10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn x² + y² – 1 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?

A. 3x – 4y + 5 = 0;

B. x + y = 0;

C. 3x + 4y – 1 = 0;

D. x + y – 1 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm O(0; 0) bán kính R = 1.

Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là khoảng cách từ tâm tới đường thẳng bằng bán kính.

Xét phương án A: đường thẳng ∆: 3x – 4y + 5 = 0.

$d (O, Δ) = \frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{5}{5} = 1 = R .$

Do đó đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 tiếp xúc với đường tròn.

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?

A. x² + y² – 10x = 0;

B. x² + y² – 5 = 0;

C. x² + y² – 10x – 2y + 1 = 0;

D. x² + y² + 6x + 5y + 9 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) tiếp xúc với trục Ox khi d(I, Ox) = R với I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Xét phương trình đường tròn: x² + y² + 6x + 5y + 9 = 0 có $I (- 3; - \frac{5}{2})$ và $R = \frac{5}{2}$ .

d(I, Ox) = $\frac{5}{2} = R$ . Vậy (C) tiếp xúc với trục Ox.

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 3 = 0. Tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng Δ: 3x + 4y + 1 = 0 có phương trình là

A. $3 x + 4 y + 5 \sqrt{2} - 11 = 0$ và $3 x + 4 y - 5 \sqrt{2} + 11 = 0$ ;

B. $3 x + 4 y + 5 \sqrt{2} - 11 = 0$ và $3 x + 4 y - 5 \sqrt{2} - 11 = 0$ ;

C. $3 x + 4 y + 5 \sqrt{2} - 11 = 0$ và $3 x + 4 y + 5 \sqrt{2} + 11 = 0$ ;

D.

3 x + 4 y - 5 \sqrt{2} + 11 = 0

và

3 x + 4 y - 5 \sqrt{2} - 11 = 0

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 3 = 0 có tâm I(1; 2) và bán kính $R = \sqrt{2}$ .

Do d song song với đường thẳng Δ nên d có phương trình là 3x + 4y + k = 0 (k ≠ 1).

Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) thì d(I, d) = R

$\Leftrightarrow \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow |11 + k| = 5 \sqrt{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 11 + k = 5 \sqrt{2} \\ 11 + k = - 5 \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = 5 \sqrt{2} - 11 \\ k = - 5 \sqrt{2} - 11 \end{array}$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3 x + 4 y + 5 \sqrt{2} - 11 = 0$ và $3 x + 4 y - 5 \sqrt{2} - 11 = 0$ .

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 2)² + ( y + 4)² = 25 vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 là

A. 4x + 3y + 29 = 0;

B. 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0;

C. 4x – 3y + 5 = 0 và 4x – 3y – 45 = 0;

D. 4x + 3y + 5 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 4)² = 25 có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 có phương trình dạng: 4x + 3y + c = 0.

Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi và chỉ khi d(I, Δ) = R tức là

$\frac{|4.2 + 3. (- 4) + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 \Leftrightarrow |c - 4| = 25 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c - 4 = 25 \\ c - 4 = - 25 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 29 \\ c = - 21 \end{array}$ .

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0.

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 4)² = 36 và điểm P(–3; –2) nằm ngoài đường tròn. Từ điểm P kẻ các tiếp tuyến PM và PN tới đường tròn (C), với M, N là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng MN là

A. x + y + 1 = 0;

B. x – y – 1 = 0;

C. x – y + 1 = 0;

D. x + y – 1 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải :

Đáp án đúng là : D

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 36 và điểm P(–3; –2) nằm ngoài đường tròn. (ảnh 1)

Đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 4)² = 36 tâm I(3; 4) và bán kính R = 6.

Với P(–3; –2) và I(3; 4) ta có $\vec{P I} = (6; 6)$ nên ta có $P I = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = 6 \sqrt{2} .$

Xét ∆PIM vuông tại M, theo định lí Pythagore ta có :

$P M = \sqrt{P I^{2} - M I^{2}} = \sqrt{{(6 \sqrt{2})}^{2} - 6^{2}} = 6.$

Do đó ∆PIM vuông cân tại M, suy ra tứ giác IMPN là hình vuông nên đường thẳng MN nhận $\vec{n} = \frac{1}{6} \vec{P I} = (1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm K(0; 1) của IP.

Vậy phương trình đường thẳng MN là : 1(x – 0) + 1. ( y – 1) = 0 hay x + y – 1 = 0.

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² – 4x + 8y + 18 = 0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua A(1; –3) là

A. x + y + 4 = 0;

B. x + y – 4 = 0;

C. x – y + 4 = 0;

D. x – y – 4 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm I(2; – 4) và bán kính $R = \sqrt{2}$

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy điểm A thuộc đường tròn (C). Do đó tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua A chính là tiếp tuyến tại A của đường tròn (C).

Với A(1; –3) và I(2; – 4) ta có $\vec{A I} = (1; - 1) .$ Khi đó tiếp tuyến tại A nhận $\vec{A I} = (1; - 1) .$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; –3) là:

1(x – 1) – 1(y + 3) = 0 hay x – y – 4 = 0.

Câu 7:

Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; –4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Xem đáp án

Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(9; –4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M (ảnh 1)

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng d: 2x + (m – 2) y – m – 7 = 0. Tổng các giá trị của m sao cho đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) là

A. 10;

B. –10;

C. 16;

D. –16.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng (ảnh 1)

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(–3; 1) và đường tròn (C): x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0. Gọi T₁, T₂ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Khoảng cách từ O đến đường thẳng T₁T₂ là

A. 5;

B. $\sqrt{5}$ ;

C. $\frac{3}{\sqrt{5}}$ ;

D. $2 \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(–3; 1) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 (ảnh 2)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(–3; 1) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 (ảnh 3)

Câu 10:

Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính $R = \sqrt{52}$ và điểm M có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 1 - 4 t \end{cases} .$ Phương trình tiếp tuyến d’ của đường tròn (C) tại điểm M là

A. x + 2y + 3 = 0;

B. 2x + 5y + 21 = 0;

C. 2x – 3y – 19 = 0;

D. Đáp án khác.

Xem đáp án