180 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hàm số và phương trình bậc 2 có đáp án

Câu 1:

Tìm tất cả giá trị của a để tập giá trị của hàm số

y = \frac{x + a}{x^{2} + 1}

chứa đoạn

[0; 1]

.

A. $a \in ℝ$

B. $a \geq 2$

C. $a \geq \frac{3}{4}$

D. $a < 2$

Xem đáp án

$y = \frac{x + a}{x^{2} + 1} \Leftrightarrow y x^{2} - x + y - a = 0$ .

Tập giá trị của hàm số chứa đoạn $[0; 1] \Leftrightarrow$ với mọi $y \in [0; 1]$ thì phương trình trên luôn có nghiệm.

Với $y = 0$ ta có phương trình $x + a = 0 \Leftrightarrow x = - a$ . Do đó phương trình luôn có nghiệm.

Với $0 < y \leq 1$ thì phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 1 - 4 y (y - a) \geq 0 \Leftrightarrow 4 y^{2} - 1 \leq 4 a y \Leftrightarrow \frac{4 y^{2} - 1}{4 y} \leq a$ .

Yêu cầu bài toán tương đương với $\underset{(0; 1]}{Max} \frac{4 y^{2} - 1}{4 y} \leq a$ .

Ta có $\frac{4 y^{2} - 1}{4 y} = y - \frac{1}{4 y} = (y - 1) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{4 y}) + \frac{3}{4} = (y - 1) (1 + \frac{1}{4 y}) + \frac{3}{4} \leq \frac{3}{4} \forall y \in (0; 1]$ .

Kết luận $a \geq \frac{3}{4}$ .

Câu 2:

Hàm số

y = \sqrt{9 - 3 |x|} + \frac{x}{\sqrt{9 x {}_{2}- 1}}

có tập xác định

D_{1}

, hàm số

y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x |x| + 4}

có tập xác định

D_{2}

. Khi đó số phần tử của tập

A = ℤ \cap (D_{1} \cap D_{2})

là:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Hàm số $y = \sqrt{9 - 3 |x|} + \frac{x}{\sqrt{9 x {}_{2}- 1}}$ xác định khi:

$\{\begin{cases} 9 - 3 |x| \geq 0 \\ 9 x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < x \leq 3 \Rightarrow D_{1} = [\frac{1}{3}, 3)$

Hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x |x| + 4}$ xác định khi:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x |x| + 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} - 2 \leq x \leq 0 \\ - x^{2} + 4 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow - 2 < x \leq 0 \\ \{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} + 4 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0 \end{array} \\ \Rightarrow D_{2} = (- 2; + \infty) \end{array}$

$A = ℤ \cap (D_{1} \cap D_{2}) = \{- 1; 1; 2; 3\}$

Vậy tập hợp A gồm 4 phần tử.

Hàm số

y = \sqrt{9 - 3 |x|} + \frac{x}{\sqrt{9 x {}_{2}- 1}}

có tập xác định

D_{1}

, hàm số

y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x |x| + 4}

có tập xác định

D_{2}

. Khi đó số phần tử của tập

A = ℤ \cap (D_{1} \cap D_{2})

là:

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x + 2 m - 1} + \sqrt{4 - 2 m - \frac{x}{2}}$ xác địnhvới mọi $x \in [0; 2]$ khi $m \in [a; b]$ .

Giá trị $a + b = ?$

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số $f (x) = \sqrt{x + 2 m - 1} + \sqrt{4 - 2 m - \frac{x}{2}}$ xác định khi:

$\{\begin{cases} x \geq 1 - 2 m \\ x \leq 8 - 4 m \end{cases}$

Hàm số xác định trên [0; 2] nên $1 - 2 m \leq 0 \leq 2 \leq 8 - 4 m \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2} \Rightarrow m \in [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}] \Rightarrow a + b = 2$

Câu 4:

Cho

(P_{m}) : y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m

. Biết rằng

(P_{m})

luôn cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại hai điểm A,B. Gọi

A_{1}, B_{1}

lần lượt là hình chiếu của A, B lên Ox,

A_{2}, B_{2}

lần lượt là hình chiếu của A, B lên Oy. Có bao nhiêu giá trị của m khác 0, -1 để tam giác

O B_{1} B_{2}

có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác

O A_{1} A_{2}

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2} - 2 m x + m^{2} + m = x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x = m + 1 \end{array}$

*TH1:

$\begin{array}{l} A (m; m) \Rightarrow A_{1} (m; 0); A_{2} (0; m) \\ B (m + 1; m + 1) \Rightarrow B_{1} (m + 1; 0); B_{2} (0; m + 1) \end{array}$

Khi đó $S_{O B_{1} B_{2}} = 4 S_{O A_{1} A_{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} {(m + 1)}^{2} = 4. \frac{1}{2} . m^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{- 1}{3} \end{array}$

*TH2:

$\begin{array}{l} B (m; m) \Rightarrow B_{1} (m; 0); B_{2} (0; m) \\ A (m + 1; m + 1) \Rightarrow A_{1} (m + 1; 0); A_{2} (0; m + 1) \end{array}$

Khi đó $S_{O B_{1} B_{2}} = 4 S_{O A_{1} A_{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} m^{2} = 4. \frac{1}{2} {(m + 1)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 2 \\ m = \frac{- 2}{3} \end{array}$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau có tập xác định là R

$y = \frac{2018 x + 2019}{\sqrt{(m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 4}}$

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Hàm số có TXĐ là R khi và chỉ khi

$f (x) = (m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 4 > 0, \forall x \in ℝ$

Với m = 1, ta có f(x) = 4 > 0, mọi x thuộc R . Do đó m = 1 thỏa mãn

Với $m \neq 1, f (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ {(m - 1)}^{2} - 4 (m - 1) < 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ (m - 1) (m - 5) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ 1 < m < 5 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 5$

Vậy có 4 số nguyên $m \in {1,2,3,4}$ thỏa mãn hàm số có TXĐ là R .

Câu 6:

Cho hàm số

y = \sqrt{(m + 1) x + 2 m + 3}

, m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số đã cho xác định trên đoạn

[- 3; - 1]

?

A. 2

B. 3

C. 1

D. vô số

Xem đáp án

+ Hàm số xác định trên $[- 3; - 1]$ khi và chỉ khi $f (x) = (m + 1) x + 2 m + 3 \geq 0, \forall x \in [- 3; - 1]$ .

+ Nhận xét: Đồ thị hàm số $y = f (x)$ trên $[- 3; - 1]$ là đoạn thẳng AB với $A (- 3; - m), B (- 1; m + 2)$ .

Do đó $f (x) \geq 0, \forall x \in [- 3; - 1]$ khi và chỉ khi đoạn AB không có điểm nào nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m \geq 0 \\ m + 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 0$ .

Vậy có 3 giá trị nguyên của là $m \in \{- 2; - 1; 0\}$ .

Câu 7:

Tìm m để các hàm số

y = \sqrt{x - m} + \sqrt{2 x - m - 1}

xác định với mọi thuộc khoảng

(0; + \infty)

.

A. $m \leq - 1$

B. $- 2 \leq m \leq 2$

C. $m \leq 0$

D. $m \leq 1$

Xem đáp án

Hàm số xác định khi $\{\begin{cases} x - m \geq 0 \\ 2 x - m - 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq m \\ x \geq \frac{m + 1}{2} \end{cases} (*)$

● Nếu $m \geq \frac{m + 1}{2} \Leftrightarrow m \geq 1$ thì $(*) \Leftrightarrow x \geq m$ .

Khi đó tập xác định của hàm số là $D = [m; + \infty)$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow (0; + \infty) \subset [m; + \infty) \Leftrightarrow m \leq 0$ : không thỏa mãn $m \geq 1$ .

● Nếu $m \leq \frac{m + 1}{2} \Leftrightarrow m \leq 1$ thì $(*) \Leftrightarrow x \geq \frac{m + 1}{2}$ .

Khi đó tập xác định của hàm số là $D = [\frac{m + 1}{2}; + \infty)$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow (0; + \infty) \subset [\frac{m + 1}{2}; + \infty) \Leftrightarrow \frac{m + 1}{2} \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 1$ : thỏa mãn điều kiện $m \leq 1$ .

Vậy $m \leq - 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 8:

Tìm m để hàm số

y = \frac{2 \sqrt{x - 2 m + 3}}{3 (x - m)} + \frac{x - 2}{\sqrt{- x + m + 5}}

xác định trên khoảng

(0; 1)

.

A. $m \in [1; \frac{3}{2}]$

B. $m \in [- 3; 0]$

C. $m \in [- 3; 0] \cup [0; 1]$

D. $m \in [- 4; 0] \cup [1; \frac{3}{2}]$

Xem đáp án

*Gọi là D tập xác định của hàm số $y = \frac{2 \sqrt{x - 2 m + 3}}{3 (x - m)} + \frac{x - 2}{\sqrt{- x + m + 5}}$ .

* $x \in D⇔ \{\begin{cases} x - 2 m + 3 \geq 0 \\ x - m = 0 \\ - x + m + 5 > 0 \end{cases} ⇔ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 m - 3 \\ x = m \\ x < m + 5 \end{cases}$ .

*Hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 2 m + 3}}{x - m} + \frac{3 x - 1}{\sqrt{- x + m + 5}}$ xác định trên khoảng $(0; 1)$

$\Leftrightarrow (0; 1) \subset D \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m - 3 \leq 0 \\ m + 5 \geq 1 \\ m \notin (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq \frac{3}{2} \\ m \geq - 4 \\ [\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq 0 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow m \in [- 4; 0] \cup [1; \frac{3}{2}]$

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}} + \sqrt{2017 x + 2018 m}$ ( m là tham số). Để tập xác định của hàm số chỉ có đúng một phần tử thì $m = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ *)$ với $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính a+b.

A. $- 3025$

B. 3025

C. $5043$

D. $- 5043$

Xem đáp án

Điều kiện xác định của hàm số là $\{\begin{cases} 16 - x^{2} \geq 0 \\ 2017 x + 2018 m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 \leq x \leq 4 \\ x \geq - \frac{2018 m}{2017} \end{cases}$

Tập xác định của hàm số chỉ có đúng một phần tử $\Leftrightarrow [- 4; 4] \cap [- \frac{2018 m}{2017}; + \infty)$ chỉ có đúng một phần tử $\Leftrightarrow \frac{- 2018 m}{2017} = 4 \Leftrightarrow m = \frac{- 4034}{1009}$

Nên $a + b = - 3025$ .

Câu 10:

Cho hàm số $y = \sqrt{1 - |2 x^{2} + m x + m + 15|}$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số xác định trên đoạn $[1; 3]$ .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hàm số xác định trên đoạn [1; 3] khi

$1 - |2 x^{2} + m x + m + 15| \geq 0, \forall x \in [1; 3] \Leftrightarrow |2 x^{2} + m x + m + 15| \leq 1, \forall x \in [1; 3]$ (1)

Bài toán được chuyển về việc tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với $\forall x \in [1; 3]$ .

Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x \in [1; 3]$

$\Rightarrow$ Nghiệm đúng với x = 1, x = 2

$\{\begin{cases} | 2 m + 17 | \leq 1 \\ | 3 m + 23 | \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 \leq 2 m + 17 \leq 1 \\ - 1 \leq 3 m + 23 \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 9 \leq m \leq - 8 \\ - 8 \leq m \leq - \frac{22}{3} \end{cases} \Leftrightarrow$ m = -8.

Vậy với m = -8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với $\forall x \in [1; 3]$ .

Điều kiện đủ: Với m = -8, ta có:

(1) Û ½2x² - 8x + 7½ £ 1 Û -1 £ 2x² - 8x + 7 £ 1

$\Rightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} - 8 x + 8 \geq 0 \\ 2 x^{2} - 8 x + 6 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 2)}^{2} \geq 0 \\ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 3 .$

Vậy, với m = -8 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Câu 11:

Tìm m để hàm số

y = \frac{\sqrt{x - 4 m + 3}}{x - 2 m} + \frac{3 x - 1}{\sqrt{5 + 2 m - x}}

xác định trên khoảng

(0; 1)

.

A. $[\begin{matrix} - 2 \leq m \leq 0 \\ \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{4} \end{matrix}$

B. $- 2 \leq m \leq 0$

C. $\frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{4}$

D. $[\begin{matrix} - 2 < m \leq 0 \\ \frac{1}{2} \leq m < \frac{3}{4} \end{matrix}$

Xem đáp án

Gọi là tập xác định của hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 4 m + 3}}{x - 2 m} + \frac{3 x - 1}{\sqrt{5 + 2 m - x}}$ .

$x \in D \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 4 m + 3 \geq 0 \\ x - 2 m = 0 \\ 5 + 2 m - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 4 m - 3 \\ x = 2 m \\ x < 2 m + 5 \end{cases}$ .

Hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 4 m + 3}}{x - 2 m} + \frac{3 x - 1}{\sqrt{5 + 2 m - x}}$ xác định trên khoảng $(0; 1)$

\Rightarrow (0; 1) \subset D \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m - 3 \leq 0 \\ 2 m \notin (0; 1) \\ 2 m + 5 \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq \frac{3}{4} \\ m \leq 0 h a y m \geq \frac{1}{2} \\ m \geq - 2 \end{cases}

\Leftrightarrow [\begin{matrix} - 2 \leq m \leq 0 \\ \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{4} \end{matrix}

.

Câu 12:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

y = \sqrt{x + m} - \frac{1}{2 x - m + 1}

xác định trên

(1; 2) \cup [4; + \infty)

?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Điều kiện xác định của hàm số là: $\{\begin{cases} x + m \geq 0 \\ 2 x - m + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - m \\ x \neq \frac{m + 1}{2} \end{cases}$

Hàm số xác định trên $(1; 2) \cup [4; + \infty)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m \leq 1 \\ [\begin{array}{l} \frac{m - 1}{2} \leq 1 \\ 2 \leq \frac{m - 1}{2} < 4 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq - 1 \\ [\begin{array}{l} m \leq 3 \\ 5 \leq m < 9 \end{array} \Leftrightarrow m \in [- 1; 3] \cup [5; 9) \end{cases}$

mà là các số nguyên dương $\Rightarrow m \in \{0; 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8\}$ .

Câu 13:

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của m sao cho hàm số

y = \sqrt{- m^{2} x^{2} + 2 |m| x + 3}

xác định trên

(\frac{1}{3}; \frac{2}{3})

. Khi đó số các phần tử của S là.

A. 0

B. 2

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Ta có $\begin{array}{l} - m^{2} x^{2} + 2 |m| x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow - {(| m | x - 1)}^{2} + 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow |(|m| x - 1)| \leq 2 \Leftrightarrow - 2 \leq (|m| x - 1) \leq 2 \\ - 1 \leq |m| x \leq 3 \end{array}$

Nhấy thấy nếu $m = 0$ thì luôn thỏa mãn.

Nếu $m \neq 0$ , ta có $- \frac{1}{|m|} \leq x \leq \frac{3}{|m|}$ .

Để hàm số xác định trên $(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}) \Leftrightarrow (\frac{1}{3}; \frac{2}{3}) \subset [\frac{- 1}{|m|}; \frac{3}{||m||}]$ . Ta có $\frac{- 1}{|m|} < 0, \forall m \neq 0$ nên $\frac{2}{3} \leq \frac{3}{|m|} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |m| \leq \frac{9}{2} \\ m \neq 0 \end{cases}$

Vậy các giá trị nguyên dương của m là: 1, 2, 3, 4. Do đó số phần tử của S là 5.

Câu 14:

Cho hàm số $f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nguyên lớn nhất của để hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{f (x) - 2 m + 2}}$ có TXĐ là R .

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nguyên lớn nhất của để hàm số y= 1/ căn f(x)-2m+2 có TXĐ là R . (ảnh 1)

A. $m = - 2$

B. $m = - 1$

C. $m = - 4$

D. $m = 0$

Xem đáp án

+) Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{f (x) - 2 m + 2}}$ xác định là R khi và chỉ khi :

$f (x) - 2 m + 2 > 0, \forall x \in ℝ$ .

$\Leftrightarrow 2 m - 2 < \min_{ℝ} f (x)$

Từ đò thị hàm số ta có $\min_{ℝ} f (x) = - 4$

$\Rightarrow 2 m - 2 < - 4 \Rightarrow m < - 1$

Vậy giái trị nguyên lớn nhất của là : $m = - 2$ .

Câu 15:

Tìm số giá trị nguyên của

m \in [- 2018; 2019]

để hàm số

y = \sqrt{x - m} + \sqrt{2 x - m - 1}

xác định

\forall x \in (0; + \infty)

.

A. $4038$

B. 2018

C. 2019

D. 2020

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $\{\begin{cases} x \geq m \\ x \geq \frac{m + 1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x \in [m; + \infty) \cap [\frac{m + 1}{2}; + \infty)$

Hàm số xác định $\forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 0 \\ \frac{m + 1}{2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq - 1$

Vậy có 2018 giá trị nguyên của m cần tìm.

Câu 16:

Tìm m để hàm số

y = \sqrt{x - m} + \sqrt{2 x - m - 1}

xác định

\forall x \in (0; + \infty)

.

A. $m < - 1$

B. $m \leq - 1$

C. $m \geq - 1$

D. $m > - 1$

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $\{\begin{cases} x \geq m \\ x \geq \frac{m + 1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x \in [m; + \infty) \cap [\frac{m + 1}{2}; + \infty)$

+ Nếu $m \leq 1 \Rightarrow [m; + \infty) \cap [\frac{m + 1}{2}; + \infty) = [\frac{m + 1}{2}; + \infty)$

Hàm số xác định $\forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow (0; + \infty) \subset [\frac{m + 1}{2}; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 1 \\ \frac{m + 1}{2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq - 1$

+ Nếu $m > 1 \Rightarrow [m; + \infty) \cap [\frac{m + 1}{2}; + \infty) = [m; + \infty)$

Hàm số xác định $\forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow (0; + \infty) \subset [m; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ m \leq 0 \end{cases} \Rightarrow m \in \emptyset$

Vậy $m \leq - 1$ .

Tìm m để hàm số

y = \sqrt{x - m} + \sqrt{2 x - m - 1}

xác định

\forall x \in (0; + \infty)

Câu 17:

Cho hàm sô

y = \frac{2 m x + 4}{\sqrt{x^{2} + 2 m x + 2018 m + 2019}} + \sqrt{m x^{2} + 2 m x + 2020}

. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của để hàm số xác định trên R. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử?

A. 2018

B. 2019

C. 2020

D. 2021

Xem đáp án

Để hàm số xác định trên R thì $\{\begin{matrix} x^{2} + 2 m x + 2018 m + 2019 > 0 \forall x \in ℝ \\ m x^{2} + 2 m x + 2020 \geq 0 \forall x \in ℝ \end{matrix}$

+) Nếu m=0 ta thấy $y = \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 2019}} + \sqrt{2020}$ luôn xác định trên R

Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu đề bài (1)

+) Nếu $m \neq 0$ để hàm số xác định trên R thì $\{\begin{matrix} m^{2} - 2018 m - 2019 < 0 \\ m > 0 \\ m^{2} - 2020 m \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 1 < m < 2019 \\ m > 0 \\ 0 \leq m \leq 2020 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 0 < m < 2019$ (2)

Kết hợp (1)(2) ta được $0 \leq m < 2019$ thỏa mãn

Vậy ta có 2019 số nguyên để hàm số xác định trên R

Câu 18:

Cho hàm số $y = \sqrt{1 - |2 x^{2} + m x + m + 15|}$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số xác định trên đoạn $[1; 3]$ .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hàm số xác định trên đoạn [1; 3] khi

$1 - |2 x^{2} + m x + m + 15| \geq 0, \forall x \in [1; 3] \Leftrightarrow |2 x^{2} + m x + m + 15| \leq 1,, \forall x \in [1; 3]$ (1)

Bài toán được chuyển về việc tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với " $\forall x \in$ [1; 3].

Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với " $\forall x \in$ [1; 3]

$\Rightarrow$ Nghiệm đúng với x = 1, x = 2

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} | 2 m + 17 | \leq 1 \\ | 3 m + 23 | \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 \leq 2 m + 17 \leq 1 \\ - 1 \leq 3 m + 23 \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 9 \leq m \leq - 8 \\ - 8 \leq m \leq - \frac{22}{3} \end{cases} \Leftrightarrow$ m = -8.

Vậy với m = -8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với " $\forall x \in$ [1; 3].

Điều kiện đủ: Với m = -8, ta có:

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} - 8 x + 8 \geq 0 \\ 2 x^{2} - 8 x + 6 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 2)}^{2} \geq 0 \\ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 3 .$

Vậy, với m = -8 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Câu 19:

Cho hàm số

y = \sqrt{x^{4} - x^{2} + 1 + m x \sqrt{2 x^{4} + 2}}

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có tập xác định là tập số thực R

A. $m \in [0; \frac{1}{2}]$

B. $m \in [- \frac{1}{4}; \frac{1}{4}]$

C. $m \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

D. $m \in [- 1; 1]$

Xem đáp án

Hàm số đã cho có tập xác định là R $\Leftrightarrow x^{4} - x^{2} + 1 + m x \sqrt{2 x^{4} + 2} \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 {(\sqrt{x^{4} + 1})}^{2} + 2 m (\sqrt{2} x) \sqrt{x^{4} + 1} - {(\sqrt{2} x)}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow 2 + 2 m \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}} - {(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}})}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}})}^{2} - 2 m \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}} - 2 \leq 0, \forall x \in ℝ (1) \end{array}$

Đặt $t = \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ thì $|t| = \frac{|\sqrt{2} x|}{\sqrt{x^{4} + 1}} = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{4} + 1}} \leq 1,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = 1.$

(1) trở thành $t^{2} - 2 m t - 2 \leq 0, \forall t \in [- 1; 1] (2)$

Xét hàm số $f (t) = t^{2} - 2 m t - 2.$ Đây là hàm số bậc hai có hệ số $a = 1 > 0$ nên

$(2) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (- 1) \leq 0 \\ f (1) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m - 1 \leq 0 \\ 2 m + 1 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{1}{2} .$

Câu 20:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn $[- 2018; 2018]$ để hàm số $y = \sqrt{x - m + 2} - \frac{x}{\sqrt{- x + 1 - 2 m}}$ xác định trên $[0; 1)$ .

A. 2018

B. 2019

C. 4036

D. 4037

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $\{\begin{cases} x \geq m - 2 \\ x < 1 - 2 m \end{cases} \Leftrightarrow x \in (- \infty; 1 - 2 m) \cap [m - 2; + \infty)$

Hàm số xác định trên $[0; 1)$ . $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 2 < 1 - 2 m \\ m - 2 \leq 0 \\ 1 - 2 m \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 1 \\ m \leq 2 \\ m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq 0$

Vậy 2019 có giá trị m nguyên thỏa YCBT.

Câu 21:

Tìm số giá trị k nguyên để hàm số

y = \sqrt{2 x - 3 k + 4} + \frac{x - k}{x + k - 1}

xác định trên khoảng

(0; + \infty)

.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} 2 x - 3 k + 4 \geq 0 \\ x + k - 1 \neq 0 \end{cases}$ .

Hàm số xác định trên khoảng $(0; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} - k + 1 \leq 0 \\ \frac{3 k - 4}{2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow k \in [1; \frac{4}{3}] .$

Câu 22:

Cho hàm số $y = f (x) = a x {}^{2}+ b x + c$ có đồ thị sau

Cho hàm số có đồ thị sau y=f(x)=ax2 +bx +c Có bao nhiêu giá trị nguyên của m (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để $a x {}^{2}+ b |x| + c = m + 1$ có bốn nghiệm phân biệt.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Cho hàm số có đồ thị sau y=f(x)=ax2 +bx +c Có bao nhiêu giá trị nguyên của m (ảnh 2)

Phương trình có dạng $x^{2} - 4 |x| + 3 = m + 1$ .

Vẽ đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 |x| + 3.$

Dựa vào đồ thị ta có phương trình $x^{2} - 4 |x| + 3 = m + 1$

có bốn nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 1 < m + 1 < 3 \\ \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \end{array}$

Câu 23:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình $f (f (|x| + 1)) = m$ có nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- 2; 2]$ . Số phần tử của S là

A. 7

B. 8

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số $y = f (x)$

Vẽ đồ thị $(P_{1})$ của đồ thị hàm số $y = f (x + 1)$ bằng cách: Tịnh tiến đồ thị $(P)$ của hàm số $y = f (x)$ theo phương của trục hoành sang trái 1 đơn vị.

Vẽ đồ thị $(P_{2})$ của hàm số $y = f (|x| + 1)$ bằng cách: Giữ nguyên đồ thị $(P_{1})$ nằm bên phải trục tung rồi lấy đối xứng phần đó chính phần đồ thị đó qua trục tung, ta được đồ thị $(P_{2})$ của hàm số . $y = f (|x| + 1)$ Do đó, ta có đồ thị hàm số

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây (ảnh 2)

Đặt $t = f (|x| + 1)$ , với $x \in [- 2; 2] \Rightarrow t \in [- 1; 0]$ .

Ta có phương trình $f (t) = m$ (1).

Nếu $t = 0$ cho ta ba nghiệm phân biệt $x \in [- 2; 2]$ .

Nếu $t = - 1$ cho ta hai nghiệm phân biệt $x \in [- 2; 2]$ .

Nếu $t \in (- 1; 0)$ thì mỗi giá trị của cho ta bốn nghiệm phân biệt $x \in [- 2; 2]$ .

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ phương trình có đúng 1 nghiệm $t \in (- 1; 0) \Leftrightarrow f (0) < m < f (- 1) \Leftrightarrow 3 < m < 8 \Leftrightarrow 3 < m < 8$ .

Vậy có tất cả 4 phần tử S .

Câu 24:

Cho hàm số

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

S = (n; p)

là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2 a x^{2} + 2 b |x| + 2 c + m - 6 = 0

có bốn nghiệm phân biệt . Tình

2019 n + 200 p

.

Cho hàm số y=ã^2 +bx+c( a khác 0) có đồ thị như hình vẽ bên. (ảnh 1)

A. 8000

B. 1600

C. 16000

D. 800

Xem đáp án

Cho hàm số y=ã^2 +bx+c( a khác 0) có đồ thị như hình vẽ bên. (ảnh 2)

$2 a x^{2} + 2 b |x| + 2 c + m - 6 = 0 \Leftrightarrow a x^{2} + 2 b |x| + c = - \frac{m}{2} + 3$

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b |x| + c$ như hình vẽ bên

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Điều kiện để có 4 nghiệm phân biệt là

$- 1 < - \frac{m}{2} + 3 < 3 \Leftrightarrow 0 < m < 8$ . Suy ra $n = 0; p = 8$ .

Vậy $2019 n + 200 p = 1600$ .,

Câu 25:

Cho hàm số

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

có đồ thị (như hình vẽ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f^{2} (|x|) + (m - 2) f (|x|) + m - 3 = 0

có nghiệm phân biệt?

A. $m = 4$

B. $m = 3$

C. $m = 2$

D. $m = 1$

Xem đáp án

* Vẽ đồ thị hàm số $(C')$ của hàm số $y = f (|x|)$ : Giữ nguyên phần đồ thị $(C)$ nằm phía bên phải trục $O y$ , bỏ đi phần đồ thị $(C)$ bên trái trục $O y$ và lấy đối xứng phần đồ $(C)$ thị phía bên phải trục $O y$ qua trục $O y$ .

Cho hàm số y=f(x)=ax^2+bx +c có đồ thị (như hình vẽ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (ảnh 1)

* Ta có $f^{2} (|x|) + (m - 2) f (|x|) + m - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (|x|) = - 1 \\ f (|x|) = 3 - m \end{array}$ .

