15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có đáp án

Câu 1:

Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. 60;

B. 8;

C. 15;

D. 5³.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách chọn lần lượt 3 trong 5 màu để tô 3 nước khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.

Vậy số cách chọn là $A_{5}^{3}$ = 60 (cách)

Câu 2:

Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng dọc

A. 120;

B. 5;

C. 20;

D. 25.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách xếp 5 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 người đó. Vậy số cách xếp 5 người thành một hàng dọc là: 5! = 120

Câu 3:

Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Có bao nhiêu cách chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch

A. 4!;

B. 15!;

C. 1365;

D. 32760.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn ra 4 học sinh trong 15 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy số cách chọn ra 4 học sinh là: $C_{15}^{4}$ = 1365 (cách).

Câu 4:

Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 200;

B. 150;

C. 160;

D. 180.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Công đoạn 1, chọn giáo viên

Mỗi cách chọn 2 giáo viên trong 5 giáo viên là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy số cách chọn ra 2 giáo viên là: $C_{5}^{2}$ = 10.

Công đoạn 2, chọn học sinh

Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử. Vậy số cách chọn ra 3 học sinh là: $C_{6}^{3}$ = 20

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân số cách chọn một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh là: 10.20 = 200 (cách)

Câu 5:

Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau

A. 45;

B. 90;

C. 35;

D. 55.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có 2 điểm A, B phân biệt thì có một đoạn thẳng AB (đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA là một)

Vì cứ chọn 2 điểm bất kỳ trong 10 điểm ta được một đoạn thẳng nên mỗi cách chọn ra 2 điểm trong 10 điểm là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Vậy số đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là $C_{10}^{2}$ = 45 (đoạn thẳng)

Câu 6:

Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực nhật trong đó phải có An

A. 990;

B. 495;

C. 220;

D. 165.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì chọn ra 4 bạn trong đó có bạn An nên ta cần chọn thêm 3 bạn trong 11 bạn học sinh còn lại

Mỗi cách chọn 3 trong 11 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 11 phần tử. Vậy số cách chọn 4 em đi trực nhật trong đó phải có An là $C_{11}^{3}$ = 165 (cách chọn)

Câu 7:

Xếp 6 người A, B, C, D, E, F thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu A và F đứng đầu và cuối hàng

A. 720;

B. 48;

C. 24;

D. 240.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trường hợp 1, A đứng đầu và F đứng cuối hàng.

Vậy ta xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí ở giữa A và F. Mỗi cách xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí là một hoán vị của 4 phần tử, số cách xếp là 4! = 24 (cách)

Trường hợp 2, F đứng đầu và A đứng cuối hàng.

Vậy ta xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí ở giữa A và F. Mỗi cách xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí là một hoán vị của 4 phần tử, số cách xếp là 4! = 24 (cách)

Vậy, áp dụng quy tắc cộng ta có số cách sắp xếp 6 người A, B, C, D, E. F thành một hàng dọc thoả mãn A và F đứng đầu và cuối hàng là : 24 + 24 = 48 (cách)

Câu 8:

Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 bạn nam ngồi cạnh nhau?

A. 72;

B. 144;

C. 288;

D. 24.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì xếp 3 bạn nam luôn ngồi cạnh nhau nên ta coi 3 bạn nam là một vị trí xếp. Vậy ta còn 4 vị trí để xếp. Mỗi cách xếp 4 vị trí này là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy số cách xếp 4 vị trí là: 4! = 24 (cách)

Ngoài 4 vị trí xếp trên trong nhóm 3 bạn nam ta cũng xếp 3 bạn vào 3 vị trí số cách xếp này là 3! = 12 (cách)

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi thành một hàng ngang thoả mãn 3 bạn nam ngồi cạnh nhau là: 12.24 = 288 (cách)

Câu 9:

Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài sao cho sách Văn phải xếp kề nhau và sách Toán xếp kề nhau?

