5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (Phần 2) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

545 lượt thi
5 câu hỏi
30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình vẽ sau:

Một cổng hầm hình Elip có dạng như hình trên. Chiều cao của cả hầm là 10 m, chiều rộng là 20 m. Mỗi bên tường dày 2 m và tính từ đỉnh cổng hầm đến đỉnh hầm là 4 m. Phương trình chính tắc của Elip trên là:

A. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{400} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta thấy chiều cao của cổng hầm là: b = 10 – 4 = 6 (m).

Chiều rộng của cổng hầm là: 2a = 20 – 2.2 = 16 (m).

Suy ra a = 8 (m).

Khi đó ta có phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Câu 2:

Trong khi vẽ hình tròn, bạn Lan vô tình đã vẽ thành một hình Elip (nét gạch đứt) như hình vẽ.

Biết bạn Lan đo được tiêu cự của Elip đó là bằng 16 cm và đường tròn ban đầu định vẽ có bán kính là 10 cm. Phương trình chính tắc của Elip đó là:

A. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 0$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thấy đường kính đường tròn chính bằng trục lớn của Elip.

Nên 2a = 2R = 20 (cm), suy ra a = 10 (cm).

Ta có tiêu cự của Elip là 16 cm nên 2c = 16, suy ra c = 8 (cm).

Khi đó b² = c² – a² = 10² – 8² = 36

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Câu 3:

Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{49} = 1$ . Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp khoảng:

A. 43,28 m;

B. 22,25 m;

C. 28,31 m;

D. 57,91 m.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình x^2/36- y^2/49=1 (ảnh 1)

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp và do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{r^{2}}{36} - \frac{{(- 25)}^{2}}{49} = 1$ .

$\Leftrightarrow \frac{r^{2}}{36} = 1 + \frac{{(- 25)}^{2}}{49} = \frac{674}{49}$ .

$\Leftrightarrow r^{2} = \frac{674}{49} .36 = \frac{24264}{49}$ .

Suy ra $r = \frac{6 \sqrt{674}}{7} \approx 22, 25$ (m).

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Ta chọn phương án B.

Câu 4:

Một cổng của một trường đại học hình Parabol cao 20 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 20 m. Bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh cổng 4 m là:

Một cổng của một trường đại học hình Parabol cao 20 m và bề rộng của cổng tại (ảnh 1)

A. $2 \sqrt{5}$ m

B. 2 m

C. 4 m

\sqrt{5}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Một cổng của một trường đại học hình Parabol cao 20 m và bề rộng của cổng tại (ảnh 2)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Gọi O là đỉnh cổng, A là chân cổng và C, D lần lượt là hai bên trái, phải chân cổng.

Theo bài ra ta có: OA = 20 m, CD = 20 m.

Gọi phương trình Parabol của cổng là y² =2px.

Ta có: AC = AD = CD : 2 = 10 (m)

Do đó điểm D có tung độ là 10.

OA = 20 nên điểm D có hoành độ là 20.

Thay D(20; 10) vào phương trình (P) ta có: $10^{2} = 2 p .20 \Rightarrow p = \frac{5}{2}$

Suy ra y² = 5x.

Thay tọa độ điểm E cách đỉnh 4 m (x = 4) vào (P) ta có:

y² = 5x = 5 . 4 = 20 $\Rightarrow y = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} (m)$

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 4 m là $2 \sqrt{5}$ m.

Câu 5:

Giá trị của m để đường thẳng d: x – 2y + m = 0 cắt Elip (E) $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ tại hai điểm phân biệt là:

A. $m = \pm 2 \sqrt{2};$

B. $m > 2 \sqrt{2};$

C. $m < - 2 \sqrt{2};$

- 2 \sqrt{2} < m < 2 \sqrt{2} .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tọa độ giao điểm của d và Elip là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x - 2 y + m = 0 \\ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - m \\ \frac{{(2 y - m)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - m \\ 4 y^{2} - 4 m y + m^{2} + 4 y^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - m \\ 8 y^{2} - 4 m y + m^{2} - 4 = 0 (*) \end{cases}$

Hai đồ thị có hai giao điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt y.

$\Leftrightarrow Δ_{(*)}^{'} > 0 \Leftrightarrow {(- 2 m)}^{2} - 8. (m^{2} - 4) > 0$

$\Leftrightarrow$ – 4m² + 32 > 0

$\Leftrightarrow$ m² < 8 $\Leftrightarrow - 2 \sqrt{2} < m < 2 \sqrt{2} .$

Vậy ta chọn phương án D.

Bắt đầu thi ngay