Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)
-
499 lượt thi
-
5 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Gọi Tk là số hạng thứ k trong khai triển (x3 + 2y2)5 mà số mũ của x và y bằng nhau. Hệ số của Tk là:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\({\left( {{x^3} + 2{y^2}} \right)^5} = C_5^0.{\left( {{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {{x^3}} \right)^4}.\left( {2{y^2}} \right) + C_5^2.{\left( {{x^3}} \right)^3}.{\left( {2{y^2}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {2{y^2}} \right)^3}\)
\( + C_5^4.{\left( {{x^3}} \right)^1}.{\left( {2{y^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {2{y^2}} \right)^5}\)
\( = {x^{15}} + 5.{x^{12}}.2.{y^2} + 10.{x^9}.4.{y^4} + 10.{x^6}.8.{y^6}\)\( + 5.{x^3}.16{y^8} + 32{y^{10}}\)
= x15 + 10x12.y2 + 40x9y4 + 80x6.y6 + 80x3y8 + 32y10
Số hạng 80x6y6 có số mũ của x và y bằng nhau. Do đó, hệ số cần tìm là 80.
Câu 2:
Cho \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\)với x > 0 và \(C_n^2 - C_n^1 = 2\). Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(C_n^2 - C_n^1 = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!.(n - 2)!}} - \frac{{n!}}{{1!.(n - 1)!}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2.(n - 2)!}} - \frac{{n(n - 1)!}}{{(n - 1)!}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 2\)
\( \Leftrightarrow n(n - 1) - 2n - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 4 = 0\)
Suy ra n = 4 hoặc n = – 1 (loại).
Với n = 4, ta có:
\({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\)
= \[C_4^0.{\left( {x\sqrt x } \right)^4} + C_4^1.{\left( {x\sqrt x } \right)^3}.\frac{1}{{{x^4}}} + C_4^2.{\left( {x\sqrt x } \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^2}\]
\[ + C_4^3.\left( {x\sqrt x } \right).{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\]
= \[{x^6} + 4.{x^4}.\sqrt x .\frac{1}{{{x^4}}} + 6.{x^3}.\frac{1}{{{x^8}}}\]\[ + 4\left( {x\sqrt x } \right).\frac{1}{{{x^{12}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]
= \[{x^6} + 4.\sqrt x . + 6.\frac{1}{{{x^5}}}\]\[ + 4.\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]
Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là \(\frac{1}{{{x^{16}}}}\).
Câu 3:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[{\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {\left( {1 + x} \right) + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^5} = {\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\]
Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:
\({\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( {{x^2}} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)
\({\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{x^1} + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}\)
Xét \[{\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\] = \({\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).\({\left( {1 + x} \right)^5}\) để có x5 thì (x2)i.xj = x5 hay x2i + j = x5 với i; j là số tự nhiên và i; j bé hơn 5.
|
i |
j |
|
0 |
5 |
|
1 |
3 |
|
2 |
1 |
Khi đó, số hạng chứa x5 trong khai triển là:
\(C_5^0{.1^5}.C_5^5{x^5} + C_5^1{.1^4}.{x^2}.C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^2{.1^3}.{x^4}.C_5^1{.1^4}.x\) = x5 + 50x5 + 50x5 = 101x5
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là 101.
Câu 4:
Cho n > 2 là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5.\) Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0.\)
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
\(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3n!}}{{(n - 2)!2!}} + \frac{{2n!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2}} + \frac{{2.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1)}}{2} + 2.n.(n - 1) = 3{n^2} - 5\)
\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + 4{n^2} - 4n - 6{n^2} + 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 7n + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = 2\end{array} \right.\). Mà n > 2 nên n = 5.
Khi đó:
\({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^3} - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}\)
\( = C_5^0.{\left( {2{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2{x^3}} \right)^4}.\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right) + C_5^2.{\left( {2{x^3}} \right)^3}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^2}\)
\( + C_5^3.{\left( {2{x^3}} \right)^2}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^3} + C_5^4.{\left( {2{x^3}} \right)^1}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}\)
\( = {2^5}.{x^{15}} + {5.2^4}.{x^{12}}.( - 3).{x^{ - 2}} + {10.2^3}.{x^9}.{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{ - 4}}\)
\( + {10.2^2}.{x^6}.{\left( { - 3} \right)^3}.{x^{ - 6}} + 5.2{x^3}.{\left( { - 3} \right)^4}.\left( {{x^{ - 8}}} \right) + {\left( { - 3} \right)^5}.\left( {{x^{ - 10}}} \right)\)
\( = 32.{x^{15}} - 240.{x^{10}} + 720.{x^5}\)\( - 1080 + 810{x^{ - 5}} - 243.{x^{ - 10}}\)
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là –1 080.
Câu 5:
Khai triển \({(\sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^5}\). Tổng các số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\({(\sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^4} = C_4^0.{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + C_4^1.{\left( {\sqrt 3 } \right)^3}.\left( { - \sqrt[4]{5}} \right) + C_4^2.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.{\left( { - \sqrt[4]{5}} \right)^2}\)
\( + C_4^3.{\left( {\sqrt 3 } \right)^1}.{\left( { - \sqrt[4]{5}} \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \sqrt[4]{5}} \right)^4}\)
\( = 9 - 4.3.\sqrt 3 .\sqrt[4]{5} + 6.3.\sqrt 5 \)\( - 4.\sqrt 3 .\sqrt[4]{{{5^3}}} + 5\)
Các số hạng là số hữu tỉ là 9 và 5. Do đó, tổng các số hạng hữu tỉ là 9 + 5 = 14.