Tính $P = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} .$

A. $P = - \frac{4}{9} .$

B.

P = - \frac{9}{4} .

C.

P = \frac{4}{9} .

D.

P = \frac{9}{4} .

Xem đáp án

Đáp án:C

Theo định lí Vi – ét , ta có: $\{\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = 2 \\ z_{1} z_{2} = \frac{9}{2} \end{matrix} .$

$P = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} = \frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} z_{2}} = \frac{2}{\frac{9}{2}} = \frac{4}{9} .$

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{u} = (2; - 1; 1), \vec{v} = (0; - 3; - m) .$ Tìm số thực m sao cho tích vô hướng $\vec{u} . \vec{v} = 1$

A. m = 2

B. m =4

C. m = -2

D. m = 3

Xem đáp án

Đáp án:A

Ta có: $\vec{u} \vec{v} = 1 \Leftrightarrow 2.0 + (- 1) (- 3) + 1. (- m) = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2.$

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (3; 2; 0), B (1; 0; - 4) .$ Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 2 y - 4 z - 15 = 0.$

B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 2 y - 4 z + 3 = 0.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y + 4 z + 3 = 0.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y + 4 z - 15 = 0.

Xem đáp án

Đáp án: C

Gọi I là trung điểm của $A B \Rightarrow I (2; 1; - 2), I A = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6}$

Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 6 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y + 4 z + 3 = 0.$

Câu 30:

Cho biết $\int_{1}^{3} f (x) d x = 8.$ Tính tích phân $I = \int_{4}^{12} f (\frac{x}{4}) d x .$

A. I = 12

B. I = 2

C. I = 32

D. I = 3

Xem đáp án

Đáp án:C

Đặt $\frac{x}{4} = t \Rightarrow d x = 4 d t .$ Đổi cận: $x = 4 \to t = 1, x = 12 \to t = 3$

$I = \int_{4}^{12} f (\frac{x 12}{4}) d x = \int_{1}^{3} f (t) 4 d t = 4 \int_{1}^{3} f (x) d x = 4.8 = 32.$

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = 2 x + e^{x} .$ Tìm một nguyên hàm f(x) thỏa mãn F(0) = 0

A. $F (x) = x^{2} + e^{x} .$

B.

F (x) = x^{2} + e^{x} - 1

C.

F (x) = x^{2} + e^{x} + 1 .

D.

F (x) = e^{x} - 1.

Xem đáp án

Đáp án:B

$\int f (x) d x = \int (2 x + e^{x}) d x = x^{2} + e^{x} + C .$

F(x) là một nguyên hàm của $f (x) \Rightarrow F (x) = x^{2} + e^{x} + C_{0}$

Mà $F (0) = 0 \Rightarrow 1 + C_{0} = 0 \Leftrightarrow C_{0} = - 1 \Rightarrow F (x) = x^{2} + e^{x} - 1.$

Câu 32:

Cho biết $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{2} g (x) d x = - 2.$ Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} [2 x + f (x) - 2 g (x)] d x .$

A. I = 3

B. I = 18

C. 5

D. I =11

Xem đáp án

Đáp án: D

$I = \int_{0}^{2} [2 x + f (x) - 2 g (x)] d x = \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} f (x) d x - 2 \int_{0}^{2} g (x) d x = {x^{2}|}_{0}^{2} + 3 - 2. (- 2) = 4 + 3 + 4 = 11.$

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d) : \{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2 t, (t \in ℝ) . \\ z = - 3 t \end{cases}$ Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d) ?

A. $\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3} .$

B.

\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 3} .

C.

\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 3} .

D.

\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 3} .

Xem đáp án

Đáp án: A

$(d) : \{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2 t, (t \in ℝ) \\ z = - 3 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t = \frac{x - 3}{- 1} \\ t = \frac{y + 1}{2} \\ t = \frac{z}{- 3} \end{matrix}$

Vậy, phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: $\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3} .$

Câu 34:

Tìm tất cả các số phức z thỏa

2 z - 3 (1 + i) = i z + 7 - 3 i .

A. $z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5} i .$

B. z = 4 - 2i

C. z = 4 + 2i

D.

z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5} i .

