50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. điểm M là trung điểm BC. tính độ dài của chúng.

a) $\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A}$

A.a

B.2a

C.3a

D.4a

Xem đáp án

a) Do $\frac{1}{2} \vec{C B} = \vec{C M}$ suy ra theo quy tắc ba điểm ta có $\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A} = \vec{C M} + \vec{M A} = \vec{C A}$

Vậy $|\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A}| = C A = a$

Chọn A

Câu 2:

b) $\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}$

A. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{5}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

b) Vì $\frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B M}$ nên theo quy tắc trừ ta có $\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B A} - \vec{B M} = \vec{M A}$

Theo định lí Pitago ta có $M A = \sqrt{A B^{2} - B M^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy $|\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = M A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Chọn B

Câu 3:

c)

\frac{1}{2} \vec{A B} + 2 \vec{A C}

A. $\frac{a \sqrt{21}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{21}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{21}}{7}$

Xem đáp án

c) Gọi N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN.

Khi đó ta có $\frac{1}{2} \vec{A B} = \vec{A N}, 2 \vec{A C} = \vec{A Q}$ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có $\frac{1}{2} \vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{A N} + \vec{A Q} = \vec{A P}$

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

Vì $M N / / A C \Rightarrow \hat{A N L} = \hat{M N B} = \hat{C A B} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông ANL ta có

$\sin \hat{A N L} = \frac{A L}{A N} \Rightarrow A L = A N . \sin \hat{A N L} = \frac{a}{2} \sin 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

$\cos \hat{A N L} = \frac{N L}{A N} \Rightarrow N L = A N . \cos \hat{A N L} = \frac{a}{2} \cos 60^{0} = \frac{a}{4}$

Ta lại có $A Q = P N \Rightarrow P L = P N + N L = A Q + N L = 2 a + \frac{a}{4} = \frac{9 a}{4}$

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có

$A P^{2} = A L^{2} + P L^{2} = \frac{3 a^{2}}{16} + \frac{81 a^{2}}{16} = \frac{21 a^{2}}{4} \Rightarrow A P = \frac{a \sqrt{21}}{2}$

Vậy $|\frac{1}{2} \vec{A B} + 2 \vec{A C}| = A P = \frac{a \sqrt{21}}{2}$

Chọn B

Câu 4:

d) $\frac{3}{4} \vec{M A} - 2, 5 \vec{M B}$

A. $\frac{a \sqrt{127}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{127}}{8}$

C. $\frac{a \sqrt{127}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{127}}{2}$

Xem đáp án

d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho $M K = \frac{3}{4} M A$ , H thuộc tia MB sao cho $M H = 2, 5 M B$ .

Khi đó $\frac{3}{4} \vec{M A} = \vec{M K}, 2, 5 \vec{M B} = \vec{M H}$

Do đó $\frac{3}{4} \vec{M A} - 2, 5 \vec{M B} = \vec{M K} - \vec{M H} = \vec{H K}$

Ta có $M K = \frac{3}{4} A M = \frac{3}{4} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} a}{8}$ , $M H = 2, 5 M B = 2, 5. \frac{a}{2} = \frac{5 a}{4}$

Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có $K H = \sqrt{M H^{2} + M K^{2}} = \sqrt{\frac{25 a^{2}}{16} + \frac{27 a^{2}}{64}} = \frac{a \sqrt{127}}{8}$

Vậy $|\frac{3}{4} \vec{M A} - 2, 5 \vec{M B}| = K H = \frac{a \sqrt{127}}{8}$

Chọn B

Câu 5:

b) Tính độ dài vectơ $\vec{u}$

A. $|\vec{u}| = a \sqrt{5}$

B. $|\vec{u}| = \frac{1}{2} a \sqrt{5}$

C. $|\vec{u}| = 3 a \sqrt{5}$

D. $|\vec{u}| = 2 a \sqrt{5}$

Xem đáp án

b) Lấy điểm A' trên tia OA sao cho $O A' = 3 O A$ khi đó $\vec{O A'} = 3 \vec{O A}$

do đó $\vec{u} = \vec{O A'} - \vec{O B} = \vec{B A'}$

Mặt khác $B A' = \sqrt{O B^{2} + O A'^{2}} = \sqrt{O B^{2} + 9 O A^{2}} = a \sqrt{5}$

Suy ra $|\vec{u}| = a \sqrt{5}$

Chọn A

Câu 6:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M, N lần lượt là trung điểm BC,CA. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) $\vec{A N} + \frac{1}{2} \vec{C B}$

