10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC có $\vec{B A} . \vec{B C} = \vec{0}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tam giác ABC vuông tại A;

B. Tam giác ABC vuông tại B;

C. Tam giác ABC vuông tại C;

D. Tam giác ABC là tam giác cân.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\vec{B A} . \vec{B C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{B A} ⊥ \vec{B C} \Leftrightarrow B A ⊥ B C$

Do đó, tam giác ABC vuông tại B.

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$

B. $\vec{A B} . \vec{C D} = 0$

C. $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

D. $\vec{A B} . \vec{B D} = 0$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng ? (ảnh 1)

Ta có: Do ABCD là hình vuông nên $A B ⊥ A D \Leftrightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$ .

Câu 3:

Cho hình thoi ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$

B. $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$

C. $\vec{A O} . \vec{D O} = 0$

D. $\vec{O B} . \vec{O C} = 0$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho hình thoi ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây là sai ? (ảnh 1)

Do ABCD là hình thoi nên AB không vuông góc với AC nên $\vec{A B} . \vec{A C} \neq 0$ .

Hai đường chéo AC và BD của hình thoi vuông góc với nhau tại O nên

$\vec{A C} . \vec{B D} = 0$ ; $\vec{A O} . \vec{D O} = 0$ ; $\vec{O B} . \vec{O C} = 0$ .

Câu 4:

Cho đường tròn (O; R) có hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại S, gọi M là trung điểm của AB. Hai đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau ?

A. SM và AB;

B. SM và SA;

C. SM và A’B’;

D. SM và AB’.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$\vec{S M} . \vec{A' B'} = \frac{1}{2} (\vec{S A} + \vec{S B}) (\vec{S B'} - \vec{S A'})$ (áp dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ)

$= \frac{1}{2} (\vec{S A} . \vec{S B'} - \vec{S A} . \vec{S A}' + \vec{S B} . \vec{S B'} - \vec{S B} . \vec{S A}')$

Lại có: AA’ vuông góc với BB’ tại S nên ta có:

$\vec{S A} . \vec{S B'} = 0$

$\vec{SB} . \vec{SA'} = 0$

$\vec{S A} . \vec{S A'} = \vec{S B} . \vec{S B'}$

Từ đó suy ta $\vec{S M} . \vec{A' B'} = 0$

Vậy SM vuông góc với A’B’.

Câu 5:

Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: $(\vec{A B} - \vec{A D}) . \vec{A C} = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. BD vuông góc với AC;

B. AB vuông góc với AC;

C. AB vuông góc với DC;

D. BD vuông góc với DC.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: (vecto AB-AD). vecto AC=0 (ảnh 1)

Ta có:

$(\vec{A B} - \vec{A D}) . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow \vec{D B} . \vec{A C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{D B} ⊥ \vec{A C}$

Vậy BD vuông góc với AC.

Câu 6:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc, $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = \sqrt{2}$ . Các vectơ nào sau đây vuông góc ?

A. $2 \vec{a} - \vec{b}$ và $\vec{a} + \vec{b}$ ;

B.

2 \vec{a} - \vec{b}

và

\vec{a} + \vec{b}

;

C.

2 \vec{a} + \vec{b}

và

\vec{a} - \vec{b}

;

D.

\vec{a} - \vec{b}

và

\vec{a} + \vec{b}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc nên ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

Ta có:

$(2 \vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) = 2 {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} - {\vec{b}}^{2}$

$= 2 {|\vec{a}|}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} - {|\vec{b}|}^{2}$

$= {2.1}^{2} + 2.0 - 0 - {(\sqrt{2})}^{2} = 0$

Vậy $2 \vec{a} - \vec{b}$ và $\vec{a} + \vec{b}$ vuông góc.

Tương tự, ta kiểm tra tích vô hướng của các cặp vectơ ở các đáp án B, C, D, các tích này đều khác 0 nên chúng không vuông góc.

Câu 7:

Cho hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc với nhau, biết $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ , cho $\vec{a} = 9 \vec{i} + 3 \vec{j}$ và $\vec{v} = \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.

\vec{a}

và

\vec{v}

ngược hướng;

B.

\vec{a}

và

\vec{v}

cùng hướng;

C.

\vec{a}

và

\vec{v}

bằng nhau;

D.

