7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài tập cuối chương 8 (Vận dụng) có đáp án

Câu 1:

Số 253 125 000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?

A. 160;

B. 240;

C. 180;

D. 120.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có 253 125 000 = 2³.3⁴.5⁸.

Do đó mỗi ước số tự nhiên của số 253 125 000 đều có dạng 2^m.3ⁿ.5^p, trong đó 0 ≤ m ≤ 3, 0 ≤ n ≤ 4, 0 ≤ p ≤ 8 và m, n, p ∈ ℕ.

Khi đó:

⦁ m có 4 cách chọn;

⦁ n có 5 cách chọn;

⦁ p có 9 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả 4.5.9 = 180 ước số tự nhiên.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2:

Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên có chữ số 1?

A. 2 802;

B. 65;

C. 2 520;

D. 2 280.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $\bar{a b c d e}$ là số cần tìm.

Trường hợp 1: a = 1.

Khi đó b có 7 cách chọn, c có 6 cách chọn, d có 5 cách chọn và e có 4 cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, ta có 7.6.5.4 = 840 số được lập.

Trường hợp 2: b = 1 hoặc c = 1 thì có 2 cách.

Khi đó a có 6 cách chọn (vì a ≠ 0 và a ≠ 1).

Ba vị trí còn lại lần lượt có 6, 5, 4 cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, ta có 2.6.6.5.4 = 1 440 số được lập.

Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất cả 840 + 1 440 = 2 280 số được lập.

Do đó ta chọn phương án D.

Câu 3:

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9?

A. 16;

B. 18;

C. 20;

D. 14.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $\bar{a b c}$ là số cần tìm, với a, b, c ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Vì $\bar{a b c} ⋮ 9$ nên tổng các chữ số a + b + c ⋮ 9.

Khi đó a; b; c là bộ số (0; 4; 5), (2; 3; 4) hoặc (1; 3; 5).

Trường hợp 1: a; b; c là bộ số (0; 4; 5).

Vị trí a có 2 cách chọn (số 4 hoặc số 5).

Vị trí b, c có 2! = 2 cách chọn từ 2 chữ số còn lại.

Do đó theo quy tắc nhân, ta có tất cả 2.2 = 4 số.

Trường hợp 2: a; b; c là bộ số (2; 3; 4) thì có 3! = 6 số.

Trường hợp 3: a; b; c là bộ số (1; 3; 5) thì có 3! = 6 số.

Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất cả 4 + 6 + 6 = 16 số.

Ta chọn phương án A.

Câu 4:

Một hội đồng gồm 5 nam và 4 nữ được bầu vào một ban quản trị gồm 4 người. Biết rằng ban quản trị có ít nhất một nam và một nữ. Số cách bầu chọn là:

A. 240;

B. 260;

C. 126;

D. 120.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Việc bầu chọn một ban quản trị gồm 4 người có 3 phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn 1 nam và 3 nữ.

Chọn 1 nam trong số 5 nam, có $C_{5}^{1}$ cách chọn.

Chọn 3 nữ trong số 4 nữ, có $C_{4}^{3}$ cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 nam và 3 nữ là $C_{5}^{1} . C_{4}^{3}$ cách chọn.

Phương án 2: Chọn 2 nam và 2 nữ.

Chọn 2 nam trong số 5 nam, có $C_{5}^{2}$ cách chọn.

Chọn 2 nữ trong số 4 nữ, có $C_{4}^{2}$ cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 nam và 2 nữ là $C_{5}^{2} . C_{4}^{2}$ cách chọn.

Phương án 3: Chọn 3 nam và 1 nữ.

Chọn 3 nam trong số 5 nam, có $C_{5}^{3}$ cách chọn.

Chọn 1 nữ trong số 4 nữ, có $C_{4}^{1}$ cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 nam và 1 nữ là $C_{5}^{3} . C_{4}^{1}$ cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất cả $C_{5}^{1} . C_{4}^{3} + C_{5}^{2} . C_{4}^{2} + C_{5}^{3} . C_{4}^{1} = 120$ cách chọn.

