8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 2) có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Khai triển nhị thức (2x + y)⁵. Ta được kết quả là

A. 32x⁵ + 16x⁴y + 8x³y² + 4x²y³ + 2xy⁴ + y⁵;

B. 32x⁵ + 80x⁴y + 80x³y² + 40x²y³ + 10xy⁴ + y⁵;

C. 2x⁵ + 10x⁴y + 20x³y² + 20x²y³ + 10xy⁴ + y⁵;

D. 32x⁵ + 10 000x⁴y + 80 000x³y² + 400x²y³ + 10xy⁴ + y⁵.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

(2x + y)⁵

= \[C_5^0{\left( {2x} \right)^5} + C_5^1{\left( {2x} \right)^4}.y + C_5^2{\left( {2x} \right)^3}.{y^2} + C_5^3{\left( {2x} \right)^2}.{y^3} + C_5^4{\left( {2x} \right)^1}.{y^4} + C_5^5.{y^5}\]

= 32x⁵ + 80x⁴y + 80x³y² + 40x²y³ + 10xy⁴ + y⁵.

Câu 2:

Xét khai triển của \({\left( {2x + \frac{1}{2}} \right)^4}\). Gọi a là hệ số của x² và b là hệ số của x trong khai triển. Tổng a + b là:

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\[{\left( {2x + \frac{1}{2}} \right)^4}\]

\[ = C_4^0.{\left( {2x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {2x} \right)^3}.\frac{1}{2} + C_4^2.{\left( {2x} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + C_4^3.\left( {2x} \right).{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\]

\[ = C_4^0{.2^4}.{x^4} + C_4^1{.2^3}.{x^3}.\frac{1}{2} + C_4^2{.2^2}.{x^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + C_4^3.2.x.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\]

Hệ số của x² là a = \(C_4^2{.2^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\); Hệ số của x là b = \(C_4^3.2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)

Ta có: a + b = \(C_4^2{.2^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)+ \(C_4^3.2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\) = 6 + 1 = 7.

Câu 3:

Trong khai triển của nhị thức (x – y)⁵, hệ số của x³.y³ là;

A. Không tồn tại;

B. 15;

C. 10;

D. 12.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

(x – y)⁵

= \(C_5^0.{x^5} + C_5^1.{x^4}.\left( { - y} \right) + C_5^2.{x^3}.{\left( { - y} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - y} \right)^3} + C_5^4.x.{\left( { - y} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - y} \right)^5}\)

= \({x^5} - 5.{x^4}.y + 10.{x^3}.{y^2} - 10{x^2}.{y^3} + 5.x.{y^4} - {y^5}\)

Trong khai triển không có x³y³ nên không tồn tại hệ số.

Câu 4:

Tổng các hệ số trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^5}\) là:

A. 30;

B. 31;

C. 32;

D. 33.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\({\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.x + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}\)

= \(1 + 5x + 10{x^2} + 10{x^3} + 5{x^4} + {x^5}\).

Tổng các hệ số là: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32.

Câu 5:

Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển \[{\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^5}\].

A. \(\frac{5}{2}{x^3}\);

B. –\(\frac{5}{2}{x^3}\);

C. \(\frac{5}{4}{x^3}\);

D. –\(\frac{5}{4}{x^3}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

\[{\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^5}\]

\[ = C_5^0.{x^5} + C_5^1.{x^4}.\frac{1}{{2x}} + C_5^2.{x^3}.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^3} + C_5^4.x.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^5}\]

\[ = {x^5} + 5.{x^4}.\frac{1}{{2x}} + 10.{x^3}.\frac{1}{{4.{x^2}}} + 10.{x^2}.\frac{1}{{8{x^3}}} + 5.x.\frac{1}{{16{x^4}}} + \frac{1}{{32{x^5}}}\]

\[ = {x^5} + \frac{5}{2}.{x^3} + \frac{5}{2}.x + \frac{5}{{4x}} + \frac{5}{{16{x^3}}} + \frac{1}{{32{x^5}}}\]

Vậy số hạng cần tìm là \(\frac{5}{2}{x^3}\).

Câu 6:

Tìm hệ số của x² trong khai triển \({\left( {3x - \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)^5}\).

