12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của biểu thức có đáp án

Câu 1:

Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α biết sinα = \[\frac{1}{3}\] và 90° < α < 180°.

Hướng dẫn giải:

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra cosα = \( - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - 2\sqrt 2 \).

Câu 2:

Cho góc α với \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 5cos²α.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Ta có: A = 2sin²α + 5cos²α = 2 . (1 – cos²α) + 5cos²α = 2 + 3cos²α

Với \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), thay vào biểu thức A ta được

A = 2 + 3 . \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\) = 2 + 3 . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{7}{2}\).

Vậy A = \(\frac{7}{2}\).

Câu 3:

Cho góc α (0° < α < 180°) với \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Giá trị của sinα bằng:

A. 0;

B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\);

C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\);

D. \(\sqrt 3 \).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Lại có sin²α + cos²α = 1

Suy ra \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Câu 4:

Cho góc α thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{{12}}{{13}}\) và 90° < α < 180°. Tính cosα.

A. \(\cos \alpha = \frac{2}{{13}}\);

B. \(\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\);

C. \(\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\);

D. \(\cos \alpha = - \frac{2}{{13}}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Do đó \[cos\alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{{25}}{{169}}} = - \frac{5}{{13}}\].

Câu 5:

Cho góc α với 0° < α < 180°. Tính giá trị của cosα, biết \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \) .

A. \( - \frac{1}{3}\);

B. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\);

C. \(\frac{1}{3}\);

D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có \({\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{9}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}\).

Vì 0° < α < 180° ⇒ sinα > 0 mà \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \)< 0 nên cosα < 0.

Do đó \(\cos \alpha = - \frac{1}{3}\).

Câu 6:

Cho góc α (0° < α < 180°) với \(\cot \alpha = - \sqrt 2 \). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\);

B. \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\);

C. \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\);

D. \(\tan \alpha = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì \(\cot \alpha = - \sqrt 2 \) nên \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), do đó D đúng.

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Ta có: \[{\cot ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\]

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) nên A đúng.

Lại có: \[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = - \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Do đó B sai, C đúng.

Câu 7:

Tính giá trị của cosα biết 0° < α < 180°, α ≠ 90°, \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\) và tanα + cotα > 0.

A. \( - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\);

B. \(\frac{3}{5}\);

C. \( - \frac{3}{5}\);

D.\(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do 0° < α < 180°, α ≠ 90° nên tanα, cotα cùng dấu và tanα + cotα > 0 nên tanα > 0.

Mà \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\) > 0.

Do đó cosα > 0.

Ta có sin²α + cos²α = 1

Suy ra \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).

Câu 8:

Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Tính \(A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\).

A. \(\frac{4}{3}\);

B. \(\frac{1}{3}\);

C. \(\frac{2}{3}\);

D. 1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có

\(A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\)\( = \frac{{\tan \alpha + 4.\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}\)\( = \frac{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{\tan \alpha }}}}{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}{{\tan \alpha }}}}\)

\( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = 1 + 3{\cos ^2}\alpha \).

Thay \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(A = 1 + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 + 3.\frac{1}{9} = \frac{4}{3}\).

Câu 9:

Cho góc α thỏa mãn \(\tan \alpha = 3\) và 0° < α < 90°. Tính P = cosα + sinα.

A. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\);

B.\(\frac{{2\sqrt {10} }}{5}\);

C.\(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\);

D.\(\frac{{2\sqrt {10} }}{{10}}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0, sinα > 0

Ta có \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{10}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

Lại có \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\].

Do đó \[P{\rm{ }} = {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} + \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\].

Câu 10:

Cho góc α (0° < α < 180°) thỏa mãn \(\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\).

Giá trị của biểu thức \(P = 2\sqrt {4 + 5\tan \alpha } + 3\sqrt {9 - 12\cot \alpha } \) là:

A. 11;

B. 12;

C. 13;

D. 14.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì 0° < α < 180° nên sinα > 0

Do đó \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{{12}}{{13}}\).

Suy ra \(\tan \alpha = \frac{{12}}{5}\); \(\cot \alpha = \frac{5}{{12}}\)

Do đó \(P = 2\sqrt {4 + 5.\frac{{12}}{5}} + 3\sqrt {9 - 12.\frac{5}{{12}}} = 2.4 + 3.2 = 8 + 6 = 14\).

Câu 11:

Cho góc α thỏa mãn tanα = 5. Tính \(P = \frac{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}\).

A. 0;

B. 1;

C. \(\frac{{12}}{{13}}\);

D. \(\frac{{10}}{{13}}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Do tanα = 5 nên cosα ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của P cho cosα ta được

\(P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \)\(\frac{{2\tan \alpha + 3}}{{3\tan \alpha - 2}} = \frac{{2.5 + 3}}{{3.5 - 2}} = 1\).

Vậy P = 1.

Câu 12:

Cho góc α thỏa mãn cotα = 3. Tính P = sin⁴α – cos⁴α.

A. \( - \frac{4}{5}\);

B.\( - \frac{9}{{10}}\);

C. \(\frac{4}{5}\);

D. \(\frac{9}{{10}}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có P = sin⁴α – cos⁴α \( = \left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right).\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha \).

Do cotα = 3, suy ra sinα ≠ 0.

Chia cả hai vế của biểu thức cho sin²α ta được: \(\frac{P}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 - {\cot ^2}\alpha \)

\( \Leftrightarrow P\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right) = 1 - {\cot ^2}\alpha \)

Thay cotα = 3 vào ta được: P.(1 + 9) = 1 – 9 \( \Leftrightarrow P = \frac{{ - 8}}{{10}} = \frac{{ - 4}}{5}\).