5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Vận dụng) có đáp án

Câu 1:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 3y − 2x trên miền xác định bởi hệ $\{\begin{matrix} y - 2 x \leq 2 \\ 2 y - x \geq 4 \\ x + y \leq 5 \end{matrix}$ là :

A. F_min= 4;

B. F_min= 5;

C. F_min= 6;

D. F_min= 10.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\{\begin{matrix} y - 2 x \leq 2 \\ 2 y - x \geq 4 \\ x + y \leq 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y - 2 x - 2 \leq 0 \\ 2 y - x - 4 \geq 0 \\ x + y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ (1)

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng d₁: y − 2x − 2 = 0, d₂: 2y − x − 4 = 0, d₃: x + y − 5 = 0.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 3y − 2x trên miền xác định bởi hệ (ảnh 1)

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ (1) là:

A(0; 2), B(2; 3), C(1; 4)

Ta có: F(x; y) = 3y − 2x

Khi đó: $\{\begin{matrix} F (0; 2) = 3.2 - 2.0 = 6 \\ F (2; 3) = 3.3 - 2.2 = 5 \\ F (1; 4) = 3.4 - 2.1 = 10 \end{matrix}$ ⇒ F_min= 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F bằng 5 tại (x; y) = (2; 3).

Câu 2:

Giá trị lớn nhất của biểu thức G(x; y) = 10x + 20y trên miền xác định bởi hệ $\{\begin{matrix} x + 2 y - 10 \leq 0 \\ y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ là :

A. G_max= 80;

B. G_max= 40;

C. G_max= 90;

D. G_max= 100.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng Oxy kẻ đường thẳng d₁ : x + 2y − 10 = 0, d₂ : y = 4.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (kể cả biên) được tô đậm như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của biểu thức G(x; y) = 10x + 20y trên miền xác định bởi hệ (ảnh 1)

Xét các đỉnh của miền khép kín được tạo bởi hệ là: O(0; 0), A(0; 4), B(2; 4), C(10; 0)

Ta có : G(x; y) = 10x + 20y

Khi đó: $\{\begin{matrix} G (0; 0) = 0 \\ G (0; 4) = 80 \\ G (2; 4) = 100 \\ G (10; 0) = 100 \end{matrix}$ ⇒ G_max= 100.

Câu 3:

Một xưởng sản xuất 2 món đồ chơi :

- Mỗi món đồ chơi loại I cần 1 kg nguyên liệu và 20 giờ làm, đem lại mức lời 30 nghìn đồng.

- Mỗi món đồ chơi loại II cần 2 kg nguyên liệu và 27 giờ làm, đem lại mức lời 50 nghìn đồng.

Biết xưởng có 140 kg nguyên liệu và 2150 giờ làm. Nên sản xuất mỗi loại đồ chơi là bao nhiêu để đem lại mức lời cao nhất ?

A. 40 đồ chơi loại I và 40 đồ chơi loại II;

B. 50 đồ chơi loại I và 40 đồ chơi loại II;

C. 40 đồ chơi loại I và 50 đồ chơi loại II;

D. 30 đồ chơi loại I và 50 đồ chơi loại II.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi x, y (đồ chơi) lần lượt là số lượng đồ chơi loại I và loại II cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó tổng số nguyên liệu sử dụng là x + 2y (kg).

Mà xưởng có 140 kg nguyên liệu nên x + 2y ≤ 140.

Tổng số giờ làm việc để tạo ra x đồ chơi loại I và y đồ chơi loại II là: 20x + 27y (giờ).

Mà xưởng có 2150 giờ làm nên 20x + 27y ≤ 2150.

Tổng lợi nhuận thu được là: N = 30x + 50y (nghìn đồng)

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x và y thỏa mãn

$\{\begin{matrix} x + 2 y \leq 140 \\ 20 x + 27 y \leq 2150 \end{matrix}$ để N(x; y) = 30x + 50y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\{\begin{matrix} x + 2 y \leq 140 \\ 20 x + 27 y \leq 2150 \end{matrix}$ với x ≥ 0; y ≥ 0.

