12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác có đáp án

Câu 1:

Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng

sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)

Do đó: sin⁴α − cos⁴α = sin⁴α – (1 – 2sin² α + sin⁴ α) = 2 sin²α − 1.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. Ta có sin⁴α − sin⁴α = (sin²α + cos²α)( sin²α − cos²α)

= 1. [sin²α – (1 − sin²α)] = 2 sin²α − 1.

Vậy sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1.

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1

⇔ sin⁴α − 2 sin²α + 1 − cos⁴α = 0

⇔ (1 − sin²α)² − cos⁴α = 0

⇔ cos⁴α − cos⁴α = 0 (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 2:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có \(\widehat A\)+ \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) = 180°.

Suy ra: 180° −\(\widehat A\)= \(\widehat B\)+ \(\widehat C\).

Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C).

Lại có: cos(180° – A) = – cosA (quan hệ giữa hai góc bù nhau).

Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 3:

Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos²α + sin²α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?

A. \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}\];

B. \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = \frac{1}{3}\];

C. \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = \frac{1}{4}\];

D. \[5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5\].

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Từ hệ thức cos²α + sin²α = 1, ta suy ra được:

\[{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1\].

Suy ra: \[5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.1 = 5\].

Câu 4:

Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?

A. sin A = sin (B + C);

B. tan A = tan (B + C);

C. \(\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}\);

D. tan A = − tan (B + C).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Tam giác ABC có: \(\widehat A\)+ \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) = 180° (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra: 180° −\(\widehat A\)= \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) và

Do đó sin A = sin (180° − A) = sin (B + C), suy ra khẳng định A đúng.

Lại có \(\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ \)

Do đó:\(\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}\) (hai góc phụ nhau), suy ra khẳng định C đúng.

Mặt khác tan A = − tan (180° −\(\widehat A\)) = − tan (B + C), suy ra khẳng định D đúng và B sai.

Câu 5:

Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?

A. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);

B. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x}}{{\tan x - 1}}\);

C. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}\);

D. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{{{\tan }^2}x + 1}}{{\tan x - 1}}\).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do 0° < x < 90° nên tanx > 0 và cotx > 0.

Ta có tanx . cotx = 1, suy ra cotx = \(\frac{1}{{tanx}}\).

Khi đó: \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}}\) = \(\frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\).

Vậy \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\).

Câu 6:

Với 0° ≤ x ≤ 180°, biểu thức (sin x + cos x)² bằng:

A. 1;

B. 1 + 2sin x. cos x;

C. 1 – 2sin x. cos x;

D. 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có

(sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x. cos x + cos²x = 1 + 2sin x. cos x.

Câu 7:

Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức dưới đây?

A. sin⁴ x + cos⁴ x = 1;

B. sin⁴ x + cos⁴ x = sin² x – cos² x;

C. sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2 sin² x. cos² x;

D. sin⁴ x + cos⁴ x = 1 + 2 sin² x. cos² x.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có

sin⁴ x + cos⁴ x

= (sin²x)² + (cos²x)²

= [(sin²x)² + 2 sin² x. cos² x + (cos²x)²] – 2 sin² x. cos² x

= (sin² x + cos² x)² – 2 sin² x. cos² x

= 1 – 2 sin² x. cos² x.

Vậy sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2 sin² x. cos² x.

Câu 8:

Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Giá trị của biểu thức (sin² x + cos² x)² + (sin² x − cos² x)²

A. không phụ thuộc vào biến x;

B. phụ thuộc vào biến x;

C. bằng 0;

D. bằng 1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

(sin² x + cos² x)² + (sin² x − cos² x)²

= sin²x + 2sin x. cos x + cos²x + sin²x − 2sin x. cos x + cos²x

= 2(sin²x + cos²x) = 2 . 1 = 2.

Vậy giá trị của biểu thức (sin² x + cos² x)² + (sin² x − cos² x)²không phụ thuộc vào biến x và có kết quả bằng 2.

Câu 9:

Biểu thức 1 − (sin⁶x + cos⁶x) bằng biểu thức nào sau đây:

A. 3sin² x . cos ² x;

B. sin²x;

C. 1 − 3sin² x . cos ² x;

D. 2 + sin²x.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì sin² x + cos² x = 1, suy ra (sin² x + cos² x)³ = 1³ = 1.

Do đó ta có

1 − (sin⁶x + cos⁶x)

= \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - \left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\)

\( = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right){\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^6}x - {\cos ^6}x\)

\( = 3.1.{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\).

Vậy 1 − (sin⁶x + cos⁶x) = 3sin² x . cos ² x.

Câu 10:

Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây:

A. sin 20° = sin 160°;

B. cos 20° = cos 160°;

C. tan 20° = tan 160°;

D. cot 20° = cot 160°.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau ta có:

sin 20° = sin(180° − 160°) = sin 160°;

cos 20° = cos(180° − 160°) = − cos 160°;

tan 20° = tan(180° − 160°) = − tan 160°;

cot 20° = cot(180° − 160°) = − cot 160°.

Vậy đáp án A đúng, B, C, D sai.

Câu 11:

Biểu thức \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) bằng biểu thức nào sau đây?

A. 3 – tan²x;

B. 3 + tan²x;

C. tan²x;

D. 4 + tanx.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({\sin ^4}x + 4{\cos ^2}x = {\sin ^4}x + 4.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = {\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)^2}\)

Và \({\cos ^4}x + 4{\sin ^2}x = {\cos ^4}x + 4\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = {\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)^2}\)

Do đó

\(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\)

\( = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)}^2}} + {\tan ^2}x\)

\( = \left| {{{\sin }^2}x - 2} \right| + \left| {{{\cos }^2}x - 2} \right| + {\tan ^2}x\) (do \(0 \le {\cos ^2}x;{\sin ^2}x \le 1\))

\( = 2 - {\sin ^2}x + 2 - {\cos ^2}x + {\tan ^2}x\)

\( = 4 - \left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + {\tan ^2}x\)

\( = 4 - 1 + {\tan ^2}x = 3 + {\tan ^2}x\).

Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) = 3 + tan²x.

Câu 12:

Cho (0° < α < 90°), khi đó sin (α + 90°) bằng

A. sin α;

B. cos α;

C. – sin α;

D. – cos α.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải.

Đáp án đúng là: B.

Với 0° < α < 90°, ta có

sin (α + 90°)

= sin (180° − ( α + 90° )) (hai góc bù nhau)

= sin (90°− α )

= cos α (hai góc phụ nhau).

Vậy sin (α + 90°) = cos α.