10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC như hình vẽ.

Vectơ nào bằng vectơ $\vec{N A}$ ?

A. $\vec{C N}$

B. $\vec{N B}$

C. $\vec{M N}$

D. $\vec{N C}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác ABC có: N là trung điểm của AC, do đó: NA = CN $\Rightarrow |\vec{N A}| = |\vec{C N}|$

Ta có: $\vec{N A}$ và $\vec{C N}$ có cùng giá là đường thẳng AC.

Nên hai vectơ $\vec{N A}$ và $\vec{C N}$ cùng phương.

Mà $\vec{N A}$ và $\vec{C N}$ cùng hướng từ phải sang trái.

Vậy $\vec{N A}$ = $\vec{C N}$ .

Câu 2:

Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vectơ nào là vectơ đối của vectơ $\vec{B M}$ ?

A. $\vec{C N}$

B. $\vec{N B}$

C. $\vec{A M}$

D. $\vec{A N}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vectơ nào (ảnh 1)

Xét tam giác ABC có: M là trung điểm của AB, do đó: AM = BM $\Rightarrow |\vec{B M}| = |\vec{A M}|$

Ta có: hai vectơ $\vec{B M}$ và $\vec{A M}$ có cùng giá là đường thẳng AB.

Mà $\vec{B M}$ có hướng từ phải sang trái và $\vec{A M}$ có hướng từ trái sang phải

Do đó, chúng ngược hướng.

Vậy hai vectơ $\vec{B M}$ và $\vec{A M}$ đối nhau.

Câu 3:

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC. Vectơ nào sau đây bằng vectơ $\vec{N C}$ .

A. $\vec{C N}$

B. $\vec{M P}$

C. $\vec{A M}$

D. $\vec{N A}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC (ảnh 1)

Xét tam giác ABC có:

N là trung điểm của AC có: NC = $\frac{1}{2}$ AC (1)

M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: MP = $\frac{1}{2}$ AC (2), MP // AC (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: NC = MP hay $|\vec{N C}| = |\vec{M P}|$ .

Từ (3) ta có: hai vectơ $\vec{N C}$ và $\vec{M P}$ cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải.

Vậy $\vec{N C}$ = $\vec{M P}$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC. Vectơ nào sau đây là vectơ đối của $\vec{P N}$ .

A. $\vec{C N}$

B. $\vec{M N}$

C. $\vec{M P}$

D. $\vec{M B}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác (ảnh 1)

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB có: MB = $\frac{1}{2}$ AB (1)

P là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: PN = $\frac{1}{2}$ AB (2), PN // AB (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MB = PN hay $|\vec{M B}| = |\vec{P N}|$

Từ (3) ta có: hai vectơ $\vec{P N}$ và $\vec{M B}$ cùng phương, mà chúng ngược hướng nhau.

Vậy hai vectơ $\vec{P N}$ và $\vec{M B}$ đối nhau.

Câu 5:

Cho hình vuông ABCD tâm O như hình vẽ sau:

Vectơ nào sau đây bằng vectơ $\vec{O A}$ ?

A. $\vec{C O}$

B. $\vec{O D}$

C. $\vec{A O}$

D. $\vec{B O}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OA = CO = $\frac{1}{2}$ AC

$\Rightarrow |\vec{O A}| = |\vec{C O}|$ (1)

Mặt khác, $\vec{O A}$ và $\vec{C O}$ có cùng giá là đường thẳng AC

Do đó, $\vec{O A}$ và $\vec{C O}$ cùng phương, mà chúng cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: $\vec{C O}$ = $\vec{O A}$ .

Câu 6:

Cho hình vuông ABCD tâm O.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{O C}$ = $\vec{O A}$ ;

B.

\vec{O D}

=

\vec{O A}

;

C.

\vec{B C} = \vec{D A}

;

D.

\vec{O B}

= –

\vec{O D}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OB = OD = $\frac{1}{2}$ BD

$\Rightarrow |\vec{O B}| = |\vec{O D}|$ (1)

Mặt khác, hai vectơ $\vec{O B}$ và $\vec{O D}$ có cùng giá là đường thẳng BD

Do đó, hai vectơ $\vec{O B}$ và $\vec{O D}$ cùng phương, mà chúng ngược hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: $\vec{O B}$ = – $\vec{O D}$ .

