13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 2 Hình học có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (6; 0), B (3; 1) và C (−1; −1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho

A. $15^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $120^{\circ}$

D. $135^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{B A} = (3; - 1); \vec{B C} = (- 4; - 2)$

Suy ra

$\cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{|\vec{B A}| . |\vec{B C}|} = \frac{3. (- 4) + (- 1) . (- 2)}{\sqrt{9 + 1} . \sqrt{16 + 4}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{B} = (\vec{B A}; \vec{B C}) = 135^{0}$

Câu 2:

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai?

A. $3 \vec{G G'} = \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'}$

B. $3 \vec{G G'} = \vec{A C'} + \vec{B A'} + \vec{C B'}$

C. $3 \vec{G G'} = \vec{A B'} + \vec{B C'} + \vec{C A'}$

D. $3 \vec{G G'} = \vec{A' A} + \vec{B' B} + \vec{C' C}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} \vec{G' A'} + \vec{G' B'} + \vec{G' C'} = \vec{0}$

Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh $3 \vec{M G} = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}$

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

Tương tự ta có: $3 \vec{M G'} = \vec{M A'} + \vec{M B'} + \vec{M C'}$

Từ đó suy ra

$3 \vec{G G'} = 3 (\vec{M G'} - \vec{M G}) = 3 \vec{M G'} - 3 \vec{M G} = \vec{M A'} + \vec{M B'} + \vec{M C'} - \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C} = (\vec{M A'} - \vec{M A}) + (\vec{M B'} - \vec{M B}) + (\vec{M C'} - \vec{M C}) = \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'}$

Nên A đúng

Đáp án B:

$3 \vec{G G'} = \vec{G G'} + \vec{G G'} + \vec{G G'} = \vec{G A} + \vec{A C'} + \vec{C' G'} + \vec{G B} + \vec{B A'} + \vec{A' G'} + \vec{G C} + \vec{C B'} + \vec{B' G'} = (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + (\vec{A C'} + \vec{B A'} + \vec{C B'}) + (\vec{C' G'} + \vec{A' G'} + \vec{B' G'}) = \vec{0} + (\vec{A C'} + \vec{B A'} + \vec{C B'}) + \vec{0} = \vec{A C'} + \vec{B A'} + \vec{C B'}$

Nên B đúng

Đáp án C:

$3 \vec{G G'} = \vec{G G'} + \vec{G G'} + \vec{G G'} = \vec{G A} + \vec{A B'} + \vec{B' G'} + \vec{G B} + \vec{B C'} + \vec{C' G'} + \vec{G C} + \vec{C A'} + \vec{A' G'} = (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + (\vec{A B'} + \vec{B C'} + \vec{C A'}) + (\vec{B' G'} + \vec{C' G'} + \vec{A' G'}) = \vec{0} + (\vec{A B'} + \vec{B C'} + \vec{C A'}) + \vec{0} = \vec{A B'} + \vec{B C'} + \vec{C A'}$

Nên C đúng

D sai do A đúng

Câu 3:

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (−1; 1), B (2; 4), C (6; 0). Khi đó tam giác ABC là tam giác

A. Có ba góc nhọn

B. Có một góc vuông

C. Có một góc tù

D. Đều

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{A B} = (3; 3), \vec{A C} = (7; - 1), \vec{B C} = (4; - 4)$

Do $\vec{A B} . \vec{B C} = 3.4 + 3. (- 4) = 0$ nên $A B ⊥ B C$ hay tam giác ABC vuông tại B

Câu 4:

Cho tam giác ABC và I thỏa mãn $\vec{I A} = 3 \vec{I B}$ . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

A. $\vec{C I} = \vec{C A} - 3 \vec{C B}$

B. $\vec{C I} = \frac{1}{2} (3 \vec{C B} - \vec{C A})$

C. $\vec{C I} = \frac{1}{2} (\vec{C A} - 3 \vec{C B})$

D. $\vec{C I} = 3 \vec{C B} - \vec{C A}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$\vec{C I} = \vec{C A} - \vec{I A} = \vec{C A} - 3 \vec{I B} = \vec{C A} - 3 (\vec{C B} - \vec{C I}) \Leftrightarrow \vec{C I} = \vec{C A} - 3 \vec{C B} + 3 \vec{C I} \Leftrightarrow 2 \vec{C I} = 3 \vec{C B} - \vec{C A} \Leftrightarrow \vec{C I} = \frac{1}{2} (3 \vec{C B} - \vec{C A})$

Câu 5:

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 1. Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$ ?

A. $- \frac{3}{8}$

B. $- \frac{1}{6}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Lấy điểm D sao cho $\vec{A B} = \vec{B D} \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{B D}; \vec{B C}) = 120^{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{B C} = |\vec{A B}| . |\vec{B C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{B C}) = 1.1. \cos 120^{0} = - \frac{1}{2}$

(vì tam giác ABC đều cạnh a nên AB = BC = 1 $\Rightarrow |\vec{A B}| = |\vec{B C}| = 1$ )

Câu 6:

Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD. Khi đó, $(\vec{I A} + \vec{I B}) . \vec{I D}$ bằng?

