15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Câu 1:

Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\vec{n} \neq \vec{0}$ và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Có vô số vectơ khác $\vec{0}$ và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Do đó đường thẳng ∆ có vô số vectơ pháp tuyến.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2:

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (3; - 4)$ . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. ${\vec{n}}_{1} = (4; 3)$

B. ${\vec{n}}_{2} = (- 4; - 3)$

C. ${\vec{n}}_{3} = (3; 4)$

D. ${\vec{n}}_{4} = (3; - 4)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là vecto u = (3;-4). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là: (ảnh 1)

Vì ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ chỉ phương của d là một vectơ pháp tuyến.

Suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ} = \vec{u} = (3; - 4)$

Vậy ta chọn phương án

Câu 3:

Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của

Δ : {\begin{cases} x = 5 - \frac{1}{2} t \\ y = - 3 + 3 t \end{cases}

A. ${\vec{u}}_{1} = (- 1; 6)$

B. ${\vec{u}}_{2} = (\frac{1}{2}; 3)$

C. ${\vec{u}}_{3} = (5; - 3)$

D. ${\vec{u}}_{4} = (- 5; 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (- \frac{1}{2}; 3)$

Các vectơ chỉ phương còn lại của đường thẳng ∆ sẽ cùng phương với $\vec{u}$ .

• Ở phương án A, ta có $\frac{- \frac{1}{2}}{- 1} = \frac{3}{6}$ nên ${\vec{u}}_{1}$ cùng phương với $\vec{u}$

Do đó ${\vec{u}}_{1}$ cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Ở phương án B, ta có $\frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \neq \frac{3}{6}$ nên ${\vec{u}}_{2}$ không cùng phương với .

Do đó ${\vec{u}}_{2}$ không là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Tương tự, ta có ${\vec{u}}_{3}, {\vec{u}}_{4}$ không là vectơ chỉ phương của ∆.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 4:

Cho hai điểm A(4; 0), B(0; 5). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB?

A. $y = \frac{- 5}{4} x + 15$

B. $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$

C. $\frac{x - 4}{- 4} = \frac{y}{5}$

D. ${\begin{cases} x = 4 - 4 t \\ y = 5 t \end{cases} (t \in ℝ)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hai điểm A(4; 0), B(0; 5). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB? (ảnh 1)

Với A(4; 0), B(0; 5) ta có: $\vec{A B} = (- 4; 5)$

• Đường thẳng AB là đường thẳng đi qua hai điểm A và B, do đó nhận $\vec{A B} = (- 4; 5)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó đường thẳng AB nhận $\vec{n} = (5; 4)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(4; 0), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; 4)$ nên có phương trình tổng quát là: 5(x – 4) + 4(y – 0) = 0

⇔ 5x + 4y – 20 = 0 ⇔ 4y = –5x + 20 ⇔ $y = - \frac{5}{4} x + 5$

Do đó phương trình ở phương án A không phải phương trình AB.

Đến đây ta có thể chọn phương án A.

• Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(4; 0), B(0; 5) nên có phương trình đoạn chắn của là: $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$

Do đó phương án B đúng.

• Phương trình đường thẳng AB đi qua hai điểm A(4; 0), B(0; 5) là: $\frac{x - 4}{0 - 4} = \frac{y - 0}{5 - 0} \Leftrightarrow \frac{x - 5}{- 4} = \frac{y}{5}$

Do đó phương án C đúng.

• Đường thẳng AB đi qua điểm A(4; 0), có vectơ chỉ phương $\vec{A B} = (- 4; 5)$ nên có phương trình tham số là:

${\begin{cases} x = 4 - 4 t \\ y = 5 t \end{cases} (t \in ℝ)$

Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 5:

Giao điểm M của hai đường thẳng (d): ${\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = - 3 + 5 t \end{cases}$ và (d’): 3x – 2y – 1 = 0 là:

A. $M (0; \frac{1}{2})$

B. $M (0; - \frac{1}{2})$

C. $M (- \frac{1}{2}; 0)$

D. $M (2; - \frac{11}{2})$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d): ${\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = - 3 + 5 t \end{cases}$

