12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Tổng hợp)

Câu 1:

Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6 và đường cao AH (H ∈ BC) sao cho BH = 2HC. Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$

A. -24

B. 24

C. 18

D. -18

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\vec{A B} . \vec{B C} = (\vec{A H} + \vec{H B}) . \vec{B C} = \vec{A H} . \vec{B C} + \vec{H B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C} = H B . B C . \cos (\vec{H B}, \vec{B C}) = \frac{2}{3} B C . B C . \cos (\vec{H B} . \vec{B C}) = \frac{2}{3} .6.6. \cos 180^{0} = - 24$

Câu 2:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$

B. $(\vec{A B}, \vec{H A}) = 150^{0}$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2}$

D. $\vec{A C} . \vec{C B} = \frac{a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đáp án A: đúng do $A H ⊥ B C$

Đáp án B: đúng do $(\vec{A B}, \vec{A H}) = 30^{\circ}$ nên $(\vec{A B}, \vec{H A}) = 150^{\circ}$

Đáp án C: đúng do

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B} . \vec{A C}) = a . a . \cos 60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$

Đáp án D: do $(\vec{A C} . \vec{C B})$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $(\vec{A C} . \vec{C B}) = 120^{\circ}$

Do đó

$\vec{A C} . \vec{C B} = A C . C B . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a . a . \cos 120^{0} = - \frac{a^{2}}{2}$

Câu 3:

Cho tam giác đều ABC cạnh a = 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. $(\vec{A B} . \vec{A C}) \vec{B C} = 2 \vec{B C}$

B. $\vec{B C} . \vec{C A} = - 2$

C. $(\vec{A B} + \vec{B C}) . \vec{A C} = - 4$

D. $(\vec{B C} - \vec{A C}) . \vec{B A} = 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải

Phương án A: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos 60^{0} = 2$

$\Rightarrow (\vec{A B} . \vec{A C}) \vec{B C} = 2 \vec{B C}$ nên loại A

Phương án B: $\vec{B C} . \vec{C A} = B C . A C . \cos 120^{0} = - 2$ nên loại B

Phương án C: $(\vec{A B} + \vec{B C}) . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A C} = 4$ nên chọn C

Phương án D:

$(\vec{B C} - \vec{A C}) . \vec{B A} = (- \vec{C B} + \vec{C A}) . \vec{B A} = (\vec{C A} - \vec{C B}) . \vec{B A} = \vec{B A} . \vec{B A} = B A^{2} = 4$

nên loại D

Câu 4:

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} a^{2}$

B. $\vec{A C} . \vec{C B} = - \frac{1}{2} a^{2}$

C. $\vec{G A} . \vec{G B} = \frac{a^{2}}{6}$

D. $\vec{A B} . \vec{A G} = \frac{1}{2} a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đáp án. Ta có nhận xét sau:

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{A C})$ là $\hat{A}$ nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = 60^{0}$

Do đó,

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos 60^{0} = \frac{1}{2} a^{2}$

nên A đúng

Xác định được góc $(\vec{A C}, \vec{C B})$ là góc ngoài của $\hat{C}$ nên $(\vec{A C}, \vec{C B}) = 120^{0}$

Do đó,

$\vec{A C} . \vec{C B} = A C . C B . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a . a . \cos 120^{0} = - \frac{1}{2} a^{2}$

nên B đúng

Xác định được góc $(\vec{G A} . \vec{G B})$ là $\hat{A G B}$ nên $(\vec{G A} . \vec{G B}) = 120^{0}$

Do đó,

$\vec{G A} . \vec{G B} = G A . G B . \cos (\vec{G A} . \vec{G B}) = \frac{a}{\sqrt{3}} . \frac{a}{\sqrt{3}} . \cos 120^{0} = - \frac{a^{2}}{6}$

nên C sai

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{A G})$ là $\hat{G A B}$ nên $(\vec{A B}, \vec{A G}) = 30^{0}$

Do đó,

$\vec{A B} . \vec{A G} = A B . A G . \cos (\vec{A B}, \vec{A G}) = a . \frac{a}{\sqrt{3}} . \cos 30^{0} = \frac{a^{2}}{2}$

nên D đúng

Câu 5:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B C} + \vec{B D} + \vec{B A})$

