5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm $G\left( {\frac{2}{3};0} \right)$, biết M(1; –1) là trung điểm của cạnh BC. Tọa độ đỉnh A là:

A. A(2; 0);

B. A(–2; 0);

C. A(0; –2);

D. A(0; 2).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có M là trung điểm của cạnh BC.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\ - 1 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.$

Vì vậy $\left\{ \begin{array}{l}2 = {x_B} + {x_C}\\ - 2 = {y_B} + {y_C}\end{array} \right.$

Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\0 = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

Vì vậy $\left\{ \begin{array}{l}2 = {x_A} + {x_B} + {x_C}\\0 = {y_A} + {y_B} + {y_C}\end{array} \right.$

Thế x_B + x_C = 2 vào x_A + x_B + x_C = 2, ta được: x_A + 2 = 2.

Suy ra x_A = 0.

Thế y_B + y_C = –2 vào y_A + y_B + y_C = 0, ta được: y_A – 2 = 0.

Suy ra y_A = 2.

Do đó tọa độ A(0; 2).

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 3), B(–1; –9), C(5; –1). Gọi I là trung điểm của AB. Tọa độ M thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} $ là:

A. M(5; 4);

B. M(1; 2);

C. M(–6; –1);

D. M(2; 1).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có I là trung điểm của AB.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{3 - 9}}{2} = - 3\end{array} \right.$

Do đó tọa độ I(1; –3).

Vì vậy $\overrightarrow {CI} = \left( { - 4; - 2} \right)$.

Suy ra $ - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} = \left( { - \frac{1}{2}.\left( { - 4} \right); - \frac{1}{2}.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;1} \right)$.

Gọi M(x_M; y_M). Suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - 3;{y_M} - 3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} $.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 3 = 2\\{y_M} - 3 = 1\end{array} \right.$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 5\\{y_M} = 4\end{array} \right.$

Vì vậy M(5; 4).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2; 1), C(–1; –2). Cho M(x; y) trên đoạn thẳng BC sao cho S_ABC = 4S_ABM. Khi đó x² – y² bằng:

A. $\frac{{13}}{8}$;

B. $\frac{3}{2}$;

C. $ - \frac{3}{2}$;

D. $\frac{5}{2}$.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Kẻ AH ⊥ BC tại H.

Ta có:

⦁ $\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right)$. Suy ra $\frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right);\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{ - 3}}{4}} \right)$;

⦁ $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right)$.

Ta có S_ABC = 4S_ABM

Suy ra $\frac{1}{2}AH.BC = 4.\frac{1}{2}AH.BM$

Do đó BC = 4BM

Vì vậy $BM = \frac{1}{4}BC$

Suy ra $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} $

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - \frac{3}{4}\\y - 1 = - \frac{3}{4}\end{array} \right.$

Vì vậy $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{4}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.$

Suy ra ${x^2} - {y^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{13}}{8}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–1; –2), B(3; 2), C(4; –1). Biết rằng điểm E(a; b) di động trên đường thẳng AB sao cho $\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a.b bằng:

A. $ - \frac{3}{{16}}$;

B. 0;

C. $\frac{5}{{16}}$;

D. $\frac{{17}}{{256}}$.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)$.

Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.

Tức là, $\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} $

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 4k\\b + 2 = 4k\end{array} \right.$

Do đó a + 1 = b + 2

Vì vậy a = b + 1.

Khi đó tọa độ E(b + 1; b).

Ta có:

⦁ $\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)$.

Suy ra $2\overrightarrow {EA} = \left( {2\left( { - 2 - b} \right);2\left( { - 2 - b} \right)} \right) = \left( { - 4 - 2b; - 4 - 2b} \right)$;

⦁ $\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)$.

Suy ra $3\overrightarrow {EB} = \left( {3\left( {2 - b} \right);3\left( {2 - b} \right)} \right) = \left( {6 - 3b;6 - 3b} \right)$;

⦁ $\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)$.

Suy ra,

$2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \left( { - 4 - 2b + 6 - 3b - 3 + b; - 4 - 2b + 6 - 3b + 1 + b} \right) = \left( { - 4b - 1; - 4b + 3} \right)$.

Khi đó $\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4b - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4b + 3} \right)}^2}} $

$ = \sqrt {16{b^2} + 8b + 1 + 16{b^2} - 24b + 9} = \sqrt {2\left( {16{b^2} - 8b + 1} \right) + 8} $

$ = \sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} $.

Ta có (4b – 1)² ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.

Suy ra 2(4b – 1)² ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.

Khi đó 2(4b – 1)² + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.

Vì vậy $\sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\,\,\forall b \in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $4b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}$.

Vậy $\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $b = \frac{1}{4}$.

Với $b = \frac{1}{4}$, ta có $a = b + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.

Vậy $ab = \frac{5}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{16}}$.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 5:

Cho hai lực F₁, F₂. Biết $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có cùng cường độ lực là 100 N, góc hợp bởi $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ là 120°. Khi đó cường độ lực tổng hợp của $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ bằng:

A. 100 N;

B. 50 N;

C. $50\sqrt 3 \,\,\,N$;

D. $100\sqrt 3 \,\,\,N$.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $\vec{F}$ là lực tổng hợp của $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $.

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ, với x và y được tính bằng đơn vị Newton.

Ta có:

⦁ $\overrightarrow {{F_1}} = \left( {100;0} \right)$.

⦁ $\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 120^\circ $. Suy ra tọa độ $\overrightarrow {{F_2}} = \left( {100.\cos 60^\circ ;100.\sin 60^\circ } \right) = \left( {50;50\sqrt 3 } \right)$.

Do đó, lực tổng hợp $\overrightarrow F $ của $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có tọa độ là:

$\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \left( {100 + 50;0 + 50\sqrt 3 } \right) = \left( {150;50\sqrt 3 } \right)$.

Vì vậy cường độ của lực tổng hợp của $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ là: $\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{150}^2} + {{\left( {50\sqrt 3 } \right)}^2}} = 100\sqrt 3 \,\,\,\left( N \right)$.

Vậy ta chọn phương án D.