* Từ đồ thị $(C')$ , ta có:

- Phương trình $f (|x|) = - 1$ có hai nghiệm là $x = 2, x = - 2$ .

- Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ phương trình $f (|x|) = 3 - m$ có bốn nghiệm phân biệt khác $\pm 2 \Leftrightarrow$ Đường thẳng $d : y = 3 - m$ cắt đồ thị $(C')$ tại bốn điểm phân biệt khác $A, B$

$\Leftrightarrow - 1 < 3 - m < 3 \Leftrightarrow 0 < m < 4$ . Suy ra $m \in \{1, 2, 3\}$ .

Câu 26:

Cho hàm số

y = x^{2} - 2 x

có đồ thị (C). Giả sử

M (x_{0}; y_{0})

thuộc sao (C) cho khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng

d : y = 4 x - 15

là nhỏ nhất. Tính

S = x_{0} + y_{0}

.

A. 4

B. 6

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Cho hàm số x^2-2x có đồ thị (C). Giả sử M(x0,y0) thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm M (ảnh 1)

Gọi $∆$ là tiếp tuyến của $(C)$ sao cho $∆$ song song với đường thẳng $d : y = 4 x - 15$ .

$∆$ có phương trình là $y = 4 x - 9$ .

Giao điểm của $∆$ và (C) là $M (3; 3)$ .

$M (3; 3)$ là điểm cần tìm.

Do đó $S = x_{0} + y_{0} = 6$ .

Câu 27:

Cho parabol

(P) : y = a x^{2} + b x + c

, biết (P) đi qua điểm A(1;5) và các điểm cố định của họ parabol

(P_{m}) : y = (m - 1) x^{2} + x - 3 m + 1

. Tính tổng

T = 2 a + b + c

.

A. 1

B. 2

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Gọi $(x_{0}; y_{0})$ là các điểm cố định của $(P_{m})$ .

Khi đó: $\begin{array}{l} y_{0} = (m - 1) x_{0}^{2} + x_{0} - 3 m + 1, \forall m \in R \\ \Leftrightarrow m (x_{0}^{2} - 3) - x_{0}^{2} + x_{0} + 1 - y_{0} = 0, \forall m \in R \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0}^{2} - 3 = 0 \\ - x_{0}^{2} + x_{0} + 1 - y_{0} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0}^{2} - 3 = 0 \\ y_{0} = x_{0} - 2 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = \sqrt{3}; y_{0} = \sqrt{3} - 2 \\ x_{0} = - \sqrt{3}; y_{0} = - \sqrt{3} - 2 \end{array} \end{array}$

Vì (P) đi qua A và đi qua các điểm cố định của $(P_{m})$ nên ta có hệ:

$\{\begin{cases} a + b + c = 5 \\ 3 a + \sqrt{3} b + c = \sqrt{3} - 2 \\ 3 a - \sqrt{3} b + c = - \sqrt{3} - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b = 1 \\ c = 7 \end{cases} \Rightarrow T = 2$

Câu 28:

Hàm số $y = |x^{2} + b x + c|$ có đồ thị như hình vẽ.

Khi đó $S = b - c$ bằng

A. $S = 1$

B. $S = 2$

C. $S = 3$

D. $S = 4$

Xem đáp án

Từ đồ thị hàm số $y = |x^{2} + b x + c|$ như hình trên, ta suy ra đồ thị hàm số $y = x^{2} + b x + c$ như sau

Hàm số y=|x^2 +bx+c| có đồ thị như hình vẽ. Khi đó S=b-c bằng (ảnh 2)

Suy ra parabol $y = x^{2} + b x + c$ có đỉnh $I (1; - 4)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} - \frac{b}{2} = 1 \\ 1 + b + c = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 2 \\ c = - 3 \end{cases} \Rightarrow S = b - c = 1$ .

Câu 29:

Cho hàm số $y = f (x)$ có tập xác định là R và đồ thị như hình vẽ

.

Biểu thức $f (x^{2} - 1)$ nhận giá trị dương trên

A. $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

B. $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$

C. $(- 2; 2)$

D. $(- 1; 3)$

Xem đáp án

Chọn A

$f (x^{2} - 1) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 1 < - 1 \\ x^{2} - 1 > 3 \end{array} \Leftrightarrow x^{2} > 4 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

Câu 30:

Cho hai parabol:

(P_{1}) : y = x^{2} - m x + n; (P_{2}) : y = (1 - m) x^{2} + 2 (m + 1) x - 6 (m \neq 1)

. Có bao nhiêu cặp số (m;n) để hai parabol trên không có cùng trục đối xứng nhưng đi qua đỉnh của nhau?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Hoành độ hai đỉnh của $(P_{1}); (P_{2})$ thứ tự là $\frac{m}{2}; \frac{m + 1}{m - 1}$ . Theo yêu cầu đề bài chúng phải phân biệt và là hai nghiệm của phương trình hoành độ: $m x^{2} - (3 m + 2) x + n + 6 = 0$ .

Từ đó theo định lý viet ta có $\frac{m}{2} + \frac{m + 1}{m - 1} = \frac{3 m + 2}{m} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m^{2} - 3 m - 2 = 0 (*) \end{array}$

Mà $\frac{m}{2} = \frac{m + 1}{m - 1} \Leftrightarrow (*)$ nên ta chỉ có giá trị duy nhất của m thỏa mãn là $m = 2$ , suy ra n=0

Câu 31:

Cho đồ thị hàm số $y = x^{2} - 2 x - 1 (P)$ (hình vẽ bên).

Dựa vào đồ thị (P) xác định số giá trị nguyên dương của m để phương trình $x^{2} - 2 x + 2 m - 2 = 0$ có nghiệm $x \in [- 1; 2]$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Phương trình $x^{2} - 2 x + 2 m - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 1 = 1 - 2 m (*)$

Cho đồ thị hàm số y=x^2 -2x-1(P) (hình vẽ bên). (ảnh 2)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} - 2 x - 1 (P)$ và đường thẳng $y = 1 - 2 m$

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

với $x \in [- 1; 2]$ thì $y \in [- 2; 2]$ .

Do đó, để phương trình (*) có nghiệm thì

$- 2 \leq 1 - 2 m \leq 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}$

Mà m là số nguyên dương $\Rightarrow m = 1$

Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 32:

Cho hai đường thẳng

d_{1} : y = m x - 4

và

d_{2} : y = - m x - 4

. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để tam giác tạo thành bởi

d_{1}, d_{2}

và trục hoành có diện tích lớn hơn hoặc bằng 8 . Tính tổng các phần tử của tập S.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta thấy rằng $d_{1}$ và $d_{2}$ luôn cắt nhau tại điểm nằm trên trục tung.

Nếu m=0 thì $d_{1}$ và $d_{2}$ là hai đường thẳng trùng nhau nên $d_{1}$ , $d_{2}$ và trục $O x$ không tạo thành tam giác (không thỏa mãn ycbt).

Do đó $m \neq 0$ , giả sử $d_{1}$ cắt $O x$ tại $B (\frac{4}{m}; 0)$ , $d_{2}$ cắt $O x$ tại $C (- \frac{4}{m}; 0)$ .

Tam giác tạo thành bởi $d_{1}, d_{2}$ và trục hoành là tam giác ABC .

Diện tích tam giác tạo thành là: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} O A . B C = \frac{1}{2} .4. |x_{B} - x_{C}| = 2. \frac{8}{|m|} = \frac{16}{|m|}$ .

Ta có $S_{Δ A B C} \geq 8 \Leftrightarrow \frac{16}{|m|} \geq 8 \Leftrightarrow \{\begin{cases} |m| \leq 2 \\ m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 \leq m \leq 2 \\ m \neq 0 \end{cases}$ .

Suy ra $S = \{1; 2\}$ . Vậy tổng các phần tử của tập bằng 3.

+ Nếu được nên có hình vẽ thì hay hơn

+ Do đó $m \neq 0$ , giả sử $d_{1}$ cắt $O x$ tại $B (\frac{4}{m}; 0)$ , $d_{2}$ cắt Ox tại $C (- \frac{4}{m}; 0)$ .

Theo tôi câu này nên bỏ từ giả sử

Câu 33:

Gọi

(H)

là tập hợp các điểm

M (x; y)

thỏa mãn hệ thức

\sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + \sqrt{4 y^{2} + 4 y + 1} = 6

, trục

O x

chia hình thành

(H)

hai phần có diện tích

S_{1}, S_{2}

trong đó

S_{1}

là phần diện tích nằm phía trên trục hoành. Tỉ số

\frac{S_{1}}{S_{2}}

là:

A. $\frac{25}{47}$

B. $\frac{47}{25}$

C. $\frac{25}{36}$

D. $\frac{25}{144}$

Xem đáp án

Gọi (H) là tập hợp các điểm M(x,y) thỏa mãn hệ thức căn x^2 -2x+1 +căn 4y^4 +4y+1=6 , (ảnh 1)

Hệ thức $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + \sqrt{4 y^{2} + 4 y + 1} = 6 \Leftrightarrow |x - 1| + |2 y + 1| = 6$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 2 y = 6 v s x \geq 1; y \geq - \frac{1}{2} \\ x - 2 y = 8 v s x \geq 1; y \leq - \frac{1}{2} \\ - x + 2 y = 4 v s x \leq 1; y \geq - \frac{1}{2} \\ - x - 2 y = 6 v s x \leq - 1; y \leq - \frac{1}{2} \end{array}$

Hình (H) là hình thoi ABCD với điểm $A (1; \frac{5}{2}), B (7; \frac{1}{2}), C (1; - \frac{7}{2}), D (- 5; \frac{1}{2})$

Tọa độ điểm $M (6; 0), N (- 4; 0)$

Dễ thấy $B D = 12, A C = 6 \Rightarrow S_{(H)} = S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D = 36$

Diện tích tam giác AMN : $S_{A M N} = \frac{1}{2} . M N . |y_{A}| = \frac{1}{2} .10. \frac{5}{2} = \frac{25}{2}$

Như vậy $S_{1} = \frac{25}{2}, S_{2} = 36 - \frac{25}{2} = \frac{47}{2} \Rightarrow \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{25}{47}$ .

Câu 34:

Cho hàm số $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực của phương trình $\frac{4 f (|x|) - 1}{f (|x|) + 1} = 2$ là?

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x)$ , suy ra đồ thị hàm số $y = f (|x|)$

Cho hàm số f(x) =ax^2 +bx +c có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình (ảnh 2)

Ta có: $f (|x|) + 1 > 0, \forall x \in ℝ$ .

Do đó phương trình $\frac{4 f (|x|) - 1}{f (|x|) + 1} = 2 \Leftrightarrow 4 f (|x|) - 1 = 2 (f (|x|) + 1) \Leftrightarrow f (|x|) = \frac{3}{2} (1)$ .

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị $y = f (|x|)$ với đường thẳng $y = \frac{3}{2}$ .

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.

Câu 35:

Tính tổng bình phương các giá trị m của để phương trình $x^{2} - 2 x = 1 - m - |x - 1|$ có nghiệm duy nhất.

A. $P = 1$

B. $P = 4$

C. P=5

D. $P = \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Tính tổng bình phương các giá trị của để phương trình x^2 -2x= 1-m-|x-1| có nghiệm duy nhất. (ảnh 1)

Biến đổi phương trình $x^{2} - 2 x + m - 1 = - |x - 1|$ .

Mà số nghiệm là số giao điểm của hai đồ thị $y = x^{2} - 2 x + m - 1$ và $y = - |x - 1|$ trong đó $(P) : y = x^{2} - 2 x + m - 1$ có trục đối xứng $x = 1$ nên muốn có nghiệm duy nhất thì (1;0) phải là đỉnh của (P). Suy ra m=2

Câu 36:

Cho hàm số $y = f (x) = a x {}^{2}+ b x + c$ có đồ thị sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để $a x {}^{2}+ b |x| + c = m + 1$ có bốn nghiệm phân biệt.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Phương trình có dạng $x^{2} - 4 |x| + 3 = m + 1$ .

Cho hàm số y=f(x)= à +bx +c có đồ thị sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để ax2 +b|x|+c=m+1 có bốn nghiệm phân biệt. (ảnh 2)

Vẽ đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 |x| + 3.$

Dựa vào đồ thị ta có phương trình $x^{2} - 4 |x| + 3 = m + 1$

có bốn nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 1 < m + 1 < 3 \\ \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \end{array}$

Câu 37:

Cho phương trình

|- x^{2} + 2 |x| + 3| - 2 m + 1 = 0

. Giá trị m để phương trình có bốn nghiệm

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

$|- x^{2} + 2 |x| + 3| - 2 m + 1 = 0 \Leftrightarrow |- x^{2} + 2 |x| + 3| = 2 m - 1$

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = |- x^{2} + 2 |x| + 3|$ và đường thẳng $y = 2 m - 1$ .Xét hàm số $y = |- x^{2} + 2 |x| + 3|$

Vẽ từ trong ra ngoài

+Vẽ đồ thị $y = - x^{2} + 2 x + 3 (C)$

+Vẽ đồ thị $y_{1} = f (|x|)$ có đồ thị $(C_{1})$

- Giữ nguyên phần đồ thị của $(C)$ nằm bên phải trục tung.

- Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị $(C)$ nằm bên phải trục tung.

Cho phương trình |-x^2 +2|x|+3|-2m+1=0 . Giá trị để phương trình có bốn nghiệm (ảnh 1)

+ Vẽ đồ thị hàm số $y_{2} = |y_{1}|$ có đồ thị $(C_{2})$

- Giữ nguyên đồ thị của $(C_{1})$ nằm trên trục hoành.

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị $(C_{1})$ nằm dưới trục hoành.

Cho phương trình |-x^2 +2|x|+3|-2m+1=0 . Giá trị để phương trình có bốn nghiệm (ảnh 2)

Từ đồ thị để phương trình có bốn nghiệm khi $[\begin{array}{l} 0 < 2 m - 1 < 3 \\ m = \frac{5}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{1}{2} < m < 2 \\ m = \frac{5}{2} \end{array}$ . Vậy có 1 giá trị nguyên.

Câu 38:

Cho hàm số

f (x) = a x^{2} + b x + c

có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

f (|x - 2018|) = |m - 2018|

có đúng hai nghiệm phân biệt?

Cho hàm số f(x)=ax^2 ++bx+c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (ảnh 1)

A. $m \in (- \infty; 2015] \cup [2021; + \infty) .$

B. $m \in (- \infty; 2015) \cup (2021; + \infty) \cup {2017; 2019} .$

C. $m \in (2015; 2021) .$

D. $m \in (- \infty; 2015) \cup (2021; + \infty) .$

Xem đáp án

Đặt $t = |x - 2018|, t \geq 0$ , phương trình $f (|x - 2018|) = |m - 2018|$ (1) trở thành : $f (t) = |m - 2018|$ (2).

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương

⇔ $[\begin{array}{l} |m - 2018| > 3 \\ |m - 2018| = - 1 \end{array} \Leftrightarrow m \in (- \infty; 2015) \cup (2021; + \infty)$ .

Cho hàm số f(x)=ax^2 ++bx+c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (ảnh 2)

Câu 39:

Cho Parabol (P): $y = a x^{2} + b x + c$ có đỉnh I.

Biết (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác ABI vuông cân. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $b^{2} - 4 a c - 4 = 0$

B. $b^{2} - 4 a c + 6 = 0$

C. $b^{2} - 4 a c - 16 = 0$

D. $b^{2} - 4 a c - 8 = 0$

Xem đáp án

Cho Parabol (P): y: ax^2 +bx +c có đỉnh I. Biết (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác ABI vuông cân. (ảnh 1)

ĐK để (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt: $Δ > 0$

Khi đó hoành độ của A, B là: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}; x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$A B = |x_{1} - x_{2}| = |\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}| = \frac{\sqrt{Δ}}{|a|}$

Tọa độ I là: $I (\frac{- b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên Ox thì H là trung điểm AB và $I H = |\frac{- Δ}{4 a}|$

YCBT $|\frac{- Δ}{4 a}| = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{Δ}}{|a|} \Leftrightarrow \frac{Δ^{2}}{16 a^{2}} = \frac{Δ}{4 a^{2}} \Leftrightarrow Δ = 4$

Câu 40:

Biết đồ thị hàm số bậc hai $y = {ax}^{2} + b x + c (a \neq 0)$ có điểm chung duy nhất với $y = - 2, 5$ và cắt đường thẳng $y = 2$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt -1 là và 5. Tính $P = a + b + c$

A. 1

B. 0

C. -1

D. -2

Xem đáp án

Gọi (P): $y = a x^{2} + b x + c, (a \neq 0)$ .

Ta có:

+) $(P)$ đi qua hai điểm $(- 1; 2); (5; 2)$ nên ta có $\{\begin{cases} a - b + c = 2 \\ 25 a + 5 b + c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 4 a \\ c = 2 - 5 a \end{cases}$

+) $(P)$ có một điểm chung với đường thẳng $y = - 2, 5$ nên

$\frac{- Δ}{4 a} = - 2, 4 \Leftrightarrow 36 a^{2} - 18 a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} .$ Do đó: $b = - 2; c = - \frac{1}{2} .$

Vậy Chọn D

Câu 41:

Cho parabol $(P)$ : $y = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq 0$ biết:

$(P)$ đi qua $M (4; 3)$ cắt Ox tại $N (3; 0)$ và Q sao cho $Δ I N Q$ có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm $Q$ nhỏ hơn 3 với I là đinh của (P). Tính $a + b + c$

A. 1

B. -2

C. 0

D. -1

Xem đáp án

Vì $(P)$ đi qua $M (4; 3)$ nên $3 = 16 a + 4 b + c$ (1)

Mặt khác $(P)$ cắt Ox tại $N (3; 0)$ suy ra $0 = 9 a + 3 b + c$ (2), $(P)$ cắt Ox tại nên $Q (t; 0), t < 3$

Theo định lý Viét ta có $\{\begin{matrix} t + 3 = - \frac{b}{a} \\ 3 t = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Ta có $S_{Δ I N Q} = \frac{1}{2} I H . N Q$ với H là hình chiếu của lên trục hoành $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$

Do $I H = |- \frac{Δ}{4 a}|$ , $N Q = 3 - t$ nên $S_{Δ I N Q} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} |- \frac{Δ}{4 a}| . (3 - t) = 1$

$\Leftrightarrow (3 - t) |{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}| = |\frac{2}{a}| \Leftrightarrow (3 - t) |{\frac{(t + 3)}{4}}^{2} - 3 t| = |\frac{2}{a}| \Leftrightarrow {(3 - t)}^{3} = \frac{8}{|a|}$ (3)

Từ (1) và (2) ta có $7 a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7 a$ suy ra $t + 3 = - \frac{3 - 7 a}{a} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{4 - t}{3}$

Thay vào (3) ta có ${(3 - t)}^{3} = \frac{8 (4 - t)}{3} \Leftrightarrow 3 t^{3} - 27 t^{2} + 73 t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b = - 4 \Rightarrow c = 3$ .

Vậy (P) cần tìm là $y = x^{2} - 4 x + 3$ .

Câu 42:

Cho đồ thị hàm số (P): $y = x^{2} + m x+13$ trong đó x là ẩn, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị của $m \in R$ sao cho khoảng cách từ gốc 0 của hệ trục tọa độ đến đỉnh của Parabol (P) bằng 5.

A. 3

B. 4

C. 5

D. có vô số giá trị.

Xem đáp án

Tọa độ đỉnh I của (P) là: $\{\begin{matrix} x = - \frac{m}{2} \\ y = \frac{52 - m^{2}}{4} \end{matrix} \begin{matrix} (*) \end{matrix}$

Khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến I: $O I = 5 \Leftrightarrow {(\frac{- m}{2})}^{2} + {(\frac{52 - m^{2}}{4})}^{2} = 25$

$\Leftrightarrow m^{4} - 100 m^{2} + 2304 = 0$ Đặt $t = m^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - 100 t + 2304 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 64 \\ t = 36 \end{matrix} \Rightarrow m = \{\pm 8; \pm 6\}$

Câu 43:

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 x + 4$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d: y = 2 m x - m^{2}$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là , thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + 2 (m + 1) x_{2} \leq 3 m^{2} + 16$ .

A. 1

B. 3

C. 4

D. 6

Xem đáp án

+ Pt hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 4 = 0 (1)$

+ Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1}$ , $x_{2}$ thì pt (1) có $Δ^{'} > 0$

$\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} - (m^{2} + 4) > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2} (2)$ .Theo Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ x_{1} x_{2} = m^{2} + 4 \end{cases}$

Từ yêu cầu ta có ${x_{1}}^{2} + 2 (m + 1) x_{2} \leq 3 m^{2} + 16 \Leftrightarrow {x_{1}}^{2} + (x_{1} + x_{2}) x_{2} \leq 3 m^{2} + 16$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + x_{1} x_{2} \leq 3 m^{2} + 16 \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2} \leq 3 m^{2} + 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2 m + 2)}^{2} \Leftrightarrow - m^{2} - 4 \leq 3 m^{2} + 16 \\ \Leftrightarrow 8 m \leq 16 \\ \Leftrightarrow m \leq 2 \end{array}$

So sánh với điều kiện (2) suy ra $\frac{3}{2} < m \leq 2$ do m nguyên nên $m = \{2\}$

Câu 44:

Cho hai hàm số bậc hai $y = f (x), y = g (x)$ thỏa mãn $f (x) + 3 f (2 - x) = 4 x^{2} - 10 x + 10$ ; $g (0) = 9; g (1) = 10; g (- 1) = 4$ . Biết rằng hai đồ thi hàm số $y = f (x), y = g (x)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt là $A, B$ . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d

A. M(-2;1)

B. N(-1;9)

C. P(1;4)

D. Q(3;5)

Xem đáp án

Gọi hàm số $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ta có $f (x) + 3 f (2 - x) = 4 x^{2} - 10 x + 10$

$\Leftrightarrow a x^{2} + b x + c + 3 [a {(2 - x)}^{2} + b (2 - x) + c] = 4 x^{2} - 10 x + 10$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ - 2 b - 12 a = - 10 \\ 12 a + 6 b + 4 c = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = 1 \end{cases} \Rightarrow f (x) = x^{2} - x + 1$

Gọi hàm số $g (x) = m x^{2} + n x + p$ ta có $g (0) = 9; g (1) = 10; g (- 1) = 4$ ra hệ giải được

$m = - 2; n = 3; p = 9 \Rightarrow g (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 9$ .

Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{cases} y = x^{2} - x + 1 \\ y = - 2 x^{2} + 3 x + 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 y = 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ y = - 2 x^{2} + 3 x + 9 \end{cases} \Rightarrow 3 y = x + 11$

Do đó đường thẳng AB: $y = \frac{1}{3} x + \frac{11}{3} \Rightarrow d : y = - 3 x + k$ . Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại . Diện tích tam giác OEF là $\frac{1}{2} |k| |\frac{k}{3}| = 6 \Leftrightarrow k = \pm 6$

Vậy phương trình đường thẳng d là:

d : y = - 3 x + 6, y = - 3 x - 6

.

Chọn đáp án B

Câu 45:

Biết rằng đường thẳng

y = m x

luôn cắt parabol

y = 2 x^{2} + x - 3

tại hai điểm phân biệt A và B, khi đó quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. đường parabol $y = 4 x^{2} + 1$ .

B .đường parabol $y = 4 x^{2} + x$ .

C. đường thẳng $y = 4 x + 1$ .

D. đường thẳng $y = 4 x + 4$ .

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: $2 x^{2} + x - 3 = m x \Leftrightarrow 2 x^{2} + (1 - m) x - 3 = 0$ .

Vì $Δ = m^{2} - 2 m + 25$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: $\{\begin{cases} x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{m - 1}{4} \\ y = m x \end{cases}$ .

Do đó, quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là đường parabol $y = 4 x^{2} + x$ .

Câu 46:

Cho hàm số $f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $f (|x - 2018|) = |m - 2018|$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. $m \in (- \infty; 2015] \cup [2021; + \infty) .$

B. $m \in (- \infty; 2015) \cup (2021; + \infty) \cup {2017; 2019} .$

C. $m \in (2015; 2021) .$

D. $m \in (- \infty; 2015) \cup (2021; + \infty) .$

Xem đáp án

Đặt $t = |x - 2018|$ , phương trình $f (|x - 2018|) = |m - 2018|$ (1) trở thành : $f (t) = |m - 2018|$ (2).

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (2) có đúng một nghiệm t dương

⇔ $[\begin{array}{l} |m - 2018| > 3 \\ |m - 2018| = - 1 \end{array} \Leftrightarrow m \in (- \infty; 2015) \cup (2021; + \infty)$ .

Câu 47:

Cho đường thẳng

d : y = a x + b

đi qua điểm

I (3; 1)

, cắt hai tia

O x

,

O y

và cách gốc tọa độ một khoảng bằng

2 \sqrt{2}

. Tính giá trị của biểu thức

P = 2 a + b^{2}

A. $P = 16$

B. $P = 14$

C. $P = 23$

D. $P = 19$

Xem đáp án

Đường thẳng $d : y = a x + b$ đi qua điểm $I (1; 3) \Leftrightarrow 1 = 3 a + b . (1)$

Vì đường thẳng $d : y = a x + b$ cắt hai tia $O x$ , $O y$ và cách gốc tọa độ một khoảng bằng $\sqrt{5}$ nên $a < 0, b > 0$ .

Ta có $d \cap O x = A (- \frac{b}{a}; 0)$ ; $d \cap O y = B (0; b)$ .

Suy ra $O A = |- \frac{b}{a}| = - \frac{b}{a}$ và $O B = |b| = b$ (do $A, B$ thuộc hai tia $O x$ , $O y$ nên $a < 0, b > 0$ ).

Gọi là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d.

Xét tam giác $A O B$ vuông tại O , có đường cao OH nên ta có

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{8} = \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \Leftrightarrow b^{2} = 8 a^{2} + 8.$

Từ (1) suy ra $b = 1 - 3 a$ . Thay vào (2) , ta được

${(1 - 3 a)}^{2} = 8 a^{2} + 8 \Leftrightarrow a^{2} - 6 a - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = 7 (L) \end{array}$ .

Với $a = - 1$ , suy ra $b = 4$ . Vậy $P = 2. (- 1) + 4^{2} = 14$

Câu 48:

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 x - 3$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d : y = m x - m$ . Gọi là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}^{2} - m x_{1}^{} + 2 m}{x_{2}^{}} + \frac{x_{2}^{2} - m x_{2}^{} + 2 m}{x_{1}^{}} = - 4$ . Tổng các phần tử của S là:

A. $\frac{13}{3}$

B. $- \frac{13}{3}$

C. $\frac{14}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2} - 2 x - 3 = m x - m \Leftrightarrow x^{2} - (m + 2) x + m - 3 = 0 (1)$

d cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(m + 2)}^{2} - 4 (m - 3) > 0 \\ m \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 16 > 0 \\ m \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow m \neq 3$

Do $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$ nên:

$x_{1}^{2} - (m + 2) x_{1}^{} + m - 3 = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{2} = (m + 2) x_{1}^{} - m + 3$

$x_{2}^{2} - (m + 2) x_{2}^{} + m - 3 = 0 \Leftrightarrow x_{2}^{2} = (m + 2) x_{2}^{} - m + 3$

$T = \frac{x_{1}^{2} - m x_{1}^{} + 2 m}{x_{2}^{}} + \frac{x_{2}^{2} - m x_{2}^{} + 2 m}{x_{1}^{}} = \frac{2 x_{1}^{} + m + 3}{x_{2}^{}} + \frac{2 x_{2}^{} + m + 3}{x_{1}^{}}$

$= \frac{2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + (m + 3) (x_{1}^{} + x_{2}^{})}{x_{1}^{} x_{2}^{}} = \frac{2 {(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2} - 4 x_{1}^{} x_{2}^{} + (m + 3) (x_{1}^{} + x_{2}^{})}{x_{1}^{} x_{2}^{}}$

$= \frac{2 {(m + 2)}^{2} - 4 (m - 3) + (m + 3) (m + 2)}{m - 3} = \frac{3 m^{2} + 9 m + 26}{m - 3}$

$T = - 4 \Leftrightarrow = \frac{3 m^{2} + 9 m + 26}{m - 3} = - 4 \Leftrightarrow 3 m^{2} + 13 m + 14 = 0 \Leftrightarrow m = - 2; m = - \frac{7}{3}$

Tổng các giá trị của m là $- \frac{13}{3}$ .