Ta chọn phương án D

Câu 5:

Tổng $S = C_{5}^{0} + 3 C_{5}^{1} + 3^{2} C_{5}^{2} + 3^{3} C_{5}^{3} + 3^{4} C_{5}^{4} + 3^{5} C_{5}^{5}$ bằng:

A. S = 3⁵;

B. S = 2⁵;

C. S = 3.2⁵;

D. S = 4⁵.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${(1 + x)}^{5}$

$= C_{5}^{0} {.1}^{5} + C_{5}^{1} {.1}^{4} . x + C_{5}^{2} {.1}^{3} . x^{2} + C_{5}^{3} {.1}^{2} . x^{3} + C_{5}^{4} .1. x^{4} + C_{5}^{5} . x^{5}$

$= C_{5}^{0} + C_{5}^{1} . x + C_{5}^{2} . x^{2} + C_{5}^{3} . x^{3} + C_{5}^{4} . x^{4} + C_{5}^{5} . x^{5}$

Cho x = 3, ta có:

${(1 + 3)}^{5} = C_{5}^{0} + C_{5}^{1} .3 + C_{5}^{2} {.3}^{2} + C_{5}^{3} {.3}^{3} + C_{5}^{4} {.3}^{4} + C_{5}^{5} {.3}^{5}$ .

Suy ra $S = C_{5}^{0} + 3 C_{5}^{1} + 3^{2} C_{5}^{2} + 3^{3} C_{5}^{3} + 3^{4} C_{5}^{4} + 3^{5} C_{5}^{5} = 4^{5}$ .

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 6:

Hệ số của số hạng x¹⁰ trong khai triển (1 + x + x² + x³)⁵ là:

A. 5;

B. 50;

C. 101;

D. 105.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có (1 + x + x² + x³)⁵ = [1 + x + x²(1 + x)]⁵

= [(1 + x)(1 + x²)]⁵ = (1 + x)⁵.(1 + x²)⁵.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ A = (1 + x)⁵

= 1⁵ + 5.1⁴.x + 10.1³.x² + 10.1².x³ + 5.1.x⁴ + x⁵

= 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵.

⦁ B = (1 + x²)⁵

= 1⁵ + 5.1⁴.x² + 10.1³.(x²)² + 10.1².(x²)³ + 5.1.(x²)⁴ + (x²)⁵

= 1 + 5x² + 10x⁴ + 10x⁶ + 5x⁸ + x¹⁰.

Suy ra (1 + x + x² + x³)⁵ = A.B

Khi đó ta có số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển (1 + x + x² + x³)⁵ là:

xⁱ.x^j = x¹⁰ hay x^{i + j} = x¹⁰ với xⁱ là lũy thừa của số hạng trong A, x^j là lũy thừa của số hạng trong B (i ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} và j ∈ {0; 2; 4; 6; 8; 10}).

Do đó ta có bảng sau:

j	i
10	0
8	2
6	4

Từ bảng ta có số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển là:

1.x¹⁰ + 10x².5x⁸ + 5x⁴.10x⁶

= x¹⁰ + 50x¹⁰ + 50x¹⁰ = 101x¹⁰.

Vậy hệ số của số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển (1 + x + x² + x³)⁵ là 101.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 7:

Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn $14. P_{3} . C_{n - 1}^{n - 3} < A_{n + 1}^{4}$ ?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. Vô số.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: n ≥ 3 và n ∈ ℕ*.

Ta có $14. P_{3} . C_{n - 1}^{n - 3} < A_{n + 1}^{4}$

$\Leftrightarrow 14.3! . \frac{(n - 1)!}{(n - 3)! (n - 1 - n + 3)!} < \frac{(n + 1)!}{(n + 1 - 4)!}$

$\Leftrightarrow 14.3.2.1. \frac{(n - 1)!}{(n - 3)! .2!} < \frac{(n + 1)!}{(n - 3)!}$

$\Leftrightarrow 84. \frac{(n - 1) . (n - 2) . (n - 3)!}{(n - 3)! .2} < \frac{(n + 1) . n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3)!}{(n - 3)!}$

⇔ 42.(n – 1)(n – 2) < (n + 1).n.(n – 1)(n – 2)

⇔ 42 < (n + 1).n (do (n – 1)(n – 2) ≠ 0, với n ≥ 3 và n ∈ ℕ*)

⇔ n² + n – 42 > 0

⇔ n < –7 hoặc n > 6.

So với điều kiện n ≥ 3 và n ∈ ℕ*, ta nhận n > 6.

Vậy có vô số số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.