A. 5!.7!;

B. 2.5!.7!;

C. 5!.8!;

D. 12!.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có số cách xếp sách văn là 5! cách xếp

Số cách xếp sách Toán là 7! cách xếp

Trường hợp 1, sách Văn đứng trước sách Toán ta có số cách xếp là 5!.7! cách xếp

Trường hợp 2, sách Toán đứng trước sách Văn ta có số cách xếp là 7!.5! cách xếp

Tổng kết, áp dụng quy tắc cộng ta có số cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài sao cho sách Văn phải xếp kề nhau và sách Toán xếp kề nhau là 5!.7! + 7!.5! = 2.5!.7!

Câu 10:

Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đa giác có n cạnh (n $\in$ ℕ, n ≥ 3)

Số đường chéo trong đa giác là: $C_{n}^{2}$ – n.

Ta có:

$C_{n}^{2} - n = 2 n \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)! .2!} = 3 n$

$\Leftrightarrow \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3) ...1}{2 (n - 2) (n - 3) ...1} = 3 n$

$\Leftrightarrow$ n(n – 1) = 6n $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 7 \\ n = 0 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện n = 7 thoả mãn điều kiện.

Câu 11:

Nếu

A_{n}^{2} = 110

. Giá trị của n là

A. n = 11;

B. n = 10;

C. n = 10 hoặc n = 11;

D. n = 0.

Xem đáp án

Câu 12:

Cho số tự nhiên n thỏa mãn $3 C_{n + 1}^{3} - 3 A_{n}^{2} = 52 (n - 1)$ . Giá trị của n là

A. 11;

B. 12;

C. 13;

D. 14.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện n $\in$ ℕ, n ≥ 2.

Ta có $3 C_{n + 1}^{3} - 3 A_{n}^{2} = 52 (n - 1) \Leftrightarrow 3 \frac{(n + 1)!}{3! (n - 2)!} - 3 \frac{n!}{(n - 2)!} = 52 (n - 1)$

$\Leftrightarrow 3 \frac{(n + 1) n (n - 1) (n - 2) ...1}{3.2.1. (n - 2) ...1} - 3 \frac{n (n - 1) (n - 2) ...1}{(n - 2) (n - 3) ...1} = 52 (n - 1)$

$\Leftrightarrow \frac{(n + 1) n (n - 1)}{2} - 3 n (n - 1) = 52 (n - 1)$

$\Rightarrow$ (n + 1)n – 6n = 104

$\Rightarrow$ n² – 5n – 104 = 0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 13 \\ n = - 8 \end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có n = 13 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Câu 13:

Lớp 10A có 41 học sinh trong đó có 21 bạn nam và 20 bạn nữ. Thứ 2 đầu tuần lớp phải xếp hàng chào cờ thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 21 bạn nam xen kẽ với 20 bạn nữ?

A. P₄₁;

B. P₂₀.P_21;

C. 2.P₂₀.P_21;

D. P₂₀+ P₂₁.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có 21 bạn nam và 20 bạn nữ nên để nam nữ xen kẽ thì chỉ có thể nam đứng đầu hàng.

- Số cách xếp để nam là 21! cách xếp

- Số cách xếp để nữ là 20! cách xếp

Áp dụng quy tắc nhân, số cách xếp 21 bạn nam và 20 bạn nữ nên để nam nữ xen kẽ là : 21!.20! = P₂₀.P₂₁

Câu 14:

Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A. 11;

B. 12;

C. 33;

D. 66.

Xem đáp án

Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 lượt bắt tay (ảnh 1)

Câu 15:

Biết rằng $A_{n}^{2} - C_{n + 1}^{n - 1} = 4 n + 6$ (n $\in$ ℕ, n ≥ 2). Giá trị của n là

A. n = 10;

B. n = 11;

C. n = 12;

D. n = 13.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $A_{n}^{2} - C_{n + 1}^{n - 1} = 4 n + 6$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} - \frac{(n + 1)!}{2! (n - 1)!} = 4 n + 6$

$\Leftrightarrow$ 2(n – 1)n – n(n + 1) = 8n + 12

$\Leftrightarrow$ n² – 11n – 12 = 0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 12 \\ n = - 1 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn điều kiện đề bài.