Câu 49:

Cho hàm số

y = x^{2} + a x + b

có đồ thị là hình bên dưới. Đặt T là tổng các nghiệm của phương trình:

(x + 1) |x + b| = x

. T thuộc tập hợp nào sau đây?

A. $(- 3; - 1)$

B. $(- 1; 1)$

C. $(1; 3)$

D. $(3; 5)$

Xem đáp án

Nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $(- 1; 0)$ , phương trình $x^{2} + a x + b = 0$ có hai nghiệm $- 1, - b$ . Giao điểm thứ hai của đồ thị và trục hoành là $(- b; 0)$ . Ta có thể viết: $f (x) = x^{2} + a x + b = (x + 1) (x + b)$ .

$g (x) = (x + 1) |x + b| = \{\begin{cases} f (x), khi x \geq - b \\ - f (x), khi x < - b \end{cases}$ . Suy ra đồ thị như hình vẽ:

Cho hàm số y=x^2 +ax+b có đồ thị là hình bên dưới. Đặt T là tổng các nghiệm của phương trình: (x+1)|x+b|=x . T thuộc tập hợp nào sau đây ? (ảnh 1)

Phương trình đề bài trở thành $g (x) = x$ . Vẽ đường thẳng $y = x$ , cắt đồ thị $y = g (x)$ tại ba điểm có hoành độ gần bằng $- 1, 2$ , $1, 3$ , $1, 9$ .

Tổng các nghiệm gần bằng 2

Câu 50:

Cho parabol (P):

y = - x^{2} + 1

và đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc là k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là

x_{1}; x_{2}

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = |x_{1}^{3} - x_{2}^{3}|

bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

+ Đường thẳng (d) có pt: $y = k x$

+ PT tương giao (d) và (P): $- x^{2} + 1 = k x \Leftrightarrow x^{2} + k x - 1 = 0 (*)$

+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ vì $Δ = k^{2} + 4 > 0 (\forall k)$

Theo Vi et có: $x_{1} + x_{2} = - k,$ $x_{1} x_{2} = - 1$

Ta có: $|x_{1}^{3} - x_{2}^{3}| = |(x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}]|$ = $|x_{1} - x_{2}| . |{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}|$

Có ${|x_{1} - x_{2}|}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = k^{2} + 4$

$\Rightarrow |x_{1}^{3} - x_{2}^{3}|$ = $\sqrt{k^{2} + 4} (k^{2} + 1) \geq 2$ , $\forall k \in R$ .

Vậy GTNN của M bằng 2 khi k=0

Câu 51:

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình

|x^{2} - 2 |x| - m| = m^{2}

có đúng 5 nghiệm phân biệt?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Do hàm số $y = f (x) = |x^{2} - 2 |x| - m|$ là hàm chẵn nó có đồ thị đối xứng qua trục Oy

Điều kiện cần để phương trình $f (x) = m^{2}$ có 5 nghiệm phân biệt là:

$f (0) = m^{2} \Rightarrow |m| = m^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 1 \\ m = - 1 \end{array}$

Thử lại: Từ đồ thị hàm số $y = g (x) = x^{2} - 2 x$ suy ra

Các dạng đồ thị của $y = f (x)$ hàm cho 3 trường hợp

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt? (ảnh 1)

+ $m = 0$ , phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt? (ảnh 2)

+ $m = - 1$ , phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt? (ảnh 3)

+ $m = 1$ , phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt? (ảnh 4)

Vậy $m = 1$ thỏa điều kiện.

Câu 52:

Cho hai đường thẳng

d_{1} : y = m x - 4

và

d_{2} : y = - m x - 4

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tam giác tạo thành bởi

d_{1}, d_{2}

và trục hoành có diện tích lớn hơn hoặc bằng ?

A, 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta thấy rằng $d_{1}$ và $d_{2}$ luôn cắt nhau tại điểm $A (0; - 4)$ nằm trên trục tung.

Nếu $m = 0$ thì $d_{1}$ và $d_{2}$ là hai đường thẳng trùng nhau nên $d_{1}, d_{2}$ và trục Ox không tạo thành tam giác (không thỏa mãn ycbt).

Do đó $m \neq 0$ , giả sử $d_{1}$ cắt Ox tại $B (\frac{4}{m}; 0)$ , cắt tại $C (- \frac{4}{m}; 0)$ .

Tam giác tạo thành bởi $d_{1}, d_{2}$ và trục hoành là tam giác $A B C$ .

Diện tích tam giác tạo thành là: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} O A . B C = \frac{1}{2} .4. |x_{B} - x_{C}| = 2. \frac{8}{|m|} = \frac{16}{|m|}$ .

Ta có $S_{Δ A B C} \geq 8 \Leftrightarrow \frac{16}{|m|} \geq 8 \Leftrightarrow \{\begin{cases} |m| \leq 2 \\ m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 \leq m \leq 2 \\ m \neq 0 \end{cases}$ .

Do đó các giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán thuộc tập hợp $S = \{- 2; - 1; 1; 2\}$ . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 53:

Cho parabol (P):

y = - x^{2}

và đường thẳng (d) đi qua điểm có hệ số góc là

I (0; - 1)

. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là

x_{1}; x_{2}

. Số các giá trị nguyên của k thỏa mãn là

|x_{1}^{3} - x_{2}^{3}| \leq 2

là

A. 1

B. 2

C. 0

D. Vô số

Xem đáp án

(d) có phương trình: $y = k x - 1$ nên ta có phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} + k x - 1 = 0$

phương trình này luôn có hai nghiệm trái dấu nên Parabol và đường thẳng (d) luôn cắt nhau

tại hai điểm phân biệt với mọi k .

Ta có: $|x_{1}^{3} - x_{2}^{3}| = |(x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}]| \leq 2 \Leftrightarrow k = 0$

$\Leftrightarrow |x_{1}^{} - x_{2}^{}| = |{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}| \leq 2$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{k^{2} + 4} . |k^{2} + 1| \leq 2 \Leftrightarrow k = 0$

Câu 54:

Cho đường thẳng

(d) : y = - 2

và Parabol

(P_{m}) : y = - x^{2} + m x - m^{2} + 1

với

m \in [- 1; \frac{1}{2}]

. (d) cắt

(P_{m})

tại hai điểm phân biệt

M, N

. Gọi a và b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Tính tổng

S = a^{2} + b^{2}

.

A. $S = \frac{93}{4}$

B. $S = 21$

C. $S = 22$

D. $S = \frac{129}{4}$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P_{m})$ là:

$- x^{2} + m x - m^{2} + 1 = - 2 \Leftrightarrow - x^{2} + m x - m^{2} + 3 = 0$

$(d)$ giao $(P_{m})$ tại hai điểm $M, N$ khi và chỉ khi $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 4. (- 1) . (- m^{2} + 3) > 0 \Leftrightarrow - 3 m^{2} + 12 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

So với điều kiện $m \in [- 1; \frac{1}{2}]$ . Vậy (d) cắt $(P_{m})$ tại hai điểm phân biệt khi $m \in [- 1; \frac{1}{2}]$ .

Gọi $M (x_{1}; - 2); N (x_{2}; - 2)$ với $x_{1}; x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1) .

Ta có : $\vec{M N} = (x_{2} - x_{1}; 0)$ $\Leftrightarrow M N^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}$

Theo định lí Vi – ét ta có: $M N^{2} = m^{2} - 4 (m^{2} - 3) = - 3 m^{2} + 12$ .

Xét hàm số $f (m) = - 3 m^{2} + 12$ . Có Đỉnh $S (0; 12)$ .

Bảng biến thiên:

m

-1 0 1/2

f(m)

Cho đường thẳng (d): y=-2 và Parabol (Pm): y=-x^2 +mx -m^2 +1 với m thuộc [-1, 1/2] . (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\{\begin{cases} f {(m)}_{\min} = 9 \\ f {(m)}_{\max} = 12 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} M {N^{2}}_{\min} = 9 \\ M {N^{2}}_{\max} = 12 \end{cases}$ .

Vậy khi đó $S = a^{2} + b^{2} = 12 + 9 = 21$ .

Câu 55:

Cho Parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (m + 1) x - m^{2} - \frac{1}{2}$ ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ sao cho biểu thức $T = y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2})$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2} x^{2} = (m + 1) x - m^{2} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m^{2} + 1 = 0 (1)$

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thì (1) phương trình phải có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$

$\Leftrightarrow Δ' \geq 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} - 2 m^{2} - 1 = 2 m - m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 2.$

Vậy với $0 \leq m \leq 2$ thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ .

Theo định lý Viet, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ x_{1} x_{2} = 2 m^{2} + 1 \end{cases}$

Khi đó: $y_{1} = (m + 1) x_{1} - m^{2} - \frac{1}{2}; y_{1} = (m + 1) x_{2} - m^{2} - \frac{1}{2} .$

Ta có: $\begin{array}{l} T = y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) \\ = (m + 1) (x_{1} + x_{2}) - 2 m^{2} - 1 - x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) \\ = 2 {(m + 1)}^{2} - 4 m^{2} - 2 - 2 (m + 1) = - 2 m^{2} + 2 m - 2 . \end{array}$

Bài toán trở thành tìm giá trị của tham số m để hàm số: $T (m) = - 2 m^{2} + 2 m - 2$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn .

Ta có bảng biến thiên:

Cho Parabol (P): y=1/2x^2 và đường thẳng (d): y= (m+1)x-m^2-1/2 ( là tham số). (ảnh 1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T = - 6$ đạt được khi $m = 2.$

Câu 56:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) có phương trình $y = x^{2}$ và hai đường thẳng (d): $y = m$ ; (d’): $y = m^{2}$ (với) $0 < m < 1$ . Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số âm) sao cho diện tích hình thang ABCD gấp 9 lần diện tích tam giác OCD. Khi đó giá trị m thuộc khoảng?

A. $(0; \frac{1}{16}) .$

B. $(\frac{1}{16}; \frac{1}{8}) .$

C. $(\frac{1}{8}; \frac{1}{3}) .$

D. $(\frac{1}{2}; 1) .$

Xem đáp án

+ Xét PT hoành độ giao điểm $x^{2} = m \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{m} \\ x = - \sqrt{m} \end{array} \Rightarrow A (- \sqrt{m}; m), B (\sqrt{m}; m)$

+ Xét PT hoành độ giao điểm $x^{2} = m^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x = - m \end{array} \Rightarrow C (m; m^{2}), D (- m; m^{2}) .$

Tính được $S_{Δ O C D} = m^{3}$ ; $S_{A B C D} = (m - m^{2}) (\sqrt{m} + m)$ .(do) $(0 < m < 1)$

Do $S_{A B C D} = 9. S_{Δ O C D} \Leftrightarrow (m - m^{2}) (\sqrt{m} + m) = 9 m^{3} \Leftrightarrow 10 m \sqrt{m} + m - \sqrt{m} - 1 = 0$

$\Rightarrow m = \frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

Câu 57:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị nhu hình vẽ.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (|x|) - 1 = m$ có 4 nghiệm phân biệt. Số phần tử của S là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Từ đố thị hàm số $y = f (x)$ suy ra đồ thị hàm số $y = f (|x|)$ là

Cho hàm số y=f(x) ax^2 +bx+c có đồ thị nhu hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m (ảnh 2)

Ta có $f (|x|) - 1 = m \Leftrightarrow f (|x|) = m + 1$

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - 1 < m + 1 < 3 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

Mà $m \in ℤ$ nên $S = \{- 1; 0; 1\}$

Vậy số phần tử của S là 3 .

Câu 58:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị nhu hình vẽ.

Cho hàm số y=ax^2 + bx+c có đồ thị nhu hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình |F(|x| có nghiệm phân biệt. Số phần tử của là (ảnh 1)

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $|f (|x|)| + 1 = m$ có nghiệm phân biệt. Số phần tử của S là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Từ đố thị hàm số $y = f (x)$ suy ra đồ thị hàm số $y = |f (|x|)|$ là

Cho hàm số y=ax^2 + bx+c có đồ thị nhu hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình |F(|x| có nghiệm phân biệt. Số phần tử của là (ảnh 2)

Ta có $|f (|x|)| + 1 = m \Leftrightarrow |f (|x|)| = m - 1$

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 < m - 1 < 3 \\ m - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 < m < 4 \\ m = 1 \end{array}$

Mà $m \in ℤ$ nên $S = \{1; 3\}$

Vậy số phần tử của S là 2 .

Câu 59:

Cho hàm số $y = f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ có đồ thị như hình vẽ.

Cho hàm số f(x)=x^2 -6x+5 có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 1)

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $(x - 1) |x - 5| + m = 0$ có hai nghiệm. Tổng các phần tử của S bằng

A. -6

B. -4

C. 4

D. -4

Xem đáp án

Từ đố thị hàm số $y = (x - 1) |x - 5| = \{\begin{cases} (x - 1) (x - 5) k h i x \geq 5 \\ - (x - 1) (x - 5) k h i x < 5 \end{cases}$

Hay $y = \{\begin{cases} x^{2} - 6 x + 5 k h i x \geq 5 \\ - (x^{2} - 6 x + 5) k h i x < 5 \end{cases}$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ suy ra đồ thị hàm số $y = (x - 1) |x - 5|$ như sau:

+ Khi $x \geq 5$ giữ nguyên phần đồ thị hàm số $y = f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

+ Khi $x < 5$ lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ qua trục hoành.

Khi đó ta có đồ thị hàm số $y = (x - 1) |x - 5|$ là

Cho hàm số f(x)=x^2 -6x+5 có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 2)

Ta có $(x - 1) |x - 5| + m = 0 \Leftrightarrow (x - 1) |x - 5| = - m$

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - m = 0 \\ - m = 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 4 \end{array}$

Vậy tổng các phần tử của là -4 .

Cho hàm số

y = f (x) = x^{2} - 6 x + 5

có đồ thị như hình vẽ.

Câu 60:

Gọi là tập hợp các giá trị thực của tham số sao cho parabol

(P) : y = x^{2} - 4 x + m

cắt tại hai điểm phân biệt

A, B

thỏa mãn

O A = 3 O B .

Tính tổng T các phần tử của S

A. $T = 3.$

B. $T = - 15.$

C. $T = \frac{3}{2} .$

D. $T = - 9.$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - 4 x + m = 0.$

Để (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt $A, B$ thì (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ = 4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4.$

Theo giả thiết $O A = 3 O B \Leftrightarrow |x_{A}| = 3 |x_{B}| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{A} = 3 x_{B} \\ x_{A} = - 3 x_{B} \end{array}$

Với $x_{A} = 3 x_{B} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} = 3 x_{B} \\ x_{A} + x_{B} = 4 \\ x_{A} . x_{B} = m \end{cases} \Rightarrow m = x_{A} . x_{B} = 3.$

Với : $x_{A} = - 3 x_{B} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} = - 3 x_{B} \\ x_{A} + x_{B} = 4 \\ x_{A} . x_{B} = m \end{cases} \Rightarrow m = x_{A} . x_{B} = 12$ không thỏa mãn (*) .

Do đó $S = \{3\}$

Câu 61:

Cho hàm số đồ $f (x) = a x^{2} + b x + c$ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình $f (|x|) - 1 = m$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Cho hàm số đồ f(x)= ax^2 +bx+c thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực thì phương trình f(|x|)-1=m (ảnh 1)

A. m=3

B. $m > 3$

C. m=2

D. $- 2 < m < 2$

Xem đáp án

Ta có $f (|x|) = f (x)$ nếu $x \geq 0$ . Hơn nữa hàm $f (|x|)$ là hàm số chẵn.

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số $(C)$ từ đồ thị hàm số $y = f (x)$ như sau:

= Giữ nguyên đồ thị $y = f (x)$ phía bên phải trục tung.

= Lấy đối xứng phần đồ thị $y = f (x)$ phía bên phải trục tung qua trục tung.

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số $y = f (|x|)$ như hình vẽ sau:

Cho hàm số đồ f(x)= ax^2 +bx+c thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực thì phương trình f(|x|)-1=m (ảnh 2)

Phương trình $f (|x|) - 1 = m \Leftrightarrow f (|x|) = m + 1$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (|x|)$ và đường thẳng $y = m + 1$ (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2$ .

Câu 62:

Cho hàm số $y = (m + 3) x^{2} - 2 (m + 1) x + m$ biết đồ thị hàm số cắt trục $O x$ tại hai điểm có hoành độ . $x_{1}; x_{2}$ Với giá trị nào của a thì biểu thức $F = (x_{1} - a) (x_{2} - a)$ không phụ thuộc vào m.

A. $a = \frac{1}{4}$

B. $a = \frac{3}{4}$

C. $a = 4$

D. $a = 1$

Xem đáp án

+ Phương trình hoành độ giao điểm: $(m + 3) x^{2} - 2 (m + 1) x + m = 0$

+ Với $\{\begin{cases} m \neq - 3 \\ m \leq 1 \end{cases}$ phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$

+ khi đó theo định lí vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{2 (m + 1)}{m + 3} \\ x_{1} x_{2} = \frac{m}{m + 3} \end{cases}$ , ta có:

$F = (x_{1} - a) (x_{2} - a) = x_{1} x_{2} - a (x_{1} + x_{2}) + a^{2}$ = $\frac{m}{m + 3} - \frac{2 a (m + 1)}{m + 3} + a^{2}$

$= \frac{m - 2 a m - 2 a}{m + 3} + a^{2} = \frac{m + 3 - 2 a (m + 3) + 4 a - 3}{m + 3} + a^{2} = 1 - 2 a + a^{2} + \frac{4 a - 3}{m + 3}$

+ F không phụ thuộc vào m $\Leftrightarrow 4 a - 3 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$

+ Với $a = \frac{3}{4}$ ta có $F = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3 (x_{1} + x_{2}) - 4 x_{1} x_{2} = 2$

Rõ ràng khi đó ta thấy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức trên chẳng hạn như $m = 0$ ta có $3 x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$ thỏa hệ thức của bài toán.

Ta có thể sử lý theo hướng: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{2 (m + 1)}{m + 3} \\ x_{1} x_{2} = \frac{m}{m + 3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 - \frac{4}{m + 3} \\ x_{1} x_{2} = 1 - \frac{3}{m + 3} \end{cases} \Rightarrow 3 (x_{1} + x_{2}) - 4 x_{1} x_{2} = 2$

Đây là hệ thức không phụ thuộc vào m

Từ yêu cầu bài toán có $F = (x_{1} - a) (x_{2} - a) = x_{1} x_{2} - a (x_{1} + x_{2}) + a^{2} \Rightarrow 4 F = 4 x_{1} x_{2} - 4 a (x_{1} + x_{2}) + 4 a^{2}$

Hay $4 F = 3 (x_{1} + x_{2}) - 2 - 4 a (x_{1} + x_{2}) + 4 a^{2} = (3 - 4 a) (x_{1} + x_{2}) + 4 a^{2} - 2$

Để không phụ thuộc vào m thì $4 a - 3 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$

Thay với $a = \frac{3}{4}$ ta có $4 a - 3 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$

+ Với $a = \frac{3}{4}$ ta có $F = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3 (x_{1} + x_{2}) - 4 x_{1} x_{2} = 2$

Rõ ràng khi đó ta thấy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức trên chẳng hạn như m=0 ta có $3 x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$ thỏa hệ thức của bài toán.

Câu 63:

Tìm tham số để đường thẳng $y = m, m > 0$ cắt đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} - 2$ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{4} - 3 x^{2} - 2 = m \Leftrightarrow x^{4} - 3 x^{2} - 2 - m = 0$

Với mọi $m > 0$ thì đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{A}; m)$ và $B (x_{B}; m)$ đối xứng qua Oy, $x_{A} < x_{B}$ .

Tam giác OAB vuông tại O nên $\vec{O A} . \vec{O B} = 0 \Leftrightarrow x_{A} . x_{B} + m^{2} = 0$

Mà $x_{A} + x_{B} = 0$ nên $x_{A} = - m; x_{B} = m$

Do đó $m^{4} - 3 m^{2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow (m - 2) (m^{3} + 2 m^{2} + m + 1) = 0$ $\Leftrightarrow m = 2$ (vì) $m > 0$

Câu 64:

Cho hàm số $f (x) = 2 (m - 4) x + \frac{m (x - 2)}{|x - 2|}$ (m là tham số)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 1 điểm thuộc khoảng (1;2).

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Vì x thuộc (1;2) nên $f (x) = 2 (m - 4) x - m$

Giả sử A(1; m - 8) ; B(2; 3m - 16)

Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 1 điểm thuộc khoảng (1;2) thì A, B nằm 2 phía với trục Ox.

Ta có: $(I) \{\begin{cases} m - 8 > 0 \\ 3 m - 16 < 0 \end{cases}$ hoặc $(I I) \{\begin{cases} m - 8 < 0 \\ 3 m - 16 > 0 \end{cases}$

Hệ (I) vô nghiệm. Hệ (II) $\frac{16}{3} < m < 8 \Rightarrow m = 6; 7$ . Chọn C

Cho hàm số

f (x) = 2 (m - 4) x + \frac{m (x - 2)}{|x - 2|}

(m là tham số)

Câu 65:

Cho hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ có đồ thị (P) và đường thẳng d: $y = m x + 3$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\frac{9}{2}$ .

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

$\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 3 = m x + 3 \\ \Leftrightarrow x^{2} - (4 + m) x = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = m + 4 \end{array} \end{array}$

gọi A(0;3) và B(m+4; $m^{2}$ +4m+3), ta có OA thuộc Oy nên

$\begin{array}{l} S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . d (B, O y) = \frac{1}{2} .3. |m + 4| = \frac{9}{2} \\ \Leftrightarrow |m + 4| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 7 \end{array} \end{array}$

Cho hàm số

y = x^{2} - 4 x + 3

có đồ thị (P) và đường thẳng d:

y = m x + 3

.

Câu 66:

Cho hai hàm số $y = x^{2} - 2 (m - 1) x - 2 m$ và $y = 2 x + 3$ . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt sao cho $O A^{2} + O B^{2}$ nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ).

A. $m = \frac{119}{5}$

B. $m = \frac{11}{10}$

C. $m = \frac{- 11}{10}$

D. Không tồn tại m .

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

$x^{2} - 2 (m - 1) x - 2 m = 2 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x - 2 m - 3 = 0 (*)$

Ta có: $Δ^{'} = m^{2} + 2 m + 3 > 0$ với mọi m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ .

Gọi là hai nghiệm của phương trình (*) . Khi đó

Ta có $\vec{O A} = (x_{A}; 2 x_{A} + 3), \vec{O B} = (x_{B}; 2 x_{B} + 3)$ .

$\begin{array}{l} O A^{2} + O B^{2} = x_{A}^{2} + {(2 x_{A} + 3)}^{2} + x_{B}^{2} + {(2 x_{B} + 3)}^{2} \\ = 5 (x_{A}^{2} + x_{B}^{2}) + 12 (x_{A} + x_{B}) + 18 \\ = 5 {(x_{A} + x_{B})}^{2} + 12 (x_{A} + x_{B}) + 18 - 10 x_{A} x_{B} (1) \end{array}$

Theo định lí Vi-et ta có $x_{A} + x_{B} = 2 m, x_{A} x_{B} = - 2 m - 3$

Khi đó (1) trở thành $O A^{2} + O B^{2} = 20 m^{2} + 44 m + 48 = 20 {(m + \frac{11}{10})}^{2} + \frac{119}{5}$

Tìm được $O A^{2} + O B^{2}$ nhỏ nhất bằng $\frac{119}{5}$ khi $m = \frac{- 11}{10}$ .

Vậy $m = \frac{- 11}{10}$ là giá trị cần tìm.

Câu 67:

Cho hàm số bậc hai $y = 2 x^{2} - 3 x - 5$ có đồ thị là $(P)$ và đường thẳng $(d) : y = m x + 2 m^{2} - 1$ . Gọi S là tập gồm tất cả các giá trị thực của m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng $y = - 3 x + 5$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. $S = \emptyset$

B. Tổng của tất cả các phần tử của S là $- \frac{2}{3}$

C. Tổng của tất cả các phần tử của S là $- \frac{11}{3}$ .

D. S có đúng một phần tử.

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

$2 x^{2} - (m + 3) x - 2 m^{2} - 4 = 0$ . (*)

Phương trình này có $Δ = {(m + 3)}^{2} + 8 (2 m^{2} + 4)$ luôn nhận giá trị dương nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi 2 nghiệm đó là $x_{1}, x_{2}$ thì $x_{1} + x_{2} = \frac{m + 3}{2}$ .

Như vậy, (d) luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt A và B lần lượt có hoành độ là $x_{1}, x_{2}$ .

Trung điểm của đoạn thẳng là AB .

$I (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; m \frac{x_{1} + x_{2}}{2} + 2 m^{2} - 1) = (\frac{m + 3}{4}; \frac{m (m + 3)}{4} + 2 m^{2} - 1)$

A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng $y = - 3 x + 5$ khi và chỉ khi (d) cắt đường thẳng $y = - 3 x + 5$ tại I , tương đương $m \neq - 3$ và I thuộc đường thẳng $y = - 3 x + 5$ , tương đương $3 m^{2} + 2 m - 5 = 0$ .

Vậy có hai phần tử và tổng của chúng là $- \frac{2}{3}$ .

Câu 68:

Cho đồ thị hàm số (P): $y = (m - 6) x^{2} - 2$ và đường thẳng (d) $y = 2 m x+1$ trong đó x là ẩn, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 2018; 2018]$ để (d) và (P) có điểm chung.

A. 4037

B. 4029

C. 4035

D. 4031

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: $(m - 6) x^{2} - 2 = 2 m x + 1$

$\Leftrightarrow (m - 6) x^{2} - 2 m x - 3 = 0 \begin{matrix} (*) \end{matrix}$ *.

Nếu $m = 6$ thay vào phương trình (*) ta được: $- 12 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}$ .

*.Nếu $m \neq 6$ Ta có : $Δ = m^{2} + 3 (m - 6) = m^{2} + 3 m - 18$

Đồ thị (P) và đường thẳng (d) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm thực

$\Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m - 18 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m \leq - 6 \\ m \geq 3 \end{matrix} \begin{matrix} (1) \end{matrix}$

Theo giả thiết: $m \in Z & m \in [- 2018; 2018] \begin{matrix} (2) \end{matrix}$

Từ (1) và (2) suy ra: có 4029 giá trị m thỏa mãn YCBT.

Cho đồ thị hàm số (P):

y = (m - 6) x^{2} - 2

và đường thẳng (d)

y = 2 m x+1

trong đó x là ẩn, m

Câu 69:

Cho Parabol (P): $y = x^{2} + 2 m x + 3$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị (P) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB là tam giác đều (Với I là đỉnh của (P)).

