5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3. Tích của một số với một vectơ có đáp án (Phần 2) (Vận dụng)

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3. Tích của một số với một vectơ có đáp án (Phần 2)

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3. Tích của một số với một vectơ có đáp án (Phần 2) (Vận dụng)

645 lượt thi
5 câu hỏi
60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng, gọi M là điểm thỏa mãn $\vec{M A} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$ . Giá trị của x + y bằng

A. x + y = 1;

B. x + y = 2;

C. x + y = 3;

D. x + y = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Do ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng nên $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương.

Khi đó tồn tại các số thực x, y sao cho $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}, \forall M$ .

$\Leftrightarrow \vec{A M} = x (\vec{A M} + \vec{M B}) + y (\vec{A M} + \vec{M C})$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = x \vec{A M} + x \vec{M B} + y \vec{A M} + y \vec{M C}$

$\Leftrightarrow (1 - x - y) \vec{A M} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$

$\Leftrightarrow (x + y - 1) \vec{M A} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$

Theo bài ta có $\vec{M A} = x \vec{M B} + y \vec{M C}$

Suy ra x + y – 1 = 1 nên x + y = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 2:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M bất kì và số thực k dương. Biết điểm M thỏa mãn đẳng thức $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}| = k$ . Quỹ tích của điểm M là

A. 1 đoạn thẳng;

B. 1 đường tròn;

C. 1 điểm;

D. 1 đường thẳng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD nên I là trung điểm của AC và BD.

Do đó với điểm M bất kì thì $\{\begin{cases} 2 \vec{M I} = \vec{M A} + \vec{M C} \\ 2 \vec{M I} = \vec{M B} + \vec{M D} \end{cases}$

Để $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}| = k$

$\Leftrightarrow |2 \vec{M I} + 2 \vec{M I}| = k$

$\Leftrightarrow 4 |\vec{M I}| = k \Leftrightarrow |\vec{M I}| = \frac{k}{4}$

$\Leftrightarrow M I = \frac{k}{4}$ (*)

Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm I bán kính $R = \frac{k}{4}$ .

Câu 3:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, G là trọng tâm tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} + \vec{M C}|$ là

A. đường trung trực đoạn thẳng BC;

B. đường tròn đường kính BC;

C. đường tròn tâm G, bán kính a;

D. đường trung trực đoạn thẳng AG.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $\{\begin{cases} \vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I} \\ \vec{M A} + \vec{M C} = 2 \vec{M J} \end{cases} .$

Theo bài ta có $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} + \vec{M C}|$

$\Leftrightarrow |2 \vec{M I}| = |2 \vec{M J}| \Leftrightarrow M I = M J .$

Suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} + \vec{M C}|$ là đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó IJ // BC.

Suy ra tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Câu 4:

Cho tam giác ABC, gọi M là điểm bất kì thỏa mãn $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = 3$ . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn đẳng thức trên?

A. 3

B. 2

C. 1

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = 3$

$\Leftrightarrow |(\vec{G A} - \vec{G M}) + (\vec{G B} - \vec{G M}) + (\vec{G C} - \vec{G M})| = 3$

$\Leftrightarrow |\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} - 3 \vec{G M}| = 3$

$\Leftrightarrow 3 |\vec{G M}| = 3 \Leftrightarrow G M = 1$ .

Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1.

Vậy có vô số điểm M thỏa mãn.

Câu 5:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$ là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

R = \frac{a}{3};

R = \frac{a}{9};

R = \frac{a}{2};

R = \frac{a}{6} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là : B

Ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}$

$= 2 (\vec{M I} + \vec{I A}) + 3 (\vec{M I} + \vec{I B}) + 4 (\vec{M I} + \vec{I C}) .$

$= 9 \vec{M I} + 2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}$

Ta chọn điểm I sao cho $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C}) + \vec{I C} - \vec{I A} = \vec{0} .$ (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = 3 \vec{I G}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9 \vec{I G} + \vec{I C} - \vec{I A} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I G} + \vec{A I} + \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I G} + \vec{A C} = \vec{0} \Leftrightarrow 9 \vec{I G} = \vec{C A}$ (3)

Do đó $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

$\Leftrightarrow |9 \vec{M I} + 2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}| = |\vec{A B}|$

$\Leftrightarrow |9 \vec{M I}| = |\vec{A B}|$ (do $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$ )

$\Leftrightarrow 9 M I = A B \Leftrightarrow I M = \frac{A B}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R = \frac{A B}{9} = \frac{a}{9} .$

Bắt đầu thi ngay