Câu 7:

Cho hình vuông ABCD có tâm O. Các điểm Q, K, L, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA như hình vẽ.

Cho hình vuông ABCD có tâm O. Các điểm Q, K, L, N lần lượt là trung điểm của AB (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{O Q} = \vec{K C}$

B. $\vec{O D} = \vec{O L}$

C. $\vec{K C} = \vec{A N}$

D. $\vec{O B} = \vec{O D}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét hình vuông ABCD có:

BC // AD, do đó hai vectơ $\vec{K C}$ và $\vec{A N}$ cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải nên hai vectơ $\vec{K C}$ và $\vec{A N}$ cùng hướng (1).

Mặt khác: $K C = \frac{1}{2} B C$ (do K là trung điểm của BC); $A N = \frac{1}{2} A D$ (do N là trung điểm của AD).

Mà BC = AD (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow K C = A N \Rightarrow |\vec{K C}| = |\vec{A N}|$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{K C} = \vec{A N}$ .

Câu 8:

Cho hình vuông ABCD có tâm O. Các điểm Q, K, L, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\vec{O Q} = \vec{K C}$

B. $\vec{O D} = - \vec{O B}$

C. $\vec{K C} = \vec{A N}$

D. $\vec{O B} = - \vec{O D}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hình vuông ABCD có: Q là trung điểm của AB và L là trung điểm của CD.

Nên QL là đường trung bình của hình vuông ABCD.

Suy ra: BC //= QL và QL đi qua tâm O của hình vuông.

Do đó: $\vec{O Q}$ và $\vec{K C}$ cùng phương, mà chúng có hướng ngược nhau nên hai vectơ $\vec{O Q}$ và $\vec{K C}$ ngược hướng (1).

Mà: $K C = \frac{1}{2} B C$ ; $O Q = \frac{1}{2} Q L$ ; BC = QL.

$\Rightarrow K C = O Q \Rightarrow |\vec{K C}| = |\vec{O Q}|$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, $\vec{O Q} = - \vec{K C}$ , vậy A sai.

Câu 9:

Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, CB.

Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{H G} = \vec{F E}$

B. $\vec{B E} = \vec{G D}$

C. $\vec{I C} = \vec{I A}$

D. $\vec{E F} = - \vec{H G}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hình thoi ABCD có:

AB = CD

Mà E là trung điểm của AB nên BE = $\frac{1}{2}$ AB

G là trung điểm của CD nên GD = $\frac{1}{2}$ CD

Do đó, BE = GD $\Rightarrow |\vec{B E}| = |\vec{G D}|$ (1)

Và: AB // CD

Do đó, $\vec{B E}, \vec{G D}$ cùng phương, hơn nữa chúng cùng hướng (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{B E} = \vec{G D}$ .

Câu 10:

Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, CB và J, L, K, M lần lượt là giao điểm của HE với BD, EF với AC, FG với BD, GH với AC.

Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\vec{J L} \neq \vec{G D}$

B. $\vec{J L} = \vec{M K}$

C. $\vec{J L} = \vec{B E}$

D. $\vec{J L} \neq \vec{L K}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác ABD có:

AB = AD (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABD cân tại A.

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của AD

Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABD.

Lại có AI là đường cao của tam giác cân ABD (do I là giao hai đường chéo của hình thoi nên AC vuông góc với BD tại I)

Mà EF cắt AI tại L.

Từ đó ta suy ra L là trung điểm của AI.

Xét tam giác BAC có:

BA = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác BAC cân.

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của BC

Do đó, EH là đường trung bình của tam giác BAC.

Tương tự, BI là đường cao của tam giác BAC.

Mà EH cắt BI tại J

Từ đó suy ra J là trung điểm của BI.

Xét tam giác AIB có:

J là trung điểm của BI

L là trung điểm của AI

Do đó, JL là đường trung bình của tam giác AIB

$\Rightarrow J L = \frac{1}{2} A B$ (1), JL // AB (2)

Xét hình thoi ABCD có:

AB = CD (3)

AB // CD (4)

Do G là trung điểm của CD nên ta có: $G D = \frac{1}{2} C D$ (5)

Từ (1), (3), (5) ta suy ra: JL = GD nên $|\vec{J L}| = |\vec{G D}|$ (6)

Từ (2), (4) và (6) ta suy ra: $\vec{J L} = \vec{G D}$ (do chúng cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau).

Vậy A sai.