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đỉnh của (P): $I (- m; 3 - m^{2})$

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox là : $x^{2} + 2 m x + 3 = 0 (*)$

Để (P) cắt tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ' = m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - \sqrt{3} \\ m > \sqrt{3} \end{array}$

Khi đó phương trình có nghiệm: $x_{1} = - m + \sqrt{m^{2} - 3}, x_{2} = - m - \sqrt{m^{2} - 3}$

$\Rightarrow A (- m + \sqrt{m^{2} - 3}; 0), B (- m - \sqrt{m^{2} - 3}; 0)$ , $\vec{A B} (- 2 \sqrt{m^{2} - 3}; 0), \vec{I A} (\sqrt{m^{2} - 3}; m^{2} - 3)$

Do (P) nhận đường thẳng làm trục đối xứng suy ra tam giác IAB cân tại I để tam giác IAB đều

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A B = I A \Leftrightarrow \sqrt{4 (m^{2} - 3)} = \sqrt{(m^{2} - 3) + {(m^{2} - 3)}^{2}} \Leftrightarrow 4 (m^{2} - 3) = (m^{2} - 3) + {(m^{2} - 3)}^{2} \\ \Leftrightarrow m^{2} - 3 = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{6} (t m) \end{array}$

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn

Câu 70:

Parabol $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ nhận ba đường thẳng $y = x - 5; y = - 3 x + 3; y = 3 x - 12$ làm các tiếp tuyến. Khi đó giá trị của $M = a b + b c$ là

A. -16

B. -25

C. -1

D. -25

Xem đáp án

YCBT suy ra các phương trình sau đây đều có nghiệm kép:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = x - 5 \Leftrightarrow a x^{2} + (b - 1) x + c + 5 = 0 \\ a x^{2} + b x + c = - 3 x + 3 \Leftrightarrow a x^{2} + (b + 3) x + c - 3 = 0 \\ a x^{2} + b x + c = 3 x - 12 \Leftrightarrow a x^{2} + (b - 3) x + c + 12 = 0 \end{matrix}$

Ta có hệ phương trình

$\{\begin{matrix} {(b - 1)}^{2} - 4 a (c + 5) = 0 \\ {(b + 3)}^{2} - 4 a (c - 3) = 0 \\ {(b - 3)}^{2} - 4 a (c + 12) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b^{2} - 2 b + 1 - 4 a c - 20 a = 0 (1) \\ b^{2} + 6 b + 9 - 4 a c + 12 a = 0 (2) \\ b^{2} - 6 b + 9 - 4 a c - 48 a = 0 (3) \end{matrix}$

Từ (1) và (2) suy ra: $8 b + 8 + 32 a = 0$

Từ (2) và (3) suy ra: $12 b + 60 a = 0$

Vậy ta có hệ sau: $\{\begin{matrix} 4 a + b = - 1 \\ 5 a + b = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow a = 1; b = - 5$

Thay lại vào phương trình (1) ta có $c = 4$

Vậy $M = a b + b c = - 25$

Câu 71:

Cho hàm số $y = - x^{2} + 2 (m + 1) x + 1 - m^{2} (1)$ , ( m là tham số). Gọi $m_{1}, m_{2}$ giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác KAB vuông tại K , trong đó $K (2; - 2)$ . Khi đó $m_{1}^{2} + m_{2}^{2}$ bằng:

A. 13

B. 12

C. 11

D. 10

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm $- x^{2} + 2 (m + 1) x + 1 - m^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ (2)

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A, B$ khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ' > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} - m^{2} + 1 > 0 \Leftrightarrow 2 m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là $x_{1}, x_{2}$ .

Tọa độ các giao điểm lA ; B là $A (x_{1}; 0), B (x_{2}; 0)$ , $\vec{K A} = (x_{1} - 2; 2), \vec{K B} = (x_{2} - 2; 2)$ .

$K A ⊥ K B \Leftrightarrow \vec{K A} . \vec{K B} = 0 \Leftrightarrow (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) + 4 = 0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 8 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 1 - 2.2 (m + 1) + 8 = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}$

Kết hợp điều kiện $m > - 1$ , ta được $m = 1$ , m=3. Ta chọn đáp án D

Câu 72:

Biết $(P) : y = m^{2} x^{2} - 2 (m + 1) x - m^{2} + 2 m + 2$ luôn đi qua 1 điểm cố định A, đường thẳng $(d)$ đi qua đi qua A và cắt $(Δ) : y = - \frac{1}{2} x - 1$ tại điểm có tung độ bằng -2. Giả sử $(d)$ cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. Gọi $I (x_{I}; y_{I})$ là trung điểm của AB. Tổng các giá trị của m để $O I = \frac{\sqrt{29}}{6}$ (hoặc có thể cho) $x_{I}^{2} + y_{I}^{2} = \frac{29}{36}$ thỏa mãn bài toán thuộc khoảng nào sau đây:

A. $(0; \frac{3}{2})$

B. $(2; \frac{11}{4})$

C. $(- 2; - \frac{1}{2})$

D. $(\frac{7}{4}; 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $m^{2} x^{2} - 2 (m + 1) x - m^{2} + 2 m + 2 \Leftrightarrow (x^{2} - 1) m^{2} - 2 (x - 1) m - 2 x + 2 - y = 0 (*)$

A là điểm cố định của $(P) \Leftrightarrow$ tọa độ A thỏa (*), $\forall m \in ℝ \Leftrightarrow$ Tọa độ A thỏa hệ $\{\begin{cases} x^{2} - 1 = 0 \\ - 2 (x - 1) = 0 \\ - 2 x + 2 - y = 0 \end{cases}$

Suy ra $A (1; 0)$ là điểm cố định của $(P)$ .

Gọi $M (x_{M}; - 2) = (d) \cap (Δ)$ . $M \in (Δ) \Leftrightarrow - 2 = - \frac{1}{2} x_{M} - 1 \Rightarrow M (2; - 2)$ .

$A, M \in (d) \Rightarrow (d) : y = - 2 x + 2$ . Phương trình hoành độ điểm chung của $(P)$ và (d):

$m^{2} x^{2} - 2 (m + 1) x - m^{2} + 2 m + 2 = - 2 x + 2 \Leftrightarrow m^{2} x^{2} - 2 m x - m^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ m^{2} x + m^{2} - 2 m = 0 \end{array}$

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ m^{2} .1 + m^{2} - 2 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ m \neq 1 \end{cases}$ . Khi đó:

$\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{1}{m} \\ y_{I} = - 2 x_{I} + 2 = - \frac{2}{m} + 2 \end{cases} \Rightarrow O I^{2} = x_{I}^{2} + y_{I}^{2} = \frac{1}{m^{2}} + \frac{4}{m^{2}} - \frac{8}{m} + 4 = \frac{29}{36} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{6}{5} \\ m = \frac{30}{23} \end{array}$

(Nhận)

Vậy $S = \frac{6}{5} + \frac{30}{23} ≃ 2.5043478$

Câu 73:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 7 x + 12 k h i x \geq 2 \\ x k h i x < 2 \end{cases}$ . Gọi S là tập hợp gồm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $|f (|x|)| = m$ có 6 nghiệm phân biệt. Số phần tử của S là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

+) Vẽ đồ thị hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 7 x + 12 k h i x \geq 2 \\ x k h i x < 2 \end{cases}$

Cho hàm số f(x)= x^2 -7x+12 khi x>= 2 và x khi x<2 . Gọi S là tập hợp gồm tất cả các giá trị nguyên (ảnh 1)

+) Suy ra đồ thị hàm số

y = f (|x|)

nhờ tính chất của hàm số chẵn

+) Suy ra đồ thị của hàm số $y = |f (|x|)|$

Cho hàm số f(x)= x^2 -7x+12 khi x>= 2 và x khi x<2 . Gọi S là tập hợp gồm tất cả các giá trị nguyên (ảnh 2)

Vậy phương trình $|f (|x|)| = m$ có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m \in (\frac{1}{4}; 2) \overset{M \in Z}{\to} m = 1$ .

Câu 74:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $d : y = 2 x + m$ (m là tham số). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn vuông tại O . Khi đó số các phần tử thuộc S bằng :

A. 2

B. 0

C. 1

D. 9

Xem đáp án

Chọn C

+)Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) : $x^{2} = 2 x + m \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - m = 0$ (1)

+) d cắt (P) tại điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình (1) có nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ' > 0 \Leftrightarrow 1 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .

+) Khi đó d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt là : $A (x_{A}; x_{A}^{2})$ và $B (x_{B}; x_{B}^{2})$ .

$\Rightarrow \vec{O A} = (x_{A}; x_{A}^{2})$ , $\vec{O B} = (x_{B}; x_{B}^{2})$ , (đk $O, A, B$ không thẳng hàng) $\Leftrightarrow x_{A}, x_{B} \neq 0$

Với $x_{A}, x_{B}$ là các nghiệm của phương trình (1) nên theo vi-ét : $\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 2 \\ x_{A} . x_{B} = - m \end{cases}$

Theo giả thiết $△ O A B$ vuông tại $O \Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}$

$\Leftrightarrow x_{A}^{2} + x_{A}^{4} + x_{B}^{2} + x_{B}^{4} = {(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(x_{A}^{2} - x_{B}^{2})}^{2}$

$\Leftrightarrow - 2 m + 2 m^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 1 \end{array}$

So sánh với các đk ta thấy m=0 loại, m=1 thỏa mãn $\Rightarrow S = \{1\}$ .

Nội dung phản biện:

- Kiến thức tương quan lớp 10 phần hàm số và tọa độ véc tơ, độ dài véc tơ chưa học kịp cùng nhau. Bài này sử dụng cuối kì 1 thì được. Nếu đến thời điểm đó thì dùng tích vô hướng 2 véc tơ sẽ đơn giản hơn về mặt biến đổi.

- Với điều kiện m nguyên thì có thể dùng hình vẽ đồ thị $y = x^{2}$ và đồ thị $y = 2 x$ hàm số để kiểm tra đáp án được. Bằng cách tịnh tiến đường thẳng $y = 2 x$ theo các đơn vị nguyên từ đó nhìn hình kiểm tra số đáp án thỏa mãn. Do vậy có thể bỏ điều kiện m nguyên để tránh việc dùng hình vẽ giải bài toán này.

Cách dùng hình ở trang dưới:

Cho parabol (P): y=x^2 và đường thẳng d: y=2x +m (m là tham số). (ảnh 1)

Câu 75:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị là parabol $(P)$ đỉnh $I (1; 2)$ . Biết rằng đường thẳng $(d) : y = 4$ cắt (P) tại hai điểm $A, B$ và tam giác $I A B$ đều. Tính $f (2)$ .

A. $f (2) = \frac{7}{2}$

B. $f (2) = \frac{8}{3}$

C. $f (2) = \frac{5}{2}$

D. $f (2) = 3$

Xem đáp án

$f (x) = a {(x - 1)}^{2} + 2$ .

Khoảng cách từ đỉnh I đến đường thẳng (d) bằng 2 do đó $A B = \frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : $a {(x - 1)}^{2} + 2 = 4 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{a}}$

(ĐK có nghiệm là) $a > 0$ .

Giả sử $A (1 - \sqrt{\frac{2}{a}}; 4), B (1 + \sqrt{\frac{2}{a}}; 4)$ , ta có $A B = 2 \sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$ .

$f (x) = \frac{3}{2} {(x - 1)}^{2} + 2, f (2) = \frac{7}{2}$

Cho hàm số

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

có đồ thị là parabol

(P)

đỉnh

I (1; 2)

. Biết rằng đường thẳng

(d) : y = 4

cắt (P) tại hai điểm

A, B

Câu 76:

Cho hai tập hợp $A = \{x \in ℝ | x^{2} - x + 2 m = 0\}$ , $B = \{x \in ℝ | x^{2} + x + m - 2 = 0\}$ .

Giả sử các phần tử của A được sơn xanh, các phần tử của B được sơn đỏ.Người ta xếp các phần tử của A và B lên một trục số.Tìm số giá trị nguyên của m để $A \cup B$ có 4 phần tử và 2 phần tử cùng màu không đứng kề nhau.

A. 9

B. 6

C. 5

D. 10

Xem đáp án

Chọn A

Yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để phương trình $x^{2} - x + 2 m = 0 (1)$ và $x^{2} + x + m - 2 = 0 (2)$ có nghiệm xen kẽ.

$(1) \Leftrightarrow m = \frac{- 1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$

$(2) \Leftrightarrow m = - x^{2} - x + 2$

Vẽ parabol $(P_{1}) : y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$ , parabol $(P_{2}) : y = - x^{2} - x + 2$ và đường thẳng $y = m$ trên cùng một hệ trục tọa độ.Từ đó suy ra $- 10 < m < 0$

$Cho hai tập hợp A= { x thuộc R| x^2 -x+2m =0} , B= { x thuộc R| x^2 +x+m-2=0} . (ảnh 1)$

Câu 77:

Cho các Parabol $(P_{1}) : y = f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - x, (P_{2}) : y = g (x) = a x^{2} - 4 a x + b (a > 0)$ có các đỉnh lần lượt là $I_{1}, I_{2}$ . Gọi $A, B$ là giao điểm của $(P_{1})$ và $O x$ . Biết rằng 4 điểm tạo $A, B, I_{1}, I_{2}$ thành tứ giác lồi có diện tích bằng $10.$ Tính diện tích S của tam giác $I A B$ với là đỉnh của Parabol $(P) : y = h (x) = f (x) + g (x) .$

A. $S = 4$

B. $S = 6$

C. $S = 7$

D. $S = 9$

Xem đáp án

Dễ dàng tìm được $A (0; 0), B (4; 0), I_{1} (2; - 1), I_{2} (2; b - 4 a)$ với $b - 4 a > 0$ (vì tứ giác $I_{1} A I_{2} B$ lồi). Khi đó tứ giác $I_{1} A I_{2} B$ có hai đường chéo vuông góc nên $S_{I_{1} A I_{2} B} = \frac{1}{2} A B . I_{1} I_{2} = \frac{1}{2} 4. (1 + b - 4 a) = 2 (1 + b - 4 a) = 10 \Leftrightarrow b = 4 a + 4.$

Ta có $h (x) = f (x) + g (x) = (a + \frac{1}{4}) x^{2} - (4 a + 1) x + 4 a + 4$ nên tọa độ đỉnh I là

$\{\begin{cases} x_{I} = \frac{4 a + 1}{2 (a + \frac{1}{4})} = 2 \\ y_{I} = h (2) = 4 a + 1 - 8 a - 2 + 4 a + 4 = 3 \end{cases} \Rightarrow I (2; 3) \Rightarrow S_{Δ I A B} = \frac{1}{2} .3.4 = 6.$

Câu 78:

Trong hệ trục $O x y$ , cho parabol (P) : $y = x^{2} - 1$ và đường thẳng d: $y = 5 x + m$ (với m là tham số). Tổng của tất cả các giá trị m để cho đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho OA vuông góc với OB là :

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. $\frac{3}{2}$

D. 2

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là : $x^{2} - 1 = 5 x + m \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - m - 1 = 0$ (*).

Để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi (*) có hai nghiệm phân biệt hay

$Δ > 0 \Leftrightarrow 25 + 4 (m + 1) > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{29}{4}$ .

Ta có hai trường hợp sau :

TH1 : Nếu $m = - 1$ thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A (0; - 1)$ và $B (5; 24)$ , dễ thấy OA không vuông góc với OB , nên $m = - 1$ loại.

TH2 : Nếu $m \neq - 1, m > - \frac{29}{4}$ thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ . Khi đó ta có :

$\begin{array}{l} O A ⊥ O B \Leftrightarrow \frac{y_{1}}{x_{1}} . \frac{y_{2}}{x_{2}} = - 1 \Leftrightarrow (5 + \frac{m}{x_{1}}) (5 + \frac{m}{x_{2}}) = - 1 \Leftrightarrow 25 + 5 m . \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} + \frac{m^{2}}{x_{1} x_{2}} = - 1 \\ \Leftrightarrow 26 x_{1} x_{2} + m^{2} + 5 m (x_{1} + x_{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow 26 (- 1 - m) + m^{2} + 25 m = 0 \Leftrightarrow m^{2} - m - 26 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1 - \sqrt{105}}{2} \\ m = \frac{1 + \sqrt{105}}{2} \end{array} (T M) \end{array}$

Vậy tổng của tất cả các giá trị m để cho đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho OA vuông góc với OB là : $\frac{1 - \sqrt{105}}{2} + \frac{1 + \sqrt{105}}{2} = 1$ .

Câu 79:

Cho hàm số

y = a x^{2} + b x + c

có đồ thị là parabol

(P)

. Biết rằng đường thẳng

d_{1}

:

y = - \frac{5}{2}

cắt (P) tại một điểm duy nhất, đường thẳng

d_{2}

:

y = 2

cắt

(P)

tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là -1 và -5 . Tính giá trị

T = a + 2 b + 3 c

.

A. $T = - 2$

B. $T = - 3$

C. $T = - 4$

D. $T = - 5$

Xem đáp án

Gọi $I (x_{I}; y_{I})$ là đỉnh của $(P)$ . Vì đường thẳng $d_{1}$ : $y = - \frac{5}{2}$ cắt $(P)$ tại một điểm duy nhất nên ta được $y_{I} = - \frac{5}{2}$ . Vì đường thẳng $d_{2}$ : $y = 2$ cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là -1 và 5 nên ta được $x_{I} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ và đi qua điểm $M (- 1; 2)$ .

Từ các giả thiết trên ta được hệ phương trình sau :

$\{\begin{cases} a - b + c = 2 \\ - \frac{b}{2 a} = 2 \\ 4 a + 2 b + c = - \frac{5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b + c = 2 \\ 4 a + b = 0 \\ 4 a + 2 b + c = - \frac{5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = - 2 \\ c = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy $T = a + 2 b + 3 c = - 5$ . Ta được đáp án D.

Câu 80:

Cho hàm số $f (x) = x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1$ . Tất cả các giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 trên đoạn $[0; 1]$ thuộc tập hợp nào sau đây ?

A. $(- \infty; - 3)$

B. $[- 3; 1]$

C. $[- 2; 2]$

D. $[0; + \infty)$

Xem đáp án

Hoành độ đỉnh của parabol $f (x) = x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1$ là $x_{I} = - m - \frac{1}{2}$ . Ta có các trường hợp sau:

TH1: Nếu $x_{I} \in [0; 1] \Leftrightarrow m \in [- \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}]$ thì

$\min_{[0; 1]} f (x) = f (x_{I}) = 1 \Leftrightarrow - m - \frac{5}{4} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}$ (không thỏa mãn)

TH2: Nếu $x_{I} < 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}$ thì

$\min_{[0; 1]} f (x) = f (0) = 1 \Leftrightarrow m^{2} - 1 = 1 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{2}$

Do đó $m = \sqrt{2}$ thỏa mãn.

TH3: Nếu $x_{I} > 1 \Leftrightarrow m < - \frac{3}{2}$ thì

$\min_{[0; 1]} f (x) = f (1) = 1 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 2 \end{array}$

Do đó $m = - 2$ thỏa mãn.

Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là

m = \sqrt{2}

và

m = - 2

. Ta được đáp án C

Câu 81:

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 2 x - 3$ và đường thẳng $(d) : y = x + m$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B nằm về hai phía của đường thẳng có phương trình ?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Phương trình hoàn độ giao điểm: $x^{2} + 2 x - 3 = x + m \Leftrightarrow x^{2} + x - 3 - m = 0$ (1)

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A, B \Leftrightarrow$ (1) có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{13}{4}$ (2)

Giả sử $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ với $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của (1)

Ta phải có $(y_{1} - 1) (y_{2} - 1) < 0 \Leftrightarrow (x_{1} + m - 1) (x_{2} + m - 1) < 0$

$\Leftrightarrow x_{1} x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + m^{2} - 2 m + 1 < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m - 1 < 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt{5} < m < 2 + \sqrt{5}$ (thoả (2))

$m \in ℤ \Rightarrow m \in \{0; 1; 2; 3; 4\}$

Câu 82:

Cho hàm số $y = x^{2} - 3 x + 3 m - 1$ . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn:

$(x_{1} - m) \sqrt{x_{2}} + (x_{2} - m) \sqrt{x_{1}} + 2 m = 2 \sqrt{3 m - 1}$ (*). Khi đó tổng các phần tử của là:

A. $\frac{23 - 6 \sqrt{5}}{12}$

B. $\frac{23 + 6 \sqrt{5}}{12}$

C. $\frac{41}{12}$

D. 3

Xem đáp án

ĐK: $\{\begin{cases} m \geq \frac{1}{3} \\ x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 \end{cases}$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - 3 x + 3 m - 1 = 0$ (**)

đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1}; x_{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow$ pt(**) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} . x_{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 - 4 (3 m - 1) > 0 \\ 3 > 0 \\ 3 m - 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m < \frac{13}{12}$ . Và theo định lí viet ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 3 \\ x_{1} x_{2} = 3 m - 1 \end{cases}$ .

Ta có $(x_{1} - m) \sqrt{x_{2}} + (x_{2} - m) \sqrt{x_{1}} = x_{1} \sqrt{x_{2}} + x_{2} \sqrt{x_{1}} - m (\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}) = (\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}) (\sqrt{x_{1} x_{2}} - m)$

Vì $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = \sqrt{{(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})}^{2}} = \sqrt{x_{1} + x_{2} + 2 \sqrt{x_{1} x_{2}}} = \sqrt{3 + 2 \sqrt{3 m - 1}}$

Khi đó: $(x_{1} - m) \sqrt{x_{2}} + (x_{2} - m) \sqrt{x_{1}} = \sqrt{3 + 2 \sqrt{3 m - 1}} (\sqrt{3 m - 1} - m)$

Ta có (*) $\Leftrightarrow \sqrt{3 + 2 \sqrt{3 m - 1}} (\sqrt{3 m - 1} - m) = 2 (\sqrt{3 m - 1} - m) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{3 m - 1} = m \\ \sqrt{3 + 2 \sqrt{3 m - 1}} = 2 \end{array}$

Nếu , $\sqrt{3 m - 1} = m$ với đk trên ta có hai vế không âm nên pt ,

$\Leftrightarrow m^{2} - 3 m + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

kết hợp với đk ta được $m = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

Nếu $\sqrt{3 + 2 \sqrt{3 m - 1}} = 2 \Leftrightarrow 3 + 2 \sqrt{3 m - 1} = 4 \Leftrightarrow \sqrt{3 m - 1} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{5}{12}$ (thỏa mãn đk)

Vậy

S = \{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5}{12}\}

, nên tổng các phần tử của S là

\frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{5}{12} = \frac{23 - 6 \sqrt{5}}{12}

Câu 83:

Cho hàm số : $y = (m - 2) x^{2} - (2 m + 1) x + 3 m - 3$ (C). Giả sử m là giá trị để đồ thị hàm số (C) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}; x_{2}$ sao cho $(2 m + 1) x_{1} + (m - 2) x_{2}^{2} = m - 2$ . Hỏi m gần với giá trị nào sau đây nhất:

A. không tồn tại m

B. 0,53

C. 1

D. 1,5

Xem đáp án

+) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là $(m - 2) x^{2} - (2 m + 1) x + 3 m - 3 = 0 (1)$ .

+ Để đồ thị hàm số (C) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt thì PT (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 2 \neq 0 \\ {(2 m + 1)}^{2} - 4 (m - 2) (3 m - 3) > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 2 \\ - 8 m^{2} + 40 m - 23 > 0 \end{cases} .$ (*)

+) Theo hệ thức Viet ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{2 m + 1}{m - 2}$ và $x_{1} x_{2} = \frac{3 m - 3}{m - 2}$ .

+) Theo bài ra: $(2 m + 1) x_{1} + (m - 2) x_{2}^{2} = m - 2 \Leftrightarrow (x_{1} + x_{2}) x_{1} + x_{2}^{2} = 1$

$\Leftrightarrow {(\frac{2 m + 1}{m - 2})}^{2} - \frac{3 m - 3}{m - 2} = 1 \Leftrightarrow 17 m = 9 \Leftrightarrow m = \frac{9}{17}$ (Không thỏa mã n(*))

Vậy không có giá trị m thỏa mãn bài toán.

Câu 84:

Cho hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ có đồ thị (P) và đường thẳng d: $y = m x + 3$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\frac{9}{2}$ .

A. $m = - 1 h o ặ c m = - 7$

B. $m = - 1 h o ặ c m = 7$

C. $m = 7$

D. không tồn tại m

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

$\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 3 = m x + 3 \\ \Leftrightarrow x^{2} - (4 + m) x = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = m + 4 \end{array} \end{array}$

gọi A(0;3) và B(m+4; $m^{2}$ +4m+3), ta có OA thuộc Oy nên

$\begin{array}{l} S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . d (B, O y) = \frac{1}{2} .3. |m + 4| = \frac{9}{2} \\ \Leftrightarrow |m + 4| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 7 \end{array} \end{array}$

Câu 85:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1$ có đồ thị $(C)$ . Gọi là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để cho đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Số phần tử của P là

A. 5

B. 4

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Ta có: $\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x^{2} - 4 x - 1 = m \end{cases}$

Xét hàm số $f (x) = x^{2} - 4 x - 1, x \geq - 1$

Ta có bảng biến thiên

Cho hàm số y=căn 2x^2 -2x-m-x-1 có đồ thị (C). Gọi là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để cho đồ thị (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta được $m \in \{1; 2; 3; 4\}$

Câu 86:

Cho parabol $(P) : y = x^{2} - 4 x + 3$ và đường thẳng $d : y = m x + 3$ . Tìm tất cả các giá trị thực của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác OBA bằng $\frac{9}{2}$ .

A. $m = 7.$

B. $m = - 7.$

C. $m = - 1, m = - 7.$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

$x^{2} - 4 x + 3 = m x + 3 \Leftrightarrow x (x - (m + 4)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = m + 4 \end{array}$ .

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A, B$ khi và chỉ khi $4 + m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 4$ .

Với $x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A (0; 3) \in O y$ .

Với $x = 4 + m \Rightarrow y = m^{2} + 4 m + 3 \Rightarrow B (4 + m; m^{2} + 4 m + 3)$ .

Gọi H là hình chiếu của B lên OA . Suy ra $B H = |x_{B}| = |4 + m|$ .

Theo giả thiết bài toán, ta có $S_{Δ O A B} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} O A . B H = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} .3. |m + 4| = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow |m + 4| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 7 \end{array}$ .

Câu 87:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình dưới. Tìm m để phương trình $f (|x| + m) = 2$ có 3 nghiệm phân biệt.

A. $m = - 3$

B. $m = - 2$

C. $m = 2$

D. $m = 3$

Xem đáp án

Từ đồ thị hàm số $y = f (x)$ , vẽ đồ thị hàm số $y = f (|x| + m)$ gồm 2 bước:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f (x)$ sang phải m đơn vị nếu $m \geq 0$ , hoặc tịnh tiến sang trái $|m|$ đơn vị nếu $m < 0$ được đồ thị hàm số $y = f (x + m)$ .

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên từ Oy sang phải sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đó qua trục Oy.

Do đó phương trình $f (|x| + m) = 2$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = 2$ cắt đồ thị $y = f (x + m)$ tại một điểm trên Oy và một điểm bên phải Oy khi và chỉ khi m=3.

Tìm m để phương trình

f (|x| + m) = 2

có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 88:

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 x - 3$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d : y = m x - m$ . Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}^{2} - m x_{1}^{} + 2 m}{x_{2}^{}} + \frac{x_{2}^{2} - m x_{2}^{} + 2 m}{x_{1}^{}} = - 4$ . Tổng các phần tử của S là:

A. $\frac{13}{3}$

B. $- \frac{13}{3}$

C. $\frac{14}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2} - 2 x - 3 = m x - m \Leftrightarrow x^{2} - (m + 2) x + m - 3 = 0 (1)$

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(m + 2)}^{2} - 4 (m - 3) > 0 \\ m \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 16 > 0 \\ m \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow m \neq 3$ .