A. $\frac{a}{6}$

B. $\frac{a}{5}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

a) Theo quy tắc ba điểm ta có $\vec{A N} + \frac{1}{2} \vec{C B} = \vec{N C} + \vec{C M} = \vec{N M}$

Suy ra $|\vec{A N} + \frac{1}{2} \vec{C B}| = M N = \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2}$

Chọn C

Câu 7:

b) $\frac{1}{2} \vec{B C} - 2 \vec{M N}$

A. $\frac{7 a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{5 a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{3 a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

b) Theo quy tắc trừ ta có $\frac{1}{2} \vec{B C} - 2 \vec{M N} = \vec{B M} - \vec{B A} = \vec{A M}$

$\Rightarrow |\frac{1}{2} \vec{B C} - 2 \vec{M N}| = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Chọn B

Câu 8:

c) $\vec{A B} + 2 \vec{A C}$

A. $\frac{7 a \sqrt{28}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{28}}{2}$

C. $\frac{5 a \sqrt{28}}{2}$

D. $\frac{3 a \sqrt{28}}{2}$

Xem đáp án

c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C, điểm E là là đỉnh của hình bình hành ABEF, theo quy tắc hình bình hành ta có $\vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A F} = \vec{A E}$

Gọi I là hình chiếu của E lên AC.

Vì $A B / / E F \Rightarrow \hat{E I F} = \hat{C A B} = 60^{0}$

$\sin \hat{I F E} = \frac{I E}{E F} \Rightarrow I E = E F . \sin \hat{I F E} = a \sin 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\cos \hat{I F E} = \frac{I F}{E F} \Rightarrow I F = E F . \cos \hat{I F E} = a \cos 60^{0} = \frac{a}{2}$

Áp dụng định lí Pitago ta có $A E = \sqrt{A I^{2} + I E^{2}} = \sqrt{{(2 a + \frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{28}}{2}$

Suy ra $|\vec{A B} + 2 \vec{A C}| = A E = \frac{a \sqrt{28}}{2}$

Chọn B

Câu 9:

d) $0, 25 \vec{M A} - \frac{3}{2} \vec{M B}$

A. $\frac{5 a \sqrt{7}}{8}$

B. $\frac{3 a \sqrt{7}}{8}$

C. $\frac{a \sqrt{7}}{8}$

D. $\frac{a \sqrt{7}}{2}$

Xem đáp án

d) Lấy các điểm H, K sao cho $0, 25 \vec{M A} = \vec{M H}; \frac{3}{2} \vec{M B} = \vec{M K}$

Suy ra $0, 25 \vec{M A} - \frac{3}{2} \vec{M B} = \vec{M H} - \vec{M K} = \vec{K H}$

Do đó

|0, 25 \vec{M A} - \frac{3}{2} \vec{M B}| = K H = \sqrt{{(\frac{A M}{4})}^{2} + {(\frac{3}{2} M B)}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{8})}^{2} + {(\frac{a}{4})}^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{8}

Chọn C

Câu 10:

b) Tính độ dài vectơ $\vec{u}$

A. $|\vec{u}| = 4 a \sqrt{2}$

B. $|\vec{u}| = a \sqrt{2}$

C. $|\vec{u}| = 3 a \sqrt{2}$

D. $|\vec{u}| = 2 a \sqrt{2}$

Xem đáp án

b) $|\vec{u}| = |- 2 \vec{O A}| = 2 O A = a \sqrt{2}$

Chọn A

Câu 11:

Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Khẳng định nào sau đây đúng?

a) Chọn khẳng định đúng

A. $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{I J}$

B. $\vec{A C} + \vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{I J}$

C. $\vec{A C} + \vec{B D} = 3 \vec{I J}$

D. $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{I J}$

Xem đáp án

(Hình 1.16)
a) Theo quy tắc ba điểm ta có
$\vec{A C} = \vec{A I} + \vec{I J} = \vec{A I} + \vec{I J} + \vec{J C}$
Tương tự $\vec{B D} = \vec{B I} + \vec{I J} + \vec{J D}$

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $\vec{A I} + \vec{B I} = \vec{0}, \vec{J C} + \vec{J D} = \vec{0}$

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = (\vec{A I} + \vec{B I}) + (\vec{J C} + \vec{J D}) + 2 \vec{I J} = 2 \vec{I J}$ đpcm

