Dạng 3. Lập phương trình chính tắc của hypebol
-
328 lượt thi
-
10 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol (H) có tiêu điểm và độ dài trục ảo bằng 4. Phương trình chính tắc của hypebol đó là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Giả sử hypebol (H) có phương trình là:
(H) có tiêu điểm suy ra nên c2 = 5.
Độ dài trục ảo 2b = 4 suy ra b = 2 nên b2 = 4.
Ta có c2 = a2 + b2 nên a2 = c2 – b2 = 5 – 4 = 1.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol (H) có phương trình chính tắc là (H) đi qua điểm A1(–7; 0) và tỉ số Phương trình chính tắc của hypebol đó là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Do (H) đi qua điểm A1(–7; 0) nên do đó a2 = 49.
Theo bài, Hay Do đó c2 = 98.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 98 – 49 = 49.
Phương trình chính tắc của hypebol là
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol có tiêu cự bằng 8 và giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6. Phương trình chính tắc của hypebol đó là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Giả sử hypebol có phương trình là
Giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6 nên 2a = 6, suy ra a = 3.
Hypebol có tiêu cự bằng 8 suy ra 2c = 8, tức là c = 4.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 42 – 32 = 7.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là:
Câu 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol đi qua hai điểm và là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Giả sử hypebol có phương trình là
Hai điểm thuộc vào hypebol nên ta có hệ phương trình sau:
.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là và độ dài trục thực bằng 10 là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của hypebol (H):
(H) có một tiêu điểm là suy ra nên c2 = 34.
Độ dài trục thực là 2a = 10 nên a = 5, do đó a2 = 25.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 34 – 25 = 9.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là: .
Câu 7:
Phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là (5; 0) và độ dài trục ảo bằng 6 là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của hypebol (H):
(H) có một tiêu điểm là (5; 0) nên c = 5 suy ra c2 = 25.
Độ dài trục ảo là 2b = 6 nên b = 3. Do đó b2 = 9.
Ta có c2 = a2 + b2 nên a2 = c2 – b2 = 25 – 9 = 16.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là: .
Câu 8:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol có một tiêu điểm và đi qua điểm là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là
(H) có một tiêu điểm suy ra nên c2 = 10.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 10 – a2.
Điểm nên ta có (*)
Thay b2 = 10 – a2 vào (*) ta được:
Với a2 = 20 ta có b2 = 10 – a2 = 10 – 20 = –10 (loại).
Với a2 = 8 ta có b2 = 10 – a2 = 10 – 8 = 2.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là .
Câu 9:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc Biết (H) có hai tiêu điểm F1, F2 nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm sao cho tam giác MF1F2 vuông tại M. Tích a.b bằng
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có và .
Mà tam giác MF1F2 vuông tại M có đường trung tuyến MO ứng với cạnh huyền F1F2 nên
Suy ra F1F2 = 2OM = 10.
Mà F1F2 = 2c nên 2c = 10 do đó c = 5.
Ta có c2 = a2 + b2 nên a2 + b2 = 25 nên b2 = 25 – a2.
Vì (H) đi qua điểm nên ta có hay
Do đó (*)
Thay b2 = 25 – a2 vào (*) ta được:
⇔ 13 600 – 544a2 – 81a2 = 625a2 – 25a4
⇔ 25a4 – 1 250a2 + 13 600 = 0
⇔ a2 = 34 hoặc a2 = 16
Với a2 = 34 ta có b2 = 25 – a2 = 25 – 34 = –9 (loại).
Với a2 = 16 ta có b2 = 25 – a2 = 25 – 16 = 9. Do đó b = 3 (do b > 0).
Khi a2 = 16 thì a = 4 (do a > 0).
Vậy a.b = 12.
Câu 10:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2 nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm có hoành độ bằng −5 và Phương trình chính tắc của hypebol (H) là
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Gọi phương trình đường hypebol có dạng:
Ta có
Mà |MF1 – MF2| = 2a nên 2a = 8, do đó a = 4.
Gọi M(−5; y0) và F1(−c; 0), F2(c; 0).
Khi đó
Do đó
Suy ra
Hay 20c = 100 nên c = 5.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 25 – 16 = 9.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là .