Do $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ là hai nghiệm của phương trình (1) nên:

$x_{1}^{2} - (m + 2) x_{1}^{} + m - 3 = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{2} = (m + 2) x_{1}^{} - m + 3$

$x_{2}^{2} - (m + 2) x_{2}^{} + m - 3 = 0 \Leftrightarrow x_{2}^{2} = (m + 2) x_{2}^{} - m + 3$

$T = \frac{x_{1}^{2} - m x_{1}^{} + 2 m}{x_{2}^{}} + \frac{x_{2}^{2} - m x_{2}^{} + 2 m}{x_{1}^{}} = \frac{2 x_{1}^{} + m + 3}{x_{2}^{}} + \frac{2 x_{2}^{} + m + 3}{x_{1}^{}}$

$= \frac{2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + (m + 3) (x_{1}^{} + x_{2}^{})}{x_{1}^{} x_{2}^{}} = \frac{2 {(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2} - 4 x_{1}^{} x_{2}^{} + (m + 3) (x_{1}^{} + x_{2}^{})}{x_{1}^{} x_{2}^{}}$

$= \frac{2 {(m + 2)}^{2} - 4 (m - 3) + (m + 3) (m + 2)}{m - 3} = \frac{3 m^{2} + 9 m + 26}{m - 3}$

$T = - 4 \Leftrightarrow = \frac{3 m^{2} + 9 m + 26}{m - 3} = - 4 \Leftrightarrow 3 m^{2} + 13 m + 14 = 0 \Leftrightarrow m = - 2; m = - \frac{7}{3}$

Tổng các giá trị của m là $- \frac{13}{3}$ .

Câu 89:

Cho $f (x) = 2 x + 1$ và hàm số $y = g (x)$ xác định bởi $g [f (x)] = 7 x + 5$ . Biết đồ thị của hàm số $y = g (x)$ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B . Diện tích của tam giác $O A B$ (với là gốc tọa độ) bằng

A. $\frac{9}{28}$

B. $\frac{9}{14}$

C. $\frac{3}{28}$

D. $\frac{3}{14}$

Xem đáp án

Đặt $u = f (x) = 2 x + 1$ . Khi đó $x = \frac{u - 1}{2}$ .

Do $g [f (x)] = 7 x + 5$ nên $g (u) = 7. (\frac{u - 1}{2}) + 5 = \frac{7 u + 3}{2}$ .

Vì $g (u) = \frac{7 u + 3}{2}$ nên $g (x) = \frac{7 x + 3}{2}$ .

Đồ thị của hàm số $y = g (x) = \frac{7 x + 3}{2}$ cắt trục hoành tại $A (- \frac{3}{7}; 0)$ và cắt trục tung tại $B (0; \frac{3}{2})$ .

Cho

f (x) = 2 x + 1

và hàm số

y = g (x)

xác định bởi

g [f (x)] = 7 x + 5

. Bi

Diện tích của tam giác OAB là

S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . |- \frac{3}{7}| . |\frac{3}{2}| = \frac{1}{2} . \frac{3}{7} . \frac{3}{2} = \frac{9}{28}

.

Câu 90:

Cho Parabol (P) : $y = x^{2} + m x + 5 m$ , đường thẳng $∆$ đi qua $M (2; 1)$ và cắt Parabol đã cho tại hai điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình $3 x^{2} + 7 m x - \sqrt{3} = 0$ , khi đó giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(- 1; \frac{1}{6})$

B. $(0; \frac{1}{5})$

C. $(\frac{1}{5}; 1)$

D. $(1; 2)$

Xem đáp án

Tọa độ giao điểm A,B của Parabol và đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix} y = x^{2} + m x + 5 m \\ 3 x^{2} + 7 m x - \sqrt{3} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 y = 3 x^{2} + 3 m x + 15 m \\ 3 x^{2} + 7 m x - \sqrt{3} = 0 \end{matrix}$ .

Cộng vế với vế các phương trình ta được

3 y + 4 m x - 15 m - \sqrt{3} = 0

, đây chính là phương trình đường thẳng cần tìm. Đường thẳng đi qua

M (2; 1)

nên

3 - \sqrt{3} - 7 m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3 - \sqrt{3}}{7}

. Do đó ta chọn đáp án B

Câu 91:

Cho (P): $y = x^{2} + 2 m x$ cắt đường thẳng $d : y = 3 m x + 1$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $a; b .$ Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2} + t - 1}{t}$ , tính giá trị biểu thức $Q = f^{3} (a) - f^{3} (b) ?$

A. 3

B. 1

C. -3

D. 0

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và đường thẳng d: $x^{2} - m x - 1 = 0 (1)$

Ta có: $Δ = m^{2} + 1 > 0, \forall m \in R$ . Vậy (P) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt. Gọi hoành độ các giao điểm là a và b.

Theo định lí Viet ta có: $a + b = m; a b = - 1.$

$f (t) = \frac{t^{2} + t - 1}{t} = t + 1 - \frac{1}{t}; f (a) = a + 1 - \frac{1}{a}; f (b) = b + 1 - \frac{1}{b}$

$f (a) - f (b) = (a - b) (1 + \frac{1}{a b}) = 0.$

Giá trị của biểu thức: $Q = f^{3} (a) - f^{3} (b) = [f (a) - f (b)] [f^{2} (a) + f^{2} (b) + f (a) f (b)] = 0.$

Câu 92:

Cho hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ và hàm số $y = - x + m$ , với m là tham số . Gọi m là giá trị sao cho đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt $E, F$ mà khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng EF đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ K đến trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m \in [3; 4)$

B. $m \in (- 3; 1]$

C. $m \in (3; 5)$

D. $m \in (- 3; 2]$

Xem đáp án

+ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

$x^{2} - 3 x + 2 = - x + m \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 2 - m = 0$ (1)

+ Hai đồ thị hàm số đã cho có hai điểm chung khi và chỉ khi có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow 1 - (2 - m) > 0 \Leftrightarrow m > 1$ .

+ Theo định lí Viet ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} . x_{2} = 2 - m \end{cases}$ .

Tọa độ các điểm $E (x_{1}; - x_{1} + m)$ và $F (x_{2}; - x_{2} + m)$ . Tọa độ trung điểm đoạn EFlà $K (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{- x_{1} - x_{2} + 2 m}{2})$ $\Rightarrow K (1; m - 1)$ .

+ Khoảng cách từ đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ K đến trục tung khi và chỉ khi $|m - 1| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 1 \end{array}$ .

+ Kết hợp $m > 1$ với ta có $m = 3$ .

Câu 93:

Cho parabol $(P) : y = x^{2} - (m - 1) x - 4$ ( m là tham sô). Gọi C là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng -1 . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao cho đường thẳng $d : y = 4 x - 12$ cắt tại hai điểm phân biệt $A, B$ thỏa tam giác $A B C$ vuông tại A . Tính tổng lập phương tất cả các phần tử của S .

A. 1701

B. -1701

C. -1304

D. -1304

Xem đáp án

Ta có $C (- 1; m - 4)$ .

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - (m - 1) x - 4 = 4 x - 12 \Leftrightarrow x^{2} - (m + 3) x + 8 = 0 (1)$ .

d cắt (P) tai hai điểm phân biết khi (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {(m + 3)}^{2} - 32 > 0$ .

Áp dụng viet: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 3 \\ x_{1} . x_{2} = 8 \end{cases}$ .

Gọi $A (x_{1}; 4 x_{1} - 12), B (x_{2}; 4 x_{2} - 12) \Rightarrow \vec{C A} = (x_{1} + 1; 4 x_{1} - (m + 8)); \vec{C B} = (x_{2} + 1; 4 x_{2} - (m + 8))$ .

$∆ A B C$ vuông tại C

$\Rightarrow \vec{C A} . \vec{C B} = 0 \Leftrightarrow [x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1] + [16 x_{1} x_{2} - 4 (m + 8) (x_{1} + x_{2}) + {(m + 8)}^{2}] = 0$

$\Leftrightarrow - 3 m^{2} - 27 m + 108 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 (n) \\ m = - 12 (n) \end{array}$

Có: ${(- 12)}^{3} + 3^{3} = - 1701.$

Câu 94:

Cho Parabol $(P) : y = x^{2} - 3 x + n$ và đường thẳng $d : y = m x - 1$ . Biết đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thỏa mãn $y_{1} - y_{2} = x_{1} - x_{2}$ . Số giá trị nguyên dương của n bằng:

A. 2

B. 0

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Đường thẳng d có hệ số góc là $m = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = 1$ nên phương trình của d là $d : y = x - 1$ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - 3 x + n = x - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + n + 1 = 0 (1)$ .

Vì đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ nên (1) có hai nghiệm phân biệt, suy ra $Δ' = 4 - n - 1 > 0 \Leftrightarrow n < 3$ .

Do $n \in ℕ \Rightarrow n \in \{1; 2\}$ .

Cũng có thể tìm m như sau:

do $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thuộc d nên $\{\begin{cases} y_{1} = m x_{1} - 1 \\ y_{2} = m x_{2} - 1 \end{cases} \Rightarrow y_{1} - y_{2} = m (x_{1} - x_{2})$ , $\Leftrightarrow (m - 1) (x_{1} - x_{2}) = 0$ do $x_{1} - x_{2} \neq 0 \Rightarrow m = 1$ .

Câu 95:

Cho $y = x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3$ (P). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thõa mãn· $x_{1}^{3} + x_{1} x_{2}^{2} - 4 x_{1} = x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{2} - 4 x_{2}$ .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$

$Δ' = {(m + 1)}^{2} - (m^{2} - 3) > 0 \Leftrightarrow m > - 2 x_{1}^{3} + x_{1} x_{2}^{2} - 4 x_{1} = x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{2} - 4 x_{2}$

Biến đổi $x_{1}^{3} + x_{1} x_{2}^{2} - 4 x_{1} = x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{2} - 4 x_{2} \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 4] = 0$

Do

x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 4 = 0 \Rightarrow {[2 (m + 1)]}^{2} - 2 (m^{2} - 3) - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 3 (loai) \end{array}

Câu 96:

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 x + 2$ có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phương trình $y = x + m$ .Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt.A, B sao cho $O A^{2} + O B^{2} \leq 22$ .

A. 8

B. 6

C. 7

D. 2

Xem đáp án

Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình: $x^{2} - 2 x + 2 = x + m \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 - m = 0 (1)$

d cắt (P) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt $Δ = 9 - 4 (2 - m) > 0$

$\Leftrightarrow 4 m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{- 1}{4}$

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là $A (x_{1}; x_{1} + m), B (x_{2}; x_{2} + m)$ , trong đó $x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có: $x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = 2 - m$ . Ta có: $O A^{2} + O B^{2} \leq 22 \Leftrightarrow$ $x_{1}^{2} + {(x_{1} + m)}^{2} + x_{2}^{2} + {(x_{2} + m)}^{2} \leq 22$

$\Leftrightarrow 2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 2 m (x_{1} + x_{2}) + 2 m^{2} \leq 22 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} \leq 11$

$\Leftrightarrow 9 - 2 (2 - m) + 3 m + m^{2} \leq 11 \Leftrightarrow m^{2} + 5 m - 6 \leq 0 \Leftrightarrow - 6 \leq m \leq 1$

Đối chiếu điều kiện (*) ta được $\frac{- 1}{4} < m \leq 1$ Chon đáp số D

$(2 m + 1) x_{1} + (m - 2) x_{2}^{2} = m - 2 (2 m + 1) x_{1} + (m - 2) x_{2}^{2} = m - 2$

Câu 97:

Gọi $S = (a; b)$ là tập các giá trị của tham số m để phương trình $|x| \sqrt{x^{2} - 4 |x| + 4} = m$ có số nghiệm nhiều nhất. Tính $a + b .$

A. $a + b = 6.$

B. $a + b = 4$

C. $a + b = 1$

D. $a + b = 2$

Xem đáp án

Có $y = |x| \sqrt{x^{2} - 4 |x| + 4} = |x| . ||x| - 2| = \{\begin{cases} |x^{2} - 2 x| khi x \geq 0 \\ |x^{2} + 2 x| khi x < 0 \end{cases}$

Đồ thị:

Gọi S=(a,b) là tập các giá trị của tham số m để phương trình |x|căn x^2 -4|x|+4 =m có số nghiệm nhiều nhất (ảnh 1)

Từ đồ thị, phương trình có số nghiệm nhiều nhất là nghiệm khi và chỉ khi $0 < m < 1$ $\Rightarrow S = (0; 1)$ .

Vậy $a + b = 1$ .

Câu 98:

Biết rằng với giá trị của tham số m bằng $- \frac{a}{b} (a, b \in ℤ_{+}^{*}$ , phân số tối giản) thì đường thẳng $d : y = 2 x + 3$ cắt parabol $y = x^{2} - 2 (m - 1) x - 2 m$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $O A^{2} + O B^{2}$ bé nhất. Khi đó giá trị $a + b$ là:

A. 22

B. 21

C. 20

D. 19

Xem đáp án

Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình $2 x + 3 = x^{2} - 2 (m - 1) x - 2 m$ hay $x^{2} - 2 m x - 2 m - 3 = 0$ (*)

Vì $Δ' = m^{2} + 2 m + 3 = {(m + 1)}^{2} + 2 > 0, \forall m$ nên đường thẳng d luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt $A, B$ lần lượt có hoành độ là $x_{A}, x_{B}$ là hai nghiệm phân biệt của (*). Áp dụng định lí Vi-et ta có $x_{A} + x_{B} = 2 m (1); x_{A} . x_{B} = - 2 m - 3 (2)$

Khi đó tọa độ các giao điểm là $A (x_{A}; 2 x_{A} + 3), B (x_{B}; 2 x_{B} + 3)$ , do đó:

$\begin{array}{l} O A^{2} + O B^{2} = 5 (x_{A}^{2} + x_{B}^{2}) + 12 (x_{A} + x_{B}) + 18 = 5 [{(x_{A} + x_{B})}^{2} - 2 x_{A} x_{B}] + 12 (x_{A} + x_{B}) + 18 \\ = 20 m^{2} + 44 m + 48 = 20 {(m + \frac{11}{10})}^{2} + \frac{119}{5} \end{array}$

Nên $O A^{2} + O B^{2}$ bé nhất khi và chỉ khi $m = - \frac{11}{10}$ suy ra $a = 11, b = 10$ , do đó $a + b = 21.$

Câu 99:

Cho hai hàm số $y = m x^{2} - x + 2019$ và $y = x^{2} + 2 m x - m + 2020$ ( m là tham số) có đồ thị lần lượt là $(P_{1}), (P_{2})$ .Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để $(P_{1}), (P_{2})$ cắt nhau tại hai điểm có tổng các hoành độ là một số nguyên. Số tập con của S là:

A. 3

B. 4

C. 8

D. lớn hơn 8

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P_{1}), (P_{2})$ :

$\begin{array}{l} m x^{2} - x + 2019 = x^{2} + 2 m x - m + 2020 \\ \Leftrightarrow (m - 1) x^{2} - (2 m + 1) x + (m - 1) = 0 (1) \end{array}$

$(P_{1})$ cắt $(P_{2})$ tại hai điểm khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm

$\{\begin{cases} m \neq 1 \\ Δ \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 1 \\ 12 m - 3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 1 \\ m \geq \frac{1}{4} \end{cases} (2)$

Mà: $x_{1} + x_{2} = \frac{2 m + 1}{m - 1} = 2 + \frac{3}{m - 1} \in ℤ \Leftrightarrow \frac{3}{m - 1} \in ℤ$

Đặt $n = \frac{3}{m - 1} (n \in ℤ, n \neq 0) ⇔ m = \frac{n + 3}{n}$ .

So sánh (2) $\Leftrightarrow \frac{n + 3}{n} \geq \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{3 n + 12}{4 n} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n > 0 \\ n \leq - 4 \end{array}$

Suy ra $S = \{\frac{n + 3}{n}| n > 0 or n \leq - 4\}$ . Vậy S có vô số tập con. Chọn D

Câu 100:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $(C)$ (như hình vẽ). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $|f (|x|) + m| = 1$ có đúng nghiệm phân biệt $x_{1} < x_{2} < x_{3} < ... < x_{7} < 3 < x_{8}$ .

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) (như hình vẽ). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (ảnh 1)

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

* Vẽ đồ thị hàm số (C') của hàm số : $y = f (|x|)$ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy , bỏ đi phần đồ thị (C) bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía bên phải trục Oy qua trục Oy .

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) (như hình vẽ). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (ảnh 2)

* Vẽ đồ thị hàm số $(C'')$ của hàm số : $y = f (|x|) + m$

Tịnh tiến đồ thị (C') theo vecto $\vec{O I} = (0; m)$ .

* Vẽ đồ thị hàm số (C''') của hàm số : $y = f (|x|) + m$

Giữ nguyên phần đồ thị $(C'')$ nằm phía trên trục Ox, lấy đối xứng phần đồ thị $(C'')$ ở phía dưới trục Ox qua trục Ox.

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình có đúng nghiệm phân biệt $x_{1} < x_{2} < x_{3} < ... < x_{7} < 3 < x_{8}$ khi ta tịnh tiến đồ thị $(C')$ lên trên m đơn vị $\Leftrightarrow 0 < m < 1$ .

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị

(C)

(như hình vẽ). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

Câu 101:

Cho parabol (p): $y = x^{2} - 2 m x + m + 1$ và đường thẳng (d): $y = x + 7$ .

Tính tổng các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (p) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho $2 M A = 3 M B$ ? Biết M (2; 9) ?

A. $P = \frac{25}{12}$

B. $P = \frac{25}{8}$

C. $P = \frac{17}{8}$

D. $P = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

+) Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - (2 m + 1) x + m - 6 = 0 (*) (Δ = 4 m^{2} + 25 > 0, \forall m)$

+) Gọi : $A (a; a + 7), B (b; b + 7) \Rightarrow \vec{M A} (a - 2; a - 2), \vec{M B} (b - 2; b - 2)$

+) Trong đó a, b là nghiệm của phương trình (*), theo định lý Vi- Ét ta có $\{\begin{cases} a + b = 2 m + 1 (1) \\ a b = m - 6 (2) \end{cases}$

+) Nhận xét: $M \in (d)$ nên ba điểm A, B, M thẳng hàng.

*) TH1: $2 \vec{M A} = 3 \vec{M B} \Leftrightarrow 2 a - 3 b = - 2 (3)$ . Từ (1), (3) và (2) suy ra $24 m^{2} + 3 m + 154 = 0$

(vô nghiệm)

*) TH2: $2 \vec{M A} = - 3 \vec{M B} \Leftrightarrow 2 a + 3 b = 10 (4)$ . Từ (1), (4) và (2) suy ra $24 m^{2} - 75 m + 50 = 0$

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt nên ta có: $m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{25}{8}$

Vậy $m_{1} + m_{2} = \frac{25}{8}$ .

Câu 102:

Cho hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c, (a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ dưới.

Cho hàm số bậc hai y=f(x)=ax^2 +bx+c (a khác 0) có đồ thị như hình vẽ dưới. (ảnh 1)

Tìm m để phương trình $|f (x + 2018 m) + m| = 2 m$ có 4 nghiệm thực phân biệt?

A. $0 < m < 4$

B. $0 < m < \frac{4}{3}$

C. $m < \frac{4}{3}$

D. $0 < m < 2$

Xem đáp án

+) Trước hết ta có $m \geq 0$ .

+) Đặt (P) là đồ thị hàm số $y = f (x)$ khi đó đồ thị hàm số $y = f (x + 2018 m)$ chỉ là tịnh tiến (P) sang trái 2018m đơn vị, do vậy số nghiệm phương trình $|f (x + 2018 m) + m| = 2 m$ bằng số nghiệm phương trình $|f (x) + m| = 2 m$ .

+) Đồ thị hàm số $y = f (x) + m$ có tung độ đỉnh là $m - 4$ , để phương trình $|f (x) + m| = 2 m$ có 4 nghiệm thì điều kiện cần là đồ thị hàm số $y = |f (x) + m|$ có hình dáng:

Cho hàm số bậc hai y=f(x)=ax^2 +bx+c (a khác 0) có đồ thị như hình vẽ dưới. (ảnh 2)

Khi đó thì $m - 4 < 0 \Leftrightarrow (m < 4)$

+) Điều kiện đủ để cắt tại 4 điểm phân biệt là $0 < 2 m < 4 - m \Leftrightarrow 0 < m < \frac{4}{3}$ .

Câu 103:

Tập các giá trị của m để phương trình $|- x^{2} - x + 6| = 4 x + m$ có bốn nghiệm phân biệt là khoảng $(a; b) .$ Tính $P = a b .$

A. $P = - 96$

B. $P = 147$

C. $P = - 98$

D. $P = 98$

Xem đáp án

Ta có $|- x^{2} - x + 6| = 4 x + m \Leftrightarrow |- x^{2} - x + 6| - 4 x = m$

Xét hàm số $f (x) = |- x^{2} - x + 6| - 4 x$

$= \{\begin{matrix} - x^{2} - 5 x + 6 \\ x^{2} - 3 x - 6 \end{matrix} \begin{matrix} k h i x \in [- 3; 2] \\ k h i x \in (- \infty; - 3) \cup (2; + \infty) \end{matrix}$

Bảng biến thiên

Tập các giá trị của m để phương trình|-x^2 -x+6|=4x+m có bốn nghiệm phân biệt là khoảng (a,b) Tính P=ab (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại bốn điểm phân biệt $\Leftrightarrow 12 < m < \frac{49}{4}$ .

Do đó $a = 12, b = \frac{49}{4} \Rightarrow P = 147$

Câu 104:

Cho parabol (P) có phương trình $y = f (x)$ và đường thẳng d có phương trình $y = g (x)$ . Tập nghiệm của bất phương trình $f (x) - g (x) \leq 0$ là $[a; b]$ . Giả sử $A (a; y_{1}), B (b; y_{2})$ là giao điểm của $(P)$ và $(d)$ . Gọi $M (m; m^{2})$ với $m \in [a; b]$ . Để diện tích $Δ M A B$ đạt giá trị lớn nhất thì m phải thỏa mãn:

Cho parabol (P) có phương trình y=f(x) và đường thẳng d có phương trình y=g(x) . Tập nghiệm của bất phương trình F(x)-g(x)<=0 là (ảnh 1)

A. $m \in (- 1; 0)$

B. $m \in (\frac{3}{4}; \frac{5}{4})$

C. $m \in (2; 3)$

D. $m \in (0; 1)$

Xem đáp án

Tập nghiệm của bất phương trình $f (x) - g (x) \leq 0$ là hoành độ của những điểm thuộc $(P)$ và nằm phía dưới hoặc thuộc đường thẳng $y = g (x)$

Dựa vào đồ thị suy ra tập nghiệm $T = [- 1; 3]$

$\Rightarrow a = - 1; b = 3 \Rightarrow A (- 1; 1); B (3; 9)$ $\Rightarrow$ Đường thẳng d có phương trình là $y = 2 x + 3$

Diện tích $Δ M A B$ lớn nhất khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng AB. MH lớn nhất khi M nằm trên tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y = x^{2}$ và song song với AB.

Phương trình d có dạng $y = 2 x + b$ . Vì d là tiếp tuyến nên $b = - 1$ . Khi đó $M (1; 1)$ hay $m = 1$ .

Vậy đáp án D

Câu 105:

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình $(x + 1) \sqrt{x^{2} - 6 x + 9} - m + 3 = 0$ có ba nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < 2 < x_{2} < 3 < x_{3}$ là $(a; b)$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

A. 58

B. 45

C. 85

D. 40

Xem đáp án

$\begin{array}{l} (x + 1) \sqrt{x^{2} - 6 x + 9} - m + 3 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) |x - 3| = m - 3 (*) \end{array}$

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = (x + 1) |x - 3|$ và đường thẳng $y = m - 3$ song song hoặc trùng với trục hoành

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình (x+1)căn x^2 -6x +9 -m+3=0 có ba nghiệm phân biệt x1,x2,x3 thỏa mãn (ảnh 1)

Dựa vào đồ thị ta thấy m để phương trình $(x + 1) \sqrt{x^{2} - 6 x + 9} - m + 3 = 0$ có ba nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < 2 < x_{2} < 3 < x_{3}$ thì

$0 < m - 3 < 3 \Leftrightarrow 3 < m < 6 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 45$

Câu 106:

Cho parabolcó đỉnh là tâm của một hình vuông ABCD , trong đó C,D nằm trên trục hoành và A,B nằm trên (P). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bao nhiêu ?

A, 2

B. -3

C. 4

D. -2

Xem đáp án

Phác họa đồ thị như hình vẽ:

Cho parabol (P): y= ax^2 +bx+c có đỉnh là tâm của một hình vuông ABCD , trong đó C,D nằm trên trục hoành và A,B (ảnh 3)

Nhận thấy:

Tọa độ đỉnh của parabol

. Suy ra tọa độ điểm

Thay tọa độ điểm B vào parabol (P): ; ta được:

Cho parabol (P): y= ax^2 +bx+c có đỉnh là tâm của một hình vuông ABCD , trong đó C,D nằm trên trục hoành và A,B (ảnh 8)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là Cho parabol (P): y= ax^2 +bx+c có đỉnh là tâm của một hình vuông ABCD , trong đó C,D nằm trên trục hoành và A,B (ảnh 9)

Vậy chọn đáp án B.

Câu 107:

Một gia đình sản xuất cà phê nguyên chất. Do điều kiện nhà xưởng nên mỗi đợt gia đình đó sản xuất được t kg cà phê $(t \leq 30)$ . Nếu gia đình đó bán sỉ x kg thì giá của mỗi kí được xác định bởi công thức $G = 350 - 5 x$ (nghìn đồng) và chi phí để sản xuất x kg cà phê được xác định bởi công thức $C = x^{2} + 50 x + 1000$ (nghìn đồng).

1,Tính chi phí để gia đình đó sản xuất kg cà phê thứ 10

A. 1600 nghìn.

B.69 nghìn.

C.1100 nghìn.

D. 1000 nghìn.

Xem đáp án

Chi phí để sản xuất kg cà phê thứ 10 là $C (10) - C (9) = (10^{2} + 50.10) - (9^{2} + 50.9) = 69$ (nghìn đồng)

(Học sinh thường nhầm lẫn chi phí sản xuất kg thứ 10 với chi phí sản xuất 10kg)

Câu 108:

2, Để đạt được lợi nhuận tối đa, mỗi đợt gia đình đó nên sản xuất bao nhiêu kg cà phê.

A. $P = 20 k g$

B. $25 k g$

C. $15 k g$

D. $30 k g$

Xem đáp án

Doanh thu khi gia đình bán kg cà phê là $D = x (350 - 5 x) = - 5 x^{2} + 350 x$ (nghìn)

Lợi nhuận thu được khi bán được x là

$L = D (x) - C (x) = - 5 x^{2} + 350 x - (x^{2} + 50 x + 1000) = - 6 x^{2} + 300 x - 1000$

Suy ra lợi nhuận đạt tối đa khi $x = \frac{300}{2.6} = 25 (k g)$

HS thường sai lầm khi nhầm hàm $D (x)$ với hàm $G (x)$

Câu 109:

Cho hàm số $y = f (x) = 4 x^{2} - 4 a x + (a^{2} - 2 a + 2)$

Có bao nhiêu giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất củatrên đoạn $[0; 2]$ là bằng 5?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Parabol có hệ số của $x^{2}$ là $4 > 0$ nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh $x_{I} = \frac{a}{2}$ .

