Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn ra 4 quả bóng trong 15 quả bóng là một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy số cách chọn ra 4 quả bóng là: \(C_{15}^4\) = 1 365 (cách).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi tập con gồm ba phần tử khác nhau của một tập hợp gồm bảy phần tử khác nhau là một tổ hợp chập 3 của 7.

Số tập con gồm ba phần tử khác nhau của một tập hợp gồm bảy phần tử khác nhau là \(C_7^3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta lấy 2 điểm trong 6 điểm trên đường thẳng ∆ kết hợp với 1 điểm không thuộc ∆ tạo ra một tam giác, có \(C_6^2 = 15\) cách lấy ra 2 điểm thuộc ∆

Vậy số tam giác được lập theo yêu cầu bài toán là: 15 tam giác.

Hướng dẫn giải.

Đáp án đúng là: C

Ta có \[C_n^k = 10 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}} = 10\],\[A_n^k = 60 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = 60\]

Vậy \(\frac{{A_n^k}}{{C_n^k}} = 6\) \[ \Leftrightarrow \frac{{\frac{{n!}}{{(n - k)!}}}}{{\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}}} = 6\]

Suy ra k! = 6 ⇒ k = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \) ℕ.

\[A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n\] \( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} = 15 - 5n\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)n - \frac{{3\left( {n - 1} \right)n}}{2} = 15 - 5n\)

\( \Leftrightarrow \) – n² + 11n – 30 = 0

\( \Leftrightarrow \)n = 5 hoặc n = 6.

Vậy có 2 giá trị của n thoả mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.

Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác tạo ra một tam giác, có \(C_{10}^3 = 120\) cách chọn 3 đỉnh bất kỳ

Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn ra 4 học sinh trong đó có hai học sinh lớp 12A ta có các trường hợp

Trường hợp 1, 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có \(C_4^2.C_3^1.C_2^1\) = 36 cách

Trường hợp 2, 2 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B và 0 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có \(C_4^2.C_3^2.C_2^0\) = 18 cách

Trường hợp 3, 2 học sinh lớp 12A, 0 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có \(C_4^2.C_3^0.C_2^2\) = 6 cách

Áp dụng quy tắc cộng ta có 36 + 18 + 6 = 60 cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì lấy quả cầu đỏ nhiều hơn quả cầu xanh nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh: số cách lấy là \(C_5^3.C_7^2\) = 210

Trường hợp 2. Lấy được 4 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh: số cách lấy là\(C_5^4.C_7^1\) = 35

Trường hợp 3. Lấy được 5 quả cầu đỏ, 0 quả cầu xanh: số cách lấy là\(C_5^5.C_7^0\) = 1

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy là: 210 + 35 + 1 = 246.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đa giác có n cạnh \(\left( {n \in \mathbb{N},\,n \ge 3} \right)\).

Số đường chéo trong đa giác là: \(C_n^2 - n\).

Vì số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có

\(C_n^2 - n = 2n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} = 3n\)

⇒ n(n – 1) = 6n

⇒ n = 7 hoặc n = 0

Kết hợp với điều kiện n = 7 thoả mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\). Do đó A đúng và D sai.

Ta lại có: P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)...2.1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: 0 ≤ n ≤ 5; n \( \in \)ℕ.

\[\frac{5}{{C_5^n}} - \frac{2}{{C_6^n}} = \frac{{14}}{{C_7^n}}\]\( \Leftrightarrow \frac{5}{{\frac{{5!}}{{\left( {5 - n} \right)!n!}}}} - \frac{2}{{\frac{{6!}}{{\left( {6 - n} \right)!n!}}}} = \frac{{14}}{{\frac{{7!}}{{\left( {7 - n} \right)!n!}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{5.\left( {5 - n} \right)!n!}}{{5!}} - \frac{{2.\left( {6 - n} \right)!n!}}{{6!}} = \frac{{14.\left( {7 - n} \right)!n!}}{{7!}}\)

\( \Leftrightarrow \) 5.6.7 – 2.7.(6 – n) = 14.(6 – n)(7 – n)

\( \Leftrightarrow \)14n² – 196n + 462 = 0

\( \Leftrightarrow \)n = 11 hoặc n = 3

Kết hợp với điều kiện n = 3 thoả mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số đường chéo là \(C_n^2 - n\).

+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên \(C_n^2 - n = 135\).

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135\,\)

\( \Leftrightarrow \)n(n – 1) – 2n = 270

\( \Leftrightarrow \)n² – 3n – 270 = 0

\( \Leftrightarrow \)n = 18 hoặc n = – 15

Kết hợp với điều kiện n = 18 thoả mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì trong 2n điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng nên cứ 3 điểm tạo thành một mặt phẳng, thế thì ta có \(C_{2n}^3\) mặt phẳng.

Tuy nhiên vì trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng nên n điểm này có duy nhất 1 mặt phẳng.

Vậy số mặt phẳng có được là \(\left( {C_{2n}^3 - C_n^3 + 1} \right)\).

Theo đề bài ta có: \(C_{2n}^3 - C_n^3 + 1 = 505\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}} - \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 504\)

\( \Leftrightarrow \)2n(2n – 1)(2n – 2) – n(n – 1)(n – 2) = 3024

\( \Leftrightarrow \)7n³ – 9n² + 2n – 3024 = 0

\( \Leftrightarrow \) n = 8 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy n = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi số vận động viên nam là n.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là \(2.C_n^2 = n\left( {n - 1} \right)\).

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là \(2.2.n = 4n\)

Vậy ta có n(n – 1) – 4n = 84

\( \Leftrightarrow \) n² – 5n – 84 = 0

\( \Leftrightarrow \)n = 12 hoặc n = – 7.

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn

Vậy số ván các vận động viên chơi là \(2C_{14}^2 = 182\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách chọn 6 người trong đó có đúng 2 nữ vậy số nam chọn là 4

Số cách chọn là: \(C_6^2.C_8^4 = 1050\) cách.