Một xưởng sản xuất 2 món đồ chơi : - Mỗi món đồ chơi loại I cần 1 kg nguyên liệu (ảnh 1)

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (kể cả biên) với O(0; 0), A(0; 70), B(40; 50), C(110; 0).

N(x; y) đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tứ giác OABC.

Ta có: N(0; 0) = 0

N(0; 70) = 30 . 0 + 50 . 70 = 3500

N(40; 50) = 30 . 40 + 50 . 50 = 3700

N(110; 0) = 30 . 110 + 50 . 0 = 3300.

Do đó N_max = 3700, tại x = 40, y = 50.

Vậy nên sản xuất 40 đồ chơi loại I và 50 đồ chơi loại II để lợi nhuận là cao nhất.

Câu 4:

Một xưởng sản xuất sử dụng ba loại máy để sản xuất hai loại sản phẩm quần và áo. Để sản xuất 1 cái áo lãi 200 nghìn đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất 1 cái quần lãi 300 nghìn đồng người ta sử dụng máy I trong 3 giờ, máy II trong 4 giờ mà máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ. Hỏi phải sản xuất bao nhiêu quần và áo để xưởng sản xuất đạt mức lãi cao nhất ?

A. 5 cái áo và 15 cái quần;

B. 10 cái áo và 15 cái quần;

C. 12 cái áo và 13 cái quần;

D. 10 cái áo và 10 cái quần.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (cái) lần lượt là số áo và số quần mà xưởng cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó ta có:

x + 3y (giờ) là thời gian hoạt động của máy I;

2x + 4y (giờ) là thời gian hoạt động của máy II;

3x + 2y (giờ) là thời gian hoạt động của máy III.

Số tiền lãi của nhà máy L = 200x + 300y (nghìn đồng).

Do máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ nên ta có hệ $\{\begin{matrix} x + 3 y \leq 50 \\ 2 x + 4 y \leq 70 \\ 3 x + 2 y \leq 48 \end{matrix}$ .

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x, y thỏa hệ $\{\begin{matrix} x + 3 y \leq 50 \\ 2 x + 4 y \leq 70 \\ 3 x + 2 y \leq 48 \end{matrix}$ để L = 200x + 300y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\{\begin{matrix} x + 3 y \leq 50 \\ 2 x + 4 y \leq 70 \\ 3 x + 2 y \leq 48 \end{matrix}$ với x ≥ 0; y ≥ 0.

Một xưởng sản xuất sử dụng ba loại máy để sản xuất hai loại sản phẩm quần và áo (ảnh 1)

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác OABCD (kể cả biên) với O(0; 0), $A (0; \frac{50}{3})$ , B(5; 15), $C (\frac{13}{2}; \frac{57}{4})$ , D(16; 0).

L lớn nhất tại các đỉnh của ngũ giác OABCD, do x, y ∈ ℕ nên ta chỉ cần tính giá trị của L tại các đỉnh O, B, D và so sánh.

Ta có:

L(0; 0) = 0, L(5; 15) = 5500, L(16; 0) = 3200.

Do đó, L_max = 5500 tại x = 5 và y = 15.

Vậy phải sản xuất 5 cái áo và 15 cái quần để lợi nhuận lớn nhất.

Câu 5:

Cho hệ $\{\begin{cases} 2 x + 3 y < 5 (1) \\ x + \frac{3}{2} y < 5 (2) \end{cases}$ . Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

A. S₁ ⊂ S₂;

B. S₂ ⊂ S₁;

C. S₂ = S;

D. S₁ ≠ S.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng: (d₁): 2x + 3y = 5

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 5. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁).

Vẽ đường thẳng (d₂): .

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0 + \frac{3}{2} .0 = 0 < 5$ , thoả mãn bất phương trình $x + \frac{3}{2} y < 5$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Cho hệ . Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S2 là tập nghiệm của bất (ảnh 1)

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có S₁ ⊂ S₂; S₁ = S; S₂ S. Vậy S₁ ⊂ S₂.