· Nếu $\frac{a}{2} < 0 \Leftrightarrow a < 0$ thì $x_{I} < 0 < 2.$ Ta có bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x)=4x^2-4ax +(a^2 -2a+2) Có bao nhiêu giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất củatrên đoạn [0,2] là bằng 5 ? (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta có $\min_{[0; 2]} f (x) = f (0) = a^{2} - 2 a + 2$ . Theo yêu cầu bài toán :

$a^{2} - 2 a + 2 = 5 \Leftrightarrow a^{2} - 2 a - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 (t / m) \\ a = 3 (L) \end{array}$

· Nếu $0 \leq \frac{a}{2} \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq a \leq 4$ thì $x_{I} \in [0; 2]$ . Suy ra $f (x)$ đạt GTNN tại đỉnh.

Do đó $\min_{[0; 2]} f (x) = f (\frac{a}{2}) = - 2 a + 2$ Theo yêu cầu bài toán : $- 2 a + 2 = 5 \Leftrightarrow a = - \frac{3}{2} < 0 (L)$

· Nếu $\frac{a}{2} > 2 \Leftrightarrow a > 4$ thì $x_{I} > 2 > 0.$ Ta có bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x)=4x^2-4ax +(a^2 -2a+2) Có bao nhiêu giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất củatrên đoạn [0,2] là bằng 5 ? (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta có $\min_{[0; 2]} f (x) = f (2) = a^{2} - 10 a + 18$ . Theo yêu cầu bài toán :

$a^{2} - 10 a + 18 = 5 \Leftrightarrow a^{2} - 10 a + 13 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 5 + 2 \sqrt{3} (t / m) \\ a = 5 - 2 \sqrt{3} (L) \end{array}$

Vậy $a = - 1$ hoặc $a = 5 + 2 \sqrt{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 110:

Cho hàm số bậc hai (P): $y = x^{2} - 2 m x + 3 m - 2$ , trong đó x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ và $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $m = - \frac{3}{4} .$

B. $m = \frac{3}{4} .$

C. $m = \pm \frac{3}{4} .$

D. $m = \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với trục hoành: $x^{2} - 2 m x + 3 m - 2 = 0 \begin{matrix} (*) \end{matrix}$

Để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow$ Phương trình (*) có hai nghiệm

phân biệt $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ' = m^{2} - 3 m + 2 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 \\ m < 1 \end{array} . \begin{matrix} (* *) \end{matrix}$

Với điều kiện (**), theo định lí Viét ta có: $x_{1} + x_{2} = 2 m, x_{1} x_{2} = 3 m - 2.$

Do đó $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} - 2 (3 m - 2) = 4 m^{2} - 6 m + 4$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4 m^{2} - 6 m + 4 = {(2 m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4} \geq \frac{7}{4}, \forall m \in D = (- \infty; 1) \cup (2; + \infty) .$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$2 m - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4} \in D .$

Vậy biểu thức $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{7}{4}$ khi và chỉ khi $m = \frac{3}{4} .$

Câu 111:

Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số $y = \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} + {(x - 2)}^{2} + 99$ .

Tính 4M + m.

A. $535$

B. $541$

C. 516

D. 534

Xem đáp án

Đặt $t = \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} = \sqrt{9 - {(x - 2)}^{2}}$ (1)

Khi đó $0 \leq t \leq 3$ ta có $t \in [0; 3]$ hay

Xét $y = f (t) = - t^{2} + t + 108$ với $t \in [0; 3]$

Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số y=căn 5+4x-x^2 +(x-20^2+99 . Tính 4M + m. (ảnh 1)

Do vậy $4 M + m = 4. \frac{433}{4} + 102 = 535$ .

Câu 112:

Tìm tham số m để biểu thức $P = 16 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 (4 x + \frac{1}{x}) + 7 m + 11$ có giá trị nhỏ nhất bằng 18.

A. $m = - 1$

B. $m = 0$

C. Đáp án khác

D. $m = 1.$

Xem đáp án

Đặt

t = 4 x + \frac{1}{x} \Rightarrow 4 x^{2} - t x + 1 = 0

. Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Δ = t^{2} - 16 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t \leq - 4 \\ t \geq 4 \end{array}

P = t^{2} - 2 t + 7 m + 3

. Ta có bảng biến thiên của P

Từ BBT ta có

\min P = 18 \Leftrightarrow 7 m + 11 = 18 \Leftrightarrow m = 1

. Chọn D.

Câu 113:

Cho $y = x^{2} + m x + n$ ( $m, n$ là tham số), $f (x_{0})$ là giá trị của hàm số tại $x_{0}$ . Biết $f (- 2 + \sqrt{3} + m + n) = f (8 - \sqrt{3} - m - n)$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -8 Khi đó $T = m + n$ có giá trị bằng:

A. -5

B. -4

C. -6

D. 3

Xem đáp án

Theo giả thiết và tính chất đối xứng của đồ thị hàm số bậc 2 ta có

$\{\begin{cases} \frac{- m}{2} = 3 \\ f (3) = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 6 \\ 9 + 3 m + n = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 6 \\ n = 1 \end{cases}$

Vậy $T = - 5$ . Chọn A

Câu 114:

Cho hàm số: y = $a x^{2}$ + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x=1 và nhận giá trị bằng 3 khi x=2 . Tính abc

A. -6

B. 6

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Theo giả thiết, ta có:

$\{\begin{cases} a > 0 \\ \frac{- b}{2 a} = 1 \\ a + b + c = 2 \\ 4 a + 2 b + c = 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ b = - 2 a \\ 3 a + b = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = 3 \end{cases}$

Vậy abc =-6 $\Leftrightarrow$ Chọn A

Câu 115:

Cho hàm số $f (x) = a x^{2} + b x + c$ có $|f (x)| \leq 1 \forall x \in [0; 1]$ . Khi đó giá trị của b là:

A. $|b| \leq 8$

B. $|b| > 8$

C. $0 \leq b \leq 8$

D. $- 8 < b < 0$

Xem đáp án

Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} - 1 \leq f (0) = c \leq 1 \\ - 1 \leq f (1) = a + b + c \leq 1 \\ - 1 \leq f (\frac{1}{2}) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c \leq 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} - 3 \leq - 3 c \leq 3 \\ - 1 \leq - a - b - c \leq 1 \\ - 4 \leq a + 2 b + 4 c \leq 4 \end{cases} \end{array}$

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có : $- 8 \leq b \leq 8$

Vậy chọn A

Câu 116:

Cho hàm số $y = |\sqrt{2 x - x^{2}} - 3 m + 4|$ . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất.

A. $m = \frac{3}{4} .$

B. $m = \frac{3}{2} .$

C. $m = \frac{3}{8} .$

D. $m = \frac{3}{16} .$

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định: $D = [0; 2] .$

Gọi $A = \underset{[0; 2]}{m a x} y$ . Ta đặt $t = \sqrt{2 x - x^{2}} \Rightarrow t = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ do đó $0 \leq t \leq 1$

Khi đó hàm số được viết lại là $y = |t - 3 m + 4|$ với $t \in [0; 1]$ suy ra

$A = \max_{[0, 1]} |t - 3 m + 4| = \max \{|- 3 m + 4|, |5 - 3 m +|\} \geq \frac{|- 3 m + 4| + |5 - 3 m|}{2}$

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có

$|- 3 m + 4| + |5 - 3 m| = |3 m - 4| + |5 - 3 m| \geq 1$

Do đó $A \geq \frac{1}{2}$ . Đẳng thức xảy ra $m = \frac{3}{2}$ .

Vậy giá trị cần tìm là $m = \frac{3}{2}$ .

Câu 117:

Cho hàm số $y = |\sqrt{2 x - x^{2}} - 3 m + 4|$ . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất.

A. $m = \frac{3}{4} .$

B. $m = \frac{3}{2} .$

C. $m = \frac{3}{8} .$

D. $m = \frac{3}{16} .$

Xem đáp án

Tập xác định: $D = [0; 2] .$

Gọi $A = \underset{[0; 2]}{m a x} y$ . Ta đặt $t = \sqrt{2 x - x^{2}} \Rightarrow t = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ do đó $0 \leq t \leq 1$

Khi đó hàm số được viết lại là $y = |t - 3 m + 4|$ với $t \in [0; 1]$ suy ra

$A = \max_{[0, 1]} |t - 3 m + 4| = \max \{|- 3 m + 4|, |5 - 3 m +|\} \geq \frac{|- 3 m + 4| + |5 - 3 m|}{2}$

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có

$|- 3 m + 4| + |5 - 3 m| = |3 m - 4| + |5 - 3 m| \geq 1$

Do đó $A \geq \frac{1}{2}$ . Đẳng thức xảy ra $m = \frac{3}{2}$ .

Vậy giá trị cần tìm là $m = \frac{3}{2}$ .

Câu 118:

Gọi A,B là hai giao điểm của đường thẳng

(d) : y = - 3 x + 9

và parabol

(P) : y = - x^{2} + 2 x + 3

. Gọi điểm

K (a, b)

thuộc trục đối xứng của

(P)

sao cho

K A + K B

nhỏ nhất. Tính

a + b

.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} y = - 3 x + 9 \\ y = - x^{2} + 2 x + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 3 x + 9 \\ - x^{2} + 5 x - 6 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 0 \end{cases} \end{array}$

Suy ra: $A (2; 3), B (3; 0)$

Hoành độ hai điểm A, B cùng lớn hơn 1 nên chúng nằm cùng phía so với trục đối xứng $x = 1$ .

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua trục đối xứng X=1 . Khi đó: $A' (0; 3)$ .

Ta có: $K A + K B = K A' + K B \geq A' B$ . Suy ra $K A + K B$ nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra. Lúc đó $K, A', B$ thẳng hàng, tức là K là giao điểm của $A' B$ với trục đối xứng $x = 1$ .

Phương trình đường thẳng A'B : $y = - x + 3$

Điểm $K (1; 2)$

Vậy: $a + b = 3$

Câu 119:

Cho 2 số x,y thỏa mãn $(x + 2 y) ({(\sin x + \cos x)}^{4} + \sin^{2} 2 x) = 5 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $P = \sin 2 x + \cos y$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Theo bất đẳng Cauchy – Schwarz ta có $x + 2 y \leq \sqrt{5 (x^{2} + y^{2})}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} \frac{x}{1} = \frac{y}{2} \\ x + 2 y \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x \\ x \geq 0 \end{cases}$

Mặt khác ta lại có $\{\begin{cases} {(\sin x + \cos x)}^{4} = {(\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}))}^{4} \leq 4 \\ \sin^{2} 2 x \leq 1 \end{cases} \Rightarrow {(\sin x + \cos x)}^{4} + \sin^{2} 2 x \leq 5$

Vì $x + 2 y \leq \sqrt{5 (x^{2} + y^{2})}$

$\Rightarrow (x + 2 y) ({(\sin x + \cos x)}^{4} + \sin^{2} 2 x) \leq \sqrt{5 (x^{2} + y^{2})} ({(\sin x + \cos x)}^{4} + \sin^{2} 2 x)$

$\leq 5 \sqrt{5 (x^{2} + y^{2})}$ . Nên $V T \leq V P$ , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{cases} y = 2 x, x \geq 0 \\ |\sin x + \cos x| = \sqrt{2} \\ \cos 2 x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z, k \geq 0) \\ y = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z, k \geq 0) \end{cases} \Rightarrow \sin 2 x + \cos y = 1$ $\Rightarrow$ chọn B

Câu 120:

Biết rằng hàm số

y = a x^{2} + b x + c

(a,b,c là các số thực) đạt giá trị lớn nhất bằng

\frac{1}{4}

tại

x = \frac{3}{2}

và tổng lập phương các nghiệm của phương trình

y = 0

bằng 9 Tính

P = a b c .

A. $P = 0.$

B. $P = 6$

C. $P = 7 .$

D. $P = - 6.$

Xem đáp án

Hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$ tại $x = \frac{3}{2}$

nên ta có $\{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = \frac{3}{2} \\ a < 0 \end{cases}$ và điểm $(\frac{3}{2}; \frac{1}{4})$ thuộc đồ thị $\Rightarrow \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = \frac{1}{4} .$

Để phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có nghiệm thì $b^{2} - 4 a c \geq 0$

Khi đó giả sử $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y = 0$ . Theo giả thiết: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 9$

$\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 9 \overset{Viet}{\to} {(- \frac{b}{a})}^{3} - 3 (- \frac{b}{a}) (\frac{c}{a}) = 9$ .

Từ đó ta có hệ $\{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = \frac{3}{2} \\ \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = \frac{1}{4} \\ {(- \frac{b}{a})}^{3} - 3 (- \frac{b}{a}) (\frac{c}{a}) = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 3 a \\ \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = \frac{1}{4} \\ \frac{c}{a} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 3 \\ c = - 2 \end{cases} \overset{}{\to} P = a b c = 6.$

Chọn B

Câu 121:

Có hai giá trị của tham số m để cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) = x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1$

Trên đoạn $[0; 1]$ bằng 1. Tổng của hai giá trị của m đó là :

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. $\sqrt{2} - 2$

D. $2 - \sqrt{2}$

Xem đáp án

Xét 3 trường hợp

TH1: $0 \leq - \frac{2 m + 1}{2} \leq 1$ , suy ra $G T N N = f (- \frac{2 m + 1}{2}) = - m - \frac{5}{4} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}$ (loại)

TH2: $- \frac{2 m + 1}{2} < 0 \Rightarrow G T N N = f (0) = m^{2} - 1 = 1 \Rightarrow m = \sqrt{2}$

TH3: $- \frac{2 m + 1}{2} > 1 \Rightarrow G T N N = f (1) = {(m + 1)}^{2} = 1 \Rightarrow m = - 2$

Tóm lại $m = - 2; m = \sqrt{2}$ .

Chọn C

Câu 122:

Tìm các giá trị của tham số m để cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) = x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1$ Trên đoạn $[0; 1]$ bằng 1.

A. m=1

B. $m = \sqrt{2}$

C. $[\begin{array}{l} m = \sqrt{2} \\ m = - 2 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} m = - \sqrt{2} \\ m = 2 \end{array}$

Xem đáp án

Chọn C

Xét 3 trường hợp

TH1: $0 \leq - \frac{2 m + 1}{2} \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq - \frac{1}{2}$ , suy ra GTNN $f (- \frac{2 m + 1}{2}) = - m - \frac{5}{4} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}$ (loại)

TH2: $- \frac{2 m + 1}{2} < 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}$ suy ra GTNN $f (0) = m^{2} - 1 = 1 \Rightarrow m = \sqrt{2}$ .

TH3: $- \frac{2 m + 1}{2} > 1 \Leftrightarrow m < - 1$ , suy ra GTNN $f (1) = {(m + 1)}^{2} = 1 \Rightarrow m = - 2$

Vậy $m = - 2; m = \sqrt{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 123:

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 (m + \frac{1}{m}) + m$ , $m \neq 0$ . Đặt $\min_{[- 1; 1]} y = y_{1}; \min_{[- 1; 1]} y = y_{2}$ . Có bao nhiêu giá trị cuả m thỏa mãn $y_{2} - y_{1} = 10$ .

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Có đỉnh $I : x_{I} = m + \frac{1}{m}$ , mà $|x_{I}| = |m + \frac{1}{m}| = |m| + |\frac{1}{m}| \geq 2$ nên $m + \frac{1}{m} \geq 2$ hoặc $m + \frac{1}{m} \leq - 2$ .

Do đó $y (1) = 1 - 2 (m + \frac{1}{m}) + m; y (- 1) = 1 + 2 (m + \frac{1}{m}) + m$ . Yêu cầu bài toán tương đương với

$|y_{2} - y_{1}| = 10 \Leftrightarrow |4 (m + \frac{1}{m})| = 10 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + \frac{1}{m} = \frac{5}{2} \\ m + \frac{1}{m} = - \frac{5}{2} \end{array} \Leftrightarrow m \in \{2; - 2; \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}\}$ . Chọn D

Câu 124:

Cho x,y là các số thực thỏa mãn $2 (x^{2} + y^{2}) = x y + 1$ . Giá trị lớn nhất của $P = 3 (x^{4} + y^{4}) + 5 x^{2} y^{2}$ là

A. 3

B. 2

C. $\frac{11}{9}$

D. $\frac{11}{10}$

Xem đáp án

Chọn C .

Ta có $P = 3 (x^{4} + y^{4}) + 5 x^{2} y^{2} = 3 [{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2}] + 5 x^{2} y^{2} = 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2}$

Vì $x^{2} + y^{2} = \frac{x y + 1}{2}$ nên $P = 3 {(\frac{x y + 1}{2})}^{2} - x^{2} y^{2} = - \frac{1}{4} x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x y + \frac{3}{4}$

$\{\begin{cases} 2 (x^{2} + y^{2}) = x y + 1 \\ x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \end{cases} \Rightarrow x y + 1 \geq 4 x y \Rightarrow x y \leq \frac{1}{3}$

Mặt khác

$2 (x^{2} + y^{2}) = x y + 1 \Leftrightarrow 2 [{(x + y)}^{2} - 2 x y] = x y + 1 \Leftrightarrow 2 {(x + y)}^{2} = 5 x y + 1 \Rightarrow 5 x y + 1 \geq 0 \Rightarrow x y \geq - \frac{1}{5}$

Đặt $t = x y$ ta có $P = - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{3}{2} t + \frac{3}{4}$ với $- \frac{1}{5} \leq t \leq \frac{1}{3}$

Kết luận: $\underset{[- \frac{1}{5}; \frac{1}{3}]}{\max P} = \frac{11}{9}$ Khi $t = \frac{1}{3}$

Câu 125:

Tham số thỏa mãn giá trị lớn nhất của hàm số $y = |3 x^{2} - 6 x + 2 a - 1|$ với $- 2 \leq x \leq 3$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị tham số a thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

A. $(- 10; - 5)$

B. $(- 5; 0)$

C. $(0; 5)$

D. $(5; 10)$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2 a - 1$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $y = |f (x)|$ với $- 2 \leq x \leq 3$

Ta có: $2 M \geq |f (- 2)| + |f (1)| \geq |f (- 2) - f (1)| = 27 \Rightarrow M \geq \frac{27}{2}$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} |f (- 2)| = |f (1)| = M = \frac{27}{2} \\ f (- 2) . (- f (1)) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (- 2) = - f (1) = \frac{27}{2} \\ f (- 2) = - f (1) = \frac{- 27}{2} \end{array} \Leftrightarrow a = \frac{- 19}{4}$

Vậy $a = \frac{- 19}{4}$ thỏa mãn bài toán . Chọn B

Câu 126:

Cho hàm số: $f (x) = a x^{2} + b x + 2 (a > 0)$ . Biết rằng hàm số đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{8 a^{2}}{3 a^{2} + 2 a b + b^{2}}$ là:

A. 4

B. $\frac{8}{11}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Do $a > 0$ nên hàm số đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ thì: $\frac{- b}{2 a} \leq - 1 \Leftrightarrow \frac{b}{a} \geq 2$

Khi đó : $P = \frac{8 a^{2}}{3 a^{2} + 2 a b + b^{2}} = \frac{8}{{(\frac{b}{a})}^{2} + 2 \frac{b}{a} + 3} = \frac{8}{t^{2} + 2 t + 3}$ với $t = \frac{b}{a} \geq 2$

Ta có $t^{2} + 2 t + 3 = {(t + 1)}^{2} + 2 \geq 11, \forall t \geq 2$ . Dấu ‘=” xảy ra khi $t = 2$

Do đó : $P \leq \frac{8}{11}$ . Suy ra $m axP= \frac{8}{11}$ khi $\frac{b}{a} = 2$ . Chọn B

Câu 127:

Đặt $f (x) = a x^{2} + b x + c$ và $g (x) = c x^{2} + b x + a$ , giả sử $| f (x) | \leq 1, \forall x \in [- 1; 1]$ . Tính $M = \max_{[- 1; 1]} g (x)$ .

A. $M = - 2$

B. $M = 2$

C. $M = 1$

D. $M = - 1$

Xem đáp án

Chọn $x = - 1, 0, 1$ và đặt:

$\{\begin{cases} A = f (1) = a + b + c \\ B = f (- 1) = a - b + c \\ C = f (0) = c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{A + B}{2} - C \\ b = \frac{A - B}{2} \\ c = C \end{cases}$ và $| A | \leq 1, | B | \leq 1, | C | \leq 1$ .

Nên $g (x) = C x^{2} + \frac{A - B}{2} x + \frac{A + B}{2} - C = C (x^{2} - 1) + \frac{1}{2} A (x + 1) + \frac{1}{2} B (1 - x)$ .

Suy ra $\begin{array}{l} | g (x) | & \leq | C (x^{2} - 1) | + \frac{1}{2} | A (x + 1) | + \frac{1}{2} | B (1 - x) | \\ \leq | x^{2} - 1 | + \frac{1}{2} | x + 1 | + \frac{1}{2} | 1 - x | \\ = 1 - x^{2} + \frac{1}{2} (1 + x) + \frac{1}{2} (1 - x) = 2 - x^{2} \leq 2, \forall x \in [- 1; 1] . \end{array}$

Ta thấy hàm số $f (x) = 2 x^{2} - 1 \Rightarrow g (x) = - x^{2} + 2$ là một hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy $\max_{[- 1; 1]} g (x) = 2$ .

Câu 128:

Cho 2 số thực $x \geq 1, y \geq 0$ thỏa mãn điều kiện $\max \{|x^{2} + 1|; |2 x - y + 1|\} = \frac{{(x + y)}^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

Hỏi biểu thức $P = 3 (x + 1) (x^{2} + 2 y + 1)$ có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Ta có một tính chất cơ bản của hàm trị tuyệt đối $|\frac{a + b}{2}| + |\frac{a - b}{2}| = \max \{|a|; |b|\}$

Áp dụng ta có $\max \{|x^{2} + 1|; |2 x - y + 1|\} = |\frac{x^{2} + 2 x - y + 2}{2}| + |\frac{x^{2} - 2 x + y}{2}|$

Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có $|\frac{x^{2} + 2 x - y + 2}{2}| + |\frac{x^{2} - 2 x + y}{2}| \geq |\frac{2 x^{2} + 2}{2}| = \frac{2 x^{2} + 2}{2} \geq 2 (x \geq 1)$

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có $\frac{{(x + y)}^{2}}{x^{2} + y^{2}} \leq \frac{{(\sqrt{2 (x^{2} + y^{2})})}^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 2$

Vậy $V T \geq 2 \geq V P$ . Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi $x = y = 1$ .

Khi đó $P = 24$ có tất cả 8 ước số nguyên dương.

Câu 129:

Cho hàm số $y = f (x) = x^{2} + 2 (m - 1) x + 3 m - 5$ , m là tham số. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của $f (x)$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $m = \frac{5}{2}$

B. $m = \frac{2}{5}$

C. $m = - \frac{3}{2}$

D. $m = - \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đồ thi hàm số $f (x)$ là parabol có hoành độ đỉnh là $x = 1 - m$ , mặt khác vì $a = 1 > 0$ nên: $\min y = f (1 - m) = - m^{2} + 5 m - 6 = g (m)$ , $g (m)$ là parabol có hoành độ đỉnh $\frac{5}{2}$ là và hệ số $a = - 1 < 0$ nên . Vậy $m = \frac{5}{2}$

Câu 130:

Cho hàm số bậc nhất $y = m x - m + 1$ ( m là tham số), có đồ thị là đường thẳng d . Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến d là

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B . $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Gọi $A (x_{0}; y_{0})$ là điểm mà d luôn đi qua với mọi m . Khi đó

$y_{0} = m x_{0} - m + 1$ , $\forall m \in ℝ$

$(x_{0} - 1) m - y_{0} + 1 = 0$ $\forall m \in ℝ$

$\{\begin{cases} x_{0} - 1 = 0 \\ - y_{0} + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0} = 1 \\ y_{0} = 1. \end{cases}$

Cho hàm số bậc nhất y=mx-m+1( m là tham số), có đồ thị là đường thẳng d . Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến d là (ảnh 1)

Do đó d luôn đi qua $A (1; 1)$ .

Gọi d': $y = a x$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $A (1; 1) \Rightarrow a = 1 \Rightarrow d'$ : $y = x$ .

Kẻ $O H ⊥ d \Rightarrow O H \leq O A$ .

Do đó $O H$ lớn nhất khi và chỉ khi $H \equiv A$ hay $d ⊥ d' \Leftrightarrow m \cdot 1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Câu 131:

Biết rằng parabol $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ thuộc đoạn $[0; 2]$ . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{8 a^{2} - 6 a b + b^{2}}{4 a^{2} - 2 a b + a c}$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(1; \sqrt{3})$

B. $(2; 4)$

C. $(3; 9)$

D. $(9; + \infty)$

Xem đáp án

PT tương giao: $a x^{2} + b x + c = 0_{} (1)$

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của PT(1), theo định lí viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$ .

Ta có: $P = \frac{8 a^{2} - 6 a b + b^{2}}{4 a^{2} - 2 a b + a c} = \frac{8 - 6. \frac{b}{a} + {(\frac{b}{a})}^{2}}{4 - 2. \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}$ $= \frac{8 + 6 (x_{1} + x_{2}) + {(x_{1} + x_{2})}^{2}}{4 + 2 (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2}}$ (vì $a \neq 0$ ).

Giả sử $0 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 2 \Rightarrow \{\begin{cases} {x_{1}}^{2} \leq x_{1} x_{2} \\ {x_{2}}^{2} \leq 4 \end{cases} \Rightarrow {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \leq x_{1} x_{2} + 4 \Rightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} \leq 3 x_{1} x_{2} + 4$ .

Do đó $P \leq \frac{8 + 6 (x_{1} + x_{2}) + 3 x_{1} x_{2} + 4}{4 + 2 (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2}} = 3 \Rightarrow P_{M a x} = 3$

khi $[\begin{array}{l} x_{1} = x_{2} = 2 \\ \{\begin{cases} x_{1} = 0 \\ x_{2} = 2 \end{cases} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} - \frac{b}{a} = 4 \\ \frac{c}{a} = 4 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - \frac{b}{a} = 2 \\ c = 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = - b = 4 a \\ \{\begin{cases} b = - 2 a \\ c = 0 \end{cases} \end{array}$

Câu 132:

Cho hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị đi qua điểm $A (1; 1)$ và cắt trục hoành tại hai điểm B, C sao cho tam giác $A B C$ vuông đỉnh $A$ và có diện tích $S \leq \sqrt{2}$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của M.

A. $M a x M = 1$

B. $M a x M = 2$

C. $M a x M = 3$

D. $M a x M = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số đi qua $A (1; 1)$ nên ta có . $a + b + c = 1$ (1)

Gọi $x_{1}; x_{2}$ là nghiệm phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ thì $B (x_{1}; 0), C (x_{2}; 0)$ . Tam giác ABC vuông đỉnh A nên $\vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Rightarrow (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) + 1 = 0 \Rightarrow x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 2 = 0 \Rightarrow 2 a + b + c = 0$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $a = - 1, c = 2 - b$ .

Ta có $B C = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2}} = \sqrt{{(x_{2} + x_{1})}^{2} - 4 x_{2} x_{1}} = \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{a^{2}}} = \sqrt{b^{2} - 4 b + 8}$ . Tam giác ABC có diện tích $S \leq \sqrt{2}$ nên $\frac{1}{2} B C \leq \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{b^{2} - 4 b + 8} \leq 2 \sqrt{2} \Rightarrow b^{2} - 4 b \leq 0$ .

Ta có $a = - 1$ nên hàm số có giá trị lớn nhất là $M = \frac{- Δ}{4 a} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{b^{2} - 4 b + 8}{4}$ .

