10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Công thức lượng giác có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Biết cosα + cosβ = m; sinα + sinβ = n. Tính cos(α − β) theo m và n

A. $\frac{m^{2} + n^{2} - 2}{2}$

B. m – 3n

C. m + 3n

D. $\frac{m^{2} + n^{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

$\cos α + \cos β = m; \sin α + \sin β = n \Rightarrow m^{2} + n^{2} = {(c o s α + c o s β)}^{2} +(s i n α + s i n β)^{2} = c o s^{2} α + 2 c o s α c o s β + c o s^{2} β + s i n^{2} α + 2 s i n α s i n β + s i n^{2} β = (c o s^{2} α + s i n^{2} α) + (c o s^{2} β + s i n^{2} β) + + 2 (c o s α c o s β + s i n α s i n β) = 1 + 1 + 2 c o s (α - β) = 2 + 2 c o s (α - β)$

Do đó $c o s (α - β) = \frac{m^{2} + n^{2} - 2}{2}$

Câu 2:

Tính $A = c o s \frac{2 π}{9} c o s \frac{4 π}{9} c o s \frac{8 π}{9}$

A. $\frac{1}{2}$

B. $- \frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $- \frac{1}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

$A \sin \frac{2 π}{9} = \sin \frac{2 π}{9} c o s \frac{2 π}{9} c o s \frac{4 π}{9} c o s \frac{8 π}{9} = \frac{1}{2} .2 \sin \frac{2 π}{9} c o s \frac{2 π}{9} c o s \frac{4 π}{9} c o s \frac{8 π}{9} = \frac{1}{2} \sin \frac{4 π}{9} c o s \frac{4 π}{9} c o s \frac{8 π}{9} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} .2 \sin \frac{4 π}{9} c o s \frac{4 π}{9} c o s \frac{8 π}{9} = \frac{1}{4} \sin \frac{8 π}{9} c o s \frac{8 π}{9} = \frac{1}{4} . \frac{1}{2} .2 \sin \frac{8 π}{9} c o s \frac{8 π}{9} = \frac{1}{8} \sin \frac{16 π}{9} = \frac{1}{8} \sin (2 π - \frac{2 π}{9}) = - \frac{1}{8} \sin \frac{2 π}{9} \Rightarrow A = - \frac{1}{8}$

Câu 3:

Tính $\sin \frac{2 π}{7} + \sin \frac{4 π}{7} + \sin \frac{6 π}{7}$

A. $\frac{1}{2} \cot \frac{π}{14}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $- \frac{1}{2} \cot \frac{π}{14}$

D. $\cot \frac{π}{14}$

Xem đáp án

Đáp án A

$\sin \frac{π}{7} (\sin \frac{2 π}{7} + \sin \frac{4 π}{7} + \sin \frac{6 π}{7}) = \sin \frac{π}{7} \sin \frac{2 π}{7} + \sin \frac{π}{7} \sin \frac{4 π}{7} + \sin \frac{π}{7} \sin \frac{6 π}{7} = \frac{1}{2} (c o s \frac{π}{7} - c o s \frac{3 π}{7}) + \frac{1}{2} (c o s \frac{3 π}{7} - c o s \frac{5 π}{7}) + \frac{1}{2} (c o s \frac{5 π}{7} - c o s \frac{7 π}{7}) = \frac{1}{2} c o s \frac{π}{7} + \frac{1}{2} = c o s^{2} \frac{π}{14} \sin \frac{π}{7} = 2 \sin \frac{π}{14} c o s \frac{π}{14} \Rightarrow \sin \frac{2 π}{7} + \sin \frac{4 π}{7} + \sin \frac{6 π}{7} = \frac{1}{2} \cot \frac{π}{14}$

Câu 4:

Với mọi $α$ , biểu thức: $A = c o s α + c o s (α + \frac{π}{5}) + ... + c o s (α + \frac{9 π}{5})$ nhận giá trị bằng:

A. -10

B. 10

C. 0

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

$A = c o s α + c o s (α + \frac{π}{5}) + ... + c o s (α + \frac{9 π}{5}) A = [c o s α + c o s (α + \frac{9 π}{5})] + ... + [c o s (α + \frac{4 π}{5}) + c o s (α + \frac{5 π}{5})] A = 2 c o s (α + \frac{9 π}{10}) c o s \frac{9 π}{10} + 2 c o s (α + \frac{9 π}{10}) c o s \frac{7 π}{10} + ... + 2 c o s (α + \frac{9 π}{10}) c o s \frac{π}{10} A = 2 c o s (α + \frac{9 π}{10}) (c o s \frac{9 π}{10} + c o s \frac{7 π}{10} + c o s \frac{5 π}{10} + c o s \frac{3 π}{10} + c o s \frac{π}{10}) A = 2 c o s (α + \frac{9 π}{10}) (2 c o s \frac{π}{2} c o s \frac{2 π}{5} + 2 c o s \frac{π}{2} c o s \frac{π}{5} + c o s \frac{π}{2}) A = 2 c o s (α + \frac{9 π}{10}) .0 = 0$

