15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Câu 1:

Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\vec{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}|;$

B. $\vec{a} . \vec{b} = 0;$

C. $\vec{a} . \vec{b} = - 1$

D. $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})$ .

Do $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng nên $(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{0} \Rightarrow c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 1$ .

Vậy $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}|$ .

Câu 2:

Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ $\vec{0}$ . Xác định góc $α$ giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khi $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}| .$

A. $α = 180^{0};$

B. $α = 0^{0};$

C. $α = 90^{0};$

D, $α = 45^{0};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})$ .

Mà theo giả thiết $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$ , suy ra $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = - 1 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{0} .$

Câu 3:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 3,$ $|\vec{b}| = 2$ và $\vec{a} . \vec{b} = - 3.$ Xác định góc $α$ giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

A. $α = 30^{0};$

B. $α = 45^{0};$

C. $α = 60^{0};$

D. $α = 120^{0};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 3}{3.2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120^{0} .

Câu 4:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và hai vectơ $\vec{u} = \frac{2}{5} \vec{a} - 3 \vec{b}$ và $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc $α$ giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

A. $α = 90^{0};$

B. $α = 180^{0};$

C. $α = 60^{0};$

D. $α = 45^{0};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0 \Leftrightarrow (\frac{2}{5} \vec{a} - 3 \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5} {\vec{a}}^{2} - \frac{13}{5} \vec{a} \vec{b} - 3 {\vec{b}}^{2} = 0$

\overset{|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1}{\to} \vec{a} \vec{b} = - 1.

Suy ra $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = - 1 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{0} .$

Câu 5:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\vec{a} . \vec{b} = \frac{1}{2} ({|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} - {|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2});$

B. $\vec{a} . \vec{b} = \frac{1}{2} ({|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2});$

C. $\vec{a} . \vec{b} = \frac{1}{2} ({|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} - {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2});$

D. $\vec{a} . \vec{b} = \frac{1}{4} ({|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} - {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2}) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$ nên đáp án sai rơi vào C hoặc D.

Ta có: ${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} - {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2} = {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} - {(\vec{a} - \vec{b})}^{2}$

$= {\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} - {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} = 4 \vec{a} . \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = \frac{1}{4} ({|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} - {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2}) .$

- A đúng, vì:

${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b})$

= \vec{a} . \vec{a} + \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{a} + \vec{b} . \vec{b} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b}

\Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = \frac{1}{2} ({|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} - {|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2}) .

$\cdot$ B đúng, vì

${|\vec{a} - \vec{b}|}^{2} = {(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = (\vec{a} - \vec{b}) . (\vec{a} - \vec{b})$

= \vec{a} . \vec{a} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{b} . \vec{a} + \vec{b} . \vec{b} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b}

$\Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = \frac{1}{2} ({|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2}) .$

Câu 6:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng

\vec{A B} . \vec{A C} .

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 2 a^{2};$

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = - \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2};$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = - \frac{a^{2}}{2};$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{A C})$ là góc $\hat{A}$ nên $(\vec{A B}, \vec{A C})$ (do tam giác ABC đều)

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . c o s 60^{0} = \frac{a^{2}}{2} .$

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{B C} .$

A. $\vec{A B} . \vec{B C} = a^{2};$

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2};$

C. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2}}{2};$

D. $\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{B C})$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $(\vec{A B}, \vec{B C}) = 120^{0}$ (do tam giác ABC là tam giác đều nên góc $\hat{B} = 60 °$ , do đó, góc ngoài của góc B có số đo là 120^o).

Do đó $\vec{A B} . \vec{B C} = A B . B C . c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) = a . a . c o s 120^{0} = - \frac{a^{2}}{2} .$

Câu 8:

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} a^{2};$

B. $\vec{A C} . \vec{C B} = - \frac{1}{2} a^{2};$

C. $\vec{G A} . \vec{G B} = \frac{a^{2}}{6};$

D. $\vec{A B} . \vec{A G} = \frac{1}{2} a^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

- Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{A C})$ là góc $\hat{A}$ nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = 60^{0}$ (do tam giác ABC đều)

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . c o s 60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$ $\Rightarrow$ A đúng

- Xác định được góc $(\vec{A C}, \vec{C B})$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $(\vec{A C}, \vec{C B}) = 120^{0} .$

Do đó $\vec{A C} . \vec{C B} = A C . C B . c o s (\vec{A C}, \vec{C B}) = a . a . c o s 120^{0} = - \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow$ B đúng.

Xác định được góc $(\vec{G A}, \vec{G B})$ là góc $\hat{A G B}$ nên $(\vec{G A}, \vec{G B}) = 120^{0} .$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$ .a. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Do đó $\vec{G A} . \vec{G B} = G A . G B . c o s (\vec{G A}, \vec{G B}) = \frac{a}{\sqrt{3}} . \frac{a}{\sqrt{3}} . c o s 120^{0} = - \frac{a^{2}}{6} \Rightarrow$ C sai.

