15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

Câu 1:

Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5; 12; 13.

A. 60;

B. 30;

C. 34;

D. \(7\sqrt 5 \)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: \(p = \frac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15\)

Diện tích của tam giác là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - 5} \right)\left( {p - 12} \right)\left( {p - 13} \right)} = \sqrt {15\left( {15 - 5} \right)\left( {15 - 12} \right)\left( {15 - 13} \right)} = 30\).

Câu 2:

Tam giác ABC có \(AC = 3\sqrt 3 \), AB = 3, BC = 6. Tính số đo góc B

A. 60°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 120°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: \[\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]

\[ \Leftrightarrow \cos B = \frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{6^2} + {3^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.6.3}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat B = 60^\circ \].

Câu 3:

Tam giác ABC có các góc \(\widehat A = 75^\circ ,\widehat B = 45^\circ \). Tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}}\).

A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\);

B. \(\sqrt 6 \);

C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\);

D. \(2\sqrt 6 \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b} = \frac{{\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{\sin (180^\circ - 75^\circ - 45^\circ )}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\].

Câu 4:

Tam giác ABC có các góc \(\widehat B = 30^\circ ,\widehat C = 45^\circ \), AB = 3. Tính cạnh AC.

A. \(\frac{{3\sqrt 6 }}{2}\);

B. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\);

C. \(\sqrt 6 \);

D. \(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow AC = b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{3.\sin {{30}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].

Câu 5:

Tam giác ABC có tổng hai góc B và C bằng 135° và độ dài cạnh BC bằng a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

A. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\);

B. \(a\sqrt 2 \);

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);

D. \(a\sqrt 3 \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có góc A = 180° – 135° = 45°

\[\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{a}{{2\sin 45^\circ }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

Câu 6:

Tam giác ABC có A = 120° khẳng định nào sau đây đúng?

A. a² = b² + c² – 3bc;

B. a² = b² + c² + bc;

C. a² = b² + c² + 3bc;

D. a² = b² + c² – bc.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Côsin tại đỉnh A ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

\[ \Rightarrow \]a² = b² + c² – 2bc.cos120° = b² + c² + bc

Câu 7:

Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây sai?

A. \[a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}\];

B. \[\sin C = \frac{{c.\sin A}}{a}\];

C. a = 2R.sinA;

D. b = R.tanB.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm số sin ta có: \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} = 2R\]

Suy ra:

+ \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} \Rightarrow a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}\]. Do đó đáp án A đúng.

+ \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin A}}{a}\]. Do đó đáp án B đúng.

+ \[\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R.\sin A\].Do đó đáp án C đúng.

+ \[\frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = 2R \Rightarrow \frac{b}{2} = R\sin B \Rightarrow \frac{b}{{2{\mathop{\rm cosB}\nolimits} }} = R\tan B\]. Do đó đáp án D sai.

Câu 8:

Tính diện tích tam giác ABC biết A = 60°; b = 10; c = 20.

A. \[50\sqrt 3 \];

B. 50;

C. \[50\sqrt 2 \];

D. \[50\sqrt 5 \].

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức : \[S = \frac{1}{2}.bc.\sin A\]\[ = \frac{1}{2}.10.20.\sin 60^\circ \]\[ = 50\sqrt 3 \].

Câu 9:

Cho tam giác ABC có a = 2, \[b = \sqrt 6 \], \[c = \sqrt 3 + 1\]. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

A. \[\sqrt 2 \];

B. \[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\];

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\);

D. \(\sqrt 3 \)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có : \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\sqrt 6 }^2} + {{(\sqrt 3 + 1)}^2} - {2^2}}}{{2.\sqrt 6 .(\sqrt 3 + 1)}}\]\[ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Rightarrow \]\(\widehat A\) = 45°.

Do đó : \[R = \frac{a}{{2\sin A}}\]\[ = \frac{2}{{2.\sin 45^\circ }}\]\[ = \sqrt 2 \].

