11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Góc ở tâm. Số đo cung có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hai tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) cắt nhau tại N, biết $\hat{C N D}$ = 60^o. Tính $\hat{D N O}$ và $\hat{C O N}$

A. $\hat{D N O}$ = 45^o; $\hat{N O C}$ = 45^o.

B. $\hat{D N O}$ = 60^o; $\hat{N O C}$ = 30^o.

C. $\hat{D N O}$ = 35^o; $\hat{N O C}$ = 60^o.

D. $\hat{D N O}$ = 30^o; $\hat{N O C}$ = 60^o.

Xem đáp án

Vì NC, ND là hai tiếp tuyến của đường tròn nên ON là tia phân giác của $\hat{C O D}$ ; NO là tia phân giác của $\hat{C N D}$ hay $\hat{D N O}$ = $\frac{1}{2} \hat{D N C} = \frac{60^{o}}{2}$ = 30^o

Mà tam giác ODN vuông tại D (do ND là tiếp tuyến) nên

$\hat{D O N}$ = 90^o − $\hat{D N O}$ = 90^o – 30^o = 60^o

Mà ON là tia phân giác của nên $\hat{N O C} = \hat{N O D}$ = 60^o

Vậy $\hat{D N O}$ = 30^o; $\hat{N O C}$ = 60^o.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2:

Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = $\sqrt{2}$ R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Số đo cung AB lớn là:

A. 270^o

B. 90^o

C. 180^o

D. 210^o

Xem đáp án

Xét tam giác AOB vuông tại A ta có:

sin $\hat{B M O}$ = $\frac{O B}{O M} = \frac{R}{\sqrt{2} R} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \hat{B M O} = 45^{o}$

Xét tam giác OBM vuông tại B (do BM là tiếp tuyến của (O)) có $\hat{B M O}$ = 45^o

=> $\hat{B O M}$ = 90^o – 45^o = 45^o

Xét đường tròn (O) có MA; MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc $\hat{A O B}$

Suy ra $\hat{A O B}$ = 2 $\hat{B O M}$ = 2. 45^o = 90^o mà $\hat{A O B}$ là góc ở tâm chắn cung AB

Nên số đo cung nhỏ AB là 90^o suy ra số đo cung lớn AB là 360^o – 90^o = 270^o

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Cho (O; R) và dây cung MN = R $\sqrt{3}$ . Kẻ OI vuông góc với MN tại I. Tính độ dài OI theo R

A. $\frac{R \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{R}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{R}{3}$

D. $\frac{R}{2}$

Xem đáp án

Xét (O) có OI $⊥$ MN tại I nên I là trung điểm của dây MN (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó)

=> MI = IN = $\frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{3} R}{2}$

Xét tam giác OIM vuông tại I, theo định lý Pytago ta có OI² = OM² – MI²

=> OI = $\sqrt{R^{2} - {(\frac{\sqrt{3} R}{2})}^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{3 R^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{R^{2}}{4}} = \frac{R}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Cho (O; R) và dây cung MN = R $\sqrt{3}$ . Kẻ OI vuông góc với MN tại I. Tính số đo cung nhỏ MN.

A. 120^o

B. 150^o

C. 90^o

D. 145^o

Xem đáp án

Xét tam giác OIM vuông tại I ta có:

sin $\hat{M O I} = \frac{M I}{M O} = \frac{\sqrt{3} R}{2} : R = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{M O I} = 60^{o}$

=> MON cân tại O có OI vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên

$\hat{M O N} = 2 \hat{M O I}$ = 2.60^o = 120^o

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Cho (O; R) và dây cung MN = R $\sqrt{2}$ . Kẻ OI vuông góc với MN tại I. Tính số đo cung nhỏ MN

A. 120^o

B. 150^o

C. 90^o

D. 60^o

Xem đáp án

Xét tam giác OIM vuông tại I ta có:

sin $\hat{M O I} = \frac{M I}{M O} = \frac{\sqrt{2} R}{2} : R = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{M O I} = 45^{o}$

=> MON cân tại O có OI vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên

$\hat{M O N} = 2 \hat{M O I} = 2 . 45^{o} = 90^{o}$

Suy ra số đo cung nhỏ MN là 90^o

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại I, K. So sánh các cung nhỏ BI và cung nhỏ CK

A. Số đo cung nhỏ BI bằng số đo cung nhỏ CK

B. Số đo cung nhỏ BI nhỏ hơn số đo cung nhỏ CK

C. Số đo cung nhỏ BI lớn hơn số đo cung nhỏ CK

D. Số đo cung nhỏ BI bằng hai lần số đo cung nhỏ CK

Xem đáp án

Xét các tam giác $Δ$ IBC và $Δ$ KBC có BC là đường kính của (O) và I; K $\in$ (O)

Nên $Δ$ IBC vuông tại I và $Δ$ KBC vuông tại K

Xét hai tam giác vuông $Δ$ IBC và $Δ$ KBC ta có BC chung; $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do ABC cân)

$Δ$ IBC = $Δ$ KCB (ch – gn) => IB = CK

Suy ra $Δ$ COK = $Δ$ IOB (c – c − c) => $\hat{C O K} = \hat{I O B}$

suy ra số đo hai cung nhỏ CK và BI bằng nhau

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Tính $\hat{I O K}$ biết $\hat{B A C}$ = 40^o

A. 80^o

B. 100^o

C. 60^o

D. 40^o

Xem đáp án

Xét tam giác ABC cân tại A có $\hat{A}$ = 40^o => $\hat{K B O} = \hat{I C O}$ = 70^o

Xét tam giác OKB cân tại O có $\hat{K B O}$ = 70^o => $\hat{K O B}$ = 180^o – 2.70^o = 40^o

Tương tự có $\hat{I O C}$ = 40^o

Suy ra $\hat{I O K}$ = 180^o – 40^o – 40^o = 100^o

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại I, K. So sánh các cung nhỏ CI và cung nhỏ BK

A. Số đo cung nhỏ CI bằng hai lần số đo cung nhỏ BK

B. Số đo cung nhỏ CI nhỏ hơn số đo cung nhỏ BK

C. Số đo cung nhỏ BK lớn hơn hơn số đo cung nhỏ CI

D. Số đo cung nhỏ BK bằng số đo cung nhỏ CI

Xem đáp án

Xét tam giác $Δ$ IBC và $Δ$ KBC có BC là đường kính của (O) và I; K $\in$ (O)

Nên $Δ$ IBC vuông tại I và $Δ$ KBC vuông tại K

Xét hai tam giác vuông $Δ$ IBC và $Δ$ KBC ta có BC chung; $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do ABC cân)

=> $Δ$ IBC = $Δ$ KCB (ch – gn) => IC = BK (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $Δ$ COI = $Δ$ BOK (c – c – c) => $\hat{C O I} = \hat{K O B}$

suy ra số đo hai cung nhỏ CI và BK bằng nhau

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Tính $\hat{I O K}$ biết $\hat{B A C}$ = 36^o

A. 36^o

B. 144^o

C. 108^o

D. 72^o

Xem đáp án

Xét tam giác ABC cân tại A có:

$\hat{A}$ = 36^o => $\hat{K B O} = \hat{I C O}$ = $\frac{180^{o} - 36^{o}}{2}$ = 72^o

Xét tam giác OKB cân tại O có $\hat{K B O}$ = 72^o

=> $\hat{K O B}$ = 180^o – 2.72^o = 36^o

Xét tam giác $Δ$ IBC và $Δ$ KBC có BC là đường kính của (O) và I; K $\in$ (O)

Nên $Δ$ IBC vuông tại I và $Δ$ KBC vuông tại K

Xét hai tam giác vuông $Δ$ IBC và $Δ$ KBC ta có BC chung; $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do ABC cân)

=> $Δ$ IBC = $Δ$ KCB (ch – gn) => IC = BK (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $Δ$ COI = $∆$ BOK (c – c – c) => $\hat{C O I} = \hat{K O B}$ = 36^o

Suy ra = 180^o – 36^o – 36^o = 108^o

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Cho đường tròn (O; R). Gọi H là trung điểm của bán kính OA, dây CD vuông góc với OA tại H. Tính số đo cung lớn CD

A. 260^o

B. 300^o

C. 240^o

D. 120^o

Xem đáp án

Xét đường tròn (O) có OA $⊥$ CD tại H nên H là trung điểm của CD

Tứ giác OCAD có hai đường chéo vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên OCAD là hình thoi

=> OA = CA mà OC = OA nên OC = OA = AC hay tam giác OAC đều

=> $\hat{C O A}$ = 60^o => $\hat{C O D}$ = 120^o

Do đó số đo cung nhỏ CD là 120^o và số đo cung lớn CD là 360^o – 120^o = 240^o

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Cho đường tròn (O; R). Gọi H là điểm thuộc bán kính OA sao cho OH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ OA. Dây CD vuông góc với OA tại H. Tính số đo cung lớn CD

A. 260^o

B. 300^o

C. 240^o

D. 120^o

Xem đáp án

Xét đường tròn (O) có OA $⊥$ CD tại H nên H là trung điểm của CD

Xét tam giác OHC vuông tại H có:

cos $\hat{H O C}$ = $\frac{O H}{O C} = \frac{\frac{\sqrt{3} R}{2}}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{H O C} = 30^{o}$

Mà tam giác OCD cân tại O (OC = OD = R) có OH là đường cao nên OH cũng là đường phân giác, suy ra $\hat{D O C} = 2 . \hat{C O H}$ = 2. 30^o = 60^o

Do đó số đo cung nhỏ CD là 60^o và số đo cung lớn CD là 360^o – 60^o = 300^o

Đáp án cần chọn là: B