Xem đáp án

Đáp án :C

Ta có:

$2 z - 3 (1 + i) = i z + 7 - 3 i \Leftrightarrow (2 - i) z = 10$ $\Leftrightarrow z = \frac{10}{2 - i} \Leftrightarrow z = \frac{10 (2 + i)}{(2 + i) (2 - i)}$ $\Leftrightarrow z = \frac{10 (2 + i)}{5} \Leftrightarrow z = 4 + 2 i$

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d) : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{2}$ và điểm A(1;-2;3).Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình là:

A. $x - y + 2 z - 9 = 0.$

B.

x - y + 2 z + 9 = 0.

C.

x - 2 y + 3 z - 9 = 0.

D.

x - 2 y + 3 z - 14 = 0.

Xem đáp án

Đáp án: A

Gọi mặt phẳng cần tìm là (P). Do $d ⊥ (P) \Rightarrow (P)$ nhận $\vec{u_{d}} = (1; - 1; 2)$ làm VTPT

Phương trình mặt phẳng (P) là: $1 (x - 1) - 1 (y + 2) + 2 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 z - 9 = 0.$

Câu 36:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $z + 1 + 3 i - |z| i = 0.$ .Tính S = a - 3b.

A. $S = \frac{7}{3} .$

B.

S = \frac{- 7}{3} .

C. S = -3

D. S =3

Xem đáp án

Đáp án:D

Ta có:

$z + 1 + 3 i - |z| i = 0 \Leftrightarrow a + b i + 1 + 3 i - \sqrt{a^{2} + b^{2}} . i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 1 \\ b + 3 - \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b + 3 = \sqrt{1 + b^{2}} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b + 3 \geq 0 \\ b^{2} + 6 b + 9 = 1 + b^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b \geq - 3 \\ b = - \frac{4}{3} (t m) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - \frac{4}{3} \end{cases}$

$S = a - 3 b = - 1 - 3. \frac{- 4}{3} = - 1 + 4 = 3.$

Câu 37:

Cho $\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{3 + \ln x}}{x} d x = \frac{a - b \sqrt{3}}{3}$ với $a, b \in ℤ .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ab = 24

B. a - b =10

C. a - 2b = 12

D. a + b = 10

Xem đáp án

Đáp án: B

Đặt $\sqrt{3 + \ln x} = t \Rightarrow 3 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{1}{x} d x = 2 t d t .$

Đổi cận: $x = 1 \to t = \sqrt{3}, x = e \to t = 2$

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{3} + \ln x}{x} d x = \int_{\sqrt{3}}^{2} t .2 t d t = \int_{\sqrt{3}}^{2} 2 t^{2} d t = {\frac{2}{3} t^{3}|}_{\sqrt{3}}^{2} = \frac{2}{3} (8 - 3 \sqrt{3}) = \frac{16 - 6 \sqrt{3}}{3} = \frac{a - b \sqrt{3}}{3}$ với $a, b \in ℤ .$

$\Rightarrow a = 16, b = 6 \Rightarrow a - b = 10.$

Câu 38:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}$ thỏa mãn F(0) = -1.Tính F(-1).

A. $F (- 1) = 2 + \ln 2.$

B.

F (- 1) = - 2 + \ln 2.

C.

F (- 1) = - \ln 2.

D.

F (- 1) = \ln 2.

Xem đáp án

Đáp án: C

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1} = 2 x - \frac{1}{x - 1} \\ \int f (x) d x = \int (2 x - \frac{1}{x - 1}) d x = \int 2 x d x - \int \frac{1}{x - 1} d x = x^{2} - \ln |x - 1| + C \end{array}$

F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) \Rightarrow F (x) = x^{2} - \ln |x - 1| + C_{0}$

Mà $F (0) = - 1 \Rightarrow C_{0} = - 1 \Rightarrow F (x) = x^{2} - \ln |x - 1| - 1 \Rightarrow F (- 1) = 1 - \ln 2 - 1 = - \ln 2.$

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1,0,3), B(2,-1,1), C(-1,3,-4), D(2,6,0) tạo thành một hình tứ diện. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD tìm tọa độ trung điểm G của đoạn thẳng MN.

A. $G (\frac{4}{3}; \frac{8}{3}; 0) .$

B.

G (1; 2; 0) .

C.

G (2; 4; 0) .

D.

G (4; 8; 0) .

Xem đáp án

Đáp án:B

M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD; G là trung điểm của MN

$\Rightarrow G$ là trọng tâm tứ diện ABCD

$\Rightarrow G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D}}{4}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C} + y_{D}}{4}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C} + z_{D}}{4}) \Rightarrow G (1; 2; 0)$

Câu 40:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z + 1| = |1 - i - 2 z|$ là đường tròn (C). Tính bán kính R của đường tròn (C).

A.

R = \frac{\sqrt{10}}{3} .

B.

R = \frac{10}{9} .

C.

R = 2 \sqrt{3} .

D.

R = \frac{7}{3} .

Xem đáp án

Đáp án: A

Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ),$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M(a,b)

Ta có: $|z + 1| = |1 - i - 2 z| \Leftrightarrow |a + b i + 1| = |1 - i - 2 a - 2 b i| \Leftrightarrow \sqrt{{(a + 1)}^{2} + b^{2}} = \sqrt{{(1 - 2 a)}^{2} + {(1 + 2 b)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {(a + 1)}^{2} + b^{2} = {(1 - 2 a)}^{2} + {(1 + 2 b)}^{2} \Leftrightarrow 3 a^{2} + 3 b^{2} - 6 a + 4 b + 1 = 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 2 a + \frac{4}{3} b + \frac{1}{3} = 0$

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z + 1| = |1 - i - 2 z|$ là đường tròn (C) có bán kính $R = \frac{\sqrt{10}}{3} .$

Câu 41:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} x}{\cos^{4} x} d x$ bằng cách đặt u = tanx mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u .$

B.

I = - \int_{0}^{1} u^{2} d u .

C.

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} u^{2} d u .

D.

I = \int_{0}^{1} u^{2} d u .

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $u = \tan x \Rightarrow d u = \frac{1}{\cos^{2} x} d x .$

Đổi cận: $u = \tan x \Rightarrow d u = \frac{1}{\cos^{2} x} d x .$

$I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} x}{\cos^{4} x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} x}{\cos^{2} x} d x = \int_{0}^{1} u^{2} d u .$

Câu 42:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2^{x} - 2, y = 0$ và x = 2

A. $S = \frac{2 - 2 \ln 2}{\ln 2} .$

B.

S = \frac{3 - 4 \ln 2}{\ln 2} .

C.

S = \frac{2 + 2 \ln 2}{\ln 2} .

D.

S = \frac{3 + 4 \ln 2}{\ln 2} .

Xem đáp án

Đáp án A

Giải phương trình: $2^{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Diện tích S cần tìm là:

$S = \int_{1}^{2} |2^{x} - 2| d x = \int_{1}^{2} (2^{x} - 2) d x = {(\frac{2^{x}}{\ln 2} - 2 x)|}_{1}^{2} = (\frac{4}{\ln 2} - 4) - (\frac{2}{\ln 2} - 2) = \frac{2}{\ln 2} - 2 = \frac{2 - 2 \ln 2}{\ln 2} .$

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(Δ) : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z}{1}$ và điểm A(2;0;1). Hình chiếu vuông góc của A trên $(Δ)$ là điểm nào dưới đây?

A. M(-1;4;-4)

B. Q(2,2,3)

C. N(0,-2,1)

D. P(1,0,2)

Xem đáp án

Đáp án D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng đenta: x +1/1= y +4/2= z/1 và điểm A(2;0;1). Hình chiếu vuông góc của A trên (ảnh 1)

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - m y + z - 1 = 0 (m \in ℝ),$ mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và qua điểm A(1;-3;1).Tìm số thực m để hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc

A. m = -3

B.

m = - \frac{1}{3} .

C.

m = \frac{1}{3} .

D. m = 3

Xem đáp án

Đáp án D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x -my +z -1 = 0 mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và qua điểm A(1;-3;1). Tìm số thực để hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc (ảnh 1)

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ và điểm A(1;1;0) thuộc (S). Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A có phương trình là:

A. x +y +1 = 0

B. x + y - 2 = 0

C. x +1 = 0

D. x - 1 = 0

Xem đáp án

Đáp án D

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ có tâm I(-2;1;0)

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận $\vec{I A} (3; 0; 0)$ là 1 VTPT. Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $3. (x - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0.$

Câu 46:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \frac{x^{2}}{2}, y = \sqrt{2 x} .$ Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. $V = \frac{4 π}{3} .$

B.

V = \frac{28 π}{5} .

C.

V = \frac{36 π}{35} .

D.

V = \frac{12 π}{5} .

