8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Thông dụng) có đáp án

Câu 1:

Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 1) và đi qua điểm M(2; 2) là:

A. (x – 1)² + (y – 1)² = 2;

B. (x – 1)² + (y – 1)² = $\sqrt{2}$ ;

C. (x + 1)² + (y + 1)² = 2;

D. (x + 1)² + (y + 1)² =

\sqrt{2}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với I(1; 1) và M(2; 2) ta có $\vec{I M} = (1; 1)$ .

Bán kính của đường tròn là: R = IM = $|\vec{I M}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ .

Phương trình đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = $\sqrt{2}$ là:

(x – 1)² + (y – 1)² = 2.

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đoạn thẳng AB có A(1; 4) và B(5; 6). Viết phương trình đường tròn đường kính AB.

A. (x – 3)² + (y – 5)² = 5;

B. (x + 3)² + (y + 5)² = 5;

C. (x – 3)² + (y – 5)² = 25;

D. (x + 3)² + (y + 5)² = 25;

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

(C) là đường tròn đường kính AB nên (C) có tâm là trung điểm của AB và bán kính bằng một nửa đường kính AB.

Gọi I là trung điểm của AB.

Với A(1; 4) và B(5; 6), suy ra I(3; 5) và $\vec{A B} = (5 - 1; 6 - 4) = (4; 2)$

Độ dài AB = $|\vec{A B}| = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

Suy ra R = $\frac{1}{2} A B = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

Phương trình đường tròn đường kính AB là: (x – 3)² + (y – 5)² = 5.

Câu 3:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(1; 1) tại điểm M(3; 3) nằm trên đường tròn đó là:

A. x – 2y + 1 = 0 ;

B. x + y – 6 = 0;

C. x + y + 1 = 0;

D. x – y – 6 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(1; 1) tại điểm M(3; 3) nằm trên đường tròn là:

(1 – 3)(x – 3) + (1 – 3)(y – 3) = 0

Hay –2x – 2y + 12 = 0 $\Leftrightarrow$ x + y – 6 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 4:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn có phương trình: x² + y² – 2x – 4y + 4 = 0 tại điểm M nằm trên trục tung là:

A. x = 0 ;

B. x + 2y – 1 = 0;

C. 3x + 2y – 1 = 0;

D. x – 2y + 4 =0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có phương trình x² + y² – 2x – 4y + 4 = 0 có tâm I(1; 2).

Điểm M nằm trên trục tung nên M(0; y₀).

Thay x = 0 vào phương trình đường tròn ta được:

0² + y₀² – 2 . 0 – 4y₀ + 4 = 0 $\Leftrightarrow$ y₀² – 4y₀ + 4 = 0.

$\Leftrightarrow$ (y₀ – 2)² = 0 Û y₀ – 2 = 0 $\Leftrightarrow$ y₀ = 2.

Khi đó M(0; 2).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(1; 2) tại điểm M(0; 2) là:

(1 – 0)(x – 0) + (2 – 2)(y – 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0.

Câu 5:

Viết phương trình đường tròn tâm I đi qua 3 điểm A(1; 1), B(2; 3) và C(4; 6).

A. x² + y² – 5x + y + 26 = 0;

B. x² + y² – 4x + 17y + 26 = 0;

C. x² + y² – 45x + 17y + 26 = 0;

D. x² + y² – 5x + 27y + 56 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $M (\frac{3}{2}; 2), N (\frac{5}{2}; \frac{7}{2})$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận $\vec{A B} = (1; 2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$x - \frac{3}{2} + 2 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 4 y - 11 = 0$

Đường trung trực $∆$ của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận $\vec{A C} = (3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$3 (x - \frac{5}{2}) + 5 (y - \frac{7}{2}) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 5 y - 25 = 0$

Đường thẳng d cắt đường thẳng $∆$ cắt nhau tại điểm $I (\frac{45}{2}; - \frac{17}{2})$ cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm $I (\frac{45}{2}; - \frac{17}{2})$ và bán kính $R^{2} = I A^{2} = {(1 - \frac{45}{2})}^{2} + {(1 + \frac{17}{2})}^{2} = \frac{1105}{2}$

Ta có ${(\frac{45}{2})}^{2} + {(- \frac{17}{2})}^{2} - \frac{1105}{2} = 26$

Khi đó đường tròn (C) có phương trình là:

x² + y² – 45x + 17y + 36 = 0.

Câu 6:

Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 2) tiếp xúc với đường thẳng d: x + y – 2 = 0.

A. (x – 1)² + (y – 2)² = 4;

B. (x – 1)² + (y – 2)² = 2;

C. (x – 1)² + (y – 2)² = $\frac{1}{2}$ ;

D. (x – 1)² + (y – 2)² =

\frac{1}{\sqrt{2}}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M là tiếp điểm của đường thẳng d và đường tròn.

Khi đó IM = R và IM là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.

Ta có: d(I, d) = $\frac{|1 + 2 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Suy ra R = IM = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Phương trình đường tròn (I) là: (x – 1)² + (y – 2)² = $\frac{1}{2}$ .

Câu 7:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. x² + y² + 2x – 4y + 9 = 0;

B. x² + y² – 6x + 4y + 13 = 0;

C. 2x² + 2y² – 8x – 4y + 2 = 0;

D. 5x² + 4y² + x – 4y + 1 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta loại phương án D vì không có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Xét phương án A: x² + y² + 2x – 4y + 9 = 0 có a = –1, b = 2 và c = 9.

Do đó a² + b² – c = (–1)² + 2² – 9 = –4 < 0 nên loại A.

Xét phương án B: x² + y² – 6x + 4y + 13 = 0 có a = 3; b = –2 và c = 13

Do đó a² + b² – c = 3² + (–2)² – 13 = 0 nên loại B.

Xét phương án C: 2x² + 2y² – 8x – 4y + 2 = 0

$\Leftrightarrow$ x² + y² – 4x – 2y + 1 = 0.

Có a = 2; b = 1 và c = 1.

Do đó a² + b² – c = 2² + 1² – 1 = 4 > 0 nên chọn C.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 8:

Cho đường tròn có phương trình: (x – 1)² + (y – 2)² = 4. Có bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng x + 2y – 3 = 0?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (x – 1)² + (y – 2)² = 4 có tâm I(1; 2) và bán kính R = 2.

Do tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng x + 2y – 3 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng: x + 2y + c = 0 (c ≠ – 3).

Khoảng cách từ I đến phương trình tiếp tuyến d chính bằng bán kính đường tròn và bằng R = 2.

Hay d(I, d) = 2 $\Leftrightarrow \frac{|1 + 2.2 + c|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = 2$

$\Rightarrow |c + 5| = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow c = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$ (thỏa mãn c ≠ – 3)

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.