15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 3 Hình học có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC có diện tích bằng $S = \frac{3}{2}$ , hai đỉnh A (2; −3) và B (3; −2). Trọng tâm G nằm trên đường thẳng 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C?

A. C (−10; −2) hoặc C (1; −1)

B. C (−2; −10) hoặc C (1; −1)

C. C (−2; 10) hoặc C (1; −1)

D. C (2; −10) hoặc C (1; −1)

Xem đáp án

Gọi G (a; 3a − 8). Do

Đường thẳng AB nhận $\vec{A B}$ = (1; 1) là véc tơ chỉ phương nên có phương trình x – y – 5 = 0

Với a = 1 ⇒ G (1; −5) ⇒ C (−2; −10).

Với a = 2 ⇒ G (2; −2) ⇒ C (1; −1).

Vậy C (−2; −10) hoặc C (1; −1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Cho hai điểm P (1; 6) và Q (−3; −4) và đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0. Tọa độ điểm N thuộc Δ sao cho |NP − NQ| lớn nhất

A. N (3; 5).

B. N (1; 1).

C. N (−1; −3).

D. N (−9; −19).

Xem đáp án

Ta có: (2.1 – 6 − 1). (−2.3 – 4 − 1) = 55 > 0 ⇒ P và Q cùng phía so với Δ.

Phương trình đường thẳng PQ: 5x − 2y + 7 = 0.

Gọi H = Δ ∩ PQ, tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:

Hay H (−9; −19).

Với mọi điểm N ∈ Δ thì: |NP − NQ| ≤|HP − HQ| = |PQ|

⇒ |NP − NQ|_max= |PQ|

Dấu bằng xảy ra khi N trùng H.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (2; 1), trọng tâm $G (\frac{7}{3}; \frac{4}{3})$ , phương trình đường thẳng AB: x – y + 1 = 0. Giả sử điểm C (x₀; y₀), tính 2x₀+ y₀

A. 18

B. 10

C. 9

D. 12

Xem đáp án

Gọi M (a; a + 1) là trung điểm AB.

Ta có $\vec{I M}$ = (a − 2; a), 1 VTCP của AB là $\vec{u_{A B}}$ = (1; 1).

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (4; 1), đường thẳng d qua M, d cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A (a; 0), B (0; b) sao cho tam giác ABO (O là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị a − 4b bằng

A. -14

B. 0

C. 8

D. -2

Xem đáp án

Ta có phương trình đường thẳng dd có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (theo giả thiết ta có a > 0,b > 0)

Do d đi qua M (4; 1) nên ta có $\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1$

Mặt khác diện tích của tam giác vuông ABO là $S_{A B O} = \frac{1}{2} a b$

Áp dụng BĐT Cô si ta có

Vậy diện tích của tam giác vuông ABO nhỏ nhất bằng 8 khi a, b thỏa mãn hệ phương trình

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có đỉnh A (−1; 2), trực tâm H (−3; −12), trung điểm của cạnh BC là M (4; 3). Gọi I, R lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $I (3; \frac{17}{2}), R = 4 \sqrt{13}$

B. $I (6; 8), R = \sqrt{85}$

C. I (2; −2), R = 5

D. I (5; 10), R = 10

Xem đáp án

Kẻ đường kính AD của đường tròn (I) khi đó ta có BHCD là hình bình hành

⇒ M là trung điểm của cạnh HD.

Xét tam giác AHD có IM là đường trung bình

Câu 6:

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm là điểm I. Gọi G (1; −2) và K (3; 1) lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và ABI. Biết A (a; b) với b > 0. Khi đó a²+ b² bằng

A. 37

B. 5

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Gọi M, N và P lần lượt là các trung điểm của AB, CD và BI. Ta có

Đồng thời:

Do đó tam giác AKG vuông cân tại K nên:

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (1; 0), B (0; 5) và C (−3; −5). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy sao cho $|3 \vec{M A} - 2 \vec{M B} + 4 \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất?

A. M (0; 5)

B. M (0; 6)

C. M (0; −6)

D. M (0; −6)

Xem đáp án

Do đó: nhỏ nhất khi IM ngắn nhất.

Suy ra M là hình chiếu vuông góc của $I (- \frac{9}{5}; - 6)$ trên Oy

Vậy M (0; -6)

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: x − 2y – 5 = 0 và các điểm A (1; 2), B (−2; 3), C (−2; 1). Viết phương trình đường thẳng d, biết đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và cắt đường thẳng Δ tại điểm M sao cho: $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}|$ nhỏ nhất

A. x + y = 0

B. x − 3y = 0

C. 2x − 3y = 0

D. 2x + y = 0

Xem đáp án

Gọi M (2m + 5; m) ∈ Δ.

G (−1; 2) là trọng tâm ΔABC.

$|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |3 \vec{M G}| = 3 M G$

$|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}|$ nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ G là hình chiếu vuông góc của G trên Δ.

