15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2. Định lí côsin và định lí sin có đáp án

Câu 1:

Tam giác ABC có $B C = 5 \sqrt{5}, A C = 5 \sqrt{2}, A B = 5$ . Số đo góc $\hat{A}$ là:

A. 30°;

B. 45°;

C. 120°;

D. 135°.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{5^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2} - {(5 \sqrt{5})}^{2}}{2.5.5 \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \hat{A} = 135 ° .$

Vậy $\hat{A} = 135 ° .$

Câu 2:

Tam giác ABC có $\hat{A} = 105 °, \hat{B} = 45 °$ , AC = 10. Độ dài cạnh AB là:

A. $\frac{5 \sqrt{6}}{2};$

B. $5 \sqrt{2};$

C. $5 \sqrt{6};$

D. $10 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\hat{A} = 105 °, \hat{B} = 45 °$ ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - \hat{A} - \hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - 105 ° - 45 ° = 30 °$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{10}{\sin 45 °} = \frac{A B}{\sin 30 °} \Rightarrow A B = \frac{10. \sin 30 °}{\sin 45 °} = 5 \sqrt{2} .$

Vậy $A B = 5 \sqrt{2} .$

Câu 3:

Tam giác ABC có $A C = 3 \sqrt{3},$ AB = 3, BC = 6. Số đo góc B là:

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 120°.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{3^{2} + 6^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}{2.3.6} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \hat{B} = 60 ° .$

Câu 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, AB = R, $A C = R \sqrt{2} .$ Tính số đo của $\hat{A}$ biết $\hat{A}$ là góc tù.

A. 105°;

B. 120°;

C. 135°;

D. 150°.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù nên $\hat{B}, \hat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} = 2 R$

$\Rightarrow \frac{R \sqrt{2}}{\sin B} = \frac{R}{\sin C} = 2 R$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sin B = \frac{R \sqrt{2}}{2 R} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ s i n C = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2} \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \hat{B} = 45 ° \\ \hat{C} = 30 ° \end{cases}$ (vì $\hat{B}, \hat{C}$ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\hat{B} = 45 °, \hat{C} = 30 °$ ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - \hat{B} - \hat{C}$

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - 45 ° - 35 ° = 105 °$

Vậy $\hat{A} = 105 °$

Câu 5:

Tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là: 2, 3, 4. Góc nhỏ nhất của tam giác có côsin bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{15}}{8};$

B. $\frac{7}{8};$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{14}}{8} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C} = \frac{3^{2} + 4^{2} - 2^{2}}{2.3.4} = \frac{7}{8} .$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}$

Câu 6:

Diện tích của tam giác ABC với $\hat{A} = 60 °,$ AB = 20, AC = 10 là:

A. 50;

B.

50 \sqrt{2};

C.

50 \sqrt{3}

D.

50 \sqrt{5} .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .20.10. \sin 60 ° = 50 \sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Vậy

S = 50 \sqrt{3}

(đơn vị diện tích).

Câu 7:

Diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là $\sqrt{3}, \sqrt{2}$ và 1 là:

A. $\frac{\sqrt{2}}{2};$

B. $\sqrt{3};$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2};$

D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác có độ dài ba cạnh $\sqrt{3}, \sqrt{2}$ , 1 là: $p = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}{2}$

Diện tích tam giác theo công thức Heron là: $S = \sqrt{p . (p - \sqrt{3}) . (p - \sqrt{2}) . (p - 1)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $S = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 8:

Nếu tam giác ABC có BC² < AB² + AC² thì:

A.

\hat{A}

là góc nhọn;

B.

\hat{A}

là góc vuông;

C.

\hat{A}

là góc tù;

D. Không đưa ra được kết luận nào.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C}$

Nếu BC² < AB² + AC² thì AB² + AC² ‒ BC² > 0

Do đó $\frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} > 0$ hay cosA > 0

Mà $0 ° < \hat{A} < 180 °$

Þ Góc $\hat{A}$ là góc nhọn.

Câu 9:

Tam giác ABC có $\hat{B} + \hat{C} = 135 °$ và BC = a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

A. $a \sqrt{3};$

B. $a \sqrt{2};$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2};$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có $\hat{B} + \hat{C} = 135 °$ ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - 135 ° = 45 °$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

$\Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{a}{2. \sin 45 °} = \frac{a}{2. \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Câu 10:

Tam giác ABC có AB = 10, AC = 24, diện tích bằng 120. Độ dài đường trung tuyến AM là:

A.