Vì $b^{2} - 4 b \leq 0$ nên $M = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 0 \\ b = 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = - x^{2} + 2 \\ y = - x^{2} + 4 x - 2 \end{array}$ ,

Câu 133:

Cho hình chữ nhật ABCD ,

A B = 10, A D = 8

. Trên các cạnh

A B, B C, C D

lần lượt lấy các điểm

P, Q, R

sao cho

A P = B Q = C R

. Độ dài của AP trong khoảng nào sau đây thì diện tích tam giác PQR đạt nhỏ nhất.

A. $(2; 3)$

B. $(3; 4)$

C. $(4; 5)$

D. $(5; 6)$

Xem đáp án

Ta có tứ giác CRPB là hình thang và có diện tích $S = \frac{(C R + B P) B C}{2} = 40$ không đổi nên diện tích hình $P Q R$ đạt nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng diện tích của 2 tam giác $B P Q, C Q R$ đạt lớn nhất.

Đặt $A P = x$ , $0 \leq x \leq 8$ .

$S_{B P Q} + S_{C Q R} = \frac{x (8 - x) + x (10 - x)}{2} = x (9 - x) = \frac{81}{4} - {(x - \frac{9}{2})}^{2} \leq \frac{81}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{9}{2}$ . Chọn C

Câu 134:

Cho hàm số

f (x) = 4 x^{2} - 4 m x + m^{2} - 2 m + 2

( m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho

\underset{[0; 2]}{M i n f (x)} = 3

. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. $S \subset (- 4; 6)$

B. $S \subset (- 3; 7)$

C. $S \subset [- 2; 8]$

D. $S \subset [- 1; 9]$

Xem đáp án

Chọn D

Có hoành độ của đỉnh $x_{I} = \frac{m}{2}; a = 4 > 0$ .

Xét 3 trường hợp sau:

TH1: $\frac{m}{2} < 0 \Leftrightarrow m < 0$ . Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 2]$

$\underset{[0; 2]}{\Rightarrow M i n f (x)} = f (0) = m^{2} - 2 m + 2 = 3 \Rightarrow m = 1 - \sqrt{2}$ ( thoả mãn )

TH2: $0 \leq \frac{m}{2} \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$ $\underset{[0; 2]}{\Rightarrow M i n f (x)} = f (\frac{m}{2}) = - 2 m + 2 = 3 \Rightarrow m = - \frac{1}{2}$ ( loại )

TH3: $\frac{m}{2} > 2 \Leftrightarrow m > 4$ . Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn

$\underset{[0; 2]}{\Rightarrow M i n f (x)} = f (2) = m^{2} - 10 m + 18 = 3 \Rightarrow m = 5 + \sqrt{10}$ ( thoả mãn )

Vậy $S = \{1 - \sqrt{2}; 5 + \sqrt{10}\} \subset [- 1; 9]$ . Chọn D

Câu 135:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $y = x^{2} - 4 \sqrt{16 - x^{2}} - 13$

Xem đáp án

a) Điều kiện $- 4 \leq x \leq 4$ . Đặt $t = \sqrt{16 - x^{2}}, 0 \leq t \leq 4$

Khi đó: $y = f (t) = - t^{2} - 4 t + 3$ có $a = - 1 < 0$ nên bề lõm quay xuống dưới.

Hoành độ đỉnh $- \frac{b}{2 a} = - 2 \notin [0; 4]$ .Vậy nên $\min y = f (4) = - 29$

Câu 136:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

b) $y = x (x + 1) (x - 2) (x - 3)$

Xem đáp án

b) $y = x (x + 1) (x - 2) (x - 3) = (x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x - 3)$

Đặt $t = x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2} \geq 0$ thì $y = f (t) = (t - 1) (t - 4) = t^{2} - 5 t + 4; t \geq 0$ .

Vậy $\min y = \min f (t) = f (\frac{5}{2}) = - \frac{9}{4}$

Câu 137:

Cho hàm số $y = x^{2} - 5 x + 8$ có đồ thị là (P) và hai điểm $A (4; - 1)$ , $B (10; 5)$ . Biết điểm $M (x_{0}; y_{0})$ trên (P) thỏa mãn diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính tổng $x_{0} + y_{0}$ .

A. 4

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Cho hàm số y=x^2-5x+8 có đồ thị là (P) và hai điểm A(4,-1) , B(10,5) . Biết điểm M(x0,y0) trên (P) thỏa mãn diện tích (ảnh 1)

+ Vẽ đồ thị $(P)$ , nhận thấy A , B không thuộc bề lõm của (P), suy ra yêu cầu bài toán thỏa mãn khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với (P) song song với đường thẳng AB .

+ Gọi $y = a x + b$ là đường thẳng qua A, B suy ra $\{\begin{cases} 4 a + b = - 1 \\ 10 a + b = 5 \end{cases} \Rightarrow y = x - 5$ .

+ Đường thẳng $∆$ song song với đt $y = x - 5$ có dạng $y = x + b$ , $∆$ là tiếp tuyến của $(P)$ khi phương trình hoành độ giao điểm : $x^{2} - 6 x + 8 - b = 0$ của $(P)$ và $∆$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow Δ' = 1 + b = 0 \Leftrightarrow b = - 1$ . (chú ý $b = - 1$ là điều kiện tiếp xúc)

Khi đó $M (3; 2)$ , vậy $x_{0} + y_{0} = 5$ .

Câu 138:

Tìm m để hàm số $y = x^{2} - 2 m x - m^{2} + 5 m - 2$ có giá trị nhỏ nhất đạt giá trị lớn nhất. Giả sử $m = \frac{a}{b}$ , $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $b > 0$ , . Tính $a + b$ .

A $a + b = 7$

B. $a + b = 5$

C. $a + b = 9$

D. $a + b = - 1$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số $y = x^{2} - 2 m x - m^{2} + 5 m - 2$ có giá nhỏ nhất là $y (m) = - 2 m^{2} + 5 m - 2$ .

Biểu thức $y (m) = - 2 m^{2} + 5 m - 2$ đạt giá trị lớn nhất khi $m = \frac{5}{4}$ .

$\Rightarrow a = 5$ , $b = 4$ $\Rightarrow a + b = 9$ .

Câu 139:

Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số):

x^{2} + 2 (m - 2) x - 3 m^{2} - 4 m + 8 = 0

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn điều kiện

x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} - 24 \leq 0

. Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 13 (x_{1} + x_{2})

. Tính :

M + N

A. -64

B. -44

C. $\frac{- 87}{2}$

D. $\frac{- 127}{2}$

Xem đáp án

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} - 24 \leq 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} - 24 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m^{2} - 4 \geq 0 \\ 6 m^{2} + 6 m - 36 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq - 1 \end{array} \\ - 3 \leq m \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 3 \leq m \leq - 1 \\ 1 \leq m \leq 2 \end{array}$ (*)

(Theo định lí Viet ta có $x_{1} + x_{2} = - 2 (m - 1), x_{1} x_{2} = - 3 m^{2} - 4 m + 8$ )

Vậy $P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 13 (x_{1} + x_{2}) = {(x_{1} + x_{2})}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 13 (x_{1} + x_{2}) = - 2 m^{2} + 2 m - 20$

+ Bảng biến thiên của P với điều kiện (*)

Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x^2+2(m-2)x-4m+8=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta được: $M = - 20$ khi $m = 1$ , $N = - 44$ khi $m = - 3$ . Suy ra $M + N = - 64$ .

Câu 140:

Cho hàm số: $f (x) = a x^{2} + b x + 2 (a > 0)$ . Biết rằng hàm số đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{8 a^{2}}{3 a^{2} + 2 a b + b^{2}}$ là:

A. 4

B. $\frac{8}{11}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Do $a > 0$ nên hàm số đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ thì: $\frac{- b}{2 a} \leq - 1 \Leftrightarrow \frac{b}{a} \geq 2$

Khi đó : $P = \frac{8 a^{2}}{3 a^{2} + 2 a b + b^{2}} = \frac{8}{{(\frac{b}{a})}^{2} + 2 \frac{b}{a} + 3} = \frac{8}{t^{2} + 2 t + 3}$ với $t = \frac{b}{a} \geq 2$

Ta có $t^{2} + 2 t + 3 = {(t + 1)}^{2} + 2 \geq 11, \forall t \geq 2$ . Dấu ‘=” xảy ra khi $t = 2$

Do đó : $P \leq \frac{8}{11}$ . Suy ra $m axP= \frac{8}{11}$ khi $\frac{b}{a} = 2$ . Chọn B

Câu 141:

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 2018 x + 3$ và đường thẳng $d : y = m x + 4$ . Biết d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoành độ lần lượt là $x_{1}, x_{2}$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = |x_{1} - x_{2}|$ ?

A. $T = 2018.$

B. $T = 0.$

C. $T = 2$

D. $T = 4.$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d :

$x^{2} - 2018 x + 3 = m x + 4 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 2018) x - 1 = 0$ .

Nhận thấy phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu $x_{1}, x_{2}$ với mọi $m \in R$

Ta có $x_{1} . x_{2} = - 1 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}$ .Suy ra $T = |x_{1} + \frac{1}{x_{1}}| = |x_{1}| + |\frac{1}{x_{1}}| \geq 2$ (do $x_{1}, \frac{1}{x_{1}}$ cùng dấu) .

Dấu “=” xảy ra khi $m = 2018.$

Câu 142:

Cho

x, y, z \in [0; 2]

.Tìm giá trị lớn nhất của

T = 2 (x + y + z) - (x y + y z + z x)

?

A, $T = 3.$

B. $T = 0.$

C. $T = 4.$

D. $T = 2.$

Xem đáp án

Ta có $T = f (x) = (2 - y - z) x + 2 (y + z) - y z$

Nếu $y + z = 2$ thì $f (x) = 4 - y z \leq 4$ do $- y z \leq 0$

Nếu $y + z \neq 2$ thì $f (x)$ là hàm số bậc nhất

Ta có $f (0) = - (2 - y) (2 - z) + 4 \leq 4$ và $f (2) = - y z + 4 \leq 4$ .

Vậy $M a x T = 4$ khi $x = 0, y = z = 2$ hoặc $x = 2, y = z = 0.$

Câu 143:

Cho hàm số

y = f (x) = x^{2} - 2 a x + 1

với a là tham số.Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên

[0; 1]

. Biết rằng có hai giá trị của a để

M - m = 4

khi đó tổng hai giá trị của a bằng

A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Hàm số $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1$ có hệ số của $x^{2}$ bằng dương, tọa độ đỉnh $I (a; 1 - a^{2})$ , $f (0) = 1$ $f (1) = 2 - 2 a$

HT1: Xét $a < 0$ khi đó hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(0; 1)$ , $\Rightarrow M = f (1)$ , $m = f (0)$

Khi đó $M - m = 4 \Leftrightarrow a = \frac{- 3}{2}$ (thỏa mãn).

TH2: Xét $a > 1$ khi đó hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$ , $\Rightarrow M = f (0)$ , $m = f (1)$

Khi đó $M - m = 4 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}$ ( thỏa mãn).

( Đến đây đủ hai giá trị a chọn luôn đáp án).

TH3: Xét $0 \leq a \leq 1$ khi đó $m = f (a)$ , $M = m a x \{f (0); f (1)\}$

-Nếu $M = f (0)$ $\Rightarrow M - m = 4 \Leftrightarrow a = \pm 2$ không thỏa mãn

-Nếu $M = f (1)$ $\Rightarrow M - m = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 3 \\ a = - 1 \end{array}$ không thỏa mãn.

Vậy có hai giá trị a thỏa mãn là

a = \frac{- 3}{2}

,

a = \frac{5}{2}

suy ra chọn B

Câu 144:

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 4

x^{2}

- 4mx +

m^{2}

– 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có: f(x) = (2x – m)² – 2m + 2

f(0) = m² – 2m + 2

f(2) = m² – 18m + 18

bảng biến thiên của hàm số f(x) là:

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3? (ảnh 1)

+) Nếu thì f(x) đồng biến trên [0 ; 2] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó là

f(0) = m² – 2m + 2 khi đó 3 = m² – 2m + 2

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3? (ảnh 3)

mà

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3? (ảnh 4)

+) Nếu

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3? (ảnh 6)

thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là khi đó

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3? (ảnh 7)

+) Nếu

thì f(x) nghịch biến trên [0 ; 2] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó là

f(2) = m² – 18m + 18 khi đó 3 = m² – 18m + 18

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3? (ảnh 9)

Vậy với hoặc thì hàm số f(x) = 4x² - 4mx + m² – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3

Câu 145:

Gọi a, b các số thực để biểu thức $F = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b$ .

A. $P = 12$

B. $P = 21$

C. $P = 19$

D. $P = 29$

Xem đáp án

Các số thực a, b thõa mãn bài toán $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \underset{ℝ}{m ax} (F - 4) = 0 \\ \min_{ℝ} (F + 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \underset{ℝ}{m ax} (- 4 x^{2} + ax + b - 4) = 0 \\ \min_{ℝ} (x^{2} + b x + b + 1) = 0 \end{cases}$

Đặt $f (x) = - 4 x^{2} + ax + b - 4$ , $g (x) = x^{2} + b x + b + 1$

Dễ thấy $f (x), g (x)$ là các hàm số bậc hai lần lượt có hệ số bằng -4 và 1. Nên max và min lần lượt đạt tại đỉnh của nó.

Từ đó ta có $\{\begin{cases} a^{2} + 16 (b - 4) = 0 \\ a^{2} - 4 (b + 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 16 \\ b = 3 \end{cases}$

Câu 146:

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 m + 4 = 0$ ( x là ẩn và m là tham số). Khi đó thuộc đoạn nào để phương trình đã cho có hai nghiệm không âm $x_{1}, x_{2}$ và giá trị của $P = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}$ là nhỏ nhất.

A. $m \in [2; 4]$

B. $m \in (2; + \infty)$

C. $m \in (2; + \infty)$

D. $m \in (2; 5)$

Xem đáp án

Phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 m + 4 = 0$ có hai nghiệm không âm

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = m^{2} - m^{2} + 2 m - 4 \geq 0 \\ S = 2 m \geq 0 \\ P = m^{2} - 2 m + 4 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 2.$

Theo định lý Vi-ét ta có $x_{1} + x_{2} = 2 m; x_{1} x_{2} = m^{2} - 2 m + 4$ .

Suy ra $P = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = \sqrt{{(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})}^{2}} = \sqrt{x_{1} + x_{2} + 2 \sqrt{x_{1} x_{2}}} = \sqrt{2 m + 2 \sqrt{{(m - 1)}^{2} + 3}}$ .

Mà $P = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}$ nhỏ nhất khi $\sqrt{2 m + 2 \sqrt{{(m - 1)}^{2} + 3}}$ nhỏ nhất.

Vậy $P = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = \sqrt{2 m + 2 \sqrt{{(m - 1)}^{2} + 3}} \geq \sqrt{8}$ dấu bằng xảy ra khi .

Đáp án: $m \in [2; 4]$

Câu 147:

Cho hàm số $y = 2 x^{2} + (6 - m) x + 3 - 2 m (1) .$ Giá trị để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ sao cho biểu thức $A = \frac{1}{{(x_{1} + 2)}^{2018}} + \frac{1}{{(x_{2} + 2)}^{2018}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $m \in R$

B. $m \in (- 3; 0)$

C. $m \in (0, 1)$

D. $m \in \emptyset$

Xem đáp án

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là nghiệm phương trình $2 x^{2} + (6 - m) x + 3 - 2 m = 0 (*) .$

Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm

phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 12 > 0, \forall m .$

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình (*). Theo Viét ta có

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{m - 6}{2} \\ x_{1} x_{2} = \frac{3 - 2 m}{2} . \end{cases}$

Ta có $\frac{1}{(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)} = \frac{1}{(x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4)} = - 2.$

Theo bất đẳng thức Côsi ta có $\frac{1}{{(x_{1} + 2)}^{2018}} + \frac{1}{{(x_{2} + 2)}^{2018}} \geq 2 \sqrt{{(\frac{1}{(x_{1} + 2)} \frac{1}{(x_{2} + 2)})}^{2018}} = 2^{1010} .$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{{(x_{1} + 2)}^{2018}} = \frac{1}{{(x_{2} + 2)}^{2018}} \Leftrightarrow |x_{1} + 2| = |x_{2} + 2| .$

Do

x_{1}, x_{2}

phân biệt nên ta có

x_{1} + 2 = - x_{2} - 2 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = - 4 \Rightarrow \frac{m - 6}{2} = - 4 \Leftrightarrow m = - 2.

Câu 148:

Cho phương trình:. Gọi $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của

A. 4

B. 9

C. 8

D. $\frac{8}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho phương trình: 2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3=0 (1) . Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình. (ảnh 3)

Phương trình có nghiệm $< = > △^{'} = - (m^{2} + 6 m + 5) \geq 0 < = > - 5 \leq m \leq - 1$

Cho phương trình: 2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3=0 (1) . Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình. (ảnh 4)

Ta có :

Xét hàm số có BBT trên là:

Cho phương trình: 2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3=0 (1) . Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình. (ảnh 7)

=> $\underset{[- 5; - 1]}{M a x} |f (m)| = 9$ =>Max A

Câu 149:

Cho hàm số $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 7$ và ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a \geq 5, a + b \geq 8, a + b + c \geq 10.$ Gọi M là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f (a) + f (b) + f (c) .$ Giá trị M là

A. 85

B. 58

C. 78

D. 65

Xem đáp án

Ta có $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 7 \geq 2 x_{0}^{2} + 3 x_{0} - 7 + (4 x_{0} + 3) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow 2 {(x - x_{0})}^{2} \geq 0$

Suy ra $f (a) \geq 58 + 23 (a - 5)$

$f (b) \geq 20 + 15 (b - 3)$

$f (c) \geq 7 + 11 (c - 2)$

$\begin{array}{l} f (a) + f (b) + f (c) \geq 85 + 23 (a - 5) + 15 (b - 3) + 11 (c - 2) \\ f (a) + f (b) + f (c) \geq 85 + 11 (a + b + c - 10) + 4 (a + b - 8) + 8 (a - 5) \geq 85 \end{array}$

Vây giá trị nhỏ nhất bằng 85

Câu 150:

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 x + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x} + m^{2} - 2018 m$ . Tổng S tất cả các giá trị nguyên dương của m thỏa mãn điều kiện: $S \leq 2019$ (với S là giá trị nhỏ nhất của hàm số khi $x \geq 2$ ) bằng:

A. $S = 2019.1010$

B. $S = 2019.1009$

C. $S = 2019.2018$

D. $S = 2021.1009$

Xem đáp án

Ta có $y = x^{2} - 2 x + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x} + m^{2} - 2018 m$

trong đó $\begin{array}{l} x \geq 2 \Rightarrow t = \sqrt{x^{2} - 2 x} \geq 0 \\ \Rightarrow y = t^{2} + 2 t + m^{2} - 2018 m \geq m^{2} - 2018 m; \forall t \geq 0 \\ y c b t \Leftrightarrow m^{2} - 2018 m \geq 2019 \end{array}$

Mặt khác : m nguyên dương

$\begin{array}{l} 1 \leq m \leq 2019 \\ \Rightarrow S = 1 + 2 + 3 + ... + 2019 = 2019.1010 \end{array}$

Câu 151:

Cho hàm số: $y = f (x) = m x^{2} - 2 x - m - 1 (C)$

Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số (C) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

+)BBT

$+) m \geq 0$ không có GTLN

$+) m < 0$ từ BBT ta có GTLN là $- \frac{m^{2} + m + 1}{m}$

Vì $m < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - \frac{1}{m} > 0 \\ - m > 0 \end{cases} \Rightarrow (- \frac{1}{m}) + (- m) \geq 2 \Leftrightarrow (- \frac{1}{m}) + (- m) - 1 \geq 1$

Dấu đẳng thức xr $\Leftrightarrow (- \frac{1}{m}) = (- m) \Leftrightarrow m = - 1 d o m < 0$

Vậy GTNN bằng 1 khi và chỉ khi $m = - 1$

Câu 152:

Cho hàm số $y = f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (f (x))$ , với $- 3 \leq x \leq 0$ . Tổng $S = m + M$ .

A. $S = 1$

B. $S = 56$

C. $S = 57$

D. $S = 64$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $f (f (x)) = f^{2} (x) + 6 f (x) + 5.$

Đặt $t = f (x)$ , Xét hàm $t = f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ trên $[- 3; 0]$

Ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x)=x^2+6x+5. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta được: $- 4 \leq t \leq 5$

Khi đó hàm số được viết lại: $f (t) = t^{2} + 6 t + 5,$

Lập bảng biến thiên của hàm $f (t) = t^{2} + 6 t + 5,$ trên $[- 4; 5]$ .

Cho hàm số y=f(x)=x^2+6x+5. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, (ảnh 2)

Ta được $m = - 4$ , $M = 60$ . Vậy $S = 56$

Câu 153:

Cho hàm số $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , thỏa mãn $|f (x)| \leq 1, \forall x \in [- 1; 1]$ và biểu thức $\frac{8}{3} a^{2} + 2 b^{2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $P = 5 a + 11 b + c$ , biết $a > 0$

A. $P = 10$

B. $P = 9$

C. $P = 16$

D. $P = 12$

Xem đáp án

Chọn B

Thay $x = - 1, x = 0, x = 1$ vào hàm số $f (x)$ , ta được $\{\begin{cases} - 1 \leq c \leq 1 (1) \\ - 1 \leq a + b + c \leq 1 (2) \\ - 1 \leq a - b + c \leq 1 (3) \end{cases}$

Từ ta có $\{\begin{cases} - 1 - c \leq a + b \leq 1 + c \\ - 1 - c \leq a - b \leq 1 + c \end{cases}$ , kết hợp với , ta được $\{\begin{cases} - 2 \leq a + b \leq 2 \\ - 2 \leq a - b \leq 2 \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} a^{2} + 2 a b + b^{2} \leq 4 \\ a^{2} - 2 a b + b^{2} \leq 4 \end{cases} \Rightarrow a^{2} + b^{2} \leq 4$ . Vậy $\frac{8}{3} a^{2} + 2 b^{2} = \frac{8}{3} (a^{2} + b^{2}) - \frac{2}{3} b^{2} \leq \frac{8}{3} (a^{2} + b^{2}) \leq \frac{32}{3}$

Nên $\frac{8}{3} a^{2} + 2 b^{2}$ lớn nhât khi $b = 0, a = 2$ thay vào (2) , ta được $- 3 \leq c \leq - 1$ kết hợp với (1) thì $c = - 1$ . Thử lại với $b = 0, a = 2 c = - 1$ thỏa mãn $|f (x)| \leq 1, \forall x \in [- 1; 1]$ . Vậy $b = 0, a = 2, c = - 1$

Nên $P = 9$ .

Câu 154:

Cho đồ thị hàm số $(C) : y = a . x^{2} + b x + c$ có đỉnh $I (- 1; 2)$ . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a (2 a + 6 b) - 2 b (c + 3 b) - 4 c (3 - b)}{a (3 c + 3 b) + 2}$ là M khi hàm số có pt: $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} .$ Tính $Q = M^{2} + a_{1}^{2} + b_{1} + c_{1}^{3}$

A. $Q = \frac{3739}{27}$

B. $Q = 28$

C. $Q = - \frac{26}{5}$

D. $Q = \frac{520}{27}$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{cases} x_{I} = - \frac{b}{2 a} = - 1 \\ a - b + c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 2 a \\ c = 2 + a \end{cases}$

* $P = \frac{a .14 a - 4 a (2 + 7 a) - 4 (2 + a) (3 - 2 a)}{a (9 a + 6) + 2} = \frac{- 6 a^{2} - 4 a - 24}{9 a^{2} + 6 a + 2} = - \frac{2}{3} - \frac{\frac{68}{3}}{9 a^{2} + 6 a + 2}$

* $P_{\min} = - \frac{70}{3}$ tại $a = - \frac{1}{3}; b = - \frac{2}{3}; c = \frac{5}{3} .$

* Hàm số có pt: $y = - \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$ và $P_{\min} = \frac{520}{27}$

Chọn đáp án D

Câu 155:

Cho

x, y, z \in [0; 2]

.Tìm giá trị lớn nhất của

T = 2 (x + y + z) - (x y + y z + z x)

?

A. $T = 3.$

B. $T = 0.$

C. $T = 4.$

D. $T = 2.$

Xem đáp án

Ta có $T = f (x) = (2 - y - z) x + 2 (y + z) - y z$

Nếu $y + z = 2$ thì $f (x) = 4 - y z \leq 4$ do $- y z \leq 0$

Nếu $y + z \neq 2$ thì $f (x)$ là hàm số bậc nhất

Ta có $f (0) = - (2 - y) (2 - z) + 4 \leq 4$ và $f (2) = - y z + 4 \leq 4$ .

Vậy MaxT=4 khi $x = 0, y = z = 2$ hoặc $x = 2, y = z = 0$

Câu 156:

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{4} - 4 x^{2} + 5 + m|$ trên đoạn $[1; \sqrt{3}]$ là giá trị nhỏ nhất.

A. $m = \frac{3}{2} .$

B. $m = - \frac{3}{2} .$

C. $m = \frac{1}{2} .$

D. $m = - \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đặt $t = x^{2} \Rightarrow t \in [1; 3]$ ta được hàm số : $y (t) = |t^{2} - 4 t + 5 + m|, t \in [1; 3]$

Đặt $u = t^{2} - 4 t + 5, u \in [1; 2]$ , hàm số trở thành: $y (u) = |u + m|$

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y=|x^4-4x^2+5+m| trên đoạn [1,căn3] là giá trị nhỏ nhất. (ảnh 1)

Vì $t \in [1; 3] \Rightarrow u \in [1; 2]$

Hàm số $f (u) = u + m$ đồng biến trên $[1; 2]$ nên hàm số $y = |u + m|$ nhận GTLN,GTNN ở một trong hai điểm mút 1 ,2.

Do đó : $\underset{[1; \sqrt{3}]}{\max y} = \max {f (1), f (2)} = \max {|1 + m|, |2 + m|} \geq \frac{|1 + m| + |2 + m|}{2} \geq \frac{1}{2} .$

Dấu “ = “ xãy ra khi $m + 1 = - m - 2 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2} .$

Câu 157:

Cho parabol $(P) : y = - x^{2} + 2 m x - 3 m^{2} + 4 m - 3$ ( m là tham số ) có đỉnh I. Gọi A,B là 2 điểm thuộc Ox sao cho $A B = 2018$ . Khi đó $△ I A B$ có diện tích nhỏ nhất bằng :

A. 2018

B. 1009

C. 4036

D. 1008

Xem đáp án

y = - x^{2} + 2 m x - 3 m^{2} + 4 m - 3

có

Δ' = m^{2} + (- 3 m^{2} + 4 m - 3)

Δ' = - 2 m^{2} + 4 m - 3 = - 2 {(m - 1)}^{2} - 1 < 0, \forall m

\Rightarrow (P)

luôn nằm phía dưới Ox .
(P) có đỉnh

I (m; - 2 m^{2} + 4 m - 3)

. Gọi H là hình chiếu của I trên Ox. Khi đó ta có :
.

\Rightarrow S_{△ I A B} = \frac{1}{2} I H . A B

S_{△ I A B}

đạt GTNN

\Leftrightarrow I H

đạt GTNN

\Leftrightarrow f (m) = 2 m^{2} - 4 m + 3

đạt GTNN

\Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow M i n f (m) = 1 \Rightarrow M i n I H = 1 \Rightarrow M i n S_{△ I A B} = \frac{1}{2} .1.2018 = 1009

.

Câu 158:

Cho hàm số $y = |x^{2} + 2 x + 3 m|$ ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số trên $[- 2; 1]$ bằng 7 .

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đặt $g (x) = x^{2} + 2 x + 3 m$ , khi đó $y = |g (x)|$ .