A. $\frac{9 a^{2}}{2}$

B. $- \frac{9 a^{2}}{2}$

C. 0

D. $9 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$(\vec{I A} + \vec{I B}) . \vec{I D} = (\vec{I A} + \vec{I A} + \vec{A B}) . \vec{I D} = 2 \vec{I A} . \vec{I D} = - \frac{9 a^{2}}{2}$

Câu 7:

Trong mặt phẳng Oxy cho $A (- 1; 1), B (1; 3), C (1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A B} = (4; 2), \vec{B C} = (2; - 4)$

B. $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$

C. Tam giác ABC vuông cân tại A

D. Tam giác ABC vuông cân tại B

Xem đáp án

Đáp án C

Phương án A: do $\vec{A B} = (2; 2)$ nên A loại

Phương án B: $\vec{A B} = (2; 2); \vec{B C} = (0; - 4); \vec{A B} . \vec{B C} = - 8$ suy ra $\vec{A B}$ không vuông góc với $\vec{B C}$ nên loại B

Phương án C: Ta có: $\vec{A B} = (2; 2); \vec{A C} = (2; - 2); \vec{B C} = (0; - 4)$ suy ra $A B = A C = \sqrt{8}, \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

Nên tam giác ABC vuông cân tại A. Do đó chọn C

Câu 8:

Cho 2 vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài bằng 1 thỏa mãn $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ . Hãy xác định $(3 \vec{a} - 4 \vec{b}) (2 \vec{a} + 5 \vec{b})$

A. 7

B. 5

C. -7

D. -5

Xem đáp án

Đáp án C

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1; |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = 4 \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 1 (3 \vec{a} - 4 \vec{b}) (2 \vec{a} + 5 \vec{b}) = 6 {\vec{a}}^{2} - 20 {\vec{b}}^{2} + 7 \vec{a} . \vec{b} = - 7$

Câu 9:

Cho hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 5$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^{0}$ . Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$ ?

A. $\sqrt{21}$

B. $\sqrt{61}$

C. 21

D. 61

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{{(\vec{a} + \vec{b})}^{2}} = \sqrt{{\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b}} = \sqrt{{|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (\vec{a}, \vec{b})} = \sqrt{21}$

Câu 10:

Cho ba vec tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = a, |\vec{b}| = b, |\vec{c}| = c$ và $\vec{a} + \vec{b} + 3 \vec{c} = \vec{0}$ . Tính $A = \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{c} + \vec{c} . \vec{a}$

A. $A = \frac{1}{2} (c^{2} - a^{2} - b^{2})$

B. $A = \frac{1}{2} (2 c^{2} - a^{2} - b^{2})$

C. $A = \frac{1}{2} (3 c^{2} - a^{2} - b^{2})$

D. $A = \frac{1}{2} (3 c^{2} + a^{2} - b^{2})$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} + 3 \vec{c} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = - 2 \vec{c} \Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}^{2} = 4 {\vec{c}}^{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 A = 4 c^{2}$

Do đó: $A = \frac{1}{2} (3 c^{2} - a^{2} - b^{2})$

Câu 11:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $P = \vec{A C} . (\vec{C D} + \vec{C A})$

A. P = -1

B. $P = 3 a^{2}$

C. $P = - 3 a^{2}$

D. $P = 2 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Từ giả thiết suy ra $A C = a \sqrt{2}$

Ta có: $P = \vec{A C} . (\vec{C D} + \vec{C A})$

$= \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{C A} = - \vec{C A} . \vec{C D} - {\vec{A C}}^{2} = - C A . C D . \cos (\vec{C A}, \vec{C D}) - A C^{2} = - a \sqrt{2} . a . \cos 45^{0} - {(a \sqrt{2})}^{2} = - 3 a^{2}$

Câu 12:

Trong mp Oxy cho $A (4; 6), B (1; 4), C (7; \frac{3}{2})$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\vec{A B} = (- 3; - 2), \vec{A C} = (3; - \frac{9}{2})$

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$

C. $|\vec{A B}| = \sqrt{13}$

D. $|\vec{B C}| = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương án A: $\vec{A B} = (- 3; - 2), \vec{A C} = (3; - \frac{9}{2})$ nên A đúng

Phương án B: $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ nên B đúng

Phương án C: $|\vec{A B}| = \sqrt{13}$ nên C đúng

Phương án D: Ta có $\vec{B C} = (6; - \frac{5}{2})$ suy ra $B C = \sqrt{6^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}} = \frac{13}{2}$ nên D sai

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm $A (- 8; 0), B (0; 4), C (2; 0), D (- 3; - 5)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai góc $\hat{B A D}, \hat{B C D}$ phụ nhau

B. Góc $\hat{B C D}$ là góc nhọn

C. $\cos (\vec{A B}, \vec{A D}) = \cos (\vec{C B}, \vec{C D})$

D. Hai góc $\hat{B A D}, \hat{B C D}$ bù nhau

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\vec{A B} = (8; 4), \vec{A D} = (5; - 5), \vec{C B} = (- 2; 4), \vec{C D} = (- 5; - 5)$

Suy ra $\{\begin{matrix} \cos (\vec{A B}, \vec{A D}) = \frac{8.5 + 4. (- 5)}{\sqrt{8^{2} + 4^{2}} \sqrt{5^{2} + 5^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \cos (\vec{C B}, \vec{C D}) = \frac{(- 2) . (- 5) + 4. (- 5)}{\sqrt{2^{2} + 4^{2}} \sqrt{5^{2} + 5^{2}}} = - \frac{1}{\sqrt{10}} \end{matrix}$

Suy ra

$\cos (\vec{A B}, \vec{A D}) + \cos (\vec{C B}, \vec{C D}) = 0 \Rightarrow \hat{B A D} + \hat{B C D} = 180^{0}$