Chọn D

Câu 12:

b) Chọn khẳng định đúng

A. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{IJ}$

B. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{2 O I}$

C. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$

D. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{2 OJ}$

Xem đáp án

b) Theo hệ thức trung điểm ta có $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O I}, \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O J}$

Mặt khác O là trung điểm IJ nên $\vec{O I} + \vec{O J} = \vec{0}$

Suy ra $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 (\vec{O I} + \vec{O J}) = \vec{0}$ đpcm

Chọn C

Câu 13:

c) $\vec{A B} + 2 \vec{A C}$

A. $\frac{7 a \sqrt{28}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{28}}{2}$

C. $\frac{5 a \sqrt{28}}{2}$

D. $\frac{3 a \sqrt{28}}{2}$

Xem đáp án

c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C, điểm E là là đỉnh của hình bình hành ABEF, theo quy tắc hình bình hành ta có $\vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A F} = \vec{A E}$

Gọi I là hình chiếu của E lên AC.

Vì $A B / / E F \Rightarrow \hat{E I F} = \hat{C A B} = 60^{0}$

$\sin \hat{I F E} = \frac{I E}{E F} \Rightarrow I E = E F . \sin \hat{I F E} = a \sin 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\cos \hat{I F E} = \frac{I F}{E F} \Rightarrow I F = E F . \cos \hat{I F E} = a \cos 60^{0} = \frac{a}{2}$

Áp dụng định lí Pitago ta có

$A E = \sqrt{A I^{2} + I E^{2}} = \sqrt{{(2 a + \frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{28}}{2}$

Suy ra $|\vec{A B} + 2 \vec{A C}| = A E = \frac{a \sqrt{28}}{2}$

Chọn B

Câu 14:

c) với M là điểm bất kì

A. $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 3 \vec{M O}$

B. $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 2 \vec{M O}$

C. $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{M O}$

D. $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$

Xem đáp án

c) Theo câu b ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ do đó với mọi điểm M thì

$\begin{array}{l} \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow (\vec{O M} + \vec{M A}) + (\vec{O M} + \vec{M A}) + (\vec{O M} + \vec{M A}) + (\vec{O M} + \vec{M A}) = \vec{0} \end{array}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ đpcm

Chọn D

Câu 15:

Cho hai tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cùng trọng tâm G. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C A_{1}, A B C_{1}, A C B_{1}$ . Chứng minh rằng $\vec{G G_{1}} + \vec{G G_{2}} + \vec{G G_{3}} = \vec{0}$

Xem đáp án

Vì $G_{1}$ là trọng tâm tam giác $B C A_{1}$ nên $3 \vec{G G_{1}} = \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G A_{1}}$

Tương tự $G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $A B C_{1}, A C B_{1}$ suy ra

$3 \vec{G G_{2}} = \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C_{1}}$ và $3 \vec{G G_{3}} = \vec{G A} + \vec{G C} + \vec{G B_{1}}$

Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có

$\vec{G G_{1}} + \vec{G G_{2}} + \vec{G G_{3}} = 2 (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + (\vec{G A_{1}} + \vec{G B_{1}} + \vec{G C_{1}})$

Mặt khác hai tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cùng trọng tâm G nên

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ và $\vec{G A_{1}} + \vec{G B_{1}} + \vec{G C_{1}}$

Suy ra $\vec{G G_{1}} + \vec{G G_{2}} + \vec{G G_{3}} = \vec{0}$

Câu 16:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng?

a) Khẳng định đúng là:

A. $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = 4 \vec{H O}$

B. $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = 2 \vec{H O}$

C. $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = \frac{2}{3} \vec{H O}$

D. $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = 3 \vec{H O}$

Xem đáp án

Hình 1.17)
a) Dễ thấy $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = 2 \vec{H O}$ nếu tam giác ABC vuông
Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O khi đó
$B H / / D C$ (vì cùng vuông góc với AC)
$B D / / C H$ (vì cùng vuông góc với AB)

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì $\vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H D}$ (1)

Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên $\vec{H A} + \vec{H D} = 2 \vec{H O}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = 2 \vec{H O}$

Chọn B

Câu 17:

b) Chọn khẳng định đúng

A. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \frac{1}{2} \vec{O H}$

B. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{\frac{1}{3} O H}$

C. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}$

D. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{2 O H}$

Xem đáp án

b) Theo câu a) ta có

$\begin{array}{l} \vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = 2 \vec{H O} \\ \Leftrightarrow (\vec{H O} + \vec{O A}) + (\vec{H O} + \vec{O B}) + (\vec{H O} + \vec{O C}) = 2 \vec{H O} \end{array}$