7 \sqrt{3};

B. 13;

C.

11 \sqrt{2};

D. 26

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A$

$\Rightarrow \sin A = \frac{2 S}{A B . A C} = \frac{2.120}{10.24} = 1$

Mà $0 ° < \hat{A} < 180 °$

$\Rightarrow \hat{A} = 90 °$

Þ DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² Þ BC² = 10² + 24² = 676

Þ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: $A M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} .26 = 13.$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Câu 11:

Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GEC là:

A.

50 \sqrt{2}

cm²;

B. 50 cm²;

C. 75 cm²;

D.

15 \sqrt{105}

cm².

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó $E C = \frac{1}{2} . A C = \frac{1}{2} .30 = 15 (c m)$

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $G E = \frac{1}{3} B E$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay $\frac{G E}{B E} = \frac{1}{3} .$

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó $\frac{G H}{B A} = \frac{G E}{B E}$ (định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay $\frac{G H}{B A} = \frac{1}{3} \Rightarrow G H = \frac{1}{3} . B A = \frac{1}{3} .30 = 10 (c m)$

Diện tích tam giác GEC là: $S_{G E C} = \frac{1}{2} . G H . E C = \frac{1}{2} .10.15 = 75 (c m^{2})$

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm².

Câu 12:

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là 5, 12, 13 là:

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. 2

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác có độ dài ba cạnh là 5, 12, 13 ta có: 5² + 12² = 169 và 13² = 169.

Do đó 5² + 12² = 13² nên tam giác này là tam giác vuông (định lí Py – ta – go đảo)

Diện tích tam giác này là: $S = \frac{1}{2} .5.12 = 30$ (đơn vị diện tích)

Nửa chu vi tam giác này là: $p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$

Mặt khác S = pr $p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2.

Câu 13:

Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

A. 2S

B. 3S

C. 4S

D. 6S

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . B C . A C . \sin C$ .

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

$S^{'} = \frac{1}{2} .2 B C .3 A C . \sin C = 6. (\frac{1}{2} . B C . A C . \sin C) = 6 S$ .

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Câu 14:

Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8. Độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 là:

A. 5;

B.

\sqrt{34}

C. 6;

D.

\sqrt{42}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B:

Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8 được mô tả như hình vẽ, do đó AD = 4, AC = 6, BD = 8.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Þ AO = 3 và DO = 4.

Áp dụng hệ quả định lí côsin vào tam giác ADO ta có:

$c o s \hat{A D O} = \frac{A D^{2} + D O^{2} - A O^{2}}{2. A D . D O} = \frac{4^{2} + 4^{2} - 3^{2}}{2.4.4} = \frac{23}{32}$ $\Rightarrow c o s \hat{A D B} = \frac{23}{32}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD ta có:

AB² = AD² + BD² – 2.AD.BD. $c o s \hat{A D B}$

Þ AB² = 4² + 8² – 2.4.8. $\frac{23}{32}$ = 34

$\Rightarrow A B = \sqrt{34} .$

Vậy độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 của hình bình hành đó là $\sqrt{34}$

Câu 15:

Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tỉ số $\frac{R}{r}$ là:

A. $1 + \sqrt{2}$

B. $\frac{2 + \sqrt{2}}{2};$

C. $\frac{\sqrt{2} - 1}{2};$

D. $\frac{1 + \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow B C = a \sqrt{2} .$

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{a + a + a \sqrt{2}}{2} = a . (\frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} . A B . A C = \frac{1}{2} . a . a = \frac{a^{2}}{2}$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S = p r = \frac{A B . A C . B C}{4 R}$

$\Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{a . (\frac{2 + \sqrt{2}}{2})} = \frac{a}{2 + \sqrt{2}}$ và $R = \frac{A B . A C . B C}{4 S} = \frac{a . a . a \sqrt{2}}{4. \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Do đó $\frac{R}{r} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2 + \sqrt{2}}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} : \frac{a}{2 + \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{2 + \sqrt{2}}{a} = 1 + \sqrt{2}$

Vậy $\frac{R}{r} = 1 + \sqrt{2} .$