$\vec{G M}$ = (2m + 6; m − 2); VTCP của Δ là $\vec{u}$ = (2; 1).

G là hình chiếu vuông góc của G trên ⇔ $\vec{G M} . \vec{u}$ = 0

⇔ 2 (2m + 6) + m – 2 = 0

⇔ 5m + 10 = 0 ⇔ m = −2

⇒ M (1; −2).

Đường thẳng d qua gốc tọa độ d: y = ax.

M (1; −2) ∈ d ⇒ a = −2.

Vậy phương trình đường thẳng d: 2x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 2AB, đường thẳng AC có phương trình x + 2y + 2 = 0, D (1; 1) và A (a; b) (a, b ∈ R, a > 0). Tính a + b

A. a + b = −4

B. a + b = −3

C. a + b = 4

D. a + b = 1

Xem đáp án

Cách 1: Gọi A (a; b). Vì A ∈ AC: x + 2y + 2 = 0 nên a + 2b + 2 = 0

⇒ a = −2b − 2

Do a > 0 nên −2b – 2 > 0 ⇒ b < −1 (∗)

Khi đó A (−2b − 2; b).

Ta có $\vec{A D}$ = (2b + 3; 1 − b) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AD.

$\vec{u}$ = (2; −1) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AC

⇔ b²+ 2b – 3 = 0 ⇒ b = −3 (do (∗)) ⇒ a = 4.

Khi đó A (4; −3), suy ra a + b = 1

Cách 2: Gọi A (a; b). Vì A ∈ AC: x + 2y + 2 = 0 nên a + 2b + 2 = 0

⇒ a = −2b − 2

Do a > 0 nên −2b – 2 > 0 ⇒ b < −1 (∗), khi đó A (−2b − 2; b).

Vì C ∈ AC: x + 2y + 2 = 0 nên C (−2c − 2; c)

Ta có: $\vec{A D}$ = (3 + 2b; −1 − b); $\vec{C D}$ = (3 + 2c; 1 − c).

Vậy A (4; −3), suy ra a + b = 1.
Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−4; −1), hai đường cao BH và CK có phương trình lần lượt là 2x – y + 3 = 0 và 3x + 2y – 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC và tính diện tích tam giác ABC

A. $B C : x - y = 0; S = \frac{35}{2}$

B. $B C : x - y = 0; S = \frac{25}{2}$

C. $B C : x + y = 0; S = \frac{25}{2}$

D. $B C : x + y = 0; S = \frac{35}{2}$

Xem đáp án

+ BH có véctơ pháp tuyến $\vec{n_{B H}}$ (2; −1). CK có véctơ pháp tuyến $\vec{n_{C K}}$ (3; 2).

+ Đường thẳng AB vuông góc CK nên nhận $\vec{n_{C K}}$ (3; 2). làm véctơ chỉ phương, vì thế AB có véctơ pháp tuyến $\vec{n_{A B}}$ (2; −3). Mặt khác AB đi qua A (−4; −1) nên có phương trình:

2(x + 4) − 3(y + 1) = 0 ⇔ 2x − 3y + 5 = 0.

+ Đường thẳng AC vuông góc BH nên nhận $\vec{n_{B H}}$ (2; −1) làm véctơ chỉ phương, vì thế AC có véctơ pháp tuyến $\vec{n_{A C}}$ (1; 2). Mặt khác AC đi qua A (−4; −1) nên có phương trình:

1(x + 4) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 6 = 0.

+ B là giao điểm của AB và BH. Xét hệ:

⇒ B (−1; 1).

+ C là giao điểm của AC và CK. Xét hệ

+ Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là $\vec{B C}$ = (7; −7) nên có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (7; 7). Vậy BC có phương trình: 7(x + 1) + 7(y − 1) = 0 ⇔ x + y = 0

+ Chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC là

Câu 11:

Cho A (1; −1), B (3; 2). Tìm M trên trục Oy sao cho MA²+ MB² nhỏ nhất.

A. M (0; 1)

B. M (0; −1)

C. $M (0; \frac{1}{2})$

D. $M (0; - \frac{1}{2})$

Xem đáp án

M trên trục Oy ⇒ M (0; y).

$\vec{M A}$ = (1; −1 − y); $\vec{M B}$ = (3; 2 − y)

MA²+ MB²= 10 − 2y + 2y²

Giá trị nhỏ nhất của (MA²+ MB²) bằng $\frac{19}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi y = $\frac{1}{2}$ . Khi đó $M (0; \frac{1}{2})$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Cho tam giác ABC có $A (\frac{4}{5}; \frac{7}{5})$ và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt là x − 2y – 1 = 0, x + 3y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

A. y + 1 = 0

B. y + 1 = 0

C. 4x − 3y + 1 = 0

D. 3x − 4y + 8 = 0

Xem đáp án

Dễ thấy điểm $Â (\frac{4}{5}; \frac{7}{5})$ không thuộc hai đường phân giác x − 2y – 1 = 0 và x + 3y – 1 = 0.

