5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 6. Ba đường conic (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 6. Ba đường conic (Phần 2) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 6. Ba đường conic (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

523 lượt thi
5 câu hỏi
30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\);

B. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);

C. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);

D. \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\). Suy ra \(c = \sqrt 3 \).

Khi đó c² = 3.

Vì vậy a² – b² = 3.

Do đó a² = b² + 3.

Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).

Ta có \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\).

Suy ra \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)

⇔ 4b² + 3a² = 4a²b²

⇔ 4b² + 3(b² + 3) = 4b²(b² + 3)

⇔ 4b⁴ + 5b² – 9 = 0

⇔ b² = 1 hoặc \({b^2} = - \frac{9}{4}\) (vô lí)

⇔ b = 1.

Với b = 1, ta có a² = 1² + 3 = 4.

Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 2:

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng ∆: x + y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ bằng giá trị nào sau đây?

A. 16;

B. 8;

C. 64;

D. 7.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.\)

Ta có c² = a² + b² = 16 + 9 = 25.

Suy ra c = 5.

Khi đó hai tiêu điểm của (H) là F₁(–5; 0), F₂(5; 0).

Ta có ∆: x + y = 3 ⇔ x + y – 3 = 0.

Ta có \(d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2 \) và \[d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \].

Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ là: \(4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8\).

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3:

Phương trình chính tắc của hypebol có 2a gấp đôi 2b và đi qua điểm M(2; –2) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{24}} - \frac{{{y^2}}}{6} = 1\);

B. \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);

C. \(\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\);

D. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có 2a gấp đôi 2b. Suy ra 2a = 4b.

Khi đó a = 2b.

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0.

Ta có M(2; –2) ∈ (E).

Suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

⇔ 4b² – 4a² = a²b²

⇔ 4b² – 4.(2b)² = (2b)².b²

⇔ 4b⁴ – 12b² = 0

⇔ b² = 0 hoặc b² = 3

⇔ b = 0 hoặc \(b = \sqrt 3 \)

Vì b > 0 nên ta loại b = 0.

Với \[b = \sqrt 3 \], ta có \(a = 2\sqrt 3 \).

Vậy phương trình chính tắc của (H): \(\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 4:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Đường thẳng d: x = –4 cắt (E) tại hai điểm M, N. Khi đó:

A. \(MN = \frac{9}{{25}}\);

B. \(MN = \frac{{18}}{{25}}\);

C. \(MN = \frac{{18}}{5}\);

D. \(MN = \frac{9}{5}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và elip (E) thỏa mãn hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\{y^2} = \frac{{81}}{{25}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = \pm \frac{9}{5}\end{array} \right.\)

Suy ra tọa độ \(M\left( { - 4; - \frac{9}{5}} \right),\,\,N\left( { - 4;\frac{9}{5}} \right)\).

Khi đó \(MN = \sqrt {{{\left( { - 4 + 4} \right)}^2} + {{\left( {\frac{9}{5} + \frac{9}{5}} \right)}^2}} = \frac{{18}}{5}\).

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5:

Tọa độ điểm A thuộc parabol (P): y² = 32x và đường thẳng ∆: 2x – 3y + 4 = 0 là:

A. \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\);

B. \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)\);

C. \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\);

D. \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 3 } \right)\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ giao điểm của (P) và ∆ thỏa hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x - 3y + 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x = 3y - 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32.\left( {\frac{3}{2}y - 2} \right) = 48y - 64\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 48y + 64 = 0\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 24 \pm 16\sqrt 2 \\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]

Với \(y = 24 + 16\sqrt 2 \), ta có \(x = \frac{3}{2}.\left( {24 + 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 + 24\sqrt 2 \)

Suy ra \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\).

Với \(y = 24 - 16\sqrt 2 \), ta có \(x = \frac{3}{2}.\left( {24 - 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 - 24\sqrt 2 \)

Suy ra \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)\).

Vậy \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\) hoặc \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)\) là tọa độ A cần tìm.

Do đó ta chọn phương án A.

Bắt đầu thi ngay