$\Leftrightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}$ đpcm

Chọn C

Câu 18:

c) Chọn khẳng định đúng

A. $\vec{G H} + 2 \vec{G O} = \vec{O A}$

B. $\vec{G H} + 2 \vec{G O} = \vec{0}$

C. $\vec{G H} + 2 \vec{G O} = \vec{A B}$

D. $\vec{G H} + 2 \vec{G O} = \vec{A C}$

Xem đáp án

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$

Mặt khác theo câu b) ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}$

Suy ra $\vec{O H} = 3 \vec{O G} \Leftrightarrow (\vec{O G} + \vec{G H}) - 3 \vec{O G} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{G H} + 2 \vec{G O} = \vec{0}$

Chọn B

Câu 19:

Cho tam giác ABC với AB=c, BC=a, CA=b và có trọng tâm G. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,CA,AB

Chứng minh rằng $a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}$

Xem đáp án

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho

G N = a, G P = b, G Q = c

và dựng hình bình hành

G P R N

Ta có

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

\Leftrightarrow a . G D . \vec{G N} + b . G E . \vec{G P} + c . G F . \vec{G Q} = \vec{0}

(*)
Ta có

a . G D = 2 S_{Δ G B C}, b . G E = 2 S_{Δ G C A}, c . G F = 2 S_{Δ G A B}

, mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên

S_{Δ G B C} = S_{Δ G C A} = S_{Δ G A B}

suy ra

a . G D = b . G E = c . G F

Vậy

(*) \Leftrightarrow \vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{0}

Ta có

A C = G P = b, P R = B C = a

và

\hat{A C B} = \hat{G P R}

(góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)
Suy ra

Δ A C B = Δ G P R (c . g . c)

\Rightarrow G R = A B = c

và

\hat{P G R} = \hat{B A C}

Ta có

\hat{Q G P} + \hat{B A C} = 180^{0} \Rightarrow \hat{Q G P} + \hat{G P R} = 180^{0} \Rightarrow Q, G, R

thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có

\vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{G R} + \vec{G Q} = \vec{0}

Vậy

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

.

Câu 20:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$ .Chọn khẳng định đúng

a)

A. $\vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = \vec{A B}$

B. $\vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = \vec{A C}$

C. $\vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = \vec{B C}$

D. $\vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = \vec{0}$

Xem đáp án

a) $\vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} =$ $= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) + \frac{1}{2} (\vec{B C} + \vec{B A}) + \frac{1}{2} (\vec{C A} + \vec{C B}) = \vec{0}$

Chọn D

Câu 21:

b) với O là điểm bất kỳ.

A. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O M} + \vec{O N}$

B. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O N} + \vec{O P}$

C. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O M} + \vec{O N} + \vec{O P}$

D. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O M} + \vec{O P}$

Xem đáp án

b) $\vec{O M} + \vec{O N} + \vec{O P} =$ $\frac{1}{2} (\vec{O B} + \vec{O C}) + \frac{1}{2} (\vec{O C} + \vec{O A}) + \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ $= \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$

Chọn C

Câu 22:

Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác. Chọn khẳng định đúng?

a)

A. $\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$

B. $\vec{C H} = - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai

Xem đáp án

a) Ta có

$\vec{A H} = 2 \vec{A G} - \vec{A B} = \frac{2}{3} (\vec{A C} + \vec{A B}) - \vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$

$\vec{C H} = \vec{A H} - \vec{A C} = - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Chọn B

Câu 23:

b) với M là trung điểm của BC

A. $\vec{M H} = \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{A B}$

B. $\vec{M H} = \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{5}{3} \vec{A B}$

C. $\vec{M H} = \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{5}{6} \vec{A B}$

D. $\vec{M H} = \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{5}{6} \vec{A B}$

Xem đáp án

b) $\vec{M H} = \frac{1}{2} (\vec{A H} - \vec{A B} + \vec{C H}) = \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{5}{6} \vec{A B}$

Chọn D

Câu 24:

Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chọn khẳng định đúng?