Câu 5:

Tính $C = \cos \frac{2 π}{11} + \cos \frac{4 π}{11} + \cos \frac{6 π}{11} + \cos \frac{8 π}{11} + \cos \frac{10 π}{11}$

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. 2

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Với k = 1, 2, 3, 4, 5 ta có:

$\cos \frac{(2 k) π}{11} \sin \frac{π}{11} = \frac{1}{2} [\sin \frac{(2 k + 1) π}{11} - \sin \frac{(2 k - 1) π}{11}] \Rightarrow C . \sin \frac{π}{11} = \frac{1}{2} [(\sin \frac{3 π}{11} - \sin \frac{π}{11}) + (\sin \frac{5 π}{11} - \sin \frac{3 π}{11}) + ... + (\sin \frac{11 π}{11} - \sin \frac{9 π}{11})] = - \frac{1}{2} \sin \frac{π}{11} \Rightarrow C = - \frac{1}{2}$

Câu 6:

Biết rằng $\sin^{4} x + \cos^{4} x = m \cos 4 x + n (m, n \in Q)$ . Tính tổng S = m + n

A. S = 1

B. $S = \frac{5}{4}$

C. S = 2

D. $S = \frac{7}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\sin^{4} x + \cos^{4} x = {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - 2 {(\sin x \cos x)}^{2} = 1 - 2 {(\frac{1}{2} \sin 2 x)}^{2} = 1 - 2. \frac{1}{4} \sin^{2} 2 = x 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x = 1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 x}{2} = 1 - \frac{1}{4} (1 - \cos 4 x) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x = \frac{1}{4} \cos 4 x + \frac{3}{4} \Rightarrow S = m + n = 1$

Câu 7:

Khi $s i n A = \frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C}$ thì tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác đều

B. Tam giác cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác vuông

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$\frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C} = \frac{2 \cos \frac{B + C}{2} . \cos \frac{B - C}{2}}{2 \sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2}} = \frac{\cos \frac{B + C}{2}}{\sin \frac{B - C}{2}} = \frac{\cos (\frac{π}{2} - \frac{A}{2})}{\sin (\frac{π}{2} - \frac{A}{2})} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} \Rightarrow \sin A = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} \Rightarrow 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} \Rightarrow 2 \cos^{2} \frac{A}{2} = 1 \Rightarrow \cos A = 0 \Rightarrow A = 90^{0}$

Câu 8:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sin^{6} α + \cos^{6} α$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Đáp án B

$A = \sin^{6} α + \cos^{6} α = {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{3} - 3 \sin^{2} α \cos^{2} α (\sin^{2} α + \cos^{2} α) = 1 - 3 \sin^{2} α \cos^{2} α = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2 α$

Vì $0 \leq \sin^{2} 2 α \leq 1 \Rightarrow A \geq \frac{1}{4}$ nên $\min A = \frac{1}{4}$ khi $\sin^{2} 2 α = 1$

Câu 9:

Cho $\tan α + \cot α = m (|m| \geq 2)$ . Tính theo m giá trị của $A = |\tan α - \cot α|$

A. $m^{3} - m$

B. -9m

C. $m^{3} + 9 m$

D. $\sqrt{m^{2} - 4}$

Xem đáp án

Đáp án D

${(\tan α + \cot α)}^{2} = \tan^{2} α + \cot^{2} α + 2 \tan α . \cot α \Rightarrow \tan^{2} α + \cot^{2} α = {(\tan α + \cot α)}^{2} - 2 \tan α . \cot α m^{2} - 2 (d o \tan α . \cot α = 1)$

Do đó:

${(\tan α - \cot α)}^{2} = \tan^{2} α + \cot^{2} α - 2 \tan α . \cot α m^{2} - 2 - 2 = m^{2} - 4$

Vậy $|\tan α - \cot α| = \sqrt{m^{2} - 4}$

Câu 10:

Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là sai?

A. $\tan a + \tan b = \frac{\sin (a + b)}{\cos a \cos b}$

B. $\tan a - \tan b = \frac{\sin (a - b)}{\cos a \cos b}$

C. $\cot a + \cot b = \frac{\cos (a + b)}{\sin a \sin b}$

D. $\tan a + \cot a = \frac{2}{\sin 2 a}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$\tan a + \tan b = \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin b}{\cos b} = \frac{\sin a \cos b + \sin b \cos a}{\cos a \cos b} = \frac{\sin (a + b)}{\cos a \cos b}$

Suy ra A đúng

Tương tự ta có B đúng.

$\tan a + \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\sin^{2} a + \cos^{2} a}{\sin a \cos a} = \frac{2}{\sin 2 a}$

nên D đúng.

$\cot a + \cot b = \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\cos b}{\sin b} = \frac{\sin (a + b)}{\sin a \sin b}$

nên C sai