12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Công thức lượng giác có đáp án (Tổng hợp)

Câu 1:

Tính $4 c o s 15^{0} c o s 24^{0} c o s 21^{0} - c o s 12^{0} - c o s 18^{0}$

A. $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

$4 c o s 15^{0} c o s 24^{0} c o s 21^{0} - c o s 12^{0} - c o s 18^{0} = 2 \cos 15^{0} (\cos (24^{0} + 21^{0}) + \cos (24^{0} - 21^{0})) - 2 \cos (\frac{12^{0} + 18^{0}}{2}) \cos (\frac{12^{0} - 18^{0}}{2}) = 2 \cos 15^{0} (\cos 45^{0} + \cos 3^{0}) - 2 \cos 15^{0} \cos 3^{0} = 2 \cos 15^{0} . \cos 45^{0} = \cos 60^{0} + \cos 30^{0} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 2:

Tính $\frac{\sin α + \sin β \cos (α + β)}{\cos α - \sin β \sin (α + β)}$

A. $\tan (α + β)$

B. $\cot (α + β)$

C. $\sin (α + β)$

D. $\cos (α + β)$

Xem đáp án

Đáp án A

$\frac{\sin α + \sin β \cos (α + β)}{\cos α - \sin β \sin (α + β)} = \frac{\sin α + \frac{1}{2} [\sin (α + 2 β) + \sin (- α)]}{\cos α + \frac{1}{2} [\cos (α + 2 β) - \cos (- α)]} = \frac{\sin α + \frac{1}{2} [\sin (α + 2 β) - \sin (α)]}{\cos α + \frac{1}{2} [\cos (α + 2 β) - \cos (α)]} = \frac{\sin (α + 2 β) + \sin (α)}{\cos (α + 2 β) + \cos (α)} = \frac{2 \sin (α + β) \cos β}{2 \cos (α + β) \cos β} = \tan (α + β)$

Câu 3:

Cho biểu thức $A = \cos^{2} (x - a) + \cos^{2} x - 2 \cos a \cos x \cos (a - x)$ . Rút gọn biểu thức A ta được:

A. $A = \sin^{2} a$

B. $A = 1 + \cos^{2} a$

C. $A = 2 \sin^{2} a$

D. $A = \cos 2 a$

Xem đáp án

Đáp án A

$A = \cos (x - a) [\cos (x - a) - 2 \cos a \cos x] + \cos^{2} x = \cos (x - a) (- \cos x \cos a + \sin x \sin a) + \cos^{2} x = - \cos (x - a) . \cos (x + a) + \cos^{2} x = - \frac{1}{2} (\cos 2 x + \cos 2 a) + \frac{1 + \cos 2 x}{2} = \frac{1 - \cos 2 a}{2} = \sin^{2} a$

Câu 4:

Giá trị của biểu thức $\cos \frac{5 x}{2} \cos \frac{3 x}{2} + \sin \frac{7 x}{2} \sin \frac{x}{2} - \cos x \cos 2 x$ bằng:

A. 2

B. 3

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Thực nghiệm

$\cos \frac{5 π}{2} \cos \frac{3 π}{2} + \sin \frac{7 π}{2} \sin \frac{π}{2} - \cos π \cos 2 π = 0$

Câu 5:

Giá trị của biểu thức $\cos^{3} x \cos 3 x - \sin^{3} x \sin 3 x - \frac{3}{4} \cos 4 x$

A. $\frac{5}{4}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{1}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Thực nghiệm $\cos^{3} π \cos 3 π - \sin^{3} π \sin 3 π - \frac{3}{4} \cos 4 π = \frac{1}{4}$

Câu 6:

Tính $B = \cos \frac{π}{11} + \cos \frac{3 π}{11} + \cos \frac{5 π}{11} + \cos \frac{7 π}{11} + \cos \frac{9 π}{11}$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Với k = 1, 2, 3, 4, 5 ta có:

$\cos \frac{(2 k - 1) π}{11} \sin \frac{π}{11} = \frac{1}{2} [\sin \frac{2 k π}{11} - \sin \frac{(2 k - 2) π}{11}] \Rightarrow B . \sin \frac{π}{11} = \frac{1}{2} [(\sin \frac{2 π}{11} - \sin 0) + (\sin \frac{4 π}{11} - \sin \frac{2 π}{11}) + ... + (\sin \frac{10 π}{11} - \sin \frac{8 π}{11})] = \frac{1}{2} \sin \frac{10 π}{11} = \frac{1}{2} \sin \frac{π}{11} \Rightarrow B = \frac{1}{2}$

Câu 7:

Nếu $\sin (2 α + β) = 3 \sin β; \cos α \neq 0; \cos (α + β) \neq 0$ thì $\tan (α + β)$ bằng:

A. $\sin α + \sin β$

B. $2 \tan α$

C. 2

D. $2 \cot α$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$\sin (2 α + β) = 3 \sin β \Rightarrow \sin 2 α \cos β + \cos 2 α \sin β = 3 \sin β \Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β + (2 \cos^{2} α - 1) \sin β = 3 \sin β \Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β + 2 \cos^{2} α \sin β = 4 \sin β \Rightarrow 2 \cos α (\sin α \cos β + \sin β \cos α) = 4 \sin β \Rightarrow \cos α \sin (α + β) = 2 \sin β$

Lại có:

$\sin (2 α + β) = 3 \sin β \Rightarrow \sin 2 α \cos β + \cos 2 α \sin β = 3 \sin β \Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β + (1 - 2 \sin^{2} α) \sin β = 3 \sin β \Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β - 2 \sin^{2} α \sin β = 2 \sin β \Rightarrow 2 \sin α (\cos α \cos β - \sin β \sin α) = 2 \sin β \Rightarrow \sin α \cos (α + β) = \sin β$

Từ đó suy ra $\frac{\cos α \sin (α + β)}{\sin α \cos (α + β)} = \frac{2 \sin β}{\sin β}$ hay $\cot α \tan (α + β) = 2$

$\Rightarrow \tan (α + β) = 2 \tan α$

Câu 8:

Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin 2 x + 1}{\cos 2 x}$ ta được:

A. $A = \tan (x + \frac{π}{4})$

B. $A = \cot (x + \frac{π}{4})$

C. $A = \tan (x - \frac{π}{4})$

D. $A = \cot (x - \frac{π}{4})$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$A = \frac{1 + 2 \sin x \cos x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} = \frac{\sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} = \frac{{(s inx + \cos x)}^{2}}{(\cos x - s inx) (\cos x + s inx)} = \frac{s inx + \cos x}{\cos x - s inx} = \frac{\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})}{\sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4})} = \tan (x + \frac{π}{4})$

Câu 9:

Biết rằng $\sin^{6} x + \cos^{6} x = m \cos 4 x + n (m, n \in Q)$ . Tính tổng S = m + n

A. $S = \frac{13}{8}$

B. $S = \frac{11}{8}$

C. S = 2

D. S = 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\sin^{6} x + \cos^{6} x = {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{3} - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = 1 - 3 {(\frac{1}{2} \sin 2 x)}^{2} = 1 - \frac{3}{4} \frac{1 - \cos 4 x}{2} = \frac{3}{8} \cos 4 x + \frac{5}{8} \Rightarrow S = m + n = 1$

Câu 10:

Nếu biết $3 \sin^{4} x + 2 \cos^{4} x = \frac{98}{81}$ thì giá trị biểu thức $A = 2 \sin^{4} x + 3 \cos^{4} x$ bằng:

A. $\frac{101}{81} h a y \frac{601}{504}$

B. $\frac{103}{81} h a y \frac{603}{405}$

C. $\frac{105}{81} h a y \frac{605}{504}$

D. $\frac{107}{81} h a y \frac{607}{405}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$3 \sin^{4} x + 2 \cos^{4} x = \frac{98}{81} 2 \sin^{4} x + 3 \cos^{4} x = A$

Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên ta được:

$\sin^{4} x - \cos^{4} x = \frac{98}{81} - A \Leftrightarrow (\sin^{2} x - \cos^{2} x) (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = \frac{98}{81} - A \Leftrightarrow (\sin^{2} x - \cos^{2} x) = \frac{98}{81} - A \Leftrightarrow (\cos^{2} x - \sin^{2} x) = A - \frac{98}{81} \Leftrightarrow \cos 2 x = A - \frac{98}{81}$

Cộng vế với vế hai đẳng thức đầu bài ta được:

$5 \sin^{4} x + 5 \cos^{4} x = A + \frac{98}{81} \Leftrightarrow 5 (\sin^{4} x + \cos^{4} x) = A + \frac{98}{81} \Leftrightarrow 5 [{(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x] = A + \frac{98}{81} \Leftrightarrow 5 (1 - \frac{1}{2} .4 \sin^{2} x \cos^{2} x) = A + \frac{98}{81} \Leftrightarrow 5 (1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x) = A + \frac{98}{81} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x = \frac{1}{5} (A + \frac{98}{81}) \Leftrightarrow 1 + \cos^{2} 2 x = \frac{2}{5} (A + \frac{98}{81})$

Thay ta được:

$1 + {(A - \frac{98}{81})}^{2} = \frac{2}{5} (A + \frac{98}{81}) = \frac{2}{5} (A - \frac{98}{81}) + \frac{392}{405}$

Đặt $A - \frac{98}{81} = t \Rightarrow t^{2} - \frac{2}{5} t + \frac{13}{405} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \frac{13}{45} \\ t = \frac{1}{9} \end{matrix}$

$+ t = \frac{13}{45} \Rightarrow A = \frac{607}{405} + t = \frac{1}{9} \Rightarrow A = \frac{107}{81}$

Câu 11:

Cho $\cot α = - 3 \sqrt{2}$ với $\frac{π}{2} < α < π$ . Khi đó giá trị $\tan \frac{α}{2} + \cot \frac{α}{2}$ bằng:

A. $2 \sqrt{19}$

B. $- 2 \sqrt{19}$

C. $- \sqrt{19}$

D. $\sqrt{19}$

Xem đáp án

Đáp án A

$\frac{1}{\sin^{2} α} = 1 + \cot^{2} α = 1 + 18 = 19 \Rightarrow \sin^{2} α = \frac{1}{19} \Rightarrow \sin α = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Vì $\frac{π}{2} < α < π \Rightarrow \sin α > 0 \Rightarrow \sin α = \frac{1}{\sqrt{19}}$

Suy ra $\tan \frac{α}{2} + \cot \frac{α}{2} = \frac{\sin^{2} \frac{α}{2} + \cos^{2} \frac{α}{2}}{\sin \frac{α}{2} \cos \frac{α}{2}} = \frac{2}{\sin α} = 2 \sqrt{19}$

Câu 12:

Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

A. $\frac{\tan x + \tan y}{\cot x + \cot y} = \tan x . \tan y$

B. ${(\sqrt{\frac{1 + \sin a}{1 - \sin a}} - \sqrt{\frac{1 - \sin a}{1 + \sin a}})}^{2} = 4 \tan^{2} a$

C. $\frac{\sin α}{\cos α + \sin α} - \frac{\cos α}{\cos α - \sin α} = \frac{1 + \cot^{2} α}{1 - \cot^{2} α}$

D. $\frac{\sin α + \cos α}{1 - \cos α} = \frac{2 \cos α}{\sin α - \cos α + 1}$

Xem đáp án

Đáp án D

A đúng vì $V T = \frac{\tan x + \tan y}{\frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan y}} = \tan x . \tan y = V P$

B đúng vì

$V T = \frac{1 + \sin a}{1 - \sin a} + \frac{1 - \sin a}{1 + \sin a} - 2 = \frac{{(1 + \sin a)}^{2} + {(1 - \sin a)}^{2}}{1 - \sin^{2} a} - 2 = \frac{2 + 2 \sin^{2} a}{\cos^{2} a} - 2 = 4 \tan^{2} a = V P$

C đúng vì

$V T = \frac{- \sin^{2} α - \cos^{2} α}{\cos^{2} α - \sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α - \cos^{2} α} = \frac{1 + \cot^{2} α}{1 - \cot^{2} α} = V P$