A. $P = 2 \sqrt{2} a$

B. $P = 2 a^{2}$

C. $P = a^{2}$

D. $P = - 2 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\vec{B C} + \vec{B D} + \vec{B A} = (\vec{B C} + \vec{B A}) + \vec{B D} = \vec{B D} + \vec{B D} = 2 \vec{B D}$

và $B D = a \sqrt{2}$

Khi đó

$P = (\vec{A B} + \vec{A C}) .2 \vec{B D} = 2 \vec{A B} . \vec{B D} + 2 \vec{A C} . \vec{B D} = - 2 \vec{B A} . \vec{B D} + 0 = - 2. B A . B D \cos (\vec{B A} . \vec{B D}) = 2. a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = - 2 a^{2}$

Câu 6:

Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 24$

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = 26$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = 28$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = 32$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $O = A C \cap B D$ , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vec tơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ theo các vec tơ có giá vuông góc với nhau. Ta có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = (\vec{A O} + \vec{O B}) . \vec{A C} = \vec{A O} . \vec{A C} + \vec{O B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A C} + 0 = \frac{1}{2} A C^{2} = 32$

Câu 7:

Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD. Khi đó $(\vec{I A} + \vec{I B}) . \vec{I D}$ bằng:

A. $\frac{9 a^{2}}{2}$

B. $- \frac{9 a^{2}}{2}$

C. 0

D. $9 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$(\vec{I A} + \vec{I B}) . \vec{I D} = (\vec{I A} + \vec{I A} + \vec{A B}) . \vec{I D} = 2 \vec{I A} . \vec{I D} = 2. I A . I D . c o s 180 ° = - 2. \frac{3 a}{2} . \frac{3 a}{2} .1 = - \frac{9 a^{2}}{2}$

(do $A B ⊥ I D$ nên $\vec{A B} . \vec{I D} = 0$ )

Câu 8:

Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH, BK; vẽ $H I ⊥ A C$ . Câu nào sau đây đúng?

A. $\vec{B A} . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B H}$

B. $\vec{C B} . \vec{C A} = 4 \vec{C B} . \vec{C I}$

C. $(\vec{A C} - \vec{A B}) . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B C}$

D. Cả 3 câu trên

Xem đáp án

Đáp án D

Phương án A: $\vec{B C} = 2 \vec{B H} \Rightarrow \vec{B A} . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B H}$ nên đẳng thức ở phương án A là đúng

Phương án B: $\vec{C A} = 4 \vec{C I} \Rightarrow \vec{C B} . \vec{C A} = 4 \vec{C B} . \vec{C I}$ nên đẳng thức ở phương án B là đúng

Phương án C:

$\begin{matrix} (\vec{A C} - \vec{A B}) . \vec{B C} = \vec{B C} . \vec{B C} = a^{2} \\ 2 \vec{B A} . \vec{B C} = 2. a . a . \frac{1}{2} = a^{2} \end{matrix}\} \Rightarrow (\vec{A C} - \vec{A B}) . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B C}$

Nên đẳng thức ở phương án C là đúng

Vậy chọn D

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2) và B (−3; 1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A

A. C (0; 6)

B. C (5; 0)

C. C (3; 1)

D. C (0; −6)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $C \in O y$ nên C (0; c) và $\{\begin{matrix} \vec{A B} = (- 4; - 1) \\ \vec{A C} = (- 1; c - 2) \end{matrix}$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên suy ra $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ nên $(- 4) . (- 1) + (- 1) (c - 2) = 0$

$\Leftrightarrow c = 6$

Vậy C (0; 6)

Câu 10:

Cho hai điểm A (−3, 2), B (4, 3). Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam giác MAB vuông tại M

A. M (7; 0)

B. M (5; 0)

C. M (3; 0)

D. M (9; 0)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có A (−3, 2), B (4, 3). Gọi M (x; 0), x > 0

Khi đó $\vec{A M} = (x + 3; - 2), \vec{B M} = (x - 4; - 3)$

Theo YCBT

$\Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 6 = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x = - 2 (l) \\ x = 3 \end{matrix} \Rightarrow M (3; 0)$

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 1), B (1; 3) và C (1; −1). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn

C. Tam giác ABC cân tại B

D. Tam giác ABC vuông cân tại A

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{A B} = (2; 2), \vec{B C} = (0; - 4)$ và $\vec{A C} = (2; - 2)$

Suy ra $\{\begin{matrix} A B = A C = 2 \sqrt{2} \\ A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \end{matrix}$

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (10; 5), B(3;2) và C(6; −5). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC vuông cân tại A

C. Tam giác ABC vuông cân tại B

D. Tam giác ABC có góc A tù

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{A B} = (- 7; - 3), \vec{B C} = (3; - 7)$ và $\vec{A C} = (- 4; - 10)$

Suy ra $\vec{A B} . \vec{B C} = (- 7) .3 + (- 3) . (- 7) = 0$ và AB = BC

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B