(d) có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 2; 5)$

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; 2)$

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; 2)$ nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: ${\begin{cases} 5 x_{M} + 2 y_{M} + 1 = 0 \\ 3 x_{M} - 2 y_{M} - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{M} = 0 \\ y_{M} = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Khi đó ta có $M (0; - \frac{1}{2})$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 6:

Cho hai đường thẳng ∆₁: 11x – 12y + 1 = 0 và ∆₂: 12x + 11y + 9 = 0. Khi đó hai đường thẳng này

A. Trùng nhau;

B. Song song với nhau;

C. Vuông góc với nhau;

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec{n}}_{1} = (11; - 12)$ , ${\vec{n}}_{2} = (12; 11)$

Ta có ${\vec{n}}_{1} . {\vec{n}}_{2} = 11.12 + (- 12) .11 = 0$

Suy ra ${\vec{n}}_{1} ⊥ {\vec{n}}_{2}$

Khi đó ta có ∆₁ ⊥ ∆₂.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 7:

Cho ∆ABC có A(2; –1), B(4; 5), C(–3; 2). Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường cao AH?

A. 7x + 3y – 11 = 0;

B. 3x + 7y + 1 = 0;

C. 7x + 3y + 13 = 0;

D. –3x + 7y + 13 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho ∆ABC có A(2; –1), B(4; 5), C(–3; 2). Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường cao AH? (ảnh 1)

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\vec{A H} ⊥ \vec{B C}$

Do đó đường thẳng AH nhận $\vec{B C}$ làm vectơ pháp tuyến.

Với B(4; 5), C(–3; 2) ta có $\vec{B C} = (- 7; - 3)$

Đường thẳng AH đi qua điểm A(2; –1), có vectơ pháp tuyến $\vec{B C} = (- 7; - 3)$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng AH là:

–7.(x – 2) – 3.(y + 1) = 0

⇔ –7x – 3y + 11 = 0 ⇔ 7x + 3y – 11 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 8:

Cho hai điểm A(–2; 3) và B(4; –1). Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là:

A. 2x – 3y + 1 = 0;

B. 2x + 3y – 5 = 0;

C. 3x – 2y – 1 = 0;

D. x – y – 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hai điểm A(–2; 3) và B(4; –1). Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là: (ảnh 1)

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi M là trung điểm của AB với A(–2; 3) và B(4; –1).

Ta suy ra ${\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \end{cases}$

Khi đó ta có M(1; 1).

Với A(–2; 3) và B(4; –1) ta có: $\vec{A B} = (6; - 4)$

Đường thẳng d là đường trung trực của AB nên đường thẳng d đi qua trung điểm M(1; 1) của AB và nhận $\vec{A B} = (6; - 4)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình tổng quát của d là:

6(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ 6x – 4y – 2 = 0 ⇔ 3x – 2y – 1 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 9:

Điểm nằm trên đường thẳng ∆: 2x + y – 1 = 0 và có khoảng cách đến (d): 4x + 3y – 10 = 0 bằng 2 là:

A. $M (- \frac{17}{2}; - 18), M (\frac{3}{2}; - 2)$

B. $M (\frac{17}{2}; 18), M (\frac{3}{2}; 2)$

C. $M (- \frac{17}{2}; 18), M (\frac{3}{2}; - 2)$

D. $M (- \frac{17}{2}; - 18), M (\frac{3}{2}; 2)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x_M; y_M) là điểm cần tìm.

Ta có M ∈ ∆. Suy ra 2x_M + y_M – 1 = 0 ⇔ y_M = 1 – 2x_M.

Khi đó tọa độ M có dạng: M(x_M; 1 – 2x_M).

Theo đề ta có khoảng cách từ M đến (d) bằng 2, tức là d(M, (d)) = 2.

Ta suy ra $\frac{| 4 x_{M} + 3 (1 - 2 x_{M}) - 10 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 2$

⇔ |–2x_M – 7| = 10

⇔ –2x_M – 7 = 10 hoặc –2x_M – 7 = –10

⇔ –2x_M = 17 hoặc –2x_M = –3

$\Leftrightarrow x_{M} = - \frac{17}{2} h o ặ c x_{M} = \frac{3}{2}$ .