A. $\vec{A M} = \frac{2 M C}{B C} \vec{A B} + \frac{M B}{B C} \vec{A C}$

B. $\vec{A M} = \frac{M C}{B C} \vec{A B} + \frac{2 M B}{B C} \vec{A C}$

C. $\vec{A M} = \frac{M C}{B C} \vec{A B} - \frac{M B}{B C} \vec{A C}$

D. $\vec{A M} = \frac{M C}{B C} \vec{A B} + \frac{M B}{B C} \vec{A C}$

Xem đáp án

Ta có $\frac{M C}{B C} \vec{A B} + \frac{M B}{B C} \vec{A C} = \frac{M C}{B C} (\vec{A M} + \vec{M B}) + \frac{M B}{B C} (\vec{A M} + \vec{M C})$

$= \vec{A M} + \frac{M C}{B C} \vec{M B} + \frac{M B}{B C} \vec{M C} = \vec{A M}$

Chọn D

Câu 25:

Cho hai hình bình hành ABCD và A'B'C'D' có chung đỉnh A. Chọn khẳng định đúng?

A. $\vec{B' B} + \vec{C C'} + \vec{D' D} = \vec{A B'}$

B. $\vec{B' B} + \vec{C C'} + \vec{D' D} = \vec{A C'}$

C. $\vec{B' B} + \vec{C C'} + \vec{D' D} = \vec{0}$

D. $\vec{B' B} + \vec{C C'} + \vec{D' D} = \vec{A D'}$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{B' B} + \vec{C C'} + \vec{D' D} = (\vec{A B} - \vec{A B'}) + (\vec{A C'} - \vec{A C}) + (\vec{A D} - \vec{A D'}) \\ = (\vec{A B} + \vec{A D}) - \vec{A C} - (\vec{A B'} + \vec{A D}') + \vec{A C} = \vec{0} \end{array}$

Chọn C

Câu 26:

Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?

A. $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{1}{2} \vec{M O}$

B. $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = 2 \vec{M O}$

C. $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$

D. $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = 3 \vec{M O}$

Xem đáp án

(hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh D ABC, các đường thẳng này lần lượt cắt tại các điểm như hình vẽ. Dễ thấy ta có các tam giác đều $M D_{1} D_{2}, M E_{2} E_{2}, M F_{1} F_{2}$ và các hình bình hành $M F_{1} A E_{2}, M E_{1} C D_{2}, M D_{1} B F_{2}$ .

Ta có: $\vec{M D} = \frac{1}{2} ({\vec{M D}}_{1} + {\vec{M D}}_{2})$ , $\vec{M E} = \frac{1}{2} ({\vec{M E}}_{1} + {\vec{M E}}_{2})$ , $\vec{M F} = \frac{1}{2} ({\vec{M F}}_{1} + {\vec{M F}}_{2})$ .

Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được: $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$

Chọn C

Câu 27:

Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n - 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n vectơ cho ở trên bằng vectơ không.

Xem đáp án

Giả sử n vectơ là $\vec{a_{i}}, i = 1, 2, ..., n$ . Đặt $\vec{u} = \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + ... + \vec{a_{n}}$

Vì tổng của n-1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại do đó

\vec{u}

cùng phương với hai vectơ

\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}

nên

\vec{u} = \vec{0}

.

Câu 28:

Cho tam giác ABC. M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng : $S_{M B C} \vec{M A} + S_{M C A} . \vec{M B} + S_{M A B} \vec{M C} = \vec{0}$

Xem đáp án

(hình 1.52)Gọi A' là giao điểm AM với BC ta có $\vec{M A'} = \frac{A' C}{B C} \vec{M B} + \frac{A' B}{B C} \vec{M C}$ (*)

Mặt khác $\begin{array}{l} \frac{A' C}{A' B} = \frac{S_{M A' C}}{S_{M A' B}} = \frac{S_{M A C}}{S_{M A B}} \Rightarrow \frac{A' C}{A' B} + 1 = \frac{S_{M A C}}{S_{M A B}} + 1 \\ \Rightarrow \frac{A' B}{B C} = \frac{S_{M A B}}{S_{M A B} + S_{M A C}} \end{array}$

Và $\frac{A' C}{B C} = \frac{S_{M A C}}{S_{M A B} + S_{M A C}}$ (1)

Mặt khác $\vec{M A'} = - \frac{M A'}{M A} \vec{M A} = - \frac{S_{M B C}}{S_{M A B} + S_{M A C}} \vec{M A}$ (2)

Thay (1) và (2) vào (*) ta được điều phải chứng minh.

Câu 29:

Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao AH. Chứng minh rằng : $a^{2} \vec{I A} + b^{2} \vec{I B} + c^{2} \vec{I C} = \vec{0}$ .

