8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài tập cuối chương 5 có đáp án (Phần 2) (Vận dụng)

Câu 1:

Một con tàu chạy trên biển theo hướng nam với vận tốc tàu là 40 km/h. Biết dòng nước chảy về hướng đông với vận tốc 20 km/h. Khi đó tàu di chuyển với vận tốc khoảng bao nhiêu km/h?

A. 60 km/h;

B. 20 km/h;

C. 44,7 km/h;

D. 77,5 km/h.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hình vẽ trên mô tả con tàu chạy theo hướng nam được biểu diễn bởi vectơ $\vec{A B}$ , dòng nước chảy về hướng đông được biểu diễn bởi vectơ $\vec{A C}$ , do đó AB ⊥ AC.

Khi đó tàu sẽ di chuyển với vectơ vận tốc là $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành).

Do đó tàu sẽ di chuyển với vận tốc là độ lớn của vectơ $\vec{A D}$ :

$|\vec{A D}| = A D = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{40^{2} + 20^{2}} = 20 \sqrt{5} \approx 44,7$ (km/h).

Câu 2:

Cho 3 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M. Biết vật đó đứng yên và lực F1, F2 có cùng độ lớn là 100 N, hai lực tạo với nhau một góc 90° . Độ lớn của lực F3 là?

A. 200 N;

B. 300 N;

C.

100 \sqrt{2}

N;

D. 50 N.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ba lực F1, F2, F3 cùng tác động vào một vật tại điểm M được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật đó đứng yên nên ta có $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$

Hay $\vec{M C} = - (\vec{M A} + \vec{M B})$

Vẽ hình vuông AMBD. Khi đó $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M D}$ .

Suy ra $\vec{M C} = - \vec{M D} \Rightarrow |\vec{M C}| = |- \vec{M D}| = |\vec{D M}| = D M$ .

Xét tam giác AMD vuông tại A có AM = AD = 100, theo định lí Pythagore ta có:

MD2 = MA2 + AD2

Suy ra MD = $\sqrt{M A^{2} + A D^{2}} = \sqrt{100^{2} + 100^{2}} = 100 \sqrt{2}$ .

Do đó MC = $100 \sqrt{2}$ , vậy độ lớn lực F3 là $100 \sqrt{2} N$ .

Câu 3:

Một người kéo một vật nặng trên mặt sàn nằm ngang với lực $\vec{F}$ tạo với phương ngang một góc α = 60° làm cho vật đó dịch chuyển 50 m theo vectơ $\vec{d}$ . Tìm độ lớn của lực $\vec{F}$ biết công người đó kéo đi là A = 2 000 J.

A. F = 80 N;

B. F = 800 N;

C. F = 8 N;

D. F = 8 000 N.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \vec{F} . \vec{d} = F . d . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = F . d . \cos 60^{o}$

$\Leftrightarrow 2 000 = F .50. \frac{1}{2} \Rightarrow F = 80 (N)$ .

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 4:

Cho hình chữ nhật ABCD có $A D = a \sqrt{2}$ , AB = a. Gọi K là trung điểm cạnh AD. Tính $\vec{B K} . \vec{A C}$ .

A.

\vec{B K} . \vec{A C} = 0

;

B.

\vec{B K} . \vec{A C} = a^{2}

;

C.

\vec{B K} . \vec{A C} = 2 a^{2}

;

D.

\vec{B K} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $A C = B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$

Lại có $\{\begin{cases} \vec{B K} = \vec{B A} + \vec{A K} = \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D} \\ \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{A D} \end{cases}$

$\Rightarrow \vec{B K} . \vec{A C} = (\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D}) (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= \vec{B A} . \vec{A B} + \vec{B A} . \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A D}$

$= - A B^{2} + 0 + \frac{1}{2} .0 + \frac{1}{2} A D^{2}$

$= - a^{2} + \frac{1}{2} {(a \sqrt{2})}^{2} = 0$ .

Vậy $\vec{B K} . \vec{A C} = 0$ ta chọn phương án A.

Câu 5:

Cho ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng, gọi M là điểm thỏa mãn $\vec{M A} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$ . Giá trị của x + y bằng

A. x + y = 1;

B. x + y = 2;

C. x + y = 3;

D. x + y = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Do ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng nên $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương.

Khi đó tồn tại các số thực x, y sao cho $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}, \forall M$ .

$\Leftrightarrow \vec{A M} = x (\vec{A M} + \vec{M B}) + y (\vec{A M} + \vec{M C})$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = x \vec{A M} + x \vec{M B} + y \vec{A M} + y \vec{M C}$

$\Leftrightarrow (1 - x - y) \vec{A M} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$

$\Leftrightarrow (x + y - 1) \vec{M A} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$

Theo bài ta có $\vec{M A} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$

Suy ra x + y – 1 = 1 nên x + y = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 6:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M bất kì và số thực k dương. Biết điểm M thỏa mãn đẳng thức $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}| = k$ . Quỹ tích của điểm M là

A. 1 đoạn thẳng;

B. 1 đường tròn;

C. 1 điểm;

D. 1 đường thẳng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD nên I là trung điểm của AC và BD.

Do đó với điểm M bất kì thì $\{\begin{cases} 2 \vec{M I} = \vec{M A} + \vec{M C} \\ 2 \vec{M I} = \vec{M B} + \vec{M D} \end{cases}$

Để $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}| = k$

$\Leftrightarrow |2 \vec{M I} + 2 \vec{M I}| = k$

$\Leftrightarrow 4 |\vec{M I}| = k \Leftrightarrow |\vec{M I}| = \frac{k}{4}$

$\Leftrightarrow M I = \frac{k}{4}$ (*)

Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm I bán kính $R = \frac{k}{4}$ .

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$ là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

A.

R = \frac{a}{3};

B.

R = \frac{a}{9};

C.

R = \frac{a}{2};

D.

R = \frac{a}{6} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là : B

Ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}$

$= 2 (\vec{M I} + \vec{I A}) + 3 (\vec{M I} + \vec{I B}) + 4 (\vec{M I} + \vec{I C}) .$

$= 9 \vec{M I} + 2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}$

Ta chọn điểm I sao cho $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C}) + \vec{I C} - \vec{I A} = \vec{0} .$ (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = 3 \vec{I G}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9 \vec{I G} + \vec{I C} - \vec{I A} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I G} + \vec{A I} + \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I G} + \vec{A C} = \vec{0} \Leftrightarrow 9 \vec{I G} = \vec{C A}$ (3)

Do đó $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

$\Leftrightarrow |9 \vec{M I} + 2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}| = |\vec{A B}|$

$\Leftrightarrow |9 \vec{M I}| = |\vec{A B}|$ (do $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$ )

$\Leftrightarrow 9 M I = A B \Leftrightarrow I M = \frac{A B}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R = \frac{A B}{9} = \frac{a}{9} .$

Câu 8:

Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm, góc ABC là góc nhọn và diện tích bằng 54 cm2. Tính $c o s (\vec{A B}, \vec{B C})$ .

A.

c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) = \frac{2 \sqrt{7}}{16};

B.

c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) = - \frac{2 \sqrt{7}}{16};

C.

c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) = \frac{5 \sqrt{7}}{16};

D.

c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) = - \frac{5 \sqrt{7}}{16} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

ABCD là hình bình hành nên ta có SABCD = 2SABC

Suy ra 2SABC = 54 (cm2) nên SABC = 27 (cm2).

Mà diện tích tam giác ABC là:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C . \sin \hat{A B C} = \frac{1}{2} . A B . A D . \sin \hat{A B C}$

$\Rightarrow \sin \hat{A B C} = \frac{2. S_{A B C}}{A B . A D} = \frac{2.27}{8.12} = \frac{9}{16} .$

Mà $\sin^{2} \hat{A B C} + c o s^{2} \hat{A B C} = 1$

$\Rightarrow c o s^{2} \hat{A B C} = 1 - \sin^{2} \hat{A B C} = 1 - {(\frac{9}{16})}^{2} = \frac{175}{256}$

Mà $\hat{A B C}$ là góc nhọn nên $c o s \hat{A B C} = \sqrt{\frac{175}{256}} = \frac{5 \sqrt{7}}{16}$

Mặt khác góc giữa hai vectơ $\vec{A B}, \vec{B C}$ là góc ngoài của góc $\hat{A B C}$

Suy ra $c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) = c o s (180 ° - \hat{A B C}) = - c o s \hat{A B C} = - \frac{5 \sqrt{7}}{16}$ .

Vậy ta chọn phương án D.