• Với $x_{M} = - \frac{17}{2}$ , ta có: y_M = 1 – 2x_M = 18.

Suy ra tọa độ $M (- \frac{17}{2}; 18)$

• Với $x_{M} = \frac{3}{2} \frac{}{}$ , ta có y_M = 1 – 2x_M = –2.

Suy ra tọa độ $M (\frac{3}{2}; - 2)$

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán là $M (- \frac{17}{2}; 18)$ $M (\frac{3}{2}; - 2)$

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 10:

Tìm m để góc tạo bởi hai đường thẳng $Δ_{1} : \sqrt{3} x - y + 7 = 0$ và ∆₂: mx + y + 1 = 0 một góc bằng 30°.

A. $m = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $m = - \sqrt{3}$

D. $m = \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$Δ_{1} : \sqrt{3} x - y + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{1} = (\sqrt{3}; - 1)$

∆₂: mx + y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{2} = (m; 1)$

Do đó ${\vec{n}}_{1} . {\vec{n}}_{2} = \sqrt{3} . m + (- 1) .1 = m \sqrt{3} - 1$

Theo đề, ta có (∆₁, ∆₂) = 30° nên ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{| m \sqrt{3} - 1 |}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{m^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow | \sqrt{3} . m - 1 | = \sqrt{3 m^{2} + 3} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 2 \sqrt{3} . m + 1 = 3 m^{2} + 3 \Leftrightarrow - 2 \sqrt{3} . m = 2 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{2 \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $m = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 11:

Cho ∆ABC có A(2; 3), B(–4; 5), C(6; –5). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Phương trình tham số của đường thẳng MN là:

A. ${\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 4 - t \end{cases}$

B. ${\begin{cases} x = - 1 + 5 t \\ y = 4 + 5 t \end{cases}$

C. ${\begin{cases} x = 4 + 5 t \\ y = - 1 + 5 t \end{cases}$

D. ${\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

• Điểm M là trung điểm AB với A(2; 3) và B(–4; 5)

Suy ra ${\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = - 1 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \end{cases}$

Khi đó ta có M(–1; 4).

• Điểm N là trung điểm AC với A(2; 3) và C(6; –5).

Suy ra ${\begin{cases} x_{N} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \\ y_{N} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = - 1 \end{cases}$

Khi đó ta có N(4; –1).

• Với M(–1; 4) và N(4; –1) ta có:

$\vec{M N} = (5; - 5) \Rightarrow \frac{1}{5} \vec{M N} = (1; - 1)$

Đường thẳng MN đi qua điểm M(–1; 4), có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \frac{1}{5} \vec{M N} = (1; - 1)$

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng MN là ${\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 4 - t \end{cases}$

Do đó phương án A đúng.

• Ở phương án B, C, ta có vectơ chỉ phương .

Với

\vec{u} = (1; - 1)

và

\vec{a} = (5; 5)

ta có:

1.5 – (–1).5 = 10 ≠ 0.

Do đó $\vec{a}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng MN.

Vì vậy phương án B, C sai.

• Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\vec{b} = (1; 1)$

Với $\vec{u} = (1; - 1)$ và $\vec{b} = (1; 1)$ ta có:

1.1 – (–1).1 = 2 ≠ 0.

Do đó $\vec{b}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng MN.

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 12:

Cho (d): x= 2+3t; y = 3+t . Hỏi có bao nhiêu điểm M ∈ (d) cách A(9; 1) một đoạn bằng 5?

A. 3;

B. 2;

C. 1;

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có M ∈ (d).

Suy ra tọa độ M(2 + 3t; 3 + t).

Với A(9; 1) và M(2 + 3t; 3 + t) ta có:

$\vec{A M} = (2 + 3 t - 9; 3 + t - 1) = (3 t - 7; t + 2)$

Theo đề, ta có AM = 5.

⇔ (3t – 7)² + (t + 2)² = 25

⇔ 9t² – 42t + 49 + t² + 4t + 4 = 25

⇔ 10t² – 38t + 28 = 0

⇔ t = 14/5 hoặc t = 1.