Xem đáp án

Ta có $\frac{H B}{H C} = \frac{H B . B C}{H C . B C} = \frac{c^{2}}{b^{2}}$ ,

Suy ra $\vec{I H} = \frac{b^{2}}{c^{2} + b^{2}} \vec{I B} + \frac{c^{2}}{c^{2} + b^{2}} \vec{I C}$

Mà $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ và $\vec{I H} = - \vec{I A}$ nên suy ra $- \vec{I A} = \frac{b^{2}}{a^{2}} \vec{I B} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \vec{I C}$

Hay $a^{2} \vec{I A} + b^{2} \vec{I B} + c^{2} \vec{I C} = \vec{0}$

Câu 30:

Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M,N,P sao cho

a)

2 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}

A. M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC

B. M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB

C. M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC

D. M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC

Xem đáp án

a)

Gọi I là trung điểm BC suy ra $\vec{M B} + \vec{M C} = 2 \vec{M I}$

Do đó $2 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$

$2 \vec{M A} + 2 \vec{M I} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M I} = \vec{0}$

Suy ra M là trung điểm AI

Chọn D

Câu 31:

b) $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$

A. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD

B. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD

C. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC

D. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD

Xem đáp án

b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có

$\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 \vec{N K} + 2 \vec{N H} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{N K} + \vec{N H} = \vec{0} \Leftrightarrow$ N là trung điểm của KH

Chọn D

Câu 32:

c) $3 \vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = \vec{0}$

A. P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác ACD

B. P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác BAD

C. P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác BCD

D. P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác ABC

Xem đáp án

c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có $\vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = 3 \vec{P G}$

Suy ra $3 \vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = \vec{0} \Leftrightarrow 3 \vec{P A} + 3 \vec{P G} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{P A} + \vec{P G} = \vec{0} \Leftrightarrow P$ là trung điểm AG.

Chọn C

Câu 33:

Cho trước hai điểm A, B và hai số thực $α$ , $β$ thoả mãn $α + β \neq 0.$ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn $α \vec{I A} + β \vec{I B} = \vec{0} .$

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì $α \vec{M A} + β \vec{M B} = (α + β) \vec{M I} .$

Xem đáp án

Ta có: $α \vec{I A} + β \vec{I B} = \vec{0} \Leftrightarrow$ $α \vec{I A} + β (\vec{I A} + \vec{A B}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (α + β) \vec{I A} + β \vec{A B} = \vec{0} .$ $\Leftrightarrow (α + β) \vec{A I} = β \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{A I} = \frac{β}{α + β} \vec{A B} .$

Vì A, B cố định nên vectơ $\frac{β}{α + β} \vec{A B}$ không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện.

Từ đó suy ra $α \vec{M A} + β \vec{M B} = α (\vec{M I} + \vec{I A}) + β (\vec{M I} + \vec{I B})$

$= (α + β) \vec{M I} + (α \vec{I A} + β \vec{I B})$ $= (α + β) \vec{M I}$ đpcm.

Câu 34:

Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau thỏa mãn với mọi M

$a) \vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = k \vec{M I}$

A. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1

B. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4

C. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2

D. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3

Xem đáp án

a) Cho $M \equiv I \Rightarrow \vec{I A} + \vec{I B} + 2 \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{I J} + \vec{I C} = \vec{0}$

Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC

$\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = k \vec{M I} \Leftrightarrow 4 \vec{M I} = k \vec{M I} \Rightarrow k = 4$

Chọn B

Câu 35:

$b) 2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} - \vec{M D} = k \vec{M I}$

A. $k = 2, \vec{A I} = \frac{1}{4} (3 \vec{A B} - \vec{A D})$

B. $k = 3, \vec{A I} = \frac{1}{4} (3 \vec{A B} - \vec{A D})$

C. $k = 1, \vec{A I} = \frac{1}{4} (3 \vec{A B} - \vec{A D})$

D. $k = 4, \vec{A I} = \frac{1}{4} (3 \vec{A B} - \vec{A D}) k = 4, \vec{A I} = \frac{1}{4} (3 \vec{A B} - \vec{A D})$

Xem đáp án

b) $k = 4, \vec{A I} = \frac{1}{4} (3 \vec{A B} - \vec{A D})$

Chọn D

Câu 36:

$c) \vec{M A} + 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C} - 4 \vec{M D} = k \vec{M I}$

