10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ có đáp án

Câu 1:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Biết: $(\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$ , $\vec{a} . \vec{b} = 2$ và $|\vec{a}| = 2$ . Tính độ dài của vectơ $\vec{b}$ .

A. 1

B. 2

C.

\frac{1}{2}

;

D.

\frac{1}{4}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

$\vec{a} . \vec{b} = 2 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 2$

$\Leftrightarrow 2. |\vec{b}| . c o s 60 ° = 2 \Leftrightarrow 2. |\vec{b}| . \frac{1}{2} = 2 \Leftrightarrow |\vec{b}| = 2$ .

Câu 2:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Biết: $(\vec{a}, \vec{b}) = 30 °$ , $\vec{a} . \vec{b} = \sqrt{3}$ và $|\vec{b}| = 2$ . Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$ .

A. 1

B. 2

C.

\frac{1}{2}

;

D.

\frac{1}{4}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

$\vec{a} . \vec{b} = \sqrt{3} \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \sqrt{3} \Leftrightarrow |\vec{a}| .2. c o s 30 ° = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow |\vec{a}| .2. \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Leftrightarrow |\vec{a}| = 1$ .

Câu 3:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Biết: $(\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$ , $\vec{a} . \vec{b} = 4$ và $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 6$ . Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$ với $|\vec{a}| > 3$ .

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

$\vec{a} . \vec{b} = 4 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s 60 ° = 4$

$\Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . \frac{1}{2} = 4 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| = 8$ .

Ta có: $\{\begin{cases} |\vec{a}| . |\vec{b}| = 8 \\ |\vec{a}| + |\vec{b}| = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |\vec{a}| . |\vec{b}| = 8 \\ |\vec{b}| = 6 - |\vec{a}| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |\vec{a}| . (6 - |\vec{a}|) = 8 (1) \\ |\vec{b}| = 6 - |\vec{a}| \end{cases}$

Xét (1) ta có : $6 |\vec{a}| - {|\vec{a}|}^{2} = 8 \Leftrightarrow - {|\vec{a}|}^{2} + 6 |\vec{a}| - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |\vec{a}| = 4 \\ |\vec{a}| = 2 \end{array}$

Vì $|\vec{a}| > 3$ nên ta có: $|\vec{a}| = 4$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, $\hat{A} = 30 °$ . Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $a \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$

B. $a (5 - 2 \sqrt{3})$

C. 5a

D. $2 \sqrt{3} a$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$B C^{2} = {\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + {\vec{A B}}^{2}$

$= A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2}$ .

Ta có:

$\cos (\vec{A C}, \vec{A B}) = \cos \hat{A} = c o s 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{A C}| = A C = a; |\vec{A B}| = A B = 2 a$

$\vec{A C} . \vec{A B} = |\vec{A C}| . |\vec{A B}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = a .2 a . \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} a^{2}$

Do đó, ta có:

$B C^{2} = A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2} = a^{2} - 2. \sqrt{3} a^{2} + {(2 a)}^{2} = (5 - 2 \sqrt{3}) a^{2}$

$\Rightarrow B C = a \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$ .

Câu 5:

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{A} = 45 °$ . Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $\sqrt{13 + 6 \sqrt{2}}$

B. $\sqrt{13 - 6 \sqrt{2}}$

C. 13

D. $6 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$B C^{2} = {\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + {\vec{A B}}^{2}$

$= A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2}$ .

Ta có:

$\cos (\vec{A C}, \vec{A B}) = \cos \hat{A} = c o s 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$|\vec{A C}| = A C = 3; |\vec{A B}| = A B = 2$

$\vec{A C} . \vec{A B} = |\vec{A C}| . |\vec{A B}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = 3.2. \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$

Do đó, ta có:

$B C^{2} = A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2} = 3^{2} - 2.3 \sqrt{2} + 2^{2} = 13 - 6 \sqrt{2}$

$\Rightarrow B C = \sqrt{13 - 6 \sqrt{2}}$ .

Câu 6:

Cho tam giác ABC có BC = 2cm, BM = 1cm, $\hat{C B M} = 60 °$ với M là trung điểm AC. Tính độ dài AC.

A. 3

B.

3 \sqrt{2}

;

C. 2

D.

2 \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$C M^{2} = {\vec{C M}}^{2} = {(\vec{B C} - \vec{B M})}^{2} = {\vec{B C}}^{2} - 2 \vec{B C} . \vec{B M} + {\vec{B M}}^{2}$

$= B C^{2} - 2 \vec{B C} . \vec{B M} + B M^{2}$

Ta có:

$c o s (\vec{B C}, \vec{B M}) = \cos \hat{C B M} = c o s 60 ° = \frac{1}{2}$ .

