5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 1. Tọa độ của vectơ (Vận dụng) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 1. Tọa độ của vectơ (Phần 2) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 1. Tọa độ của vectơ (Vận dụng) có đáp án

650 lượt thi
5 câu hỏi
30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Một con tàu đang xuôi dòng có chiều cùng chiều với tia Ox của hệ tọa độ Oxy với vận tốc $\vec{v} = (10; 0)$ . Cho biết vận tốc của dòng nước là $\vec{w} = (3; 5)$ . Tìm tọa độ vectơ $\vec{u}$ là tổng 2 vectơ $\vec{v}$ và $\vec{w}$ .

A. $\vec{u} = (13; 5)$ ;

B. $\vec{u} = (5; 13)$ ;

C. $\vec{u} = (30; 0)$ ;

\vec{u} = (0; 30)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $\vec{v} = (10; 0)$ và $\vec{w} = (3; 5)$ ta có:

$\vec{u} = \vec{v} + \vec{w} = (10 + 3; 0 + 5) = (13; 5)$ .

Vậy $\vec{u} = (13; 5)$ .

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC. G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn GH, biết A(1; 4), B(2; 5), C(5; 2).

A. GH = 3;

B. GH = $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ ;

C. GH = $\frac{3 \sqrt{3}}{3}$ ;

D. GH =

\frac{2 \sqrt{7}}{4}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác (ảnh 1)

Gọi H có tọa độ là (a; b).

Với A(1; 4), B(2; 5), C(5; 2) và H(a; b) ta có:

• $\vec{A H} = (a - 1; b - 4)$ ;

• $\vec{B H} = (a - 2; b - 5)$

• $\vec{B C} = (3; - 3)$ .

+) Do AH vuông góc BC nên $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$

Û (a – 1).3 + (b – 4).(–3) = 0

Û a – 1 – b + 4 = 0

Û a – b = – 3 (1)

$\vec{B H}$ cùng phương với $\vec{B C}$ nên ta có

(a – 2).(–3) – 3.(b – 5) = 0

Û – a + 2 – b + 5 = 0

Û a + b = 7 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 2; b = 5 do đó H(2; 5).

+) G là trọng tâm tam giác ABC với A(1; 4), B(2; 5), C(5; 2) nên:

$x_{G} = \frac{1 + 2 + 5}{3} = \frac{8}{3}; y_{G} = \frac{4 + 5 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

Suy ra $G (\frac{8}{3}; \frac{11}{3})$ .

Do đó $\vec{G H} = (- \frac{2}{3}; \frac{4}{3})$ .

Độ dài GH là: $G H = |\vec{G H}| = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{4}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ .

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A(2; 3), B(3; 5). Gọi I là tâm hình thoi ABCD, G là trọng tâm tam giác ICD. Tính độ dài đoạn thẳng CG biết I trùng với gốc tọa độ O.

A. CG = 2;

B. $C G = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ;

C. CG = 3;

D. CG =

\frac{\sqrt{3}}{3}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do I trùng với O nên I(0; 0).

ABCD là hình thoi nên I là trung điểm các đường chéo AC và BD.

Do đó ta có: C(‒2; ‒3) và D(‒3; ‒5).

G là trọng tâm tam giác ICD nên

$x_{G} = \frac{- 2 + (- 3) + 0}{3} = \frac{- 5}{3}$ và $y_{G} = \frac{- 3 + (- 5) + 0}{3} = \frac{- 8}{3}$ .

Suy ra $G (\frac{- 5}{3}; \frac{- 8}{3})$

Với C(‒2; ‒3) và $G (\frac{- 5}{3}; \frac{- 8}{3}) \Rightarrow \vec{C G} (\frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ .

Vậy $C G = |\vec{C G}| = \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2). Tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho MA² + MB² nhỏ nhất là:

A. M(0; 1);

B. M(0; –1);

C. $M (0; \frac{1}{2});$

M (0; - \frac{1}{2});

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điểm M thuộc trục tung nên M(0; m).

Với A(1; –1), B(3; 2) và M(0; m) ta có: $\vec{A M} = (- 1; m + 1); \vec{B M} = (- 3; m - 2)$ .

Khi đó MA² + MB² = ${|\vec{M A}|}^{2} + {|\vec{M B}|}^{2}$

= (–1)² + (m + 1)² + (–3)² + (m – 2)²

= 1 + m² + 2m + 1 + 9 + m² – 4m + 4

= 2m² – 2m + 15

$= 2 {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{29}{2} \geq \frac{29}{2}, \forall m \in ℝ$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = $\frac{1}{2}$ .

Khi đó MA² + MB² nhỏ nhất bằng $\frac{29}{2}$ .

Vậy $M (0; \frac{1}{2}) .$

Câu 5:

Hai con tàu cùng rời cảng và đi theo hai hướng khác nhau. Chọn hệ trục tọa độ sao cho bến cảng là gốc tọa độ. Khi đó quãng đường đi được và hướng của tàu thứ nhất và thứ hai được biểu thị bởi hai vectơ ${\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{2}$ như hình dưới đây (độ dài một đơn vị trên trục tương ứng với 100 m trên thực tế).

Hai con tàu cùng rời cảng và đi theo hai hướng khác nhau. Chọn hệ trục tọa độ (ảnh 1)

Hỏi quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai bao nhiêu mét? Khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 347,54 m và 1 216,55 m;

B. 1 216,55 m và 347,50 m;

C. 347,54 m và 2 877,36 m;

D. 2 877,36 m và 347,54 m.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách mà mỗi tàu đi được so với cảng chính là $100 |{\vec{s}}_{1}|$ và $100 |{\vec{s}}_{2}|$ .

Do đó, quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là hiệu $100 |{\vec{s}}_{1}| - 100 |{\vec{s}}_{2}|$ và khoảng cách giữa hai tàu là $100 |{\vec{s}}_{1} - {\vec{s}}_{2}|$ .

Ta có ${\vec{s}}_{1} = (14; - 8), {\vec{s}}_{2} = (12; 4)$ và ${\vec{s}}_{1} - {\vec{s}}_{2} = (2; - 12)$

Suy ra $|{\vec{s}}_{1}| = \sqrt{14^{2} + {(- 8)}^{2}} = 2 \sqrt{65}$ (m);

$|{\vec{s}}_{2}| = \sqrt{12^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{10}$ (m);

$|{\vec{s}}_{1} - {\vec{s}}_{2}| = \sqrt{2^{2} + {(- 12)}^{2}} = 2 \sqrt{37}$ (m).

Vậy quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là:

$100.2 \sqrt{65} - 100.4 \sqrt{10} \approx 347, 54$ (m).

Khoảng cách giữa hai tàu là: $100.2 \sqrt{37} \approx 1 216, 55$ (m).

Vậy ta chọn phương án A.

Bắt đầu thi ngay