A. $k = 3, \vec{I A} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} - 4 \vec{A D}$

B. $k = 2, \vec{I A} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} - 4 \vec{A D}$

C. $k = 1, \vec{I A} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} - 4 \vec{A D}$

D. $k = 4, \vec{I A} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} - 4 \vec{A D}$

Xem đáp án

c) $k = 2, \vec{I A} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} - 4 \vec{A D}$

Chọn B

Câu 37:

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Tìm điểm M sao cho $a \vec{M A} + b \vec{M B} + c \vec{M C} = \vec{0}$

A. M trung điểm AB

B. M trực tâm ABC

C. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Xem đáp án

M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Chọn C

Câu 38:

b) Hãy phân tích $\vec{C M}, \vec{A N}, \vec{M N}$ qua các véc tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

A. $\vec{C M} = \frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b}$

B. $\vec{A N} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$

C.

\vec{M N} = - \frac{7}{3} \vec{a} + 3 \vec{b}

D.Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

b) Ta có: $\vec{C M} = \vec{C A} + \vec{A M} = - \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B} = \frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{A N} = \vec{A B} + \vec{B N} = \vec{A B} + 3 \vec{B C} = \vec{A B} + 3 (\vec{A C} - \vec{A B}) = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$

$\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = - \frac{1}{3} \vec{a} - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} = - \frac{7}{3} \vec{a} + 3 \vec{b}$

Chọn C

Câu 39:

Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM=3CM, trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN=5MN. G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Phân tích các vectơ $\vec{A M}, \vec{B N}$ qua các véc tơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

A. $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

B. $\vec{B N} = - \frac{23}{28} \vec{A B} + \frac{15}{28} \vec{A C}$

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A,B đều sai

Xem đáp án

a) Theo giả thiết ta có:

\vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{B C}

và

\vec{A N} = \frac{5}{7} \vec{A M}

suy ra

\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{B C}

= \vec{A B} + \frac{3}{4} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}

\vec{B N} = \vec{B A} + \vec{A N} = - \vec{A B} + \frac{5}{7} \vec{A M}

= - \vec{A B} + \frac{5}{7} (\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}) = - \frac{23}{28} \vec{A B} + \frac{15}{28} \vec{A C}

Chọn B

Câu 40:

b) Phân tích các vectơ $\vec{G C}, \vec{M N}$ qua các véc tơ $\vec{G A}$ và $\vec{G B}$

A. $\vec{G C} = - \vec{G A} - \vec{G B}$

B. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{G A} + \frac{1}{7} \vec{G B}$

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A,B đều sai

Xem đáp án

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ suy ra $\vec{G C} = - \vec{G A} - \vec{G B}$

Ta có $\vec{M N} = - \frac{2}{7} \vec{A M} = - \frac{2}{7} (\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C})$

$= - \frac{1}{14} (\vec{G B} - \vec{G A}) - \frac{3}{14} (\vec{G C} - \vec{G A})$

$\begin{array}{l} = - \frac{1}{14} (\vec{G B} - \vec{G A}) - \frac{3}{14} (- \vec{G A} - \vec{G B} - \vec{G A}) \\ = \frac{1}{2} \vec{G A} + \frac{1}{7} \vec{G B} \end{array}$

Chọn B

Câu 41:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho $A B = 3 A M, C D = 2 C N$ và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích các vectơ $\vec{A N}, \vec{M N}, \vec{A G}$ qua các véc tơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

A. $\vec{A N} = \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

B. $\vec{M N} = - \frac{5}{6} \vec{A B} + \vec{A C}$

C. $\vec{A G} = \frac{5}{18} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

D.Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

(hình 1.25)

Ta có: $\vec{A N} = \vec{A C} + \vec{C N} = \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

$\begin{array}{l} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} \\ = - \frac{5}{6} \vec{A B} + \vec{A C} \end{array}$

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên $3 \vec{A G} = \vec{A M} + \vec{A N} + \vec{A B} = \frac{1}{3} \vec{A B} + (\vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}) + \vec{A B} = \frac{5}{6} \vec{A B} + \vec{A C}$

Suy ra $\vec{A G} = \frac{5}{18} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

Chọn C

Câu 42:

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M,N,P sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ , $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0}$ , $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$

a) Biểu diễn các vectơ $\vec{A P}, \vec{A N}, \vec{A M}$ theo các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

A. $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$

B. $\vec{A N} = \frac{3}{2} \vec{A C}$

C. $\vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

D.Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

a) $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}, \vec{A N} = \frac{3}{2} \vec{A C}, \vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

Chọn D

Câu 43:

b) Biểu diễn các vectơ $\vec{M P}$ , $\vec{M N}$ theo các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

A. $\vec{M P} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

B. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A,B đều sai

Xem đáp án

b) $\vec{M P} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}, \vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

Chọn B

Câu 44:

c) Có nhận xét gì về ba điểm M, N, P thẳng hàng?

