Đáp án đúng là: D

Mỗi mật khẩu nhà bạn An là một chỉnh hợp chập 4 của 10 chữ số.

Vậy có \(A_{10}^4 = 5040\) (cách thiết lập).

Đáp án đúng là: C

Vì Cường đứng đầu hàng và Nam đứng cuối hàng nên ta chỉ cần xếp 6 học sinh còn lại. Do đó, có 6! = 720 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Các đoạn thẳng được lập không phân biệt điểm đầu và điểm cuối (ví dụ đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA là giống nhau).

Vậy cứ hai điểm phân biệt sẽ cho ta một đoạn thẳng.

Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong tám điểm nói trên là số các tổ hợp chập 2 của 8 phần tử. Vậy có tất cả \(C_8^2 = 28\) đoạn thẳng.

Đáp án đúng là: C

Vì trong nhóm 5 người được chọn có 1 bạn tên Châu nên 4 bạn còn lại ta sẽ chọn ngẫu nhiên trong 11 người còn lại.

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 bạn trong 11 người còn lại là: \(C_{11}^4 = 330\) cách chọn.

Do đó, có 330 cách chọn 5 học sinh trong đó có 1 học sinh tên Châu đi làm trực nhật.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

(x – 1)⁴

= \(C_4^0{x^4} + C_4^1{x^{4 - 1}}.\left( { - 1} \right) + C_4^2{x^{4 - 2}}.{\left( { - 1} \right)^2} + C_4^3{x^{4 - 3}}.{\left( { - 1} \right)^3} + C_4^4.{\left( { - 1} \right)^4}\)

= x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1.

Do đó, hệ số của x³ là – 4.

Đáp án đúng là: B

Từ O, dựng vectơ \(\overrightarrow {OA} \) sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \).

Ta xác định được tọa độ điểm A là (3; 2). Do đó, \(\overrightarrow {OA} = \left( {3;\,\,2} \right)\). Vậy \(\overrightarrow a = \left( {3;\,\,2} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng nhau khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = - 5\\x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{3}\\y = - \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Gọi D(x; y). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,1} \right),\,\,\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x;\,\,2 - y} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = - 1 - x\\1 = 2 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy D(– 3; 1).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) = (2; – 1) + 3 . (3; 4) = (2; – 1) + (9; 12) = (2 + 9; – 1 + 12) = (11; 11).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y } \right) = \frac{{\overrightarrow x \cdot \overrightarrow y }}{{\left| {\overrightarrow x } \right| \cdot \left| {\overrightarrow y } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, \(\left( {\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y } \right) = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 9 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 5\\y = - 9 - 2t\end{array} \right.\)⇒ y = – 9 – 2 . (x – 5) ⇔ 2x + y – 1 = 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\, - 6} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Do đó \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,\, - 2} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d₁: 2x – 3y + 7 = 0 có một một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - 3} \right)\).

Ta có: 4x – 6y + 10 = 0 ⇔ 2x – 3y + 5 = 0. Do đó, đường thẳng d₂ có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;\, - 3} \right)\).

Lại có A(– 2; 1) thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂.

Vậy d₁ // d₂.

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến d: 5x – 12y – 6 = 0 là

\(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1; - 2} \right)\).

Vì ∆ // d nên ∆ nhận \({\vec n_d} = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ∆ đi qua M(1; –1) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của ∆: 1(x – 1) – 2(y + 1) = 0 ⇔ x – 2y – 3 = 0.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\, - 1} \right)\);

Đường thẳng b có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - \sqrt 3 } \right)\).

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

\(\cos \left( {a,\,\,b} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 30°.

Giả sử các tiết mục được biểu diễn đánh số thứ tự từ 1 đến 6. Vì số lượng tiết mục hát và múa bằng nhau nên có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tiết mục hát diễn ra đầu tiên.

Khi đó, các tiết mục hát có số thứ tự là số lẻ, còn các tiết mục múa có số thứ tự là số chẵn. Như vậy, thứ tự của các tiết mục múa và hát được cố định, chỉ thay đổi thứ tự giữa các tiết mục múa hoặc giữa các tiết mục hát.

Chọn 3 tiết mục từ 7 tiết mục hát và xếp thứ tự có \(A_7^3 = 210\) (cách).

Chọn 3 tiết mục từ 6 tiết mục múa và xếp thứ tự có \(A_6^3 = 120\) (cách).

Khi đó, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục hát diễn ra đầu tiên là: 210 . 120 = 25 200.

Trường hợp 2. Tiết mục múa diễn ra đầu tiên.

Tương tự, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục múa diễn ra đầu tiên là: 120 . 210 = 25 200.

Vậy số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ sao cho các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau là: 25 200 + 25 200 = 50 400.

Ta có: \({\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)^5}\)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} + 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5 + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]\)

\( - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} - 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5 + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]\)

\( = 10.{\left( {\sqrt 7 } \right)^4}.\sqrt 5 + 20.{\left( {\sqrt 7 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 2.{\left( {\sqrt 5 } \right)^5}\)

\( = 490\sqrt 5 + 700\sqrt 5 + 50\sqrt 5 = 1240\sqrt 5 \).