Xem đáp án

Đáp án D

Giải phương trình: $\frac{x^{2}}{2} = \sqrt{2} x, (x \geq 0) \Leftrightarrow x^{4} = 8 x \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

Thể tích cần tìm là:

$V = π \int_{0}^{2} |\frac{x^{4}}{4} - 2 x| d x = \frac{π}{4} \int_{0}^{2} |x^{4} - 8 x| d x = - \frac{π}{4} \int_{0}^{2} (x^{4} - 8 x) d x = - \frac{π}{4} {(\frac{x^{5}}{5} - 4 x^{2})|}_{0}^{2} = - \frac{π}{4} (\frac{32}{5} - 16) = \frac{12 π}{5} .$

Câu 47:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thảo mãn $\frac{|z - 3 + 4 i| + 1}{3 |z - 3 + 4 i| - 3} = \frac{1}{2}$ và môđun $|z|$ lớn nhất. Tính tổng S = a+b

A. S = 2

B. S = -2

C. S = -1

D. S = 1

Xem đáp án

Đáp án B

Cho số phức z = a + bi( a,b thuộc R) thảo mãn môdun z -3 + 4i +1/ 3 môdun z -3 + 4i - 3 = 1/ 2 và môđun z lớn nhất (ảnh 1)

Câu 48:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(3,2,1) .Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.$

B.

\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0 .

C.

3 x + 2 y + z - 14 = 0.

D.

x + y + z - 6 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ có phương trình theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1, (a, b, c \neq 0) .$

$\begin{array}{l} M (3; 2; 1) \in (P) \Rightarrow \frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (1) \\ \vec{A M} = (3 - a; 2; 1), \vec{B C} = (0; - b; c) \\ \vec{B M} = (3; 2 - b; 1), \vec{A C} = (- a; 0; c) \end{array}$

M là trực tâm tam $A B C \Rightarrow \{\begin{matrix} \vec{A M} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B M} . \vec{A C} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} (3 - a) .0 + 2. (- b) + 1. c = 0 \\ 3. (- a) + (2 - b) .0 + 1. c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 2 b + c = 0 \\ - 3 a + c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = \frac{1}{2} c \\ a = \frac{1}{3} c \end{matrix}$

Thay vào (1), ta có: $\frac{3}{\frac{1}{3} c} + \frac{2}{\frac{1}{2} c} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{14}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 14 \Rightarrow a = \frac{14}{3}, b = 7$

$\Rightarrow (P) : \frac{x}{\frac{14}{3}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{14} = 1 \Leftrightarrow \frac{3 x}{14} + \frac{y}{7} + \frac{z}{14} = 1 \Leftrightarrow 3 x + 2 y + z - 14 = 0$

Câu 49:

Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh $I (\frac{1}{2}; 8)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường S người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.

A. S=4 (km)

B. S= 2,3 (km)

C. S= 4,5 (km)

D. S=5,3 (km)

Xem đáp án

Đáp án C

+) Đặt $y = v (t) = a t^{2} + b t + c, (a \neq 0) (P)$

Do $O (0; 0) \in (P) \Rightarrow c = 0 \Rightarrow y = v (t) = a t^{2} + b t$

(P) có đỉnh $I (\frac{1}{2}; 8) \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b = 8 \\ - \frac{b}{2 a} = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 2 b = 32 \\ b = - a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 32 \\ b = 32 \end{cases} \Rightarrow y = v (t) = - 32 t^{2} + 32 t .$

Quãng đường cần tính là: $S = \int_{0}^{\frac{3}{4}} v (t) d t = \int_{0}^{\frac{3}{4}} (- 32 t^{2} + 32 t) d t = {(- \frac{32}{3} t^{3} + 16 t^{2})|}_{0}^{\frac{3}{4}} = 4,5 (k m) .$

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 4$ có tâm I và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 2 = 0.$ Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho đoạn thẳng IM ngắn nhất

A. (1;-2;2)

B. (1;-2;-3)

C.

(- \frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}) .

D.

(- \frac{11}{9}; - \frac{8}{9}; - \frac{2}{9}) .

Xem đáp án

Đáp án C

$(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 4$ có tâm I(1,2,0)

M thuộc (P) sao cho đoạn thẳng IM ngắn nhất khi và chỉ khi, M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với $(P) \Rightarrow d$ nhận $\vec{n_{(P)}} (2; - 1; 2)$ làm 1 VTCP

Phương trình đường thẳng d là: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 - t \\ z = 2 t \end{cases} . M \in d \Rightarrow M (1 + 2 t; - 2 - t; 2 t)$

$M \in (P) \Rightarrow 2 (1 + 2 t) - (- 2 - t) + 2.2 t + 2 = 0 \Leftrightarrow 9 t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{3} \Rightarrow M (- \frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}) .$