Gọi CF: x − 2y – 1 = 0, BE: x + 3y – 1 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh C, B (như hình vẽ trên).

Gọi d là đường thẳng qua $A (\frac{4}{5}; \frac{7}{5})$ và vuông góc với BE thì d có VTPT là $\vec{n_{d}}$ = (3; −1) nên có phương trình

Tọa độ điểm M = d ∩ BE thỏa mãn hệ

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với $A (\frac{4}{5}; \frac{7}{5})$ qua $M (\frac{2}{5}; \frac{1}{5})$ là A′ (0; −1) thì

A′ ∈ BC (1).

Gọi d′ là đường thẳng qua $A (\frac{4}{5}; \frac{7}{5})$ và vuông góc với CF thì d′ có VTPT là $\vec{n_{d'}}$ = (2; 1) nên có phương trình

⇔ 2x + y – 3 = 0

Tọa độ điểm N = d′ ∩ CF thỏa mãn hệ

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với $A (\frac{4}{5}; \frac{7}{5})$ qua $N (\frac{7}{5}; \frac{1}{5})$ là A″ (2; −1) thì A″ ∈ BC (2)

Từ (1) và (2) ta có $\vec{A' A''}$ = (2; 0) là một VTCP của BC suy ra VTPT của BC là

$\vec{n}$ = (0; 1). Do đó phương trình cạnh BC: 0(x − 0) + 1(y + 1) = 0 ⇔ y + 1 = 0

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Cho đường tròn (C): x²+ y²− 2x + 2y – 7 = 0 và đường thẳng d: x + y + 1 = 0. Tìm tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài bằng 2

A. x + y + 4 = 0 và x + y – 4 =0

B. x + y + 2 = 0

C. x + y + 4 = 0

D. x + y + 2 = 0 và x + y – 2 = 0

Xem đáp án

Tâm O (1; −1), bán kính $R = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} - (- 7)} = 3$

Gọi đường thẳng cần tìm là (d′): x + y + c = 0.

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d′) và (C).

Xét ΔOHB vuông tại H (H là chân đường cao kẻ từ O trong tam giác OAB).

Ta có:

Vậy đường thẳng cần tìm có dạng x + y + 4 = 0 hoặc x + y – 4 = 0.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Đường thẳng nào dưới đây tiếp xúc với đường tròn (x − 2)²+ y²= 4, tại M có hoành độ x_M= 3?

A. $x + \sqrt{3} y - 6 = 0$

B. $x + \sqrt{3} y + 6 = 0$

C. $\sqrt{3} x + y - 6 = 0$

D. $\sqrt{3} x + y + 6 = 0$

Xem đáp án

Thế x_M = 3 vào phương trình đường tròn, ta được:

Đường tròn (C) có tâm I (2; 0)

Với I(2;0), $M_{1} (3; \sqrt{3})$ ta có: $\vec{I M_{1}} = (1; \sqrt{3})$

Đường thẳn qua $M_{1} (3; \sqrt{3})$ và nhận $\vec{I M_{1}} = (1; \sqrt{3})$ làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Với I(2;0), $M_{2} (3; - \sqrt{3})$ ta có: $\vec{I M_{2}} = (1; - \sqrt{3})$

Đường thẳng qua $M_{2} (3; - \sqrt{3})$ và nhận $\vec{I M_{2}} = (1; - \sqrt{3})$ làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại M có hoành độ x_M = 3 là:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Đường tròn đi qua A (2; 4), tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ , ${(x - 10)}^{2} + {(y - 10)}^{2} = 100$

B. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ , ${(x - 10)}^{2} + {(y - 10)}^{2} = 100$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ , ${(x + 10)}^{2} + {(y + 10)}^{2} = 100$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ , ${(x + 10)}^{2} + {(y + 10)}^{2} = 100$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm I (a; b), bán kính R có phương trình là (x − a)²+ (y − b)²= R²

Ta có đường tròn (C) đi qua A (2; 4) nên ta có: (2 − a)²+ (4 − b)²= R² (1)

Đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ, ta phải có |a| = |b| = R (2)

Trường hợp 1: Nếu a = b, thay vào (1) ta có

Với a = 2 ta có phương trình đường tròn (x − 2)²+ (y − 2)²= 4

Với a = 10 ta có phương trình đường tròn (x − 10)²+ (y − 10)²= 100

Trường hợp 2: Nếu a = −b, thay vào (1) ta có phương trình

(2 − a)²+ (4 + a)²= a²⇔ a²+ 4a + 20 = 0: phương trình này vô nghiệm.

Vậy các đường tròn có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ , ${(x - 10)}^{2} + {(y - 10)}^{2} = 100$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A