Đáp án đúng là: B

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)Tính biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac.\)

Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)

Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}.\)

Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai

\({x^2} - Sx + P = 0.\)

Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0.\)

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\)(cm) với \(x > 0\) và chiều dài của hình chữ nhật là \(3x\) cm.

Chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật sau khi tăng thêm lần lượt là là \(x + 5\) (cm) và \(3x + 5\) (cm).

Vì hình chữ nhật mới có diện tích bằng \(153\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có phương trình \(\left( {x + 5} \right)\left( {3x + 5} \right) = 153.\)

Đáp án đúng là: A

Thay \(x = - 2\) vào hàm số bậc hai \(y = 4{x^2}\) ta được \(y = 4.{\left( { - 2} \right)^2} = 16.\)

Vậy giá trị của \(y\) khi \(x = - 2\) là \(y = - 16.\)

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị ta thấy:

Đây là đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì hàm số đi có đồ thị nằm phía trên trục hoành nên \(a > 0.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2} - 2.3 = 5 > 0\) .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Ta có\(\Delta ' = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2.1 = 3 > 0\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án đúng là: C

Theo định lí Viète, ta có: \(x + y = - \sqrt 2 ;\,xy = 2.\)

Đáp án đúng là: A

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi \(P < 0\) hay \( - m < 0\) hay \(m > 0.\)

Đáp án đúng là: B

Xe máy đi trước ô tô thời gian là 6 giờ 30 phút – 6 giờ = 30 phút \( = \frac{1}{2}\,\,\left( {\rm{h}} \right).\)

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\)(km/h) \(\left( {x > 0} \right)\)

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vậy tốc xe máy \(15\) km/h nên vận tốc ô tô là \(x + 15\) (km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{90}}{x}\) (h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{90}}{{x + 15}}\) (h)

Do xe máy đi trước ô tô \(\frac{1}{2}{\rm{h}}\) và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình \(\frac{{90}}{x} - \frac{1}{2} = \frac{{90}}{{x + 15}}.\)

Vậy phương trình cần tìm là \(\frac{{90}}{x} - \frac{1}{2} = \frac{{90}}{{x + 15}}.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - \left( {4{m^2} - 2} \right) = 2 > 0\) với mọi \(m.\)

Do đó, phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\).

Khi đó, theo định lý Viète: \({x_1} + {x_2} = 4m\)

\(P = x_1^2 + 4m{x_2} - 12{m^2} - 6\)

\( = \left( {x_1^2 - 4m{x_1} + 4{m^2} - 2} \right) + 4m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 16{m^2} - 4\)

\( = 0 + 4m \cdot 4m - 16{m^2} - 4 = - 4.\)

Vậy \(P = - 4.\)

Đáp án đúng là: D

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) là \(\Delta ' \ge 0\) hay \({m^2} - 4 \ge 0\)

Khi đó \({m^2} \ge 4\) nên \(\left| m \right| \ge 2\,\,\,\left( 1 \right).\)

Ta có \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 3\)

\(x_1^2 + x_2^2 = 3{x_1}{x_2}\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 3{x_1}{x_2}\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 5{x_1}{x_2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Theo định lí Viète ta có \({x_1} + {x_2} = - 2m,\,\,{x_1}{x_2} = 4.\)

Khi đó \(\left( 2 \right)\) trở thành \(4{m^2} = 20\) hay \(m = \pm \sqrt 5 \) (thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).

Vậy \(m = \pm \sqrt 5 \) là giá trị cần tìm.