\vec{a}

và

\vec{v}

vuông góc.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên ta có: $\vec{i} . \vec{j} = 0$

Ta có:

$\vec{a} . \vec{v} = (9 \vec{i} + 3 \vec{j}) (\vec{i} - 3 \vec{j}) = 9 {\vec{i}}^{2} - 27 \vec{i} . \vec{j} + 3 \vec{i} . \vec{j} - 9 {\vec{j}}^{2}$

$= 9 {|\vec{i}|}^{2} - 27 \vec{i} . \vec{j} + 3 \vec{i} . \vec{j} - 9 {|\vec{j}|}^{2}$

$= 9.1 - 27.0 + 3.0 - 9.1 = 0$

Vậy $\vec{a}$ và $\vec{v}$ vuông góc.

Câu 8:

Cho hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc với nhau, biết $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ , cho $\vec{a} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j}$ và $\vec{v} = \vec{i} - 2 \vec{j}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{a}$ và $\vec{v}$ ngược hướng;

A.

\vec{a}

và

\vec{v}

ngược hướng;

C. $\vec{a}$ và $\vec{v}$ không vuông góc;

D. $\vec{a}$ và $\vec{v}$ vuông góc.

A.

\vec{a}

và

\vec{v}

ngược hướng;

B. $\vec{a}$ và $\vec{v}$ cùng hướng

C.

\vec{a}

và $\vec{v}$ không vuông góc;

D.

\vec{a}

và

\vec{v}

vuông góc.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên ta có: $\vec{i} . \vec{j} = 0$ .

Ta có:

$\vec{a} . \vec{v} = (3 \vec{i} + 4 \vec{j}) (\vec{i} - 2 \vec{j}) = 3 {\vec{i}}^{2} - 6 \vec{i} . \vec{j} + 4 \vec{i} . \vec{j} - 8 {\vec{j}}^{2}$

$= 3 {|\vec{i}|}^{2} - 6 \vec{i} . \vec{j} + 4 \vec{i} . \vec{j} - 8 {|\vec{j}|}^{2}$

$= 3.1 - 6.0 + 4.0 - 8.1 = - 5 \neq 0$

Vậy $\vec{a}$ và $\vec{v}$ không vuông góc.

Câu 9:

Cho hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc với nhau, biết $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ , cho $\vec{u} = 10 \vec{i} - 5 \vec{j}$ và $\vec{w} = - \vec{i} - 2 \vec{j}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.

\vec{u}

và

\vec{w}

ngược hướng;

B.

\vec{u}

và

\vec{w}

cùng hướng;

C.

\vec{u}

và

\vec{w}

không vuông góc;

D.

\vec{u}

và

\vec{w}

vuông góc.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên ta có: $\vec{i} . \vec{j} = 0$ .

Ta có:

$\vec{u} . \vec{w} = (10 \vec{i} - 5 \vec{j}) (- \vec{i} - 2 \vec{j}) = - 10 {\vec{i}}^{2} - 20 \vec{i} . \vec{j} + 5 \vec{i} . \vec{j} + 10 {\vec{j}}^{2}$

$= - 10 {|\vec{i}|}^{2} - 20 \vec{i} . \vec{j} + 5 \vec{i} . \vec{j} + 10 {|\vec{j}|}^{2}$

$= - 10.1 - 20.0 + 5.0 + 10.1 = 0$

Vậy $\vec{a}$ và $\vec{v}$ vuông góc.

Câu 10:

Cho hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc với nhau, biết $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ , cho $\vec{u} = \vec{i} - 5 \vec{j}$ và $\vec{w} = - \vec{i} - 2 \vec{j}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.

\vec{u}

và

\vec{w}

ngược hướng;

B.

\vec{u}

và

\vec{w}

cùng hướng;

C.

\vec{u}

và

\vec{w}

không vuông góc;

D.

\vec{u}

và

\vec{w}

vuông góc.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên ta có: $\vec{i} . \vec{j} = 0$ .

Ta có:

$\vec{u} . \vec{w} = (\vec{i} - 5 \vec{j}) (- \vec{i} - 2 \vec{j}) = - {\vec{i}}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + 5 \vec{i} . \vec{j} + 10 {\vec{j}}^{2}$

$= - {|\vec{i}|}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + 5 \vec{i} . \vec{j} + 10 {|\vec{j}|}^{2}$

$= - 1 - 2.0 + 5.0 + 10.1 = 9 \neq 0$

Vậy $\vec{u}$ và $\vec{w}$ không vuông góc.