A. 135;

B. 120;

C. – 135;

D. – 130.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\[{\left( {3x - \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)^5}\]

\[ = C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)\]\[ + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}.{\left( { - \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)^3}\]

\[ + C_5^4.\left( {3x} \right).{\left( { - \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)^4}\]

\[ = {3^5}.{x^5} + {5.3^4}.{x^4}.\left( { - \frac{1}{3}} \right).\frac{1}{{{x^2}}}\]\[ + {10.3^3}.{x^3}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2}.\frac{1}{{{x^4}}} + {10.3^2}.{x^2}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3}.\frac{1}{{{x^8}}}\]

\[ + 10.3x.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4}.\frac{1}{{{x^{16}}}} + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^5}.\frac{1}{{{x^{32}}}}\]

\[ = {3^5}.{x^5} + {5.3^4}.{x^4}.\left( { - \frac{1}{3}} \right).\frac{1}{{{x^2}}}\]\[ + {10.3^3}.{x^3}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2}.\frac{1}{{{x^4}}} + {10.3^2}.{x^2}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3}.\frac{1}{{{x^8}}}\]

\[ + 10.3x.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4}.\frac{1}{{{x^{16}}}} + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^5}.\frac{1}{{{x^{32}}}}\]

\[ = {3^5}.{x^5} - {5.3^3}.{x^2}\]\[ + 30.\frac{1}{x} - \frac{{10}}{3}.\frac{1}{{{x^6}}}\]\[ + \frac{{10}}{{27}}.\frac{1}{{{x^{15}}}} - \frac{1}{{{3^5}.{x^{32}}}}\]

Hệ số của x² là –5.3³ = –135.

Câu 7:

Trong khai triển \({\left( {x - \sqrt y } \right)^4}\), tổng của các số hạng chứa x⁴ và y² là:

A.\({x^4} + 2{y^2}\);

B.\({x^4} - {y^2}\);

C.\({x^4} + {y^2}\);

D.\( - {x^4} - {y^2}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giảis

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\({\left( {x - \sqrt y } \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\left( { - \sqrt y } \right) + C_4^2.{x^2}.{\left( { - \sqrt y } \right)^2} + C_4^3.x.{\left( { - \sqrt y } \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \sqrt y } \right)^4}\)

\( = {x^4} - 4{x^3}.\sqrt y + 6.{x^2}.y - 6.x.y\sqrt y + {y^2}\)

Tổng của các số hạng có chứa x⁴ và y² là: x⁴ + y².

Câu 8:

Cho biểu thức \({\left( {\sqrt {xy} + \frac{x}{y}} \right)^5}\) (x; y luôn dương). Gọi hệ số của x³y là a và hệ số của \(\frac{{{x^3}}}{y}\) là b. Tính a – b?

A. – 5;

B. – 10;

C. 5;

D. 10.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

\({\left( {\sqrt {xy} + \frac{x}{y}} \right)^5} = C_5^0.{\left( {\sqrt {xy} } \right)^5} + C_5^1.{\left( {\sqrt {xy} } \right)^4}.\frac{x}{y} + C_5^2.{\left( {\sqrt {xy} } \right)^3}.{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {\sqrt {xy} } \right)^2}.{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3}\)

\( + C_5^4.\left( {\sqrt {xy} } \right).{\left( {\frac{x}{y}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {\frac{x}{y}} \right)^5}\)

\( = {\left( {\sqrt {xy} } \right)^5} + 5.{x^2}.{y^2}.\frac{x}{y} + 10.xy.\sqrt {xy} .{\frac{x}{{{y^2}}}^2} + 10.xy.{\frac{x}{{{y^3}}}^3}\)\( + 5.\left( {\sqrt {xy} } \right).{\frac{x}{{{y^4}}}^4} + {\frac{x}{{{y^5}}}^5}\)

\( = {\left( {\sqrt {xy} } \right)^5} + 5.{x^3}.y + 10.{\frac{x}{y}^3} + 10.\frac{{{x^4}}}{{{y^2}}}\)\( + 5.\left( {\sqrt {xy} } \right).{\frac{x}{{{y^4}}}^4} + {\frac{x}{{{y^5}}}^5}\)

Hệ số của x³y là 5 nên a = 5 và hệ số của \(\frac{{{x^3}}}{y}\) là 10 nên b = 10

Do đó, a – b = 5 – 10 = – 5.