10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 6: Tìm công thức của hàm số bậc hai khi biết đồ thị hàm số có đáp án

Câu 1:

Cho hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị như hình dưới.

Xác định công thức của hàm số đó.

A. y = 2x² – 4x – 2;

B. y = 2x² – 4x + 2;

C. y = 2x² – 4x;

D. y = 2x² + 4x + 2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

\( - \frac{b}{{2a}} = 1\) (2); \( - \frac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 0\) (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b² – 4a.2 = 0 ⇔ b² – 8a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–2a)² – 8a = 0 ⇔ 4a² – 8a = 0 ⇔ 4a(a – 2) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 2\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Với a = 2 ta có: b = –2.2 = –4

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = 2x² – 4x + 2.

Câu 2:

Đồ thị hàm số trong hình sau là của hàm số bậc hai nào ?

A. y = x² + 4x + 3;

B. y = x² – 4x + 3;

C. y = x² – 4x – 3;

D. y = –x² – 4x + 3.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(2; –1) và cắt trục tung tại điểm (0; 3).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

\( - \frac{b}{{2a}} = 2\) (2); \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 4a\) (3)

c = 3 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b² – 4a.3 = 4a ⇔ b² – 16a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–4a)² – 16a = 0 ⇔ 16a² – 16a = 0

⇔ 16a(a – 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Với a = 1 ta có: b = –4.1 = –4

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = x² – 4x + 3.

Câu 3:

Đồ thị hàm số trong hình sau là của hàm số bậc hai nào ?

A. y = x² – 4x + 2;

B. y = –x² – 4x + 2;

C. y = –x² + 4x – 4;

D. y = x² – 4x + 4.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(2; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; – 4).

Do đó ta có:

a < 0 (1)

\( - \frac{b}{{2a}} = 2\) (2); \( - \frac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 0\) (3)

c = – 4 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: \({b^2} - 4a.( - 4) = 0 \Leftrightarrow {b^2} + 16a = 0\) (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–4a)² + 16a = 0 ⇔ 16a² + 16a = 0

⇔ 16a(a + 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = - 1\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Với a = –1 ta có: b = – 4.(– 1) = 4

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = –x² + 4x – 4.

Câu 4:

Cho parabol như hình dưới. Xác định hàm số đó.

A. y = 2x² – 3;

B. y = x² – 3;

C. y = x² – 5;

D. y = x² – 3x.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi dạng của parabol trên là y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(0; –3) và cắt trục tung tại điểm (0; –3).

Do đó ta có:

a > 0

\( - \frac{b}{{2a}} = 0\) ⇒ b = 0

c = –3

Dựa vào đồ thị ta còn thấy, đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 1) do đó ta có:

Tại x = 2 thì y = a.2² + b.2 + c = 1

Hay 4a + 2b + c = 1

Mà b = 0, c = –3

⇒ 4a – 3 = 1

⇒ 4a = 4

⇒ a = 1 (TM)

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = x² – 3.

Câu 5:

Đường cong sau đây là đồ thị của hàm số bậc hai nào ?

A. y = x² – 2x + 1;

B. y = x² – x – 1;

C. y = x² – 2x – 1;

D. y = –x² – 2x – 1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; –2) và cắt trục tung tại điểm (0; –1).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

\( - \frac{b}{{2a}} = 1\) (2); \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 2 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 8a\) (3)

c = –1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b² – 4a.(–1) = 8a ⇔ b² – 4a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–2a)² – 4a = 0 ⇔ 4a² – 4a = 0 ⇔ 4a(a – 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = x² – 2x – 1.

Câu 6:

Cho hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị như hình dưới. Xác định hàm số đó.

A. y = x²;

B. y = 2x²;

C. y = x² – 5;

D. y = x² + 4.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(0; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Do đó ta có:

a > 0

\( - \frac{b}{{2a}} = 0\) ⇒ b = 0

c = 0

Dựa vào đồ thị ta còn thấy, đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1) do đó ta có:

Tại x = 1 thì y = a.1² + b.1 + c = 1

Hay a + b + c = 1

Mà b = 0, c = 0

⇒ a = 1 (TM)

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = x².

Câu 7:

Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số bậc hai nào ?

A. y = –x² + 1;

B. y = x²;

C. y = –2x²;

D. y = –x².

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(0; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Do đó ta có:

a < 0

\( - \frac{b}{{2a}} = 0\) ⇒ b = 0

c = 0

Dựa vào đồ thị ta còn thấy, đồ thị hàm số đi qua điểm (1; –1) do đó ta có:

Tại x = 1 thì y = a.1² + b.1 + c = –1

Hay a + b + c = –1

Mà b = 0, c = 0

⇒ a = –1 (TM)

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = –x².

Câu 8:

Đồ thị hàm số sau đây là của hàm số bậc hai nào ?

A. y = x² – 4x + 1;

B. y = x² – 4x – 2;

C. y = –x² – 4x;

D. y = x² – 4x + 3.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(–2; 4) và cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Do đó ta có:

a < 0 (1)

\( - \frac{b}{{2a}} = - 2\) (2); \( - \frac{\Delta }{{4a}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = - 4 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = - 16a\) (3)

c = 0 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b² – 4a.0 = –16a ⇔ b² + 16a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = 4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (4a)² + 16a = 0 ⇔ 16a² + 16a = 0

⇔ 16a(a + 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = - 1\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Với a = –1 ta có: b = 4.(–1) = –4

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = –x² – 4x.

Câu 9:

Cho hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị như hình dưới đây.

Công thức hàm số của đồ thị trên là:

A. y = –x² – 2x – 1;

B. y = –x² – 2x + 1;

C. y = x² – 2x – 1;

D. y = –x² – 2x.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(–1; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; –1).

Do đó ta có:

a < 0 (1)

\( - \frac{b}{{2a}} = - 1\) (2); \( - \frac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 0\) (3)

c = –1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b² – 4a.(–1) = 0 ⇔ b² + 4a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = 2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (2a)² + 4a = 0 ⇔ 4a² + 4a = 0 ⇔ 4a(a + 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = - 1\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Với a = –1 ta có: b = 2.(–1) = –2

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = –x² – 2x – 1.

Câu 10:

Cho hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị như hình dưới.

Khi đó 2a + b + 2c bằng:

A. – 9;

B. 9;

C. – 6;

D. 6.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; –4).

Do đó ta có: a > 0 và a + b + c = – 4 (1)

Đồ thị hàm số còn đi qua các điểm (– 1; 0) và (3; 0).

Khi đó: a – b + c = 0 (2) và 9a + 3b + c = 0 (3).

Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được: 2b = – 4 ⇔ b = – 2.

Thay b = – 2 vào (1) và (3) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 + c = - 4\\9a + 3.\left( { - 2} \right) + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = - 2\\9a + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = - 3\end{array} \right.\)

Vậy hàm số y = ax² + bx + c là y = x² – 2x – 3.

Khi đó 2a + b + 2c = 2 . 1 + (– 2) + 2 . (– 3) = 2 – 2 – 6 = – 6.