Bảng biến thiên của hàm số $g (x)$ trên $[- 2; 1]$

Cho hàm số y=|x^2 +2x+3m| (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số trên (ảnh 1)

+) Nếu $3 m - 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}$ thì $\max_{[- 2; 1]} y = 3 m + 3$ .

Ycbt $\Leftrightarrow 3 m + 3 = 7 \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}$ (loại do m nguyên).

+) Nếu $3 m + 3 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 1$ thì $\max_{[- 2; 1]} y = - 3 m + 1$ .

Ycbt $\Leftrightarrow - 3 m + 1 = 7 \Leftrightarrow m = - 2$ ( chọn do m nguyên và $m \in (- \infty; - 1]$ ).

+) Nếu $3 m < 0 < 3 m + 3 \Leftrightarrow - 1 < m < 0$ thì $[\begin{array}{l} \max_{[- 2; 1]} y = 3 m + 3 \\ \max_{[- 2; 1]} y = - 3 m + 1 \end{array}$ .

Ycbt $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 m + 3 = 7 \\ - 3 m + 1 = 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{4}{3} \notin (- 1; 0) \\ m = - 2 \notin (- 1; 0) \end{array}$ .

+) Nếu $3 m - 1 < 0 < 3 m \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{3}$ thì $[\begin{array}{l} \max_{[- 2; 1]} y = 3 m + 3 \\ \max_{[- 2; 1]} y = 3 m \\ \max_{[- 2; 1]} y = - 3 m + 1 \end{array}$ .

Ycbt $[\begin{array}{l} 3 m + 3 = 7 \\ 3 m = 7 \\ - 3 m + 1 = 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{4}{3} \notin (0; \frac{1}{3}) \\ m = \frac{7}{3} \notin (0; \frac{1}{3}) \\ m = - 2 \notin (0; \frac{1}{3}) \end{array}$ .

Vậy $m = - 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 159:

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1 + x y$ . Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $S = x^{4} + y^{4} - x^{2} y^{2}$ . Khi đó giá trị của $M + m$ là

A. $\frac{10}{9}$

B. $\frac{29}{18}$

C. $\frac{5}{2}$

D. $\frac{5}{9}$

Xem đáp án

Có $S = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 3 x^{2} y^{2} = {(1 + x y)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} = - 2 x^{2} y^{2} + 2 x y + 1$

Đặt $t = x y \Rightarrow S = - 2 t^{2} + 2 t + 1$

Có

$x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \Rightarrow 1 + x y \geq 2 x y \Rightarrow x y \leq 1$ , dấu bằng xảy ra khi $x = y = \pm 1$

$x^{2} + y^{2} \geq - 2 x y \Rightarrow 1 + x y \geq - 2 x y \Rightarrow x y \geq - \frac{1}{3}$ , dấu bằng xảy ra khi $[\begin{array}{l} x = \frac{1}{\sqrt{3}}, y = - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ x = - \frac{1}{\sqrt{3}}, y = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

Suy ra $t \in [- \frac{1}{3}; 1]$

Xét hàm số $f (t) = - 2 t^{2} + 2 t + 1$ , $t \in [- \frac{1}{3}; 1]$

Ta có bảng biến thiên

Cho các số thực x,y thỏa mãn x^2+y^2=1+xy . Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy $M = \frac{3}{2}; m = \frac{1}{9} \Rightarrow M + m = \frac{29}{18}$

Câu 160:

Giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = |2 m - 3 x|$ trên $[- 1; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn mệnh đề nào sau đây

A. $m \in (2; 3)$

B. $m \in (1; 2)$

C. $m \in (- 1; 1)$

D. $m \in (3; 4)$

Xem đáp án

Vì đồ thị hàm số bậc nhất $y = 2 m - 3 x$ là một đường thẳng nên $\max_{[- 1; 2]} f (x)$ chỉ có thể đạt được tại $x = - 1$ hoặc $x = 2$ .

Do đó nếu đặt M = $\max_{[1; 2]} f (x)$ thì $M \geq f (- 1) = |2 m + 3|$ và $M \geq f (2) = |2 m - 6|$ .

Ta có

$M \geq \frac{f (- 1) + f (2)}{2} = \frac{|2 m + 3| + |2 m - 6|}{2} = \frac{|2 m + 3| + |6 - 2 m|}{2} \geq \frac{|(2 m + 3) + (6 - 2 m)|}{2} = \frac{9}{2}$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} |2 m + 3| = |6 - 2 m| \\ (2 m + 3) (6 - 2 m) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{9}{2}$ , đạt được chỉ khi $m = \frac{3}{4}$ . Đáp án B.

Câu 161:

Giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x) = |- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 2 m|$ trên $[- 2; 3]$ đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn mệnh đề nào sau đây

A. $m \in (- 6; - 4)$

B. $m \in (- 4; 0)$

C. $m \in (0; 3)$

D. $m \in (3; 5)$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = g (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1 - 2 m$ là parabol có hoành độ đỉnh bằng $\frac{- b}{a} = 1 \in [- 2; 3]$

Do đó

$M = \max_{[- 2; 3]} f (x)$ $= max \{|g (1)|; |g (- 2)|; |g (3)|\}$

$= max \{|4 - 2 m|; |- 23 - 2 m|; |- 8 - 2 m|\}$

$= max \{|2 m - 4|; |2 m + 23|; |2 m + 8|\}$

$= max \{|2 m - 4|; |2 m + 23|\}$ ( do $2 m - 4 < 2 m + 8 < 2 m + 23^{} \forall m \in ℝ$ )

$= max \{|2 m - 4|; |2 m + 23|\}$

Suy ra $M \geq |2 m - 4|$ và $M \geq |2 m + 23|$

Ta có

$M \geq \frac{|2 m - 4| + |2 m + 23|}{2} = \frac{|2 m + 23| + |4 - 2 m|}{2} \geq \frac{|(2 m + 23) + (4 - 2 m)|}{2} = \frac{27}{2}$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} |2 m + 23| = |4 - 2 m| \\ (2 m + 23) (4 - 2 m) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = - \frac{19}{4}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{27}{2}$ , đạt được chỉ khi $m = - \frac{19}{4}$ . Đáp án A.

Câu 162:

Biết rằng hàm số

y = a x^{2} + b x + c

(a,b,c là các số thực) đạt giá trị lớn nhất bằng

\frac{1}{4}

tại

x = \frac{3}{2}

và tổng lập phương các nghiệm của phương trình

y = 0

bằng 9Tính

P = a b c .

A. $P = 0.$

B. $P = 6 .$

C. $P = 7$

D. $P = - 6$

Xem đáp án

Hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$ tại $x = \frac{3}{2}$ nên ta có $\{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = \frac{3}{2} \\ a < 0 \end{cases}$ và điểm $(\frac{3}{2}; \frac{1}{4})$ thuộc đồ thị $\Rightarrow \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = \frac{1}{4} .$

Để phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có nghiệm thì $b^{2} - 4 a c \geq 0$

Khi đó giả sử $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình y=0. Theo giả thiết: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 9$

$\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 9 \overset{Viet}{\to} {(- \frac{b}{a})}^{3} - 3 (- \frac{b}{a}) (\frac{c}{a}) = 9$ .

Từ đó ta có hệ $\{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = \frac{3}{2} \\ \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = \frac{1}{4} \\ {(- \frac{b}{a})}^{3} - 3 (- \frac{b}{a}) (\frac{c}{a}) = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 3 a \\ \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = \frac{1}{4} \\ \frac{c}{a} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 3 \\ c = - 2 \end{cases} \overset{}{\to} P = a b c = 6.$

Chọn B

Câu 163:

Cho đường thẳng

d_{m} : y = m x - 2 m + 1

và parabol (P):

y = x^{2} - 3 x + 2

(m là tham số thực). Biết

d = \frac{\sqrt{a}}{b}

(với

a, b \in ℤ

và phân số

\frac{a}{b}

tối giản) là khoảng cách lớn nhất từ đỉnh I của parabol (P) đến đường thẳng

d_{m}

. Tính

P = a^{2} + b^{2}

.

A. $P = 1097$

B. $P = 45$

C. $P = 857$

D. $P = 285$

Xem đáp án

Đỉnh của (P) là $I (\frac{3}{2}; - \frac{1}{4})$ .

Gọi $M (a; b)$ là điểm cố định của họ đường thẳng $d_{m}$

Suy ra $(a - 2) m + 1 - b = 0$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 2 = 0 \\ 1 - b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}$ $\Rightarrow M (2; 1)$ .

Gọi H là hình chiếu của I lên $d_{m}$ , khi đó IH là khoảng cách từ I đến đường thẳng $d_{m}$ .

Có $d (I; d_{m}) = I H \leq I M$ nên $d (I; d_{m})$ đạt giá trị lớn nhất bằng $I M$ khi và chỉ khi $H \equiv M (2; 1)$

Khi đó $d = I M = \frac{\sqrt{29}}{4}$ $\Rightarrow a = 29$ , b=4.

Vậy $P = a^{2} + b^{2} = 857$ .

Câu 164:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A (- 1; 1)$ và $B (- 2; 3)$ . Điểm $M (0; \frac{m}{n})$ (với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $n > 0$ ) nằm trên trục tung thỏa mãn tổng khoảng cách từ M tới hai điểm A và B là nhỏ nhất. Tính $S = m + 2 n$ .

A. S=1

B. S=11

C. S=4

D. S=3

Xem đáp án

Ta có A, B nằm cùng phía so với Oy.

Lấy điểm $B' (2; 3)$ đối xứng với điểm B qua Oy.

Ta có: $M A + M B = M A + M B'$ .

Do đó, để $M A + M B$ nhỏ nhất thì: 3 điểm M,A,B' thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng đi qua A và B' là: $y = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ .

Đường thẳng AB' cắt trục tung tại điểm

M (0; \frac{5}{3}) \Rightarrow m = 5; n = 3 \Rightarrow m + 2 n = 11

.

Câu 165:

Cho hàm số $y = f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (f (x))$ , với $- 3 \leq x \leq 0$ . Tổng $S = m + M$ .

A. $S = 1$

B. $S = 56$

C. $S = 57$

D. $S = 64$

Xem đáp án

Ta có $f (f (x)) = f^{2} (x) + 6 f (x) + 5.$

Đặt $t = f (x)$ , Xét hàm $t = f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ trên $[- 3; 0]$

Ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x)=x^2 +6x+5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta được: $- 4 \leq t \leq 5$

Khi đó hàm số được viết lại: $f (t) = t^{2} + 6 t + 5,$

Lập bảng biến thiên của hàm $f (t) = t^{2} + 6 t + 5,$ trên $[- 4; 5]$ .

Cho hàm số y=f(x)=x^2 +6x+5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số (ảnh 2)

Ta được $m = - 4$ , $M = 60$ . Vậy $S = 56$

Câu 166:

Cho Parabol $y = m x^{2} - 2 m x + 2$ . Gọi S là tổng tất cả các giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất baèng -6 trên đoạn [-2; 3]. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 8

B. 7

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Tọa độ đỉnh của Parabol I(1; 2 – m)

Nếu m > 0 khi đó giá trị nhỏ nhất là $2 - m \Rightarrow 2 - m = - 6 \Leftrightarrow m = 8$ (tm)

Nếu m < 0 khi đó $y (- 2) = 8 m + 2, y (3) = 3 m + 2$ vì $8 m + 2 < 3 m + 2 \forall m < 0 \Rightarrow \min y = 8 m + 2$

Ycbt $\Leftrightarrow 8 m + 2 = - 6 \Leftrightarrow m = - 1 (t m)$

Vậy S = {-1; 8}

Câu 167:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) = 4 x^{2} - 4 m x + m^{2} - 2 m$ trên đoạn $[- 2; 0]$ bằng 3Tính tổng T các phần tử của S

A. $T = - \frac{3}{2} .$

B. $T = \frac{1}{2} .$

C. $T = \frac{9}{2} .$

D. $T = \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Chọn D

Parabol có hệ số theo $x^{2}$ là $4 > 0$ nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh $x_{I} = \frac{m}{2}$ .

· Nếu $\frac{m}{2} < - 2 \Leftrightarrow m < - 4$ thì $x_{I} < - 2 < 0$ . Suy ra $f (x)$ tăng trên đoạn $[- 2; 0]$ .

Do đó $\min_{[- 2; 0]} f (x) = f (- 2) = m^{2} + 6 m + 16$ .

Theo yêu cầu bài toán: $m^{2} + 6 m + 16 = 3$ (vô nghiệm).

· Nếu $- 2 \leq \frac{m}{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0$ thì $x_{I} \in [0; 2]$ . Suy ra $f (x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Do đó $\min_{[- 2; 0]} f (x) = f (\frac{m}{2}) = - 2 m$ .

Theo yêu cầu bài toán $- 2 m = 3 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}$ (thỏa mãn $- 4 \leq m \leq 0$ ).

· Nếu $\frac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0$ thì $x_{I} > 0 > - 2$ . Suy ra $f (x)$ giảm trên đoạn $[- 2; 0]$ .

Do đó $\min_{[- 2; 0]} f (x) = f (0) = m^{2} - 2 m .$

Theo yêu cầu bài toán: $m^{2} - 2 m = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 (l o a ï i) \\ m = 3 (t m) \end{array} .$

Vậy $S = \{- \frac{3}{2}; 3\} \overset{}{\to} T = - \frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} .$

Câu 168:

Gọi

M, m

lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số

f (x) = \frac{x^{3} + x^{2} + x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

. Tìm số phần tử của tập hợp

ℤ \cap [m; M]

?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ . Đặt $t = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Vì $x^{2} + 1 \geq 2 |x| \Rightarrow - \frac{x^{2} + 1}{2} \leq x \leq \frac{x^{2} + 1}{2} \Rightarrow \frac{- 1}{2} \leq \frac{x}{x^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow t \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

Xét hàm $g (t) = t^{2} + t$ với $t \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ .

Dễ thấy hàm số đồng biến trên $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Nên $m = g (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$ , $M = g (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} .$

Vậy $ℤ \cap [m; M]= \{0\} .$

Câu 169:

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 (m^{2} + 1) x + m$ . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[- 2; 0]$ lần lượt là $y_{1}$ ; $y_{2}$ . Tính tổng các giá trị của m tìm được, biết $y_{1} + 11 y_{2} = 0$ .

A. -1

B. -3

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $f (x) = x^{2} - 2 (m^{2} + 1) x + m$

Gọi $I (x_{I}; y_{I})$ là tọa độ đỉnh của parabol $\Rightarrow x_{I} = m^{2} + 1 \geq 1$ . Vậy $x_{I} \notin [- 2; 0]$

Ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; m^{2} + 1) \Rightarrow$ hàm số cũng nghịch biến trên $(- 2; 0)$

Vậy $y_{1} = f (- 2) = 4 m^{2} + m + 8$ và $y_{2} = f (0) = m$

Theo bài ra $y_{1} + 11 y_{2} = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 12 m + 8 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 2 \end{array}$

Câu 170:

Xét các số thực $a, b, c$ sao cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm thuộc $[0; 1]$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \frac{(a - b) (2 a - b)}{a (a - b + c)}$ là

A. $T_{\max} = 3.$

B. $T_{\max} = \frac{3}{2} .$

C. $T_{max} = \frac{35}{8} .$

D. $T_{max} = \frac{8}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Với các số thực $a, b, c$ làm cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm thuộc $[0; 1]$ . Gọi hai nghiệm đó là $x_{1}, x_{2}$ , theo định lí Viet ta được $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

Ta có $T = \frac{(a - b) (2 a - b)}{a (a - b + c)} = \frac{\frac{(a - b) (2 a - b)}{a^{2}}}{\frac{a - b + c}{a}} = \frac{(1 - \frac{b}{a}) (2 - \frac{b}{a})}{1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}} = \frac{(1 + x_{1} + x_{2}) (2 + x_{1} + x_{2})}{1 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}}$

$= \frac{2 (1 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}) + x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{1 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}} = 2 + \frac{x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{1 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}} .$

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $0 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 1$ ,

Suy ra $\{\begin{cases} x_{1}^{2} \leq x_{1} x_{2} \\ x_{2}^{2} \leq 1 \end{cases} \Rightarrow 1 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} \geq 1 + x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} \geq x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

Suy ra $\frac{x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{1 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}} \leq \frac{x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{1 + x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2}} \leq \frac{x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} + x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} = 1.$

Suy ra

T \leq 2 + 1 = 3

. Vậy

T_{max} = 3

, dấu “=” xảy ra khi

[\begin{array}{l} x_{1} = 0; x_{2} = 1 \\ x_{1} = x_{2} = 1 \end{array} .

Chọn A

Câu 171:

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27(triệu đồng) và bán ra với giá là 31triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm 200chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.

A. 30 triệu đồng.

B.29 triệu đồng.

C.30,5 triệu đồng.

D.29,5 triệu đồng.

Xem đáp án

Chọn C

Gọi x(triệu) đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá; $(0 \leq x \leq 4)$ .

Khi đó:

Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là $31 - x - 27$ $= 4 - x$ (triệu đồng).

Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là $600 + 200 x$ (chiếc).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là

$f (x) = (4 - x) (600 + 200 x)$ $= - 200 x^{2} + 200 x + 2400$ .

Xét hàm số $f (x) = - 200 x^{2} + 200 x + 2400$ trên đoạn $[0; 4]$ có bảng biến thiên

Vậy $\max_{[0; 4]} f (x) = 2 450$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Câu 172:

Một vật chuyển động trong 3giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị của hàm số vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh

I (2; 9)

và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính vận tốc v của vật tại thời điểm t=3.

A. $v = \frac{121}{4}$

B. $v = \frac{31}{4}$

C. $v = \frac{89}{4}$

D. $v = \frac{61}{4}$

Xem đáp án

Giả sử $v (t) = a t^{2} + b t + c (t \geq 0)$

Ta có :

$\{\begin{matrix} v (0) = c = 4 \\ v (2) = 4 a + 2 b + c = 9 \\ - \frac{b}{2 a} = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 a + 2 b = 5 \\ 4 a + b = 0 \\ c = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = - \frac{5}{4} \\ b = 5 \\ c = 4 \end{matrix}$

$\Rightarrow v (t) = - \frac{5}{4} t^{2} + 5 t + 4$

Vậy $t = 3 \Rightarrow v_{0} (t) = \frac{31}{4}$

Chọn B

Câu 173:

Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm đúng với mọi giá trị của x : $(x^{2} + 4 x + 3) (x^{2} + 4 x + 6) \geq a$

A. $a \geq - 2$

B. $a \leq - 2$

C. $a \geq - 1$

D. $a \leq - 1$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt : $t = x^{2} + 4 x + 3 \Rightarrow x^{2} + 4 x + 6 = t + 3$

Ta có : $t = {(x + 2)}^{2} - 1 \geq - 1 \Rightarrow t \geq - 1$

Bài toán trở thành : Tìm a để $t (t + 3) \geq a (*)$ $\forall t \geq - 1$ .

Xét hàm số : f(t) = $t^{2} + 3 t, (t \geq - 1)$

Lập bảng biến thiên của f(t) trên $[- 1; + \infty)$

Suy ra minf(t) = -2

(*) $\Leftrightarrow f (t) \geq a$ , $\forall t \geq - 1$

Vậy $a \leq - 2$

Câu 174:

Cho phương trình $2 (x + \sqrt{4 - x^{2}}) = m + x \sqrt{4 - x^{2}}$ . Gọi $m_{0}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số m để phương trình đã cho có 3nghiệm phân biệt. Khi đó:

A. $m_{0} \in (1; 2)$

B. $m_{0} \in [3; 4)$

C. $m_{0} \in (5; 6)$

D. $m_{0} \in (- 2; 0]$

Xem đáp án

Phương trình: $2 (x + \sqrt{4 - x^{2}}) = m + x \sqrt{4 - x^{2}}$ (1).

+ Điều kiện $- 2 \leq x \leq 2$

+ Đặt $t = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ , với $- 2 \leq x \leq 2 \Rightarrow - 2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$

Khi đó $t^{2} = 4 + 2 x \sqrt{4 - x^{2}} \Rightarrow x \sqrt{4 - x^{2}} = \frac{t^{2} - 4}{2}$ .

Phương trình (1) trở thành:

$2 t = m + \frac{t^{2} - 4}{2} \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t = 4 - 2 m$ (2)

+ Ta có $t = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq t \\ x = \frac{t \pm \sqrt{8 - t^{2}}}{2} \end{cases}$

+ Nhận xét : Với $- 2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$ thì $\frac{t - \sqrt{8 - t^{2}}}{2} \leq t$

Với $2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$ thì $\frac{t + \sqrt{8 - t^{2}}}{2} \leq t$

+ Do đó

Với $- 2 \leq t < 2$ thì phương trình có 1 nghiệm $x = \frac{t - \sqrt{8 - t^{2}}}{2}$

Với $2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$ thì phương trình có 2 nghiệm $x = \frac{t \pm \sqrt{8 - t^{2}}}{2}$

+ Như vậy, để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn : $- 2 \leq t_{1} < 2 \leq t_{2} \leq 2 \sqrt{2}$

Lập BBT của hàm số $f (t) = t^{2} - 4 t$ ,

Cho phương trình 2(x+căn 4-x^2)=m+xcăn 4-x^2. Gọi m0 là giá trị nhỏ nhất của tham số m để phương trình (ảnh 1)

Từ BBT ta thấy phương trình (2) có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn $- 2 \leq t_{1} < 2 \leq t_{2} \leq 2 \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow - 4 < 4 - 2 m \leq 8 - 8 \sqrt{2} \Leftrightarrow 4 \sqrt{2} - 2 \leq m < 4$ .

Do đó $m_{0} = 4 \sqrt{2} - 2$ . Vậy $m_{0} \in [3; 4)$ .

Câu 175:

Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' với độ cao 30m. Chiều dài nhịp $A' B' = 200 m$ . Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là OC=5m. Tính tổng chiều dài các dây cáp treo $y_{1} + y_{2} + y_{3}$ (thanh thằng đứng nối nền cầu với dây truyền)?

A. $\frac{147}{4}$

B. $\frac{295}{8}$

C. 37

D. $\frac{73}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên nền cầu như hình vẽ. Khi đó ta có $A (100; 30)$ , $C (0; 5)$ . Từ đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = 0 \\ a .0 + b .0 + c = 5 \\ a {.100}^{2} + b .100 + c = 30 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{400} \\ b = 0 \\ c = 5 \end{cases}$

Suy ra Parabol có phương trình $y = \frac{1}{400} x^{2} + 5$ . Bài toán đưa việc xác định chiều dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ của Parabol. Trong đó các hoành độ lần lượt là $x_{1} = 25; x_{2} = 50; x_{3} = 75$ , từ đó suy ra $y_{1} = \frac{105}{16}; x_{2} = \frac{45}{4}; x_{3} = \frac{305}{16}$ . Vậy $y_{1} + y_{2} + y_{3} = \frac{295}{8}$

Câu 176:

Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' với độ cao 30m. Chiều dài nhịp A'B'=200m. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là OC=5m. Xác định tổng các chiều dài các dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền)?

A. 34,875m

B. 35,875m

C. 36,875m

D. 37,875m

Xem đáp án

Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' (ảnh 1)

Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên nền cầu như Hình vẽ. Khi đó ta có A(100,30),C(0,5) ta tìm phương trình của Parabol có dạng y= $a x^{2} + b x + c$ . Parabol có đỉnh là C và đi qua A nên ta

có hệ phương trình:

Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' (ảnh 2)

Suy ra Parabol có phương trình

. Bài toán đưa việc xác định chiều dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ của Parabol. Ta dễ dàng tính được tung độ các

điểm có các hoành độ $x_{1} = 25, x_{2} = 50, x_{3} = 75$ lần lượt là $y_{1} = 6, 5625$ (m), $y_{2} = 11, 25$ (m), $y_{3} = 19, 0625$ (m) . Do đó tổng độ dài các dây cáp treo cần tính là

Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' (ảnh 4)

(m)

Câu 177:

Khi một quả bóng được đá lên nó sẽ đạt được độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol. Giả thiết rằng bóng được đá từ độ cao 1m. Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 8, 5m và 2 giây sau khi đá nó đạt độ cao 6m. Hỏi sau bao lâu quả bóng chạm đất (Tính chính xác đến hàng phần trăm).

A. 2,58s

B. 2,59s

C. 2,60s

D. 2,57s

Xem đáp án

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol. Nên có dạng y=ax2+bx+c

Theo bai ra gắn vào hệ tọa độ và sẽ tương ứng các điểm A, B C. nên ta có

Khi một quả bóng được đá lên nó sẽ đạt được độ cao nào đó rồi rơi xuống. (ảnh 1)

Khi một quả bóng được đá lên nó sẽ đạt được độ cao nào đó rồi rơi xuống. (ảnh 2)

Khi đó parabol có dạng

y= -5x2+12, 5x+1

Để quả bóng rơi xuống đất ki y=0

Khi một quả bóng được đá lên nó sẽ đạt được độ cao nào đó rồi rơi xuống. (ảnh 3)

=>Đáp án A

Vậy s=2, 58s

Câu 178:

Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó CD=6m , AD=4m , phía trên cổng có dạng hình parabol

Người ta cần thiết kế cổng sao cho những chiến xe container chở hàng với bề ngang thùng xe là 4m, chiều cao là 5,2mcó thể đi qua được (chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật). Hỏi đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là bao nhiêu ?

A. 6,13m

B. 6,14m

C. 6,15m

D. 6,16m

Xem đáp án

Gọi O là trung điểm của AB, K là điểm thuộc đoạn thẳng OA sao cho OK=2m .

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình của đường cong parabol có dạng $y = a x^{2} + c$ .

Theo giả thiết ta có parabol đi qua (-2,1,2), ( -3,0)nên ta có:

Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó CD=6m , AD=4m , phía trên cổng có dạng hình parabol (ảnh 2)

.

Vậy đỉnh Icủa parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là 6,16m

Câu 179:

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Tìm GTLN của biểu thức

A. $\frac{5}{4}$

B. 1

C. $\frac{5}{6}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Biểu thức P được viết lại dưới dạng

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Tìm GTLN của biểu thức (ảnh 1)

Xét hàm số với.

Do f(x) là hàm số bậc nhất trên đoạn [0,1]nên ta có

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Tìm GTLN của biểu thức (ảnh 4)

Lại có

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Tìm GTLN của biểu thức (ảnh 5)

và

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Tìm GTLN của biểu thức (ảnh 6)

Do đó

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Tìm GTLN của biểu thức (ảnh 7)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn tại

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Tìm GTLN của biểu thức (ảnh 8)

Vậy max P=1.

Câu 180:

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (u + v) = f (u) + f (v)$ với $\forall u, v \in R$ . Biết $f (4) = 5$ , hỏi giá trị của $f (- 6)$ nằm trong khoảng nào dưới đây ?

A. $(- 8; - 7)$

B. $(6; 8)$

C. $(- 5; 0)$

D. $(- 10; - 8)$

Xem đáp án

Cho $u = v = 0 \to f (0 + 0) = f (0) + f (0) = 0 \Leftrightarrow f (0) = 0$

Cho $v = - u \to f (u - u) = f (u) + f (- u) = f (0) = 0 \Leftrightarrow f (- u) = - f (u) \to$ hàm số $y = f (x)$ là hàm lẻ.

Lại có: $f (4) = f (2 + 2) = f (2) + f (2) = 5 \to f (2) = \frac{5}{2}$

Suy ra: $f (6) = f (4) + f (2) = 5 + \frac{5}{2} = \frac{15}{2} \to f (- 6) = - f (6) = - \frac{15}{2}$ (vì hàm $y = f (x)$ là hàm lẻ)