15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức $b (b^{2} - a^{2}) = c (a^{2} - c^{2})$ . Khi đó góc $\hat{B A C}$ bằng bao nhiêu độ?

A. $30^{\circ}$

B. $45^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $90^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án C

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Mà $b (b^{2} - a^{2}) = c (a^{2} - c^{2})$

$\Leftrightarrow b^{3} - a^{2} b = a^{2} c - c^{3} \Leftrightarrow - a^{2} (b + c) + (b^{3} + c^{3}) = 0 \Leftrightarrow (b + c) (b^{2} + c^{2} - a^{2} - b c) = 0$

$\Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} - b c = 0$ (do b > 0, c > 0)

$\Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$

Khi đó, $\cos \hat{B A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \hat{B A C} = 60^{0}$

Câu 2:

Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và $\hat{A} = 60^{0}$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A. R = 3

B. $R = 3 \sqrt{3}$

C. $R = \sqrt{3}$

D. R = 6

Xem đáp án

Đáp án A

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos \hat{B A C} = 3^{2} + 6^{2} - 2.3.6. \cos 60^{0} = 27 \Rightarrow B C^{2} = 27 \Rightarrow B C^{2} + A B^{2} = A C^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó bán kính $R = \frac{A C}{2} = 3$

Câu 3:

Tam giác vuông cân tại A có AB = 2a. Đường trung tuyến BM có độ dài là:

A. 3a

B. $2 a \sqrt{2}$

C. $2 a \sqrt{3}$

D. $a \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án D

+ Ta có: AB = AC = 2a

+ Ta có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + 4 a^{2}} = 2 \sqrt{2} a$

$M B^{2} = \frac{B C^{2} + A B^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4} = \frac{8 a^{2} + 4 a^{2}}{2} - \frac{4 a^{2}}{4} = 5 a^{2} \Rightarrow M B = a \sqrt{5}$

Câu 4:

Tam giác ABC cân tại C, có AB = 9cm và $A C = \frac{15}{2} c m$ . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính độ dài cạnh AD

A. AD = 6cm

B. AD = 9cm

C. AD = 12cm

D. $A D = 12 \sqrt{2} c m$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: D là điểm đối xứng của B qua C ⇒ C là trung điểm của BD.

⇒ AC là trung tuyến của tam giác ΔDAB.

BD = 2BC = 2AC = 15.

Theo hệ thức trung tuyến ta có:

$A C^{2} = \frac{A B^{2} + A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4} \Rightarrow A D^{2} = 2 A C^{2} + \frac{B D^{2}}{2} - A B^{2} \Rightarrow A D^{2} = 2. {(\frac{15}{2})}^{2} + \frac{15^{2}}{2} - 9^{2} = 144 \Rightarrow A D = 12$

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. Gọi góc $\hat{A B C} = α$ và $\hat{A C B} = β$ . Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh $α$ và $β$

A. $β > α$

B. $β < α$

C. $β = α$

D. $β \geq α$

Xem đáp án

Đáp án B

+ Có $A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$

+ $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{c}{b} = \frac{5}{12} < 1$ (*)

+ Tam giác ABC vuông tại A, suy ra B và C là góc nhọn. Do đó sinB > 0 và sinC > 0

Từ (*) suy ra sinC < sinB. Suy ra C < B hay $β < α$

Câu 6:

Trong tam giác ABC có:

A. $m_{a} = \frac{b + c}{2}$

B. $m_{a} < \frac{b + c}{2}$

C. $m_{a} > \frac{b + c}{2}$

D. $m_{a} = b + c$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$m_{a}^{2} - {(\frac{b + c}{2})}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} - \frac{b^{2} + c^{2} + 2 b c}{4} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} - 2 b c}{4} = \frac{{(b - c)}^{2} - a^{2}}{4}$

Trong tam giác ta có: $|b - c| < a$ suy ra ${(b - c)}^{2} < a^{2}$

Do đó $\frac{{(b - c)}^{2} - a^{2}}{4} < 0 \Rightarrow m_{a}^{2} - {(\frac{b + c}{2})}^{2} < 0$

Vậy $m_{a} < \frac{b + c}{2}$

Câu 7:

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ thỏa mãn $5 m_{a}^{2} = m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ . Khi đó tam giác này là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác đều

C. Tam giác vuông

D. Tam giác vuông cân

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\{\begin{matrix} m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} \\ m_{b}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} \\ m_{c}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} \end{matrix}$

Mà: $5 m_{a}^{2} = m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$

$\Rightarrow 5 (\frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}) = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} \Leftrightarrow 10 b^{2} + 10 c^{2} - 5 a^{2} = 2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = a^{2}$

$\Rightarrow$ tam giác ABC vuông

Câu 8:

Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau:

(I) $m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

(II) $G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

Trong các khẳng định đã cho có:

A. (I) đúng

B. Chỉ (II) đúng

C. Cả hai cùng sai

D. Cả hai cùng đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Mệnh đề (I): $\{\begin{matrix} m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} \\ m_{b}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} \\ m_{c}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} \end{matrix}$

$\Rightarrow m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

Mệnh đề (II):

$G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{4}{9} (m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}) = \frac{4}{9} . \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

Câu 9:

Cho góc $\hat{x O y} = 30^{0}$ . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. $\frac{3}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{O B}{\sin \hat{O A B}} = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} \Leftrightarrow O B = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} . \sin \hat{O A B} = \frac{1}{\sin 30^{0}} . \sin \hat{O A B} = 2 \sin \hat{O A B}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi $\sin \hat{O A B} = 1 \Leftrightarrow \hat{O A B} = 90^{0}$

Khi đó OB = 2

Câu 10:

Cho góc $\hat{x O y} = 30^{0}$ . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:

A. $\frac{3}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{O B}{\sin \hat{O A B}} = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} \Leftrightarrow O B = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} . \sin \hat{O A B} = \frac{1}{\sin 30^{0}} . \sin \hat{O A B} = 2 \sin \hat{O A B}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi $\sin \hat{O A B} = 1 \Leftrightarrow \hat{O A B} = 90^{0}$

Khi đó OB = 2

Tam giác OAB vuông tại A

$\Rightarrow O A = \sqrt{O B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$

Câu 11:

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. Gọi $l_{a}$ là độ dài đoạn phân giác trong góc $\hat{B A C}$ . Tính $l_{a}$ theo b và c

A. $l_{a} = \frac{\sqrt{2} b c}{b + c}$

B. $l_{a} = \frac{(b + c)}{b c}$

C. $l_{a} = \frac{2 b c}{b + c}$

D. $l_{a} = \frac{\sqrt{2} (b + c)}{b c}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}$

Do AD là phân giác trong của $\hat{B A C}$

$\Rightarrow B D = \frac{A B}{A C} . D C = \frac{c}{b} . D C = \frac{c}{b + c} . B C = \frac{c \sqrt{b^{2} + c^{2}}}{b + c}$

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2. A B . A D . \cos \hat{B A D} \Leftrightarrow \frac{c^{2} (b^{2} + c^{2})}{{(b + c)}^{2}} = c^{2} + A D^{2} - 2 c . A D . \cos 45^{0} \Rightarrow A D^{2} - c \sqrt{2} . A D + (c^{2} - \frac{c^{2} (b^{2} + c^{2})}{{(b + c)}^{2}}) = 0 \Leftrightarrow A D^{2} - c \sqrt{2} . A D + \frac{2 b c^{3}}{{(b + c)}^{2}} = 0 \Rightarrow A D = \frac{\sqrt{2} b c}{b + c} h a y l_{a} = \frac{\sqrt{2} b c}{b + c}$

Câu 12:

Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc $60^{\circ}$ . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?

A. 61 hải l

B. 36 hải lí

C. 36 hải lí

D. 18 hải lí

Xem đáp án

Đáp án B

Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 và $\hat{A} = 60^{0}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A = 30^{2} + 40^{2} - 2.30.40. \cos 60^{0} = 900 + 1600 - 1200 = 1300$

Vậy $B C = \sqrt{1300} \approx 36$ (hải lí)

Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí

Câu 13:

Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt giác kế thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60m, giả sử chiều cao của giác kế là OC = 1m. Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh OB ta nhìn thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc $\hat{A O B} = 60^{0}$ . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:

A. 40m

B. 114m

C. 105m

D. 110m

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác OAB vuông tại B, ta có:

$\tan \hat{A O B} = \frac{A B}{O B} \Rightarrow A B = \tan 60^{0} . O B = 60 \sqrt{3} m$

Vậy chiều cao của ngọn tháp là:

$h = A B + O C = (60 \sqrt{3} + 1) m$

Câu 14:

Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).

Biết AH = 4m, HB = 20m, $\hat{B A C} = 45^{0}$

Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 17,5m

B. 17m

C. 16,5m

D. 16m

Xem đáp án

Đáp án B

Trong tam giác AHB, ta có

$\tan \hat{A B H} = \frac{A H}{B H} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \Rightarrow \hat{A B H} \approx 11^{0} 19$

Suy ra $\hat{A B C} = 90^{0} - \hat{A B H} = 78^{0} 41'$

Suy ra $\hat{A C B} = 180^{0} - (\hat{B A C} + \hat{A B C}) = 56^{0} 19'$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:

$\frac{A B}{\sin \hat{A C B}} = \frac{C B}{\sin \hat{B A C}} \Rightarrow C B = \frac{A B . \sin \hat{B A C}}{\sin \hat{A C B}} = \frac{\sqrt{A H^{2} + B H^{2}} . \sin 45 °}{\sin 56 ° 19^{'}} \approx 17 m$

Câu 15:

Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, $\hat{C A D} = α = 63^{0}, \hat{C B D} = β = 48^{0}$ . Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?

A. 18m

B. 18,5m

C. 60m

D. 60,5m

Xem đáp án

Đáp án D

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có:

$\frac{A D}{\sin B} = \frac{A B}{\sin D}$

Ta có: $α = \hat{D} + β$ nên $\hat{D} = α - β = 63^{0} - 48^{0} = 15^{0}$

Do đó $A D = \frac{A B . \sin β}{\sin (α - β)} = \frac{24. \sin 48^{0}}{\sin 15^{0}} \approx 68, 91 m$

Trong tam giác vuông ACD, có $h = C D = A D . \sin α \approx 61, 4 m$