A. $\vec{M P} = 5 \vec{M N}$

B. $\vec{M P} = 3 \vec{M N}$

C. $\vec{M P} = 4 \vec{M N}$

D. $\vec{M P} = 2 \vec{M N}$

Xem đáp án

$\vec{M P} = 2 \vec{M N} \Rightarrow$ M, N, P thẳng hàng

Chọn D

Câu 45:

Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi $\vec{I A} = 2 \vec{I B}, 3 \vec{J A} + 2 \vec{J C} = \vec{0}$

a)Tính $\vec{I J}$ theo $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

A. $\vec{I J} = 2 \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

B. $\vec{I J} = - 2 \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$

C. $\vec{I J} = - 3 \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

D. $\vec{I J} = - 2 \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

Xem đáp án

a) $\vec{I J} = - 2 \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

Chọn D

Câu 46:

b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

A. $\vec{I J} = 6 \vec{I G}$

B. $5 \vec{I J} = 3 \vec{I G}$

C. $5 \vec{I J} = 4 \vec{I G}$

D. $5 \vec{I J} = 6 \vec{I G}$

Xem đáp án

b) $\vec{I G} = - \frac{5}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} \Rightarrow 5 \vec{I J} = 6 \vec{I G}$ suy ra IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Chọn D

Câu 47:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB=2JC.

a) Hãy phân tích $\vec{A I}, \vec{A J}$ theo $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

A. $\vec{A I} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C} .$

B. $\vec{A J} = \frac{5}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

C. Cả A,B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

Xem đáp án

a) Ta có: $2 \vec{I C} = - 3 \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{A I} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C} .$

$5 \vec{J B} = 2 \vec{J C} \Leftrightarrow 5 (\vec{A B} - \vec{A J}) = 2 (\vec{A C} - \vec{A J}) \Leftrightarrow \vec{A J} = \frac{5}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

Chọn B

Câu 48:

b) Hãy phân tích $\vec{A G}$ theo $\vec{A I}$ và $\vec{A J}$ .

A. $\vec{A G} = \frac{5}{48} \vec{A I} - \frac{1}{16} \vec{A J} .$

B. $\vec{A G} = \frac{35}{48} \vec{A I} - \frac{1}{6} \vec{A J} .$

C. $\vec{A G} = \frac{5}{48} \vec{A I} - \frac{1}{6} \vec{A J} .$

D. $\vec{A G} = \frac{35}{48} \vec{A I} - \frac{1}{16} \vec{A J} .$

Xem đáp án

b) Gọi M là trung điểm BC, ta có:

$\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) .$

$\Rightarrow \vec{A G} = \frac{35}{48} \vec{A I} - \frac{1}{16} \vec{A J} .$

Chọn D

Câu 49:

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương. Tìm x sao cho

a) $\vec{u} = \vec{a} + (2 x - 1) \vec{b}$ và $\vec{v} = x \vec{a} + \vec{b}$ cùng phương

A. $[\begin{matrix} x = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

B. $[\begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

C. $[\begin{matrix} x = - 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

D. $[\begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Xem đáp án

a) $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{v} \Leftrightarrow$ có số thực k sao cho

$\vec{u} = k \vec{v} \Leftrightarrow \vec{a} + (2 x - 1) \vec{b} = k (x \vec{a} + \vec{b})$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} k x = 1 \\ k = 2 x - 1 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

Chọn C

Câu 50:

b) $\vec{u} = 3 \vec{a} + x \vec{b}$ và $\vec{u} = (1 - x) \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ cùng hướng

A. $[\begin{matrix} x = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

B. $[\begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

C. $[\begin{matrix} x = - 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

D. x=-1

Xem đáp án

b) $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{v} \Leftrightarrow$ có số thực k dương sao cho

$\vec{u} = k \vec{v} \Rightarrow 3 \vec{a} + x \vec{b} = k ((1 - x) \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b})$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 3 = k (1 - x) \\ x = - \frac{2}{3} k \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} k = \frac{3}{2} \\ k = - 3 (l) \end{matrix} \Rightarrow x = - 1$

Chọn D