$|\vec{B C}| = B C = 2 c m$ ; $|\vec{B M}| = B M = 1 c m$

Ta có: $\vec{B C} . \vec{B M} = |\vec{B C}| . |\vec{B M}| . c o s (\vec{B C}, \vec{B M}) = 2.1. \frac{1}{2} = 1$

$C M^{2} = B C^{2} - 2 \vec{B C} . \vec{B M} + B M^{2} = 2^{2} - 2.1 + 1^{2} = 3 \Rightarrow C M = \sqrt{3}$ (cm)

Mà M là trung điểm của AC

$\Rightarrow A C = 2 C M = 2 \sqrt{3}$ cm.

Câu 7:

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, $\hat{A} = 120 °$ . Tính độ dài trung tuyến AM dựa vào tích vô hướng.

A.

\frac{\sqrt{13}}{2}

;

B.

\sqrt{13}

;

C. 13

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC.

Do đó, có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} \Rightarrow 4 {\vec{A M}}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A C})}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 A M^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A C} + A C^{2}$ .

$\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \cos \hat{A} = \cos 120 ° = - \frac{1}{2}$

$|\vec{A B}| = A B = 4$

$|\vec{A C}| = A C = 3$

$\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 4.3. (\frac{- 1}{2}) = - 6$

$4 A M^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A C} + A C^{2} = 4^{2} + 2. (- 6) + 3^{2} = 13$

$\Rightarrow A M^{2} = \frac{13}{4} \Leftrightarrow A M = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Câu 8:

Cho hình bình hành ABCD có: AD = a, AB = 2a, $\hat{B A D} = 60 °$ . Tính độ dài AC.

A.

\frac{\sqrt{13}}{2} a

;

B.

\sqrt{13} a

;

C. 13a;

D.

a \sqrt{7}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Leftrightarrow {\vec{A C}}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A D})}^{2}$

$\Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A D} + A D^{2}$

Ta có:

$c o s (\vec{A B}, \vec{A D}) = \cos \hat{B A D} = c o s 60 ° = \frac{1}{2}$

$\vec{A B} . \vec{A D} = A B . A D . c o s (\vec{A B}, \vec{A D}) = 2 a . a . \frac{1}{2} = a^{2}$

$A C^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A D} + A D^{2} = 4 a^{2} + 2. a^{2} + a^{2} = 7 a^{2}$

$\Rightarrow A C = a \sqrt{7}$ .

Câu 9:

Cho hình bình hành ABCD có: BA = 3, BC = 2, $\hat{C B A} = 120 °$ . Tính độ dài BD.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}$

B. $\sqrt{13}$

C. 13

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\vec{B A} + \vec{B C} = \vec{B D} \Leftrightarrow {\vec{B D}}^{2} = {(\vec{B A} + \vec{B C})}^{2}$

$\Leftrightarrow B D^{2} = B A^{2} + 2 \vec{B A} . \vec{B C} + B C^{2}$ .

Ta có:

$c o s (\vec{B A}, \vec{B C}) = \cos \hat{C B A} = c o s 120 ° = - \frac{1}{2}$

$\vec{B A} . \vec{B C} = B A . B C . c o s (\vec{B A}, \vec{B C}) = 3.2. (- \frac{1}{2}) = - 3$

$B D^{2} = B A^{2} + 2 \vec{B A} . \vec{B C} + B C^{2} = 3^{2} + 2. (- 3) + 2^{2} = 7$

$\Rightarrow B D = \sqrt{7}$

Câu 10:

Cho tam giác ABC có: AB = 4, AC = 5,

\hat{B A C} = 60 °

. Điểm I thuộc cạnh BC sao cho BI = 2CI. Tính độ dài BI.

A. $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{21}}{3}$

C. 21

D. $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: BI = 2CI $\Rightarrow \vec{B I} = \frac{2}{3} \vec{B C} = \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$\Leftrightarrow {\vec{B I}}^{2} = \frac{4}{9} {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = \frac{4}{9} (A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2})$ .

Ta có:

$\cos (\vec{A C}, \vec{A B}) = \cos \hat{A} = c o s 60^{o} = \frac{1}{2}$

$|\vec{A C}| = A C = 5; |\vec{A B}| = A B = 4$

$\vec{A C} . \vec{A B} = |\vec{A C}| . |\vec{A B}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = 5.4. \frac{1}{2} = 10$

$B I^{2} = \frac{4}{9} (A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2}) = \frac{4}{9} (5^{2} - 2.10 + 4^{2}) = \frac{28}{3}$

$\Rightarrow B I = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ .