20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 120 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nâng cao (P5)

Câu 1:

Cho tam giác ABC đều.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B và M là điểm bất kì trên đường tròn đó $(M \neq A, M \neq B)$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Độ dài MA; MB; MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

B. MA, MB, MC là ba cạnh của 1 tam giác vuông.

C. MA= MB= MC

D. MC> MB> MA

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ A đến B ,trục Oy là đường trung trực của đoạn AB =>

Phương trình đường tròn tâm D qua A; B là:

Giả sử M(a;b) là điểm bất kì trên đường tròn .Ta có :

MA²= (a+ 1) ²+ b²

MB²= (a-1) ²+ b²

+ M nằm trên đường tròn (1) nên :

=> MA²+ MB²= MC²

=> MA; MB; MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Câu 2:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;a) : B( b;0) và C(-b;0) với a; b > 0.Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C.

Xem đáp án

Đáp án B

Do đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C

Nên tam giác ABC cân tại A

tâm I của (C) thuộc Oy nên I(0; y₀)

Do:

Mặc khác:

Vậy phương trình của là:

Câu 3:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho phương trình hai đường tròn (C): x²+ y²- 2x -2y +1= 0 và (C’) : x²+ y²+ 4x -5 = 0 cùng đi qua M( 1;0) .Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A; B sao cho MA= 2 MB.

A. 6x+ 6+ y= 0 hoặc -6x+ y- 6= 0

B. 2x+ 3y + 6= 0 hoặc 3x-2y + 3= 0

C. 2x+ y- 6= 0 hoặc x+ y- 6 = 0

D. x+ y – 1= 0 hoặc 36x –y-36= 0

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:

- Đường tròn (C) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1

Đường tròn (C') : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3

- Nếu d cắt (C) tại A :

$\Rightarrow \vec{M A} (\frac{2 a b}{a^{2} + b^{2}}; \frac{2 b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

- Nếu d cắt (C₂) tại B:

$\Rightarrow \vec{M B} (- \frac{6 a^{2}}{a^{2} + b^{2}}; - \frac{6 a b}{a^{2} + b^{2}})$

- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)

- Ta có :

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{4} = 36 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} \Leftrightarrow 36 a^{4} + 35 a^{2} b^{2} - b^{4} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = - b \\ a = \frac{b}{36} \end{matrix}$

Với a = -b, chọn b = -1 $\Rightarrow a = 1 \Rightarrow d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - t \end{cases} \Leftrightarrow x + y - 1 = 0$

Với $a = \frac{b}{36}$ , chọn b = 36 $\Rightarrow a = 1 \Rightarrow d : \{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 36 t \end{array} \Leftrightarrow 36 x - y - 36 = 0$

Câu 4:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình (C₁) : x²+ y²- 4y -5 = 0 và (C₂) : x²+ y²- 6x + 8y +16= 0 . Phương trình nào sau đây là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Đáp án D

- Ta có :

(C₁) tâm I₁(0;2) và R₁= 3; (C₂) tâm I₂( 3;-4) và R₂= 3

- Nhận xét : không cắt C₂

- Gọi d: ax+ by+ c= 0 là tiếp tuyến chung , thế thì : d(I₁; d) = R₁ và d (I₂; d) = R₂

- Trường hợp: a= 2b thay vào (1):

$[\begin{matrix} b = \frac{(2 + 3 \sqrt{5}) c}{41} \\ b = \frac{(2 - 3 \sqrt{5}) c}{41} \end{matrix}$

- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :

Với $b = \frac{(2 + 3 \sqrt{5}) c}{41},$ chọn c = 41 thì $b = 2 + 3 \sqrt{5}, a = 2 (2 + 3 \sqrt{5})$ , khi đó phương trình đường thẳng d là:

$2 (2 + 3 \sqrt{5}) x + (2 + 3 \sqrt{5}) y + 41 = 0$ .

Với $b = \frac{(2 - 3 \sqrt{5}) c}{41}$ , chọn c = 41 thì $b = 2 - 3 \sqrt{5}, a = 2 (2 - 3 \sqrt{5})$ , khi đó phương trình đường thẳng d là:

$2 (2 - 3 \sqrt{5}) x + (2 - 3 \sqrt{5}) y + 41 = 0$ .

- Trường hợp : thay vào : $\frac{|2 b + \frac{2 b - 3 a}{2}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 3 \Leftrightarrow |2 b - a| = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$\Leftrightarrow {(2 b - a)}^{2} = 4 (a^{2} + b^{2}) \Leftrightarrow 3 a^{2} + 4 a b = 0$

$[\begin{matrix} a = 0 \Rightarrow c = b \\ a = - \frac{4 b}{3} \Rightarrow c = 2 b \end{matrix}$

Với a= 0, c = b, chọn b = 1 $\Rightarrow c = 1$ thì phương trình đường thẳng d là: y+1=0

Với $a = - \frac{4 b}{3} \Rightarrow c = 2 b$ , chọn b = -3 $\Rightarrow$ a = 4, c = -6 thì phương trình đường thẳng d là: 4x - 3y - 6 = 0

Có tất cả 4 tiếp tuyến chung.

Câu 5:

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn: (C₁) : (x -5) ²+ (y+12) ²= 225 và (C₂) : (x-1)²+ (y-2)²= 25.

A. $d : \frac{14 + 10 \sqrt{7}}{21} x + y + \frac{203 - 10 \sqrt{7}}{21} = 0$ hoặc d: $\frac{14 + 10 \sqrt{7}}{21} x - y + \frac{203 + 10 \sqrt{7}}{21} = 0$

B. d: $\frac{14 - 10 \sqrt{7}}{21} x - y + \frac{203 - 10 \sqrt{7}}{21} = 0$ hoặc d: $\frac{14 + 10 \sqrt{7}}{21} x - y + \frac{203 + 10 \sqrt{7}}{21} = 0$

C. $\frac{14 - 10 \sqrt{7}}{21} x + y + \frac{175 - 10 \sqrt{7}}{21} = 0$ hoặc $\frac{14 + 10 \sqrt{7}}{21} x + y + \frac{175 - 10 \sqrt{7}}{21} = 0$

D. d: $\frac{14 - 10 \sqrt{7}}{21} x + y + \frac{203 - 10 \sqrt{7}}{21} = 0$ hoặc d: $\frac{14 + 10 \sqrt{7}}{21} x + y + \frac{203 + 10 \sqrt{7}}{21} = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

- Ta có (C₁) với tâm I(5; -12) và R= 15.

(C₂) có tâm J( 1;2) và R’ =5 .

Gọi d là tiếp tuyến chung có phương trình: ax+ by+ c= 0 ().

- Khi đó ta có :

- Từ (1) và (2) suy ra :

Thay vào (1):

Ta có hai trường hợp :

- Trường hợp : c = a-9b thay vào (1):

(2a- 7b)²= 25 (a²+ b²)

hay 21a²+ 28ab -24b²= 0

$[\begin{matrix} a = \frac{- 14 + 10 \sqrt{7}}{21} b \\ a = \frac{- 14 - 10 \sqrt{7}}{21} b \end{matrix}$

Với $a = \frac{- 14 + 10 \sqrt{7}}{21} b,$ chọn b =-1 thì $a = \frac{14 - 10 \sqrt{7}}{21} \Rightarrow c = \frac{203 - 10 \sqrt{7}}{21}$

Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\frac{14 - 10 \sqrt{7}}{21} x - y + \frac{203 - 10 \sqrt{7}}{21} = 0$

Với $a = \frac{- 14 - 10 \sqrt{7}}{21} b,$ chọn b =-1 thì $a = \frac{14 + 10 \sqrt{7}}{21} \Rightarrow c = \frac{203 + 10 \sqrt{7}}{21}$

Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\frac{14 + 10 \sqrt{7}}{21} x - y + \frac{203 + 10 \sqrt{7}}{21} = 0$

- Trường hợp $c = - 2 a + \frac{3}{2} b$

(1) => ( 7b- 2a)²=100(a²+b²) hay 96a²+ 28ab + 51b²= 0

Vô nghiệm.

Vậy 2 đường tròn đã cho có 2 tiếp tuyến chung.

Câu 6:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ, cho đường tròn (C) : x²+ y²+ 2x – 8y – 8= 0.Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+ y -2 = 0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6.

A. 3x- y- 9= 0 hoặc 3x+ y+ 9= 0.

B. -3x + y + 19= 0 hoặc 3x+ y+ 21= 0.

C. 3x + y +19 = 0 hoặc 3x+ y -21= 0.

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Đáp án D

- Đường thẳng d’ song song với d nên có dạng: 3x+ y+ m= 0

- IH là khoảng cách từ I đến d’:

IH = $\frac{|- 3 + 4 + m|}{\sqrt{3^{2} + 1}} = \frac{|m + 1|}{\sqrt{10}}$

- Xét tam giác vuông IHB:

$I H^{2} = I B^{2} - \frac{A B^{2}}{4} = 25 - 9 = 16 \Leftrightarrow \frac{{(m + 1)}^{2}}{10} = 16 \Leftrightarrow |m + 1| = 4 \sqrt{10}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m + 1 = 4 \sqrt{10} \\ m + 1 = - 4 \sqrt{10} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 4 \sqrt{10} - 1 \Rightarrow d : 3 x + y + 4 \sqrt{10} - 1 = 0 \\ m = - 4 \sqrt{10} - 1 \Rightarrow d : 3 x + y - 4 \sqrt{10} - 1 = 0 \end{matrix}$

Câu 7:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : x²+ y²- 4x -2y -1= 0 và đường thẳng d: x+ y+1= 0. Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 90⁰.

Xem đáp án

Đáp án A

- Do M thuộc d suy ra M( t; -1-t).

Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông

(A; B là 2 tiếp điểm).

Do đó:

- Ta có :

- Do đó : 2t²+ 8= 12

Câu 8:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: $x^{2} + y^{2} + 4 \sqrt{3} x - 4 = 0$ Tia Oy cắt (C) tại A(0;2). Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’= 2 và tiếp xúc ngoài với C tại A.

Xem đáp án

Đáp án B

- Đường tròn (C) có tâm

và R= 4. Gọi J(a; b) là tâm đường tròn cần tìm:

=> (C’): (x-a)²+ (y- b)²= 4

-Do (C) và (C’) tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ= R+ R’

$\Rightarrow \sqrt{{(a + 2 \sqrt{3})}^{2} + b^{2}} = 4 + 2 = 6 \Leftrightarrow a^{2} + 4 \sqrt{3} a + b^{2} = 24$

- Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên : (0-a)²+ (2-b)² = 4 (2)

- Do đó ta có hệ :

- Giải hệ tìm được: b= 3 và

Câu 9:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn : (C₁): x²+ y²= 13 và (C₂): (x-6)²+ y²= 25 cắt nhau tại A(2;3).Viết phương trình tất cả đường thẳng d đi qua A và cắt 2 đường tròn theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

A.x-2= 0 và 2x- 3y+ 5= 0

B.x-2= 0 và 2x+ 3y -5= 0

C. x+2= 0 và 2x+ 3y -5= 0

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Đáp án A

- Từ giả thiết : đường tròn (C₁) tâm I(0;0); $R = \sqrt{13}$ đường tròn (C₂) tâm J( 6;0) và R’= 5

- Gọi đường thẳng d qua A có véc tơ chỉ phương:

- d cắt (C₁) tại A,B:

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 + a t \\ y = 3 + b t \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases} \Leftrightarrow [(a^{2} + b^{2}) t^{2} + 2 (2 a + 3 b) t] = 0 \Leftrightarrow t = \frac{- 2 (2 a + 3 b)}{a^{2} + b^{2}} \Rightarrow B (\frac{- 2 a^{2} - 6 a b + 2 b^{2}}{a^{2} + b^{2}}; \frac{3 a^{2} - 4 a b - 3 b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

Tương tự d cắt (C₂) tại A; C thì tọa độ của A; C là nghiệm của hệ :

- Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của B; C .Từ đó ta có phương trình :

$\frac{- 2 a^{2} - 6 a b + 2 b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{10 a^{2} - 6 a b + 2 b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 4 \Leftrightarrow \frac{8 a^{2} - 12 a b + 4 b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 4 \Leftrightarrow 2 a^{2} - 3 a b + b^{2} = a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow a^{2} - 3 a b = 0 \Leftrightarrow a (a - 3 b) = 0$

$[\begin{matrix} a = 0 \\ a = 3 b \end{matrix}$

Với a = 0, chọn b = 1, khi đó d: $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 + t \end{cases}$

Với a = 3b, chọn b = 1 thì a = 3, khi đó: $\{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 + t \end{cases}$

Vậy có 2 đường thẳng: d: x-2 = 0 và d’: 2x -3y + 5= 0.

Câu 10:

Cho elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ . Gọi M là điểm thuộc (E) sao cho MF₁= MF₂. Khi đó tọa độ điểm M₁; M₂ là:

A.M₁(0 ; 1) và M₂(0; -1).

B. M₁(0 ; 2) và M₂(0; -2).

C. M₁(0 ; 3) và M₂(0; -3).

D. M₁(0 ; 4) và M₂(0; -4).

Xem đáp án

Đáp án B

+Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Nên a= 4; b= 2

+Vì MF₁= MF₂ nên M thuộc đường trung trực của F₁F₂ chính là trục Oy

+ M là điểm thuộc (E) nên M là giao điểm của elip và trục Oy

Vậy . M₁(0 ; 2) và M₂(0; -2).

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ và hai điểm A( -5; -1) và B( -1;1). Điểm M bất kì thuộc (E), diện tích lớn nhất của tam giác MAB là:

A.12

B.9

C. $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$

D. $4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A; B là: x- 2y + 3= 0.

để diện tích lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.

Ta có:

Vậy: diện tích lớn nhất của tam giác MAB là

Câu 12:

Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết đi qua điểm $M (\frac{3}{\sqrt{5}}; \frac{4}{\sqrt{5}})$ và tam giác MF₁F₂ vuông tại M.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Do Elip đi qua nên:

Lại có :

Như vậy ta có hệ điều kiện:

Giải hệ ta được:

Câu 13:

Lập phương trình chính tắc của elip. Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng x-2= 0 và có độ dài đường chéo bằng 6.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng x-2 = 0 nên có a= 2.

Mặt khác độ dài đường chéo là 6 nên a² + b²= 6²nên b²= 36- 4= 32

=>

Vậy (E) cần tìm là:

Câu 14:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp : $(E) : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ và điểm C( 2;0) .Tìm tọa độ các điểm A; B trên (E), biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều và điểm A có tung độ dương .

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử A( x₀; y₀) , Do A ; B đối xứng nhau qua Ox nên B( x₀; -y₀).

Ta có:

Vì A thuộc (E) nên:

Vì AB = AC nên:

Thay (1) vào (2) ta được:

Vì điểm A khác C và Acó tung độ dương nên:

Câu 15:

Cho Elip có các tiêu điểm F₁(-4;0) và F₂(4;0) và một điểm M nằm trên (E) biết rằng chu vi của tam giác MF₁F₂ bằng 18. Lúc đó tâm sai của (E) là:

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Theo giải thiết ta có c = 4

Chu vi của tam giác MF₁F₂ bằng 18 nên

MF₁+ MF₂+ F₁F₂ = 2a+ 2c nên 2a+ 2c= 18

Mà c= 4 => a= 5

Câu 16:

Cho elíp $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và đường thẳng d: x- 2y +12= 0. điểm M trên (E) sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.Tìm GTLN; GTNN đó?

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Đáp án A

có độ dài nửa trục lớn a = 5và độ dài nửa trục bé b= 3

Gọi là tiếp tuyến của (E) mà song song với d

=> x- 2y + C = 0.

Vì $∆$ tiếp xúc với (E) nên ta có:

Nên ta có hai tiếp tuyến của (E) song song với d là:

Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất là:

, khoảng cách từ M đến đường thẳng d là bé nhất là:

Câu 17:

Cho hai elíp $(E_{1}) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 v à (E_{2}) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ Gọi $(E_{1}) \cap (E_{2}) = \{A, B, C, D\}$ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

A.11x²+ 11y²= 92

B. x²+ y²= 1

C. x²+ y²= 11

D. tất cả sai

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hệ:

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O và bán kính

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

Câu 18:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho elip x²+ 4y²= 4.Tìm tất cả những điểm N trên elip sao cho : $\hat{F_{1} N F_{2}} = 60^{o}$

Xem đáp án

Đáp án A

=> a²= 4 và b²= 1 nên c²= 3

- Gọi:

Xét tam giác MF₁F₂ theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:

Vậy có tất cả 4 điểm thỏa

Câu 19:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp $(E) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ và hai điểm A( 3; -2); B( -3;-2) Tìm trên (E) điểm C sao cho tam giác BAC có diện tích lớn nhất.

A. C( 0; 3)

B.C( 0;2)

C. C(3;0)

D. C( 1;0)

Xem đáp án

Đáp án A

- A: B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của (E) , chúng nằm trên đường thẳng y+ 2= 0. Điểm C có hoành độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất

- Tam giác ABC có AB= 6 cố định. Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất.

- Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn (0; 3).

Câu 20:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm F₁(-4; 0) và F₂(4;0) và điểm A(0; 3). Điểm M thuộc (E) nào sau đây thỏa MF₁= 3MF₂.