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{A G})$ là góc $\hat{G A B}$ nên $(\vec{A B}, \vec{A G}) = 30^{0} .$

Do đó $\vec{A B} . \vec{A G} = A B . A G . c o s (\vec{A B}, \vec{A G}) = a . \frac{a}{\sqrt{3}} . c o s 30^{0} = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow$ D đúng.

Câu 9:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\vec{A H} . \vec{B C} = 0;$

B. $(\vec{A B}, \vec{H A}) = 150^{0};$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2};$

D. $\vec{A C} . \vec{C B} = \frac{a^{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $(\vec{A C}, \vec{C B})$ là góc ngoài của góc $\hat{A}$ nên $(\vec{A C}, \vec{C B}) = 120^{0} .$ (vì tam giác ABC đều nên góc A = 60^o, do đó góc ngoài của góc A bằng 120^o).

Do đó $\vec{A C} . \vec{C B} = A C . C B . c o s (\vec{A C}, \vec{C B}) = a . a . c o s 120^{0} = - \frac{a^{2}}{2} .$

+) A đúng vì $\vec{A H} ⊥ \vec{B C}$ nên suy ra $\vec{A H} . \vec{B C} = 0;$

+) B đúng vì AH chính là tia phân giác nên $(\vec{A B}, \vec{H A}) = 150^{0};$

+) C đúng vì $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . c o s 60^{0} = \frac{a^{2}}{2} .$

Câu 10:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có $A B = A C = a .$ Tính $\vec{A B} . \vec{B C} .$

A. $\vec{A B} . \vec{B C} = - a^{2};$

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = a^{2};$

C. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2};$

D. $\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{B C})$ là góc ngoài của góc nên $(\vec{A B}, \vec{B C}) = 135^{0} .$ (Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra góc $\hat{A B C} = 45^{0}$ )

Độ dài BC là: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ $\Leftrightarrow B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}}$

$\Leftrightarrow B C = a \sqrt{2}$

Do đó $\vec{A B} . \vec{B C} = A B . B C . c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) = a . a \sqrt{2} . c o s 135^{0} = - a^{2} .$

Câu 11:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC = 2. Tính tích vô hướng

\vec{A B} . \vec{C A}

A.1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên suy ra $A B ⊥ C A \Rightarrow$ $\vec{A B} . \vec{C A}$ = 0

Câu 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c; AC = b. Tính $\vec{B A} . \vec{B C} .$

A. $\vec{B A} . \vec{B C} = b^{2};$

B. $\vec{B A} . \vec{B C} = a^{2}$

C. $\vec{B A} . \vec{B C} = b^{2} + c^{2};$

D. $\vec{B A} . \vec{B C} = b^{2} - c^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dung định lý Py – ta – go ta có:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

$\Leftrightarrow B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{c^{2} + b^{2}}$

Cos B = $\frac{A B}{B C} = \frac{c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}$

Lại có: cos B chính là cos $(\vec{B A}; \vec{B C})$

Ta có:

$\vec{B A} . \vec{B C} = B A . B C . c o s (\vec{B A}, \vec{B C}) = B A . B C . c o s \hat{B} = c . \sqrt{b^{2} + c^{2}} . \frac{c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} = c^{2} .$

Câu 13:

Cho tam giác ABC có $B C = a, C A = b, A B = c .$ Tính $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} .$

A. $P = b^{2} - c^{2};$

B. $P = \frac{c^{2} + b^{2}}{2};$

C. $P = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3};$

D. $P = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C}) .$

= (\vec{A C} + \vec{A B}) . (\vec{A C} - \vec{A B}) = {\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = A C^{2} - A B^{2} = b^{2} - c^{2} .

Câu 14:

Cho tam giác ABC có $B C = a, C A = b, A B = c .$ Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính $\vec{A M} . \vec{B C} .$

A. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2};$

B. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2}}{2};$

C. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3};$

D. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} .$

Khi đó $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) . (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}) = \frac{1}{2} (A C^{2} - A B^{2}) = \frac{b^{2} - c^{2}}{2} .$

Câu 15:

Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $(\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{A B} = 0$ là

A. Tam giác OAB đều;

B. Tam giác OAB cân tại O;

C. Tam giác OAB vuông tại O;

D. Tam giác OAB vuông cân tại O.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $(\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow (\vec{O A} + \vec{O B}) . (\vec{O B} - \vec{O A}) = 0$

$\Leftrightarrow {\vec{O B}}^{2} - {\vec{O A}}^{2} = 0 \Leftrightarrow O B^{2} - O A^{2} = 0 \Leftrightarrow O B = O A .$

Do đó, tam giác OAB cân tại O.