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là $M (\frac{52}{5}; \frac{29}{5})$ , M(5; 4).

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 13:

Phương trình của đường thẳng (d) song song với (d’): 6x + 8y – 1 = 0 và cách (d’) một đoạn bằng 2 là:

A. 6x + 8y + 19 = 0;

B. 6x + 8y – 19 = 0; 6x + 8y + 21 = 0;

C. 6x + 8y + 21 = 0;

D. 6x + 8y + 19 = 0; 6x + 8y – 21 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

(d’) có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}^{'} = (6; 8)$

Vì (d) // (d’) nên (d) cũng nhận ${\vec{n}}^{'} = (6; 8)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình (d) có dạng: 6x + 8y + c = 0 (c ≠ –1).

Chọn $A (- \frac{5}{2}; 2)$ ∈ (d’).

Vì (d) // (d’) nên khoảng cách giữa (d) và (d’) chính là d(A, (d)).

Do đó d(A, (D)) = 2.

⇔ |c + 1| = 20.

⇔ c + 1 = 20 hoặc c + 1 = –20.

⇔ c = 19 (nhận vì 19 ≠ –1) hoặc c = –21 (nhận vì –21 ≠ –1).

Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

6x + 8y + 19 = 0 và 6x + 8y – 21 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 14:

Cho đường thẳng (d): x – 2y + 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (d) có hệ số góc $k = \frac{1}{2}$ ;

B. (d) cắt (d’): x – 2y = 0;

C. (d) đi qua A(1; –2);

D. (d) có phương trình tham số: ${\begin{cases} x = t \\ y = - 2 t \end{cases}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

• (d): x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = x + 5 ⇔ $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Do đó (d) có hệ số góc k=1/2

Vì vậy phương án A đúng.

• (d) và (d’) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n} = (1; - 2)$ và $\vec{n^{'}} = (1; - 2)$

Ta có $\vec{n} = \vec{n^{'}}$

Do đó (d) và (d’) song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy phương án B sai.

• Thay tọa độ A(1; –2) vào phương trình (d), ta được:

1 – 2.(–2) + 5 = 10 ≠ 0.

Suy ra A(1; –2) không thuộc (d) hay (d) không đi qua A(1; –2).

Do đó phương án C sai.

• (d) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2)$

Suy ra (d) có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1)$

Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (1; - 2)$

Ta có: 2.(–2) – 1.1 = –5 ≠ 0.

Suy ra $\vec{u}$ không cùng phương với $\vec{a}$

Do đó phương trình tham số ở đáp án D không phải là phương trình tham số của (d).

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 15:

Cho ∆ABC có C(–1; 2), đường cao BH: x – y + 2 = 0, đường phân giác trong AN: 2x – y + 5 = 0. Tọa độ điểm A là:

A. $A (\frac{- 4}{3}; \frac{7}{3})$

B. $A (\frac{- 4}{3}; \frac{- 7}{3})$

C. $A (\frac{4}{3}; \frac{- 7}{3})$

D. $A (\frac{4}{3}; \frac{7}{3})$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho ∆ABC có C(–1; 2), đường cao BH: x – y + 2 = 0, đường phân giác trong AN: 2x – y + 5 = 0. Tọa độ điểm A là: (ảnh 1)

Đường cao BH: x – y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{B H} = (1; - 1)$

Vì BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra vectơ pháp tuyến của BH là vectơ chỉ phương của AC.

Do đó vectơ chỉ phương của AC là ${\vec{u}}_{A C} = {\vec{n}}_{B H} = (1; - 1)$

Vì vậy AC có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{A C} = (1; 1)$

Đường thẳng AC đi qua C(–1; 2), có vectơ pháp tuyến . ${\vec{n}}_{A C} = (1; 1)$

Suy ra phương trình AC: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0.

⇔ x + y – 1 = 0.

Ta có A là giao điểm của AC và AN.

Do đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: ${\begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2 x - y + 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{- 4}{3} \\ y = \frac{7}{3} \end{cases}$

Khi đó ta có $A (\frac{- 4}{3}; \frac{7}{3})$

Vậy ta chọn phương án A.