Câu 10:

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm; BC = 10 cm. Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng

A. 1 cm;

B. \(\sqrt 2 \) cm;

C. 2 cm;

D. 3 cm.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 8\)(cm).

Diện tích tam giác ABC là:\(S = \frac{1}{2}AB.AC = 24\left( {c{m^2}} \right)\)

Nửa chu vi \(p = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\) (cm)

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{24}}{{12}} = 2\)(cm).

Câu 11:

Hình bình hành ABCD có AB = a; \(BC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {BAD} = 45^\circ \). Khi đó hình bình hành có diện tích bằng

A. 2a²;

B. \({a^2}\sqrt 2 \);

C. a²;

D. \({a^2}\sqrt 3 \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành ABCD có AB = a; BC = a căn bậc hai 2 và góc BAD = 45 độ (ảnh 1)

Gọi BH là đường cao của hình bình hành ABCD.

Tam giác BAH vuông tại H, góc \(\widehat {BAH} = \widehat {BAD} = 45^\circ \),

Ta có BH = AB.sin45° = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Diện tích hình bình hành ABCD là: \(S = BH.AD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = {a^2}\)(đvdt).

Câu 12:

Tính góc C của tam giác ABC biết a ≠ b và a(a² – c²) = b(b² – c²).

A. C = 150°;

B. C = 120°;

C. C = 60°;

D. C = 30°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: a(a² – c²) = b(b² – c²)

⇔ a³ – b³ – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b²– c²) = 0

⇔ a² + ab + b²– c² = 0 (Vì a ≠ b nên a – b ≠ 0)

⇔ a² + b²– c² = – ab

Ta có \[\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{ - ab}}{{2ab}}\]\[ = - \frac{1}{2}\].

Do đó: \(\widehat C\) = 120°.

Câu 13:

Tam giác ABC có các cạnh a; b; c thỏa mãn điều kiện:

(a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Khi đó số đo của góc C là.

A. 120⁰;

B. 30⁰;

C. 45⁰;

D. 60⁰.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC ta luôn có: c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ thức (a + b + c)(a + b – c) = 3ab

⇔ (a + b)² – c² = 3ab

⇔ c² = a² + b² – ab

Suy ra: – 2.cosC = – 1 \( \Rightarrow \cos C = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat C = 60^\circ \).

Câu 14:

Tam giác ABC có AB = 7; AC = 5 và \(\cos \left( {B + C} \right) = - \frac{1}{5}\). Tính BC

A. \(2\sqrt {15} \);

B. \(4\sqrt {22} \);

C. \(4\sqrt {15} \);

D. \(2\sqrt {22} \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {B + C} \right) = \cos \left( {180^\circ - A} \right) = - cosA = - \frac{1}{5}\)

\( \Rightarrow \cos A = \frac{1}{5}\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác, ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} } = \sqrt {{7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{1}{5}} = 2\sqrt {15} \).

Câu 15:

Hình bình hành có hai cạnh là 3 và 5, một đường chéo bằng 5. Tìm độ dài đường chéo còn lại.

A. \(\sqrt {43} \);

B. \(2\sqrt {13} \);

C. 8;

D. \(8\sqrt 3 \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hình bình hành có hai cạnh là 3 và 5, một đường chéo bằng 5. (ảnh 1)

Gọi hình bình hành là ABCD, AD = 3, AB = 5

Gọi α là góc đối diện với đường chéo có độ dài 5

Ta có: \(\cos \alpha = \frac{{{3^2} + {5^2} - {5^2}}}{{2.3.5}} = \frac{3}{{10}}\)

⇒ α là góc nhọn

⇒\(\alpha = \widehat {ADC}\)

⇒ AC = 5

⇒\(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2.AD.AB.\cos \widehat {BAD} = A{D^2} + A{B^2} + 2.AD.AB.\cos \widehat {ADC}\)

(vì \(\widehat {BAD}\) và \(\widehat {ADC}\) bù nhau\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = - \cos \widehat {ADC}\))

⇒ BD² = 3² + 5² + 2.3.5.\(\frac{3}{{10}